Текст книги "Введение в новую хронологию. Какой сейчас век?"

Автор книги: Глеб Носовский

Соавторы: Анатолий Фоменко
сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 41 страниц) [доступный отрывок для чтения: 15 страниц]

Из проведенных рассуждений следует практический вывод. А именно, мы вправе использовать, для части неба А , найденное значение в качестве систематической ошибки, содержащейся в звездном каталоге «Альмагеста». Сразу же возникает вопрос: насколько допустимо использование одного параметра, а именно γ _stat, и игнорирование другого параметра, а именно φ _stat ? Для ответа на него удобно перейти от параметризации ошибки с помощью величин γ и φ к параметризации ошибки через величины взаимно перпендикулярных наклонов γ и b . См. рис. 1.13. Здесь γ , как и прежде, означает ошибку в положении эклиптики, а b – ошибку в положении экватора. Нетрудно показать, что b приблизительно равняется φ/ γ. Здесь углы измеряются в радианах. Следовательно, если γ =20', а φ =10 градусов, то Ь =3'.

Преимущество параметров γ и b состоит в том, что они равноправным образом действуют на положение плоскости эклиптики. Вычисления показали, что b много меньше γ . Отметим, что в реальности b не превышает 5'. Отсюда следует, что основной вклад, с точностью до 20 %, в широтные невязки вносит составляющая γ . Именно учет этой составляющей и положен нами в схему датирования каталога. При этом мы получаем право использовать доверительные S ^γ _t интервалы только для величины γ _stat(t) , что упрощает вычисления.

Резюме

1) Для звезд из каталога «Альмагеста» нами обнаружена систематическая ошибка γ _stat(t) . Эта ошибка уверенно вычисляется для совокупностей звезд A и Zod А , содержащих большую часть северных и зодиакальных звезд каталога.

Эта ошибка может быть обнаружена методом наименьших квадратов.

Значение γ _stat(t) представляет собой угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году t при условии, что каталог составлен в году t . Для величины γ _stat(t) находится также доверительный интервал S ^γ _t , смысл которого следующий. Истинное значение γ _stat(t) лежит в этом интервале с вероятностью не меньше р . В нашей работе было принято значение р =0,998. Итогом является построение кривой γ _stat(t) и соответствующей доверительной полосы. См. рис. 1.19.

2) Проведенный статистический анализ позволяет утверждать, что гипотеза о том, что в каталоге "Альмагеста" присутствует единая систематическая ошибка, не может быть отвергнута. Именно доверительные области для найденных значений γ _stat(t) для всех рассмотренных совокупностей звезд, – как больших, так и малых, – имеют непустое пересечение, содержащее значения γ _stat(t) , определенные для совокупностей звезд А и ZodА.

3) Систематическая ошибка в частях неба В, D, N определяется с большой погрешностью, что не дает оснований выбирать звезды из этих частей неба для целей датировки.

4) Проведенный анализ подтвердил, что в совокупностях звезд А и Zod А после компенсации систематической ошибки более половины звезд оказываются измеренными с широтной невязкой менее 10'. Тем самым, выясняется, что претензии составителя каталога «Альмагеста» на точность в 10 минут состоятельны.

5) Ошибка  φ _stat(t) не является «единой» для всех созвездий и, таким образом, не может считаться систематической. Однако ее влияние на широтные невязки звезд много меньше влияния ошибки γ .

Рис. 1.13. Вращение небесной сферы можно задать при помощи двух углов

Рис. 1.14. Семь областей, выделяющихся на звездном небе «Альмагеста». Эти области характеризуются различной точностью измерений

Датировка каталога

Перейдем теперь к датировке каталога «Альмагеста». Проведенный анализ систематических ошибок позволили сделать вывод, что части неба А и Zod А каталога «Альмагеста» измерены наиболее точно. Поэтому для целей датировки нами были взяты звезды именно из части неба А . Однако путем только компенсации систематической ошибки датировать каталог невозможно. Для целей датировки необходимо знать, какие именно звезды составитель каталога измерял наиболее тщательно.

ГИПОТЕЗА 1. Наиболее тщательно измерялись ИМЕННЫЕ звезды. Таких звезд в части неба А и на ее границе имеется девять. Это – Арктур, Спика, Процион, Аселли, Превиндемиатрикс, Регул, Антарес, Лира (= Вега), Капелла. Одна из этих звезд – Превиндемиатрикс – из рассмотрения была исключена, так как наблюденные Птолемеем ее координаты неизвестны. См. детали в [328]. Отметим, что большинство из этих звезд находится в области неба Zod А.См. рис. 1.14. Это косвенно подтверждает сформулированную гипотезу. Именные звезды – это знаменитые, яркие звезды.

ГИПОТЕЗА 2. В момент измерения широтные ошибки всех именных звезд не превосходили 10'.

Если принять гипотезы 1 и 2, то их следствием станет следующий метод датировки звездного каталога.

Рассмотрим при каждом t доверительное множество St , найденное на этапе определения систематических ошибок. Найдем подмножество Et , содержащееся в St и обладающее следующим свойством. Если величина γ такова, что γ принадлежит Et , то при компенсации этой систематической ошибки широтные невязки выбранных именных звезд становятся меньше 10 минут. Тогда совокупность всех моментов времени t , таких, что подмножество Et не пусто, дает нам все возможные даты составления каталога. Тем самым, мы находим интервал возможных датировок каталога. Рис. 1.20 иллюстрирует данный метод.

Применение этого метода к каталогу "Альмагеста" показало, что интервал возможных датировок каталога следующий: от 600 года н. э. до 1300 года н. э. За пределами этого интервала времени каталог составлен быть не мог. В частности, КАТАЛОГ "АЛЬМАГЕСТА" НЕ МОГ БЫТЬ СОСТАВЛЕН ВО II ВЕКЕ Н. Э., КУДА ЕГО ОТНОСИТ СКАЛИГЕРОВСКАЯ ХРОНОЛОГИЯ.

При применении описанного метода возникает следующая проблема, которая уже частично затрагивалась. Систематическая ошибка, компенсация которой играет столь важную роль в нашем методе, была определена статистически по достаточно большой совокупности звезд (несколько сотен звезд, см. выше). Но сама дата составления каталога определялась по совокупности из восьми именных звезд. Вообще говоря, нельзя априори исключить случай, что координаты этих звезд измерялись отдельно, либо были взяты из более ранних наблюдений. Но тогда систематическая ошибка для этой совокупности именных звезд, – образующих хорошо заметный базис опорных точек на небе, – была бы в общем случае отлична от определенной выше, по массе всех звезд. Поэтому необходимо проверить, так ли это.

Рис. 1.15. График параметров, описывающих ошибку в определении положения эклиптики для области Zod А

Рис. 1.16. Армиллярная сфера, принадлежавшая Тихо Браге (1546–1601) в 1598 году. Взято из [546], с. 13

Именно, при каждом значении t необходимо рассмотреть совокупность широт данного набора именных звезд «Альмагеста» и затем необходимо наилучшим образом совместить их с соответствующими истинными широтами. Если при таком совмещении окажется, что систематическая ошибка для выделенного малого числа именных звезд (напомним, что в «Альмагесте» 12 именных звезд) совпадает с ошибкой, определенной по большому числу звезд (не именных), то это означает, что данные именные звезды принадлежат той же генеральной совокупности, что и все рассмотренные ранее звезды. Следовательно, они могут быть использованы для датировки.

Выделим те моменты времени t , когда максимальная широтная невязка по именным звездам будет менее 10 минут. Эти моменты времени также являются претендентами на дату составления каталога. Совершенно очевидно, что эта процедура может приводить лишь к расширению ранее найденного временного интервала 600—1300 годы н. э. Оказывается, – и это заранее не очевидно, – что расширения интервала времени не происходит.

13.5. Выводы

1) Восемь именных звезд из области А каталога «Альмагеста» имеют систематическую ошибку, близкую к найденной нами выше ошибке для всех звезд из части А .

2) При условии компенсации этой ошибки широтные невязки всех именных звезд "Альмагеста" из части А не превосходят 10 минут на интервале времени от 600 года н. э. до 1300 года н. э. Таким образом, каталог «Альмагеста» был составлен в интервале от 600 до 1300 годов н. э.

3) Не существует поворота небесной сферы, приводящего к не более чем 10-минутной широтной невязке именных звезд за пределами найденного нами интервала возможных датировок 600– 1300 годы н. э. Следовательно, за пределами интервала 600– 1300 годы н. э. каталог "Альмагеста" составлен быть не мог.

Обсудим теперь устойчивость нашего метода. Метод базировался на предположении, что систематические ошибки приводят к повороту звездной сферы как жесткого целого. Однако можно рассмотреть и ошибки, приводящие к деформации этой сферы. Такие ошибки возникают, например, если измерительные круги армиллярной сферы неидеальны, слегка искажены. Возникает законный вопрос. Могут ли такие искажения звездной сферы привести к смещению найденного нами интервала датировок 600—1300 годы н. э. до, например, 100 года н. э. или даже до 100 года до н. э.? Этот вопрос легко исследуется геометрически, и ответ на него следующий. Для того чтобы интервал возможных датировок "захватил" 100 год н. э., – не говоря уже о 100 годе до н. э., – необходимо допустить превращение звездной сферы в эллипсоид, главные полуоси которого отличаются друг от друга не менее чем на 4 %. Это – очень большое искажение, невозможное при конструировании астрономических инструментов.

Далее, естественно спросить, а что будет, если действительная точность звездного каталога "Альмагеста" составляет не 10 минут, а скажем 15 или 20 минут? Расчеты показали, что увеличение порога с 10 минут до 17 минут хотя и приводит к расширению интервала возможных датировок, но этот расширенный интервал по-прежнему не захватывает 100 год н. э. Скалигеровская дата составления каталога "Альмагеста" попадает в интервал возможных датировок лишь в предположении, что точность каталога была не 10 минут, а 18 минут или более. При этом, однако, интервал возможных датировок расширится от начала новой эры вплоть до наших дней, т. е. определить дату составления каталога не представится возможным.

Рис. 1.17. Общая схема армиллярной сферы

Рис. 1.18. Параметризация систематической ошибки с помощью двух углов

13.6. Звездные карты «Альмагеста»

Локализация всех звезд в «Альмагесте» дана относительно фигур созвездий, которые предполагаются нанесенными на небо. Пользуясь каталогом, астроном должен сначала найти на небе ту или иную фигуру созвездия, а затем, обратившись к каталогу, найти на небе звезду, описанную, например, такими словами: «Звезда в конце хвоста». В данном примере речь идет о современной Полярной звезде. Или, скажем, «Звезда выше правого колена» в Большой Медведице и т. п. Если человек, пользующийся каталогом, не имеет перед собой звездной карты с нанесенными на нее фигурами, он не может найти интересующую его звезду. Конечно, пользуясь приведенными в каталоге численными значениями ее координат, он может при помощи приборов попытаться восстановить положение звезды на небе. Но это фактически означает повторение всего процесса измерения в обратном порядке, когда требуется по координатам найти звезду. Это процесс довольно длительный и непростой. Ясно, что каталог как раз и предназначался для БЫСТРОГО отыскания звезд на небе, а не для длительного «реставрационного процесса» путем обратных измерений.

Но в таком случае разные астрономы, пользующиеся каталогом, должны иметь абсолютно идентичные звездные карты, чтобы безошибочно восстановить правильное положение, например, "Звезды выше правого колена". Если на какой-то карте колено нарисовано по-другому, или просто грубо, неаккуратно, то легко ошибиться. Точно отмечать звезды по членам воображаемых животных, традиционно помнить их из века в век и переносить из страны в страну, не путая названий на ночном небе, где не видно было никаких ног, рук или хвостов, было возможно лишь для звезд первой и второй величины, то есть ярких звезд. Звезды третьей величины уже, естественно, путались, поскольку конец ноги или хвоста у воображаемого животного одни астрономы представляли себе правее или ниже, а другие – левее или выше. Ясно, что рисунки животных на картах играли роль криволинейной координатной сетки, позволяющей задавать положение звезд.

Рис. 1.19. Кривая, представляющая угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году tпри условии, что каталог составлен в году t

Во всяком случае, астроном, составляющий каталог с точностью до 10 минут, – как «Альмагест», – должен отдавать себе отчет в том, насколько важна идентичность фигур созвездий на разных экземплярах карты. Которые он будет рассылать своим ученикам или коллегам. Как указано на титульном листе латинского издания «Альмагеста», оно снабжено 48 звездными картами, гравированными А. Дюрером. До появления книгопечатания звездные карты указывали только самые яркие звезды, причем расположение звезд по фигуре созвездия менялось от карты к карте. Только после изобретения гравюры появилась возможность издать подробную карту звездного неба для изучения ее разными астрономами в разных странах. До изобретения в XV веке механического, штамповального воспроизведения рисунков, гравюр, не могло быть и речи о подобных звездных картах. Только массовый выпуск абсолютно идентичных экземпляров карты может оправдать громадный труд подробного изображения звезд с указанием звезд 3-й и 4-й величины, как это сделано в «Альмагесте». Даже если кто-нибудь и взялся бы за титанический труд изготовления единичного экземпляра такой карты в допечатную эпоху, она не могла бы остаться в веках, хотя бы потому, что единственный экземпляр карты быстро истлел бы, а воспроизведение его, – причем достаточно точное, чтобы картой можно было реально пользоваться, – означало бы повторение всей работы заново. Звездные карты А. Дюрера – первые по-настоящему подробные карты звездного неба. На рис. 1.21 и рис. 1.22 мы приводим карты А. Дюрера северного и южного полушарий. Для сравнения, на рис. 1.23 мы воспроизвели звездную карту из издания «Альмагеста» 1551 года. Любопытно, что эти карты отличаются друг от друга. Например, на картах, помещенных в издании 1551 года некоторые «античные» персонажи наряжены в средневековые костюмы.

Очевидно, что знаменитые звездные карты Дюрера, выгравированные им, – как гласит на них самих латинская надпись, – в 1515 году, попали в первое латинское издание "Альмагеста" в 1537 году уже через много лет после того, как они разошлись среди астрономов Запада в виде гравюр. Из истории техники известно, что гравюра как способ размножения рисунков стала впервые употребляться в Европе лишь с начала XV века и послужила тотчас поводом к изобретению типографского шрифта. Считается, что она возникла первоначально в Голландии и Фландрии и только потом перешла во Францию и Италию. Древнейшей из дошедших до нас датированных гравюр считается эстамп на дереве "Святой Христофор", помеченный 1423 годом. То есть, примерно за 15–20 лет до изобретения Гуттенбергом книгопечатания [141], т. 4, с. 221–222. Относительно того, что отпечатанная гравюра не была известна ранее, видно из самой истории ее возникновения. Прежде всего оттиски производились по тому же способу, что и печати современных учреждений, т. е. на дощечке углублялись резцом места, которые должны быть белыми. Намазав затем дощечку краской, прикладывали ее к бумаге и получали грубый отпечаток. Но такой способ существовал недолго. Уже в 1452 году золотых дел мастер Томазо Финигвера из Флоренции сделал следующий естественный шаг. Он вырезал изображение на серебряной пластинке, натер смесью масла и сажи и приложил к мокрой тряпке. Получилось достаточно хорошее изображение. Томазо Финигвера повторил этот процесс с листами влажной бумаги и убедился, что, возобновляя втирание краски в гравюру, можно получить с нее сколько угодно оттисков. Дальнейшее развитие этого способа размножения рисунков принадлежит известному итальянскому живописцу Мантенья (1431–1506) (Mantegna) [189], с. 756. Он является автором около 20 досок с изображениями мифологических, исторических и религиозных сцен.

Так началось издание гравюр, быстро перебросившееся в Германию.

Рис. 1.20. Последний шаг: нахождение интервала возможных датировок для исследуемого звездного каталога

Через несколько лет широко известным становится имя Альбрехта Дюрера (1471–1528), начавшего выпускать в Нюрнберге замечательные гравюры и на дереве и на металле. Они отличались тщательностью исполнения, великолепной штриховкой, учетом перспективы и пр. Возникла целая школа выдающихся художников-граверов.

Печатать отдельно гравюры звездных карт, – помеченных А. Дюрером 1515 годом, – было, конечно, легче, чем издать целую книгу с рисунками – "Альмагест". Сам Дюрер мог сделать сколько угодно оттисков, не прибегая к помощи профессиональных книгоиздателей. Сам он явно не занимался астрономией. Во всяком случае, звездные карты – его единственное астрономическое произведение. Но, не будучи астрономом-наблюдателем, Дюрер, выполняя заказ астронома, или издателя на гравировку звездных карт, допустил на них, с целью сохранения изящества фигур, несколько крупных неточностей. Укажем здесь только самые яркие примеры.

На карте Дюрера, то есть на ПЛОСКОМ рисунке, созвездие Жертвенника воспринимается очень красиво и естественно. Однако при переносе карты на реальное звездное небо, Жертвенник переворачивается вверх ногами и язык его огня вместо того, чтобы подниматься вверх, опускается вниз! Другими словами, этот факел горит "вниз головой". См. рис. 1.24. Возникает естественный вопрос: какой реальный астроном-наблюдатель представлял его себе в таком нелепом виде?

Далее, на карте Дюрера, то есть на ПЛОСКОМ рисунке, очень красиво и естественно выглядит созвездие крылатого Пегаса. См. рис. 1.21 и рис. 1.23. Однако при переносе карты на реальное небо, "от восхода до заката Пегас летит там вверх ногами, как подстреленная птица" [141], т. 4, с. 209. См. рис. 1.25. Также очевидно, что реальные древние астрономы никогда не изобразили бы это "крылатое созвездие" в таком нелепом виде – летящем вверх ногами на небесном своде. Это ляпсус Дюрера. Точно так же – вверх ногами – оказывается на реальном небе и созвездие Геркулеса после переноса на небо карты Дюрера.

Все эти, и некоторые другие, несообразности, появляющиеся на реальном небе, на небесной полусфере, мгновенно исчезают на плоском рисунке карты Дюрера. Пегас становится на ноги, Жертвенник горит пламенем вверх и т. п. Следовательно, совершенно ясно, что их расположение выбиралось Дюрером, исходя из художественных требований плоского рисунка. Ошибки Дюрера совершенно естественны. Имея перед собой плоский лист бумаги, а не реальный небесный свод, он рисовал, стремясь создать определенное художественное впечатление. Изготовление гравюр потребовало, конечно, огромного труда. Поэтому, даже если все эти нелепости и вызвали ужас автора-астронома, ему ничего не оставалось делать, как пустить в печать всю эту "живопись". Тем более, что Дюрер, рассматривавший эти карты лишь как художественное произведение, мог, не дожидаясь выхода "Альмагеста", сам начать распространять отпечатки.

Дюреровский "Пегас вверх ногами" явно беспокоил, например, Коперника. Издавая свой каталог, являющийся, как мы знаем (см. детали в книге [430]), фактически лишь небольшой модификацией каталога Птолемея из "Альмагеста", Коперник попытался "исправить" описание Пегаса. Не осмеливаясь самовольно перечертить звездные карты Дюрера, которые Коперник, вероятно, считал точным воспроизведением будто бы пропавших древних классических карт, он изменил только порядок строк в описании Пегаса, т. е. верхние строки сделал нижними и наоборот. А именно, если в "Альмагесте" "звезда во рту (на морде)" поставлена под номером 17 в созвездии Пегаса, то Коперник ставит ее на ПЕРВОЕ место. Наоборот, если в "Альмагесте" ПЕРВАЯ строка, под номером 1, это – "звезда в пупе, общая с головой Андромеды", то Коперник ставит эту звезду ПОСЛЕДНЕЙ в созвездии, то есть под номером 20. Однако такая "поправка" наивна и неудачна по той простой причине, что простое перенесение нижних строк списка наверх, а верхних – вниз исправило только саму таблицу, НО НИЧЕГО НЕ ИЗМЕНИЛО НА РЕАЛЬНОМ НЕБЕ, так как локализация звезд по членам фигуры осталась прежней.

Н. А. Морозов писал: "Попытка Коперника исправить вместо неправильно помещенной фигуры лишь порядок ее описания ее членов, конечно, очень наивна, но, тем не менее, она – факт: ни для одного из других созвездий он не сделал никаких изменений в нумерации "Альмагеста"" [141], т. 4, с. 225. Это – свидетельство подспудной борьбы здравого смысла астрономов XVI века с астрономической бессмысленностью некоторых фрагментов звездных карт Дюрера, освященных авторитетом Птолемея.

ПРИЗНАВАЯ АВТОРСТВО ДЮРЕРА ВО ВСЕХ НЕЛЕПОСТЯХ В РАСПОЛОЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ СОЗВЕЗДИЙ, МЫ ПОЛУЧАЕМ, ЧТО ВСЯКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СОЗВЕЗДИЙ, ПОВТОРЯЮЩЕЕ ОШИБКИ ДЮРЕРА, – ПОСЛЕДЮРЕРОВСКОЕ. Теперь вернемся к "Альмагесту".

Как мы уже неоднократно отмечали, в каталоге "Альмагеста" местоположение неярких звезд локализуется словесными описаниями типа "во рту Пегаса", "выше левого колена", "на роге Овна" и т. п. ИЗ ТЕКСТА "АЛЬМАГЕСТА" АБСОЛЮТНО ЧЕТКО СЛЕДУЕТ, ЧТО ЭТИ ОПИСАНИЯ ИМЕЮТ В ВИДУ ИМЕННО ПРИЛОЖЕННЫЕ К "АЛЬМАГЕСТУ" ЗВЕЗДНЫЕ КАРТЫ ДЮРЕРА. В самом деле, обратимся снова к созвездию Пегаса. В "Альмагесте" первой звездой этого созвездия названа "звезда в пупе", а последней – "звезда во рту". Поскольку в каталоге звезды перечисляются от севера к югу, следовательно, "звезда в пупе" – более северная. И действительно, ее широта в "Альмагесте" обозначена как 26 градусов. А "звезда во рту" – более южная. И действительно, ее широта в "Альмагесте" обозначена как 22 градуса 30 минут [332], с. 358. Таким образом, автор "Альмагеста" движется в правильном направлении – от севера к югу. И тем самым подтверждает своим текстом нелепое положение Пегаса вверх ногами на небе. Та же картина и по другим созвездиям. ТО ЕСТЬ АВТОР "АЛЬМАГЕСТА" ОПРЕДЕЛЕННО ССЫЛАЕТСЯ НА ПРИЛОЖЕННЫЕ К "АЛЬМАГЕСТУ" ЗВЕЗДНЫЕ КАРТЫ ДЮРЕРА.

Итак, составитель каталога и автор "Альмагеста" ссылается на карты, включающие в себя Дюреровы нелепости. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВСЕ ЭТИ СЛОВЕСНЫЕ ОПИСАНИЯ МОГЛИ ПОЯВИТЬСЯ В ТЕКСТЕ "АЛЬМАГЕСТА" ЛИШЬ ПОСЛЕ 1515 ГОДА. Итак, возникает гипотеза, что не только звездный каталог, но и некоторые другие, весьма существенные главы "Альмагеста" были в окончательном виде созданы или отредактированы только в XVI веке, незадолго до его напечатания.

Каждый из перечисленных выше пунктов может быть так или иначе, с той или иной степенью натяжки и изобретательности объяснен в рамках скалигеровской хронологии. Однако все вместе они составляют слишком тяжелый груз, чтобы можно было содержательно опровергать яркие следы принадлежности основной части "Альмагеста" к эпохе Возрождения или даже к эпохе XVI–XVII веков.

Н.А. Морозов писал: "Все это заставляет меня смотреть на Альмагест как на сводку всех астрономических знаний и наблюдений, накопившихся со времени установления в первые века нашей эры 12 созвездий зодиака до XVI века, причем вошедшие в нее отдельные сведения могут и должны принадлежать многим предшествовавшим векам. Задача серьезного исследователя этой книги и заключается именно в том, чтобы определить, какие из сообщений принадлежат тому или другому веку нашей эры" [141],с.218.

Вероятно, Гиппарх и Птолемей – реально существовавшие астрономы, однако время их жизни, по-видимому, нужно сдвинуть вверх примерно на 1000 или 1400 лет. Возможно, Гиппарх и Птолемей творили в эпоху XIII–XVI веков н. э. "Альмагест" был напечатан довольно быстро после своего окончательного завершения в XIV–XVI веках и, вероятно, редактировался в эпоху XVI–XVII веков. Хронологи скалигеровской школы ошиблись в датировке "Альмагеста" и отодвинули его вглубь веков. Может быть, это было сделано сознательно.

Аналогичные вопросы возникают и относительно других средневековых звездных каталогов, например, аль-Суфи. Отсылаем за деталями к нашей книге [430].