Текст книги "Игра в имитацию"

Автор книги: Эндрю Ходжес

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 37 страниц) [доступный отрывок для чтения: 14 страниц]

Гёделю удалось доказать теорему о неполноте арифметики, которая гласила: не каждая определенная математическая проблема доступна строгому решению. Своё исследование он начинал с аксиом Пеано для арифметики целых чисел, а позже расширил его, применив простую теорию типов таким образом, чтобы система представляла множества целых чисел, множества множеств целых чисел и так далее. И всё же его доказательство оставалось применимым к любой формальной математической системе, которая включала в себя теорию чисел, а тонкости аксиоматики не играли решающей роли.

Затем ему удалось доказать, что все операции, производимые в ходе доказательства, то есть правила логической дедукции, применяемые в «шахматной партии», сами по себе являются арифметическими. Из этого следует, что используемые при доказательстве операции вычисления и сравнения с целью выявить, корректно ли одна формула заменена другой, точно так же верность текущего хода в шахматной партии может быть просчитана при помощи вычисления и сравнения возможных позиций шахматных фигур. Фактически Гёделю удалось доказать, что формулы его системы могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом, целые числа могли представлять собой утверждения о них самих. В этом и заключалась основная идея его работы.

Затем он продолжил своё исследование и показал, как сами доказательства могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом он получил целую теорию арифметики, закодированную в самой арифметике. Здесь он использовал идею, что, если математика рассматривается лишь как игра знаков, значит в ней могут быть также задействованы и числовые знаки, то есть цифры. Гёделю удалось доказать, что свойство «доказуемости» ровно настолько же арифметическое, как и свойства квадрата или прямоугольника.

В результате такого кодирования стала возможной запись арифметических высказываний, ссылающихся на самих себя, как в случае, когда человек говорит «Я говорю неправду». Более того, Гёделю удалось построить одно особое суждение, которое обладало таким свойством и в сущности заключалось в фразе «Это высказывание нельзя доказать». Из этого следовало, что данное суждение не имело доказательства своей верности, поскольку в таком случае возникло бы противоречие. Однако по той же причине назвать его неверным тоже не представлялось возможности. Подобное высказывание не могло быть доказано или опровергнуто методом логической дедукции из аксиом, таким образом Гёдель доказал неполноту арифметики, которую Гильберт обозначил в одном из своих вопросов.

Тем не менее удивительным свойством особого высказывания Гёделя оставалось то, что в силу своей «недоказуемости», в некотором смысле оно было верным. Но чтобы назвать его верным, требовался наблюдатель, который мог бы взглянуть на систему со стороны. Работая в пределах системы аксиоматики, подобное представлялось бы невозможным.

Следующая особенность заключалась в том, что доказательство требовало назвать арифметику последовательной. И если бы арифметика в действительности оказалась бы непоследовательной, каждое высказывание автоматически стало бы «доказуемым». Таким образом Гёдель сузил область исследования поставленных вопросов, доказав, что формальная система арифметики может быть либо непоследовательной, либо неполной. Также он показал, что последовательность арифметики не может быть доказана в пределах собственной системы аксиоматики. Для подобного доказательства было необходимо установить, что существует некоторое суждение (например, 2 + 2 = 5), верность которого не могла быть доказана. Однако, Гёдель смог показать, что подобное суждение обладает тем же свойством, каким обладает фраза «Это высказывание нельзя доказать». Именно так ученому удалось расправиться с первыми двумя вопросами, поставленных перед наукой Гильбертом. Арифметика не имела доказательства своей последовательности, более того, она не могла быть одновременно последовательной и полной. Это поразительное заявление ознаменовало новый этап в исследованиях, поскольку Гильберт до этого момента надеялся, что его программа сможет свести все факты воедино. И большим огорчением оно стало для тех, кто стремился увидеть в математике нечто абсолютно совершенное и неопровержимое. Однако, вместе с этим открытием возник ряд новых вопросов.

Последние лекции курса, который читал Ньюман, были посвящены доказательству теоремы Гёделя, и таким образом Алан достиг границы известных науке знаний. И все же третий вопрос Гильберта оставался еще открытым, хотя теперь он рассматривался с точки зрения своей «доказуемости», а не «верности», как ранее. Полученные Гёделем результаты не исключали возможность существования некоторого метода определения, какие суждения являются доказуемыми, а какие – нет. Возможно, некоторые утверждения Гёделя следовало исключить. Но существовал ли определенный метод или, как выразился Ньюман, «механический процесс», который мог бы быть применен к математическому утверждению и в результате которого возник бы ответ, доказуемо ли данное утверждение?

С одной стороны, такое требование казалось почти невыполнимым и затрагивало самую суть всего, что было известно о математике с позиции креативного мышления. Так, в 1928 году Харди отнесся к этой идее с особым негодованием, заявив:

Разумеется, не существует такой теоремы, и это довольно удачное для нас обстоятельство, поскольку если бы она существовала, для решения всех математических проблем нам бы потребовался механический набор правил, и наша математическая деятельность на этом бы и завершилась.

Тем временем в науке оставалось множество теорем и суждений, которые веками не находили своего доказательства или опровержения. Такой оставалась известная под названием Великая или Последняя теорема Ферма, предполагающая невозможность разложить куб на два куба, биквадрат – на два биквадрата и, в общем случае, любую степень, большую двух, в сумму таких же степеней. Другим примером явилась гипотеза Гольдбаха, формулировка которой заключалась в том, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. Трудно было поверить, что не находившие многие годы своего решения теоремы могли в действительности найти его попросту исходя из некоего набора установленных правил. Более того, сложные проблемы, которые были решены, такие как теорема Гаусса о четырех квадратах, редко находили доказательство подобным путем применения «механического набора правил», и скорее задействовали творческое воображение, создавая новые абстрактные алгебраические идеи. Как заметил Харди, «только неискушенный непрофессионал может себе представить, что открытия в математике происходят по одному повороту рычага какой-то сверхъестественной машины».

С другой стороны, с развитием математики стало возникать все больше и больше проблем, так или иначе связанных с «механическим» методом. Харди мог полагать, что, разумеется, он не мог охватить всю математику, но после исследований Гёделя ничто уже не казалось самим собой разумеющимся. Вопрос требовал более глубокое его изучение.

Оказавшаяся столь содержательной фраза Ньюмана о «механическом процессе» никак не выходила у Алана из головы. Тем временем, весна 1935 года ознаменовала два других решительных шага вперед. Избрание в члены Совета Кингз-Колледжа было назначено на 16 марта. К тому времени одним из членом коллегии выборщиков стал Филип Холл, который усомнился в заслугах Алана, заявив, что повторное открытие Центральной предельной теоремы не могло показать весь скрытый потенциал молодого ученого. Однако, поддержка не заставила себя ждать. Кейнс, Пигу и ректор Джон Шеппард уже успели по достоинству оценить его достижения. Итак, Алан был первым выпускником своего курса, кто получил это звание среди остальных сорока шести членов Совета колледжа. В Шерборнской школе по этому поводу был объявлен короткий учебный день, и ученики быстро сочинили в честь Алана клерихью:

 
Должно быть,
Шарм Тьюринга
Помог ему стать
Профессором в молодых годах.
 

На тот момент Алану было лишь двадцать два года. Членство в Совете означало получение трехсот фунтов годовых в течение трех лет, причем срок этот обычно растягивался до шести лет, и никаких определенных обязанностей. Также это звание обеспечило Алану, который предпочел остаться в Кембридже, проживание в общежитии и питание, а также место за профессорским столом. В первый же вечер своего пребывания с новым званием в профессорской он обыграл ректора в рамми и получил от него несколько шиллингов. И все же время за ужином он предпочитал проводить как раньше – в компании своих старых приятелей: Дэвида Чамперноуна, Фреда Клейтона и Кеннета Харрисона. В общем, членство никак не изменило его привычек и привычный ход жизни, но вместе с тем подарило три года свободы и независимости, когда он мог выбрать себе занятие по вкусу, той свободы, которую ему сулил постоянный ежегодный доход. Между тем, к своему новому званию он также добавил должность куратора группы студентов в находящемся по соседству Тринити-Холле. И когда они заходили к нему в комнату в надежде найти там нечто экстравагантное, коим отличались многие выпускники Кингз-Колледжа, иногда их любопытство вознаграждалось и у камина появлялся плюшевый мишка Порги, которого Алан усаживал перед раскрытой книгой, подпертой линейкой, приговаривая: «Порги этим утром особенно прилежен».

Избрание в члены Совета совпало с тем, что сам Алан назвал своим «открытием мелкого масштаба», хотя это была его первая работа, принятая на публикацию. Она представляла собой вполне точный результат исследования теории групп, и уже 4 апреля Алан сообщил о нем Филипу Холлу (чья научная деятельность также касалась этой области), при этом заметив, что «подумывает заняться более серьезным исследованием в этой области». Вскоре работа была представлена Лондонскому математическому обществу и опубликована позднее в том же месяце.

Суть работы заключалась в небольших усовершенствованиях статьи фон Неймана, в которой он развил теорию «почти периодических функций», описав их с точки зрения их отношений к «группам». Случилось так, что позже в том же месяце у фон Неймана состоялась поездка в Кембридж. В его планы входило провести целое лето вдали от Принстона, и тем самым у него возникла возможность прочитать курс лекций в Кембриджском университете на тему «почти периодических функций». Несомненно Алан познакомился с ним в том же семестре после посещения курса лекций.

Но, несмотря на общий научный интерес, они были очень разными людьми. Когда Алан Тьюринг только родился, Яношу Нейману, старшему из трех сыновей в состоятельной еврейской семье венгерского адвоката, уже исполнилось восемь лет. У него не было возможности ходить в подготовительную школу, и к 1922 году, когда Алан еще только пускал бумажные кораблики в Хазельхерсте, восемнадцатилетний фон Нейман опубликовал свою первую работу. Янош из Будапешта вскоре стал Иоганном из Гёттингена и одним из учеников Гильберта, и некоторое время спустя после переселения в 1930-х годах в США на преподавательскую должность в Принстонском университете, его имя на английский манер изменилось на Джон, а английский стал его четвертым языком. Статья на тему «почти периодических функций» значилась пятьдесят второй в довольно внушительном общем списке исследований, начинающимся работами об аксиомах теории множеств и квантовой механике и заканчивающимся изучением топологических групп, которые представляли собой обоснование квантовой теории с точки зрения чистой математики, не считая многочисленных тем различных других исследований.

Но даже несмотря на то, что Джон фон Нейман был признан одной из величайших личностей в математике двадцатого века, он был известен не только своей интеллектуальной деятельностью. Большой любитель раздавать остальным указания, он отличался изощренным, колоритным чувством юмора, проявлял неподдельный интерес к машиностроению, а также обладал обширными познаниями в истории, не говоря уже о заработке в десять тысяч долларов вдобавок к основному личному доходу. Во многом он производил впечатление совершенно непохожее на то, которым обладал двадцатидвухлетний молодой математик в поношенном пиджаке спортивного кроя с проницательным умом, но слишком застенчивый, отчего порой в его голосе слышались дрожащие нотки, к тому же испытывающий определенные проблемы с одним языком, что уж тут говорить о четырех. Но для математических наук все эти вещи не имели особого значения, и, возможно, именно под впечатлением от встречи с выдающимся ученым Алан написал в письме домой от 24 мая: «… я подал заявку на поездку в Принстонский университет в следующем году».

Другой причиной тому мог послужить то обстоятельство, что его друг Морис Прайс, с которым он познакомился еще на вступительных экзаменах в 1929 году, а после долгое время поддерживал с ним связь. В сентябре планировал уехать в Принстонский университет, получив грант на обучение. В любом случае, становилось предельно очевидным, что Принстонский университет приобрел славу нового Геттингена для научного сообщества, и вскоре над Атлантикой установился нескончаемый поток выдающихся математиков и физиков. Массовая миграция ученых возникла вследствие смещения интеллектуального потенциала из Европы, и в частности Германии, в Америку. И теперь любой ученый, который хотел чего-то добиться в своих исследованиях, как Алан, не мог игнорировать сложившуюся ситуацию.

Алан продолжил работать над теорией групп на протяжении всего 1935 года. Также его не покидала мысль о работе в области квантовой механики, и поэтому он обратился к профессору физико-математических наук Ральфу Говарду Фаулеру, чтобы тот мог ему помочь в выборе подходящей проблемы для исследований. Фаулер в свою очередь предложил попытаться описать диэлектрическую постоянную воды, которая являлась его излюбленной темой для исследований. Однако, Алан не преуспел в этой области. В результате его работа над этой проблемой, а вместе с ней и над целой областью математической физики, которая привлекала внимание многих амбициозных молодых ученых 1930-х годов, была прекращена. Его внимание привлекло нечто другое, совершенно новая проблема, находящаяся в самом сердце математики, но что более важно – проблема, которая нашла отклик и в его сердце. Решение этой проблемы не требовало знаний, приобретенных по учебной программе Трайпоса, и затрагивало только всеобщие знания о природе вещей. Но такая, на первый взгляд, крайне заурядная проблема привела его к идее, впечатлившей многих.

Алан приобрел привычку каждый день устраивать забеги на большие расстояния вдоль реки и дальше, порой достигая городка Или, расположенного в двадцати километрах от Кембриджа. Но именно в деревне Гранчестер, как он признался позднее, когда он остановился прилечь на поле, к нему неожиданно пришло решение третьего вопроса Гильберта. Должно быть, это открытие произошло где-то в начале лета 1935 года. «При помощи некоторого механического процесса», – однажды заявил Ньюман. И после этой фразы Алан начал размышлять о машинах.

«Ведь, разумеется, человеческое тело представляет собой машину. Очень сложную машину с намного и намного более сложным устройством, чем любая другая, созданная человеком, но все-таки машина». Такое парадоксальное предположение однажды было высказано Бревстером в его книге. С одной стороны, тело является живым существом, точно не машиной. Но с другой стороны, если сместиться на более детальный уровень описания и рассмотреть его с точки зрения «маленьких живых кирпичиков», его по праву можно было назвать машиной.

Проблема Гильберта о разрешимости не затрагивала детерминизма физики, или химии, или биологических клеток. Вопрос касался более абстрактных вещей. Он представлял собой свойство заблаговременного решения без возможности возникновения чего-то нового. Операции должны были в таком случае представлять собой операции с символами, но не с объектами, обладающими массой или особым химическим составом.

Перед Аланом стояла задача абстрагировать это свойство и применить его в сфере математических преобразований символов. Люди лишь говорили, в частности Харди, о неких «механических правилах» для математиков, о вращении ручки какой-то «сверхъестественной машины», но никто так и не принялся за моделирование такой машины. И именно это он и намеревался сделать. И хотя на самом деле его сложно было назвать тем самым «неискушенным непрофессионалом», о котором говорил Харди, он принялся решать проблему в своей особой безыскусной манере, непоколебимой перед необъятностью и сложностью математики. Свою работу он начал с чистого листа и первым делом попытался представить себе в общих чертах машину, которая бы могла решить проблему Гильберта, а именно предоставить ответ, имеет ли доказательство или опровержение любое представленное ей математическое суждение.

Разумеется, уже существовали машины, которые производили операции с символами. Такой машиной была пишущая машинка. Еще в детстве Алан мечтал изобрести пишущую машинку. У миссис Тьюринг имелась печатная машинка, и он в первую очередь задал себе вопрос: что имеется в виду, когда пишущую машинку называют «механическим» устройством? Это означало лишь то, что ее ответ на каждое конкретное действие оператора, был строго определенным. Можно было заранее с предельной точностью сказать, как машина будет вести себя в случае любого непредвиденного обстоятельства. Но даже о скромном устройстве пишущей машинки можно было сказать больше. Ответ механизма должен зависеть от его текущего состояния или того, что сам Алан назвал текущей конфигурацией машины. Так, например, пишущая машинка обладает конфигурацией «нижнего регистра» и конфигурацией «верхнего регистра». Эту идею Алану удалось облечь в более общую и абстрактную форму. Его интересовали такие машины, которые в любой момент времени могли находиться в одной из конечного числа возможных «конфигураций». Таким образом, как и в случае с клавиатурой пишущей машинки, при условии существования конечного числа операций, производимых машиной, появлялась возможность дать полную оценку ее образу действий, которая не может быть изменена.

Тем не менее, пишущая машинка обладала еще одним свойством. Ее каретка могла передвигаться, эти перемещения соотносились с листом бумаги, и печать символов происходила независимо от его положения на странице. Алан включил и эту идею тоже в свое представление машины более общего вида. Она должна была обладать «заложенными» конфигурациями и возможностью перемещать свою позицию на линии печати. Действие машины не зависело от своей позиции.

Не принимая во внимание остальные ненужные детали вроде полей, контроля за линией печати и другие, эти основные идеи давали достаточное представление об устройстве пишущей машинки. Ограниченное количество возможных конфигураций и позиций, и то, каким образом клавиша знака соотносилась с печатным символом, клавиша переключения регистра – смену положения от «нижнего» к «верхнему» регистру, а также клавиша пробела и функция возврата каретки на одну позицию назад. Все эти функции являлись наиболее важными для устройства машинки. Если бы любой инженер получил подобное описание функций устройства, в результате у него получилась бы типичная пишущая машинка, не учитывая ее цвет, вес, форму и другие признаки.

Но пишущая машинка обладала слишком ограниченным набором функций, чтобы служить моделью. Несомненно, она оперировала символами, но могла лишь записывать их, а также требовала присутствия машиниста, отвечающего за выбор символов и изменения конфигураций и позиций устройства, по одному за раз. Так какой же, задавался вопросом Алан Тьюринг, была бы машина наиболее общего вида, которая могла оперировать символами? Чтобы быть машиной, она должна обладать свойством пишущей машинки, иметь заданное количество конфигураций и четко определенное действие, закрепленное за каждой из них. И при этом она должна была иметь возможность выполнять намного больше. Таким образом, он представил в своем воображении машины, которые по сути представляли собой более мощные пишущие машинки.

Для простоты описания он представил машины, имеющие лишь одну рабочую строку. Это было лишь технической особенностью устройства, которая позволяла не учитывать наличие полей и контроля линии письма. Между тем оставалось важным, чтобы количество поступаемой бумаги было неограниченным в обе стороны. В представлении Алана каретка его супер-пишущей машинки могла перемещаться на неограниченное количество позиций вправо и влево. Для большей определенности он представил бумагу в виде ленты, разделенной на ячейки таким образом, чтобы в каждую ячейку мог записан один символ. Так машины Тьюринга обладали конечным количеством действий, при этом сохраняя возможность работать на неограниченном пространстве.

Следующей необходимой функцией для машины была возможность считывать информацию или, по словам самого Алана, «сканировать» ячейку ленты, на которой остановилось считывающее устройство. Также она должна была обладать функцией не только записи символов, но и уметь их стирать. При этом она могла переместиться только на одну ячейку за раз. В таком случае какие действия оставались для машиниста пишущей машинки? Алан действительно отметил в своей работе возможность того, что он сам называл «машинами выбора», в которых внешний оператор должен принимать решения в определенных моментах работы устройства. Вместе с тем целью его работы было создание именно автоматических машин, для работы которых не потребуется вмешательство человека. С самого начала он хотел всесторонне изучить то, что Харди называл «сверхъестественной машиной», – механический процесс, который смог бы решить третью проблему Гильберта путем считывания предоставленного математического суждения, и в конечном результате записывая решение: имеет ли оно доказательство или нет. Существенной идеей для подобного устройства оставалась возможность производить решение без вмешательства человеческого суждения, воображения или интеллекта.

Любая «автоматическая машина» должна была работать сама по себе, производя считывание и запись информации, перемещаясь вперед и назад, в соответствии с тем, как она была задумана. На каждом этапе ее работы действия должны быть строго определены текущей конфигурацией и считанным символом. Для большей точности конструкция машины должна была уметь определять свое действие в случае каждой комбинации конфигурации и считанного символа:

записать новый (заданный) символ в пустую ячейку, или оставить уже записанный символ в неизменном виде, или стереть символ и оставить ячейку пустой;

остаться в прежней конфигурации или сменить ее на другую (заданную) конфигурацию;

переместиться на ячейку влево, или вправо, или остаться в текущей позиции.

Если всю эту информацию, определяющую действия машины, записать, получится «таблица переходов», имеющая конечное количество действий. Такая таблица может полностью описать работу машины, и независимо от того, была ли машина сконструирована или нет, такая таблица могла представить всю необходимую информацию о ее работе. С абстрактной точки зрения, именно таблица и являлась самой машиной.

С изменениями, вносимыми в таблицу, изменялось бы и поведение самой машины. Бесконечное множество таблиц соответствовало бы бесконечному множеству возможных машин. Алану удалось воплотить неясную идею «определенного метода» или «механического процесса» в чем-то более точном – «таблице переходов». Теперь ему оставалось ответить на один очень конкретный вопрос: может ли одна из таких машин, одна из таких таблиц произвести решение вопроса, который поставил Гильберт?

Рассмотрим пример подобной машины. Приведенная ниже «таблица переходов» полностью описывает машину Тьюринга с функцией счетной машины. Начиная с позиции сканирующего устройства слева от двух групп единиц, разделенных одной пустой ячейкой, машина просуммирует две группы и остановится. Таким образом, это действие изменит заданное состояние ленты.

В этом случае машина должна заполнить пустую ячейку и стереть последнюю единицу. Следовательно, в машине должны быть заложены четыре конфигурации. В первой конфигурации головка считывающего устройства движется по ленте, пока не обнаружить первую группу единиц. Когда она начнет считывать первую группу, машина меняет свою конфигурацию на вторую. Пустая ячейка служит сигналом изменения конфигурации на третью, в которой считывающее устройство движется по второй группе, пока не обнаружит другую пустую ячейку, что послужит сигналом развернуться и войти в четвертую и последнюю конфигурацию, чтобы стереть последнюю единицу и остановиться на текущей позиции.

Полная таблица, описывающая это действие, будет выглядеть следующим образом:

Просканированный символ

Но даже такая простая машина, описанная в примере выше, могла выполнять не только суммирование. Такая машина могла производить действие распознавания, например, «найти первый символ справа». Машина с более сложной программой могла производить умножение, повторяя действие копирования одной группы единиц, при этом стирая по одной единице из другой группы, и распознавая, когда необходимо прекратить производить данные действия. Такая машина также производить действие принятия решений, например, она могла решить, является ли число простым или составным, делится ли оно на другое заданное число без остатка. Совершенно очевидно, что этот принцип мог быть использован самыми различными способами, чтобы представить вычисления в механистическом виде. Оставался неясным только один вопрос: могла ли подобная машина решить третью проблему Гильберта?

Проблема казалась слишком сложной, чтобы попытаться решить ее, записав таблицу определенных действий для ее решения. И все же существовал один метод, который позволял довольно изворотливо подойти к решению вопроса. Тогда Алан стал думать о «вычислимых числах». Основная идея заключалась в том, что любое «действительное число» могло быть вычислено одной из его машин. К примеру, можно было создать машину, чтобы вычислить разложение на десятичные дроби числа π. Для этого потребовалось лишь записать ряд действий по сложению, умножению, копированию, и так далее. В случае бесконечного десятичного ряда, машина продолжала бы непрерывно работать и потребовалось бы неограниченное количество ячеек на ее ленте. Однако устройство могло высчитывать каждый десятичный разряд за определенное количество времени, при этом используя определенную длину рабочей ленты. А вся информация о процессе могла быть записана в таблицу переходов с определенным количеством записанных конфигураций.

Таким образом, он нашел способ представить такое число, как π, с бесконечным десятичным разложением в виде таблицы с конечным числом действий. То же самое можно было проделать и с квадратным корнем из трех, или с натуральным логарифмом семи, или с любым другим числом, вычисляемым по некоторому правилу. Подобные числа он назвал «вычислимыми числами».

Точнее говоря, сама машина не обладала бы никакими знаниями о десятичных числах или десятичных разрядах. Она могла лишь производить последовательность цифр. Последовательность, которая могла быть произведена одной из его машин, Алан назвал «вычислимой последовательностью». Тогда вычислимая бесконечная последовательность, перед которой стояла десятичная запятая, могла определить «вычислимое число» между 0 и 1. Это означало, что любое вычислимое число между 0 и 1 могло быть определено в виде таблицы с конечным числом действий. Для Алана оставалось важным, чтобы вычислимые числа всегда были представлены в виде бесконечной последовательности цифр, даже если все цифры после определенного момента были нулями.

Теперь все эти таблицы с конечным числом действий можно было расположить в некотором роде по алфавитному порядку, начиная с самой простой и заканчивая наиболее большой и сложной. Их можно было представить в виде списка или посчитать; и это означало, что все вычислимые числа также можно было представить в виде списка. Разумеется, выполнить на практике подобное было достаточно сложно, но идея была довольно ясной: квадратный корень из трех в таком случае будет значиться 678-м в списке, а логарифм числа π – 9369-м. Такая мысль казалась потрясающей, поскольку в такой список могло войти любое число, полученное в результате выполнения арифметических действий, например, вычисления корня уравнения, или используя математические функции, например, синусы и логарифмы, – любое число, которое могло возникнуть в сфере вычислительной математики. И в тот самый момент, когда он пришел к этой мысли, он узнал ответ на третий вопрос Гильберта. Возможно, именно это он неожиданно понял, остановившись отдохнуть на лугу в Гранчестере. И полученному ответу он был обязан прекрасному математическому устройству, которое все это время ожидало своего часа.

Всего полвека назад, кантор пришел к мысли, что можно поместить все дроби – все рациональные числа – в единый список. Наивно было полагать, что дробей существовало больше, чем целых чисел. Но Кантор смог доказать, что в узком смысле это предположение было неверным, поскольку все они могли быть подсчитаны и помещены в список с алфавитным порядком. Не принимая во внимание дроби с сокращающимся множителем, список всех рациональных чисел между 0 и 1 начинался бы следующим образом:

1/2 1/3 1/4 2/3 1/5 1/6 2/5 3/4 1/7 3/5 1/8 2/7 4/5 1/9 3/7 1/10…

Но Кантор не остановился на достигнутом и изобрел особый математический трюк, который получил название «диагональный метод Кантора» и мог быть использован в качестве доказательства существования иррациональных чисел. Для этого рациональные числа представлялись в виде бесконечных разложений десятичной дроби, и соответственно список всех подобных чисел между 0 и 1 начинался бы следующим образом:

5000000000000000000.…

3333333333333333333.…

2500000000000000000.…

6666666666666666666.…

2000000000000000000.…

1666666666666666666.…

4000000000000000000.…

7500000000000000000.…

1428571428571428571.…

6000000000000000000.…

1250000000000000000.…

2857142857142857142.…

8000000000000000000.…

1111111111111111111.…

4285714285714285714.…

1000000000000000000.…

……

……

Суть математической уловки Кантора состояла в том, чтобы рассмотреть диагональное число, начинающееся

5306060020040180.…

а затем изменить каждую его цифру, например прибавив к каждой по единице, за исключением изменения 9 на 0. В таком случае бесконечный десятичный ряд будет начинаться следующим образом: