Текст книги "Курс общей астрономии"

Автор книги: П. Бакулин

Соавторы: В. Мороз,Э. Кононович
сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 17 страниц)

(1.25)

(Долгота l отсчитывается положительной к востоку от Гринвича.) Для приближенных расчетов, с точностью до 5 минут, звездное время S в среднюю полночь на любом меридиане можно вычислить по следующей таблице:

ДатаsДатаsДатаs Сентябрь 220 hЯнварь218 hМай2316 h Октябрь 222Февраль2110Июнь2218 Ноябрь224Март2312Июль2320 Декабрь226Апрель2214Август2222

При этом нужно иметь в виду, что за каждые сутки звездное время уходит вперед относительно среднего времени приблизительно на 4m.

§ 24. Системы счета времени

1. Местное время и долгота. Время, измеренное на данном географическом меридиане, называется местным временем этого меридиана.. Для всех мест на одном и том же меридиане часовой угол точки весеннего равноденствия (или Солнца, или среднего солнца) в какой-либо момент один и тот же. Поэтому на всем географическом меридиане местное время (звездное или солнечное) в один и тот же момент одинаково. Если разность географических долгот двух мест есть Dl , то в более восточном месте часовой угол любого светила будет на Dl больше, чем часовой угол того же светила в более западном месте. Поэтому разность любых местных времен на двух меридианах в один и тот же физический момент всегда равна разности долгот этих меридианов, выраженной в часовой мере (в единицах времени):

(1.26)

Непосредственно из астрономических наблюдений получается местное время того меридиана, на котором эти наблюдения произведены. 2. Всемирное время. Местное среднее солнечное время гринвичского (нулевого) меридиана называется всемирным временем Т0 . Полагая в формуле (1.26) Tm2 = T0 и l 2 = 0, Tm1 = Tm и l 1 = l , получим:

Tm = T0 + l ,(1.27)

т.е. местное среднее время любого пункта на Земле всегда равно всемирному времени в этот момент плюс долгота данного пункта, выраженная в часовой мере и считаемая положительной к востоку от Гринвича. В астрономических календарях моменты большинства явлений указываются по всемирному времени T0. Моменты этих явлений по местному времени Тт. легко определяются по формуле (1.27). 3. Поясное время. В повседневной жизни пользоваться как местным средним солнечным временем, так и всемирным временем неудобно. Первым потому, что местных систем счета времени в принципе столько же, сколько географических меридианов, т.е. бесчисленное множество. Поэтому для установления последовательности событий или явлений, отмеченных по местному времени, совершенно необходимо знать, кроме моментов, также и разность долгот тех меридианов, на которых эти события или явления имели место. Последовательность событий, отмеченных по всемирному времени, устанавливается легко, но большое различие между всемирным временем и местным временем меридианов, удаленных от гринвичского на значительные расстояния, создает неудобства при использовании всемирного времени в повседневной жизни. В 1884 г. была предложена поясная система счета среднего времени, суть которой заключается в следующем. Счет времени ведется только на 24 основных географических меридианах, расположенных друг от друга по долготе точно через 15° (или через 1h), приблизительно посередине каждого часового пояса. Часовыми поясами называются участки земной поверхности, на которые она условно разделена линиями, идущими от ее северного полюса до южного и отстоящими приблизительно на 7°,5 от основных меридианов. Эти линии, или границы часовых поясов, точно следуют по географическим меридианам лишь в открытых морях и океанах и в ненаселенных местах суши. На остальном своем протяжении они идут по государственным, административно-хозяйственным или географическим границам, отступая от соответствующего меридиана в ту или другую сторону. Часовые пояса занумерованы от 0 до 23. За основной меридиан нулевого пояса принят гринвичский. Основной меридиан первого часового пояса расположен от гринвичского точно на 15° к востоку, второго – на 30°, третьего – на 45° и т. д. до 23 часового пояса, основной меридиан которого имеет восточную долготу от Гринвича 345° (или западную долготу 15°). Местное среднее солнечное время основного меридиана какого-либо часового пояса называется поясным временем Тп , по которому и ведется счет времени на всей территории, лежащей в данном часовом поясе. Разность между местным временем Тm какого-либо пункта и его поясным временем Тп на основании последнего уравнения (1.26) равна Тm – Тn = l – пh,(1.28)

где l – восточная долгота пункта от Гринвича, а nh – число целых часов, равное номеру часового пояса, в котором данный пункт находится (долгота основного меридиана часового пояса). Так как границы часовых поясов удалены от основных меридианов приблизительно на 7°,5, то разность (Tm – Тп) может быть несколько больше или несколько меньше ±30m только для пунктов, расположенных вблизи границ часовых поясов. Поясное время данного пояса п связано с всемирным временем очевидным соотношением Tn = T0 + nh.(1.29)

Также совершенно очевидно, что разность поясных времен двух пунктов есть целое число часов, равное разности номеров их часовых поясов. В СССР поясное время было введено с 1 июля 1919 г. В связи с существенно изменившимися условиями экономического развития страны в 1956 г. границы часовых поясов на территории СССР были пересмотрены и с 1 декабря 1956 г. установлены новые границы (см. «Карту часовых поясов СССР» в приложении). 4. Декретное время. В целях более рационального распределения электроэнергии, идущей на освещение предприятий и жилых помещений, и наиболее полного использования дневного света в летние месяцы года во многих странах переводят часовые стрелки часов, идущих по поясному времени, на 1h вперед. Перевод осуществляется специальным правительственным распоряжением (декретом) либо только на летний период («летнее время») либо на все время года. В СССР «летнее время» вводилось неоднократно. В последний раз, 16 июня 1930 г., декретом правительства СССР стрелки часов во всех часовых поясах СССР были переведены на один час вперед против поясного времени. Срок действия этого декрета был продлен 9 февраля 1931 г. впредь до отмены. С тех пор население каждого часового пояса в СССР, как правило, живет по времени соседнего восточного пояса. Это время получило у нас название декретного. Связь декретного времени Tд какого-либо пункта с его поясным временем Тп , с всемирным временем Т0 и с местным средним солнечным временем Тm дается следующими соотношениями:

(1.30)

Декретное время действует не на всей территории СССР. В силу исторически сложившихся причин Татарская АССР, Краснодарский край, Ставропольский край и Горьковская область находятся в 3-м часовом поясе, живут по своему поясному времени, совпадающему с декретным временем Москвы, которая лежит во 2-м часовом поясе, а живет (в соответствии с декретом от 16 июня 1930 г.) по поясному времени 3-го часового пояса. Декретное время Москвы называется московским временем. По московскому времени составляются расписания движения поездов, пароходов, самолетов, отмечается время на телеграммах и т.п. В некоторых странах Западной Европы периодически вводится так называемое сезонное время: примерно с конца октября до конца марта там действует поясное время, а в другую половину года стрелки часов переводятся на 1 час вперед. В обыденной жизни декретное или поясное время какого-нибудь населенного пункта часто называют «местным» временем этого пункта; его не следует путать с астрономическим понятием местного времени, о котором было сказано в начале этого параграфа.

§ 25. Календарь

Система счета длительных промежутков времени называется календарем. За многовековую историю человечества было разработано (и использовалось) много различных систем календарей. Но все календари можно разделить на три главных типа: солнечные, лунные и лунно-солнечные. В основе солнечных календарей лежит продолжительность тропического года, в основе лунных календарей – продолжительность лунного, или синодического, месяца, лунно-солнечные календари основаны на обоих этих периодах. Современный календарь, принятый в большинстве стран, является солнечным календарем. Примером лунного календаря является магометанский календарь, лунный год которого состоит из 12 лунных месяцев и содержит 354 или 355 средних солнечных суток. В еврейском лунно-солнечном календаре год состоит то из 12 месяцев (354 дня), то из 13 месяцев (384 дня). Кроме того, есть годы «недостаточные» (353 дня и 383 дня) и «избыточные» (по 355 и по 385 дней). Основной единицей меры времени солнечных календарей, как уже было сказано, является тропический год. Продолжительность тропического года в средних солнечных сутках равна 365,2422 (365d5h48m46s). При составлении солнечного календаря необходимо выполнить два условия: 1) продолжительность календарного года, в среднем за несколько лет, должна быть как можно ближе к продолжительности тропического года; 2) календарный год должен содержать целое число суток, так как неудобно было бы начинать один год ночью, другой – утром, третий – вечером и т.д. В юлианском календаре (старый стиль), разработанном александрийским астрономом Созигеном и введенном Юлием Цезарем в 46 г. до н.э., эти условия выполняются соблюдением следующего простого правила: продолжительность календарного года считается равной 365 средним солнечным суткам три года подряд, а каждый четвертый год содержит 366 суток. Годы продолжительностью в 365 суток называются простыми, а в 366 суток – високосными. Високосными годами в юлианском календаре являются те годы, номера которых делятся на 4 без остатка. В високосном году в феврале 29 дней, в простом

– 28. Таким образом, продолжительность года в юлианском календаре в среднем за 4 года равна 365,25 средних солнечных суток, т.е. календарный год длиннее тропического всего лишь на 0,0078 суток. Счет времени юлианскими годами за 128 лет даст расхождение со счетом тропическими годами приблизительно в 1 сутки, а за 400 лет – около 3 суток (например, день весеннего равноденствия через 400 лет по юлианскому календарю наступит на три дня раньше). Расхождение это практического значения не имеет и юлианским календарем пользовались все европейские страны около 16 столетий. Григорианский календарь (новый стиль) возник в результате реформы юлианского календаря, произведенной в 1582 г. римским папой Григорием XIII из религиозных соображений. Дело в том, что указанное выше небольшое расхождение юлианского календаря со счетом тропическими годами оказалось неудобным для церковного летосчисления. По правилам христианской церкви праздник пасхи должен был наступать в первое воскресенье после весеннего полнолуния, т.е. первого полнолуния после дня весеннего равноденствия. В год, когда было установлено это правило на Никейском Соборе (325 г, н.э.), день весеннего равноденствия по юлианскому календарю приходился на 21 марта. В 1582 г., т.е. через 1257 лет он стал приходиться уже на 11 марта. Этот переход дня весеннего равноденствия (за 128 лет на одни сутки) на более ранние даты вносил путаницу и неопределенность в определение дня пасхи и других христианских праздников. Реформа календаря, произведенная по проекту итальянского математика и врача Лилио, предусматривала, во-первых, возвращение календарной даты 21 марта на день весеннего равноденствия и, во-вторых, изменение в правиле счета простых и високосных лет с целью уменьшения расхождения со счетом тропическими годами. Поэтому в булле папы Григория XIII имелись два принципиальных пункта: 1) после 4 октября 1582 г. было предписано считать не 5, а 15 октября. 2) не считать в дальнейшем високосными те годы столетий, у которых число сотен не делится без остатка на 4 (1700, 1800, 1900, 2100 и т.д.). Первым пунктом этого постановления устранялось расхождение в 10 суток юлианского календаря со счетом тропическими годами, накопившееся с 325 г., и день весеннего равноденствия в следующем году наступил снова 21 марта. Вторым пунктом продолжительность календарного года в среднем за 400 лет устанавливалась равной 365,2425 средних солнечных суток. Таким образом, средний календарный год стал длиннее тропического всего на 0,0003 суток и счет времени по григорианскому календарю и тропическими годами даст расхождение в 1 сутки только лишь через 3300 лет. Поэтому дальнейшее совершенствование григорианского календаря в этом направлении нецелесообразно. Григорианский календарь был введен в большинстве западных стран в течение XVI-XVII вв. В России перешли на новый стиль только в 1918 г. В этом году, по декрету Советского правительства, вместо 1 февраля стали считать 14 февраля, так как расхождение юлианского календаря со счетом тропическими годами к 1918 г. составило уже 13 суток. Это различие в 13 суток будет сохраняться до 15 февраля 2100 г. по старому стилю, или до 28 февраля 2100 г. по новому стилю. После этой даты оно увеличится на одни сутки и станет равным 14 суткам. Начало календарного года (Новый год) понятие условное. В прошлом в некоторых странах Новый год начинался и 25 марта, и 25 декабря и в другие дни. В России, например, до XV в. первым днем года считали 1 марта, а с XV в. до 1700 г. – 1 сентября. И только постепенно за начало календарного года стали повсеместно считать 1 января, как и при введении юлианского календаря в 46 г. до н.э. Условным является и выбор начала счета годов, т.е. установление эры. В прошлом существовало до 200 различных эр, связанных либо с реальными событиями (возведением на престол монархов, войнами, олимпиадами), либо с легендарными (основание Рима), а чаще всего религиозными событиями («сотворение мира», «всемирный потоп» и т.п.). Начало счета годов от «рождества Христова» было предложено ученым монахом Дионисием в 525 г. н.э. (в 1284 г. от «основания Рима»). Без всяких доказательств он объявил, что Христос родился 532 года назад, и поэтому следующие годы стали нумероваться как 533, 534, 535 и т.д. от «рождества Христова». Таким образом, наша эра является такой же условной, как и эра «от сотворения мира», и ведется она от такого же нереального события. Монах же Дионисий выбрал 532 года потому, что праздник пасхи через этот период снова

приходится на те же даты. Действительно, 532 = 4 ґ 7 ґ 19, где 4 – период високосных лет, 7 – число дней недели, а 19 – число лет, через которые лунные фазы приходятся опять на те же календарные числа (метонов цикл). Установление двенадцати месяцев в году и семи дней в неделе, хотя и имеет астрономическое обоснование, но, по сути дела, также является условным и сохраняется до сих пор по традиции. Можно придумать (и придуманы) календарные системы еще более точные, чем григорианский календарь. Но так как точность последнего более чем достаточна, то в изменении средней продолжительности календарного года (т.е. в изменении правила счета високосных годов) нет необходимости. Желательна лишь реформа в распределении дней по месяцам. В григорианском календаре месяцы имеют различную продолжительность – от 28 до 31 дня. Это неудобно. Такое же неудобство имеют и кварталы года. Предложено несколько проектов реформы григорианского календаря, предусматривающих устранение или уменьшение этих недостатков. Один из них, по-видимому самый простой, заключается в следующем. Все кварталы года имеют одинаковую продолжительность по 13 недель, т.е. по 91 дню. Первый месяц каждого квартала содержит 31 день, остальные два – по 30 дней. Таким образом, каждый квартал (и год) будет начинаться всегда в один и тот же день недели. Но так как 4 квартала по 91 дню содержит 364 дня, а год должен содержать 365 или 366 дней (високосный), то между 30 декабря и 1 января вставляется день вне счета месяцев и недель – международный нерабочий день Нового года. А в високосном году такой же нерабочий день, вне счета месяцев и недель, вставляется после 30 июня. Однако вопрос о введении нового календаря может быть решен только в международном масштабе.

§ 26. Юлианские дни

Вычитанием более ранней даты одного события из более поздней даты другого, данных в одной системе летосчисления, можно вычислить число суток, прошедших между этими событиями. При этом необходимо учитывать число високосных годов; при больших промежутках времени вычисления могут представить некоторые неудобства и дать неуверенность в результатах. Поэтому задача о числе суток, прошедших между двумя заданными датами в астрономии (например, при исследовании переменных звезд), удобнее решается с помощью юлианского периода, или юлианских дней. Так называются дни, считаемые непрерывно с 1 января 4713 г. до н.э. Началом каждого юлианского дня считается средний гринвичский полдень. В астрономических ежегодниках или в специальных таблицах даются целые числа юлианских дней, прошедших с начала счета до среднего гринвичского полудня определенной даты. Например, средний гринвичский полдень 10 января 1966 г. в юлианских днях выразится числом 2439 136, а средняя гринвичская полночь этой же даты – числом 2439 135,5. Начало счета юлианских дней – условное и предложено в XVI в. н.э. Скалигером, как начало большого периода в 7980 лет, являющегося произведением трех меньших периодов: 1) периода в 28 лет, через который повторяется распределение дней семидневной недели по дням года; 2) периода в 19 лет (метонов цикл); 3) периода в 15 лет, употреблявшегося в римской налоговой системе. Скалигер, исходя из принятых в то время номеров лет в этих трех периодах, рассчитал, что первые номера всех трех циклов приходились на 1 января 4713 г. до н.э. Период в 7980 лет Скалигер назвал «юлианским» в честь своего отца Юлия.

§ 27. Линия перемены даты

При счете времени календарными сутками необходимо условиться, где (на каком меридиане) начинается новая дата (число месяца). По международному соглашению линия перемены даты (демаркационная линия) проходит в большей своей части по меридиану, отстоящему от гринвичского на 180°, отступая от него к западу – у островов Врангеля и Алеутских, к востоку – у оконечности Азии, островов Фиджи, Самоа, Тонгатабу, Кермадек и Чатам. Необходимость установления линии перемены даты вызвана следующими соображениями. При кругосветном путешествии с запада на восток путешественник проходит пункты, где часы, идущие по местному (или поясному) времени, показывают все большее время по сравнению с местным (поясным) временем пункта отправления путешественника. Постепенно переводя стрелки своих часов вперед, к концу кругосветного путешествия путешественник насчитывает одни лишние сутки. И наоборот, при кругосветном путешествии с востока на запад – одни сутки теряются. Во избежание связанных с этим ошибок в счете дней и установлена линия перемены даты. К западу от линии перемены даты число месяца всегда на единицу больше, чем к востоку от нее. Поэтому после пересечения этой линии с запада на восток необходимо уменьшить календарное число, а после пересечения ее с востока на запад, наоборот, увеличить на единицу. Например, если корабль пересекает демаркационную линию 8 ноября, идя с запада на восток, то на корабле дата в полночь, следующую после пересечения этой линии, не меняется, т. е. два дня подряд датируются как 8 ноября. И наоборот, если корабль пересекает эту линию 8 ноября, идя с востока на запад, то в полночь, следующую после перехода через нее, дата меняется сразу на 10 ноября, а дня с названием 9 ноября на корабле не будет. Соблюдение этого правила исключает ошибку в счете дней, впервые допущенную участниками первой кругосветной экспедиции Магеллана в XVI в., когда они, вернувшись на родину, обнаружили, что разошлись в счете дней и чисел месяца с жителями, остававшимися на месте, ровно на одни сутки.

§ 28. Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников. Сферическим треугольником называется фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис. 15).

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника. Эти углы измеряются плоскими углами при вершинах треугольника между касательными к его сторонам. Обычно рассматриваются треугольники, углы и стороны которых меньше 180°. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180°, но меньше 540°, а сумма сторон всегда меньше 360°. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180° называется сферическим избытком s , т.е. s = РA + РB + РC – 180°. Площадь сферического треугольника s равна , где R – радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник. Сферический треугольник, таким образом, отличается по своим свойствам от плоского, и применять к нему формулы тригонометрии на плоскости нельзя. Возьмем сферический треугольник АВС (рис. 15), образованный на сфере радиуса R и с центром в точке О. Из вершины А проведем касательные AD и АЕ к сторонам b и с до пересечения их с продолжениями радиусов ОС и 0В, лежащих в одной плоскости с соответствующей касательной. Соединив прямой точки пересечения D и Е, получим два плоских косоугольных треугольника ADE и ODE с общей стороной DE. Применяя к этим треугольникам теоремы элементарной геометрии, напишем: DE2 = OD2 + ОЕ2 – 2ODЧ ОЕ Ч cos a, DE2 = AD2 + АЕ2 – 2ADЧ АЕЧ cos A. Вычитанием второго равенства из первого получим:

2OD Ч ОЕЧ cos a = OD2 – AD2 + ОЕ2 – АЕ2 + 2AD Ч АЕ Ч cos A.(1.31)

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОАD следует: OD2 – AD2 = R2; OE2 – AE2 = R2; AD = R tg b ; АЕ = R tg с ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,(1.32)

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними. Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b: cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B. Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь: cos b (l – cos2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B. Заменив (1 – cos2 с) на sin2 с и сократив все на sin c, окончательно получим sin a cos В = sinc cos b – cos c sin b cos A,(1.33)

т.е. произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой стороне. Формула (1.33) называется формулой пяти элементов. Ее можно написать по аналогии и для произведений sin a cos С, sin b cos A, sin b cos С, sin с cos A и sin с cos В. Решим теперь равенство (1.32) относительно cos A : Возведя обе части последнего равенства в квадрат и вычтя их из 1, получим:

или

Раскрыв скобки и разделив обе части этого выражения на sin2 а, получим Полученное выражение совершенно симметрично относительно a, b и с, и заменяя A на В, а на b или A на С и а на с, напишем откуда

(1.34) или

т.е. синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов; или отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная. Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии. Мы ограничимся выводом одной только формулы для прямоугольного сферического треугольника. Положим А = 90°; тогда sin А = 1, cos A = 0, и из формулы (1.33) получим sin a cos В = sin с cos b. Разделив обе части этого равенства на sin b и заменив на на , согласно (1.34), будем иметь: ctg B = sin c ctg b или (1.35)

т.е. отношение тангенса одного катета прямоугольного сферического треугольника к тангенсу противолежащего угла равно синусу другого катета.

§ 29. Параллактический треугольник и преобразование координат

Параллактическим треугольником называется треугольник на небесной сфере, образованный пересечением небесного меридиана, вертикального круга и часового круга светила. Его вершинами являются полюс мира Р, зенит Z и светило М. Если светило М находится в западной половине небесной сферы (рис. 16), то сторона ZP

(дуга небесного меридиана) равна 90° – j , где j – широта места наблюдения; сторона ZM (дуга вертикального круга) равна зенитному расстоянию светила z = 90°

– h, где h – высота светила; сторона РМ (дуга часового круга) равна полярному расстоянию светила р = 90° – d , где d – склонение светила; угол PZM = 180° – А, где A – азимут светила; угол ZPM = t, т.е. часовому углу светила; угол PMZ = q называется параллактическим углом. Если светило находится в восточной половине небесной сферы (рис. 17), то значения сторон параллактического треугольника те же, что и в случае пребывания светила в западной половине, но значения углов при вершинах Z и Р иные, а именно: угол PZM = А – 180°, а угол ZPM = 360° – t . Вид параллактического треугольника для одного и того же светила зависит от широты места наблюдения j (от взаимного расположения Р и Z) и от момента наблюдения, т.е. от часового угла t. Применяя основные формулы сферической тригонометрии к параллактическому треугольнику (рис. 16) и считая исходными сторону РМ и угол t, получим cos (90° – d ) = cos (90° – j ) cos z + sin (90° – j ) sin z cos (180° – A), sin (90° – d ) sin t = sin z sin (180° – A), sin (90° – d ) cos t = sin (90°– j ) cos z – cos (90° – j ) sin z cos (180° – A) или (1.36)

Формулы (1.36) служат для вычисления склонения светила d и его часового угла t (а затем и прямого восхождения a = s – t) по измеренным (или известным) его зенитному расстоянию z и азимуту A в момент звездного времени s). Иными словами, они служат для перехода от горизонтальных координат светила к его экваториальным координатам. Если исходными считать сторону ZM = z и угол 180° – A, то основные формулы в применении к параллактическому треугольнику напишутся в следующем виде: cos z = cos (90° – j ) cos (90° – d ) + sin (90° – j ) sin (90° – d ) cos t, sin z sin (180° – A) = sin (90° – d ) sin t, sin z cos (180° – A) = sin (90° – j ) cos (90° – d ) – cos (90° – j ) sin (90°

– d ) cos t или