Текст книги "Игра в имитацию"

Автор книги: Эндрю Ходжес

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 37 страниц) [доступный отрывок для чтения: 14 страниц]

Возможно, его депрессия стала результатом его научного успеха: работа над статьей «О вычислимых числах» была для него чем-то вроде романа, который подошел к концу. У него появилась проблема профессионального «выгорания». Неужели его работа ни к чему не вела? Да, ему удалось создать нечто стоящее, но ради чего? Мудрецы из пьесы Бернарда Шоу могли довольствоваться лишь истиной как самоцелью, но Алану этого было недостаточно. В действительности он видел свои цели в другом. «Что касается вопроса, почему нам тогда дано тело, почему мы не можем жить, как свободные духи, и таким же образом взаимодействовать друг с другом, полагаю, что мы могли бы существовать подобным образом, но в таком случае не смогли бы ничего делать. Тело служит духу чем-то вроде инструментария.» Но что же способно было сделать его тело, не искажая при этом истину?

В период времени с января и вплоть до апреля 1937 года он был поглощен работой над статьей по лямбда-исчислению и еще над двумя по теории групп. В статье по теории математической логики Алан развивал некоторые идеи Клини. Первая статья по теории групп опиралась на исследование Рейнхольда Баера, немецкого специалиста по алгебре, состоявшего при Институте перспективных исследований, которое было завершено к 1935 году. Но другая статья по теории групп представляла собой новую точку отправления исследований Алана, идею для которой ему подсказал фон Нейман. В ней рассматривалась проблема, сформулированная бежавшим из Польши математиком еврейского происхождения Станиславом Уламом. Он поставил перед наукой вопрос: могут ли непрерывные группы быть аппроксимированы конечными группами, так же как сфера аппроксимируется полиэдром. С легкой руки фон Неймана проблема досталась Алану, который справился с задачей уже к апрелю и представил готовую статью на рассмотрение. Работа была выполнена довольно быстро, и хотя он доказал, что непрерывные группы не могут быть аппроксимированы подобным образом, результат работы был скорее отрицательным. К тому же, по его собственному признанию, он «не отнесся к поставленной задаче с такой же серьезностью, с какой занимался работами в области логики».

Тем временем перед ним возникла возможность остаться в Принстоне еще на один год. В связи с этим 22 февраля Алан написал письмо домой:

Вчера я отправился к Эйзенхартам на традиционное воскресное чаепитие, и они принялись меня убеждать остаться еще на один год. Миссис Эйзенхарт по большому счету приводила моральные и социологические причины, почему мне стоит продлить свое пребывание здесь. Сам декан намекнул, что стипендия Проктора с большой вероятностью достанется мне, если я подам на нее прошение (она составляет две тысячи долларов годовых). На это я заметил, что Кингз-Колледж, возможно, заинтересован в моем возвращении, но все же дал смутное обещание известить их, если передумаю. Все, кого я здесь знаю, уедут в этом году, и меня вовсе не прельщает перспектива провести здесь все лето. Мне бы хотелось узнать, что вы думаете по этому поводу. Полагаю, скорее всего, я вернусь обратно в Англию.

Декан Эйзенхарт был человеком старых нравов и во время своих лекций порой извинялся перед студентами за свое использование современной теории абстрактных групп, но все же человеком крайне добрым. Вместе со своей женой он прикладывал все усилия, чтобы скрасить научную жизнь студентов, и приглашал их к себе на чай. Несмотря на мнение родителей Алана по этому вопросу, Филипп Холл выслал ему список вакансий на должность лектора Кембриджского университета, и такая возможность для Алана была бы более предпочтительной. В сущности для него должность лектора означала постоянное проживание в Кембридже, что сам Алан считал единственным возможным решением его проблем в жизни, а также признание его научных достижений. В ответном письме от 4 апреля Алан писал:

Я собираюсь подать заявление на снискание должности, но при этом понимаю, как невероятно трудно мне будет ее получить.

Он также написал своей матери, которая в то время собиралась отправиться на паломничество в Палестину:

Мы с Морисом вместе решили подать заявления, хотя мне не кажется, что кто-нибудь из нас получит эту должность, но полагаю, что лучше начать заниматься этими вещами как можно раньше, чтобы быть на примете. Обычно я склонен избегать подобных вещей. Морис имеет гораздо лучшее представление о том, что нужно делать для собственного продвижения по карьерной лестнице. Он прикладывает невероятные усилия, чтобы завязать нужные знакомства с важными персонами.

Как он и предполагал, ему не удалось получить место в Кембриджском университете. Вскоре он получил письмо из Кингз-Колледжа от Ингама, который убеждал его остаться в Принстоне на второй год, и это повлияло на окончательное решение Алана. В письме от 19 мая он написал:

Только недавно я наконец принял решение остаться здесь еще на один год, при этом я должен уехать обратно в Англию на большую часть лета в согласии с условиями предыдущей программы. Мне хотелось бы поблагодарить вас за предложенную помощь, но я не буду нуждаться в ней, поскольку если все случится так, как предполагает декан, я получу стипендию Проктора и больше не буду нуждаться, в обратном случае я буду вынужден вернуться обратно в Кембридж. Еще один год на таких же условиях будет настоящим расточительством с моей стороны. (…)

Мой корабль отплывает 23 июня. Возможно, перед своим отправлением мне удастся немного попутешествовать по стране, поскольку в следующем месяце здесь не намечается ничего интересного, к тому же это не самое удачное время года для работы. Хотя, скорее всего, я никуда не поеду, ведь я не привык путешествовать только ради перемены места.

Мне очень жаль, что в следующем году здесь не будет Мориса. Он скрашивал время моего пребывания здесь.

Очень рад узнать, что королевская семья противостоит попыткам кабинета министров замять всю ситуацию с браком Эдварда VIII.

Поскольку ему предстояло еще один год провести в Принстоне, он решил последовать примеру Мориса и получить ученую степень доктора наук. Для его диссертации Черч предложил тему, которая возникла в курсе его лекций и рассматривала результаты теоремы Гёделя. В марте Алан писал, что он «разрабатывает новые идеи в области математической логики. Пока что работа кажется не настолько удачной, как вычислимые числа, но результаты обнадеживают». Эти идеи в дальнейшем окажут существенное влияние на характер исследовательской деятельности Алана.

Что касается стипендии фонда Проктера, ему с легкостью удалось ее получить. Для начала вице-канцлер Кембриджского университета должен был предложить кандидатуру своего студента на снискание стипендии, и вскоре ему были высланы рекомендательные письма. Одно из них было отправлено самим фон Нейманом, который писал:

1 июня 1937 года

Сэр,

Мистер А. М. Тьюринг недавно уведомил меня о подаче заявления на получение стипендии Проктора (sic) для специалистов Кембриджского университета, приглашенных в Принстонский университет на 1937–1938 академический год. Мне бы хотелось оказать ему поддержку и сообщить вам, что я хорошо знаю мистера Тьюринга по предыдущим годам нашего знакомства: впервые я встретил его во время последнего семестра 1935 года, когда я занимал должность приглашенного профессора в Кембриджском университете, и на протяжении 1936–1937 учебного года, который мистер Тьюринг провел уже здесь, в Принстоне, я имел удовольствие следить за ходом его исследовательской деятельности. Он добился существенных результатов в областях математики, представляющих для меня особый интерес, а именно: теория почти периодический функций, а также теория непрерывных групп.

Я считаю его одним из наиболее достойных кандидатов на снискание стипендии Проктора и буду очень рад, если вы найдете возможным предоставить ее мистеру Тьюрингу.

С уважением, Джон фон Нейман.

Скорее всего, Джона фон Неймана попросили написать рекомендательное письмо, поскольку его имя имело большое значение для Принстонского университета. Но почему тогда он не упомянул в письме статью «О вычислимых числах», которая, разумеется, была более существенной работой, чем перечисленные им остальные? Неужели Алану не удалось осведомить его о существовании работы даже после того, как она была опубликована, а позднее и разослана другим ученым? Если бы Алан действительно был вхож в круги фон Неймана, первым делом ему стоило ознакомить его со статьей, чтобы привлечь заслуженное внимание к своей работе. Вполне вероятным результатом того, что остальные считали банальным отсутствием у него житейской хватки, могла стать ситуация, что он оказался попросту слишком робок, чтобы продвигать свою работу «важным персонам» в области математических наук.

Вопреки ожиданиям Алана и, возможно, к его небольшому сожалению, Морис Прайс все же получил должность лектора в Кембриджском университете, а вместе с ним и Рэй Литтлтон, который уже получил стипендию Проктера. К тому же Алану все же удалось отправиться в путешествие на некоторое время. Морис продал ему свой «форд» модели V8 1931 года выпуска, на котором летом 1936 года он проехал через весь континент, что входило в обязательную программу стипендии Британского содружества наций. Морис научил его водить машину, что оказалось задачей не из простых из-за врожденной неуклюжести Алана. Однажды во время уроков вождения он чуть не утопил машину, въехав в озеро Карнеги. Где-то 10 июня они вместе отправились в поездку в гости к Тьюрингам, на которой миссис Тьюринг долгое время настаивала в письмах сыну. Их пригласил двоюродный брат миссис Тьюринг, который в своё время покинул Ирландию. Джек Кроуфорд к тому времени уже приближался к своим семидесяти годам и после долгих лет службы пастором Уэйкфилда, штата Род-Айленд, ушел в отставку.

Поездка превзошла ожидания Алана, который изначально рассматривал ее как обязательство перед матерью, поскольку за время знакомство он проникся особой симпатией к Джеку Кроуфорду, в свое время проходившему обучение в Королевском научном колледже Дублина:

Я с наслаждением провел время в гостях у дяди Джека. На мой взгляд, он человек бывалый, но при этом очень энергичный. У него есть небольшая лаборатория с телескопом, который он собрал собственными руками. Он рассказал мне все что сам знает о шлифовке зеркал… Думаю, они с тетей Сибил могут посоревноваться для получения диплома в области семейных отношений. Тетя Мэри кажется одним из тех людей, которых хочется положить в карман и унести с собой. Она с особым гостеприимством и радушием приняла нас, но при этом показалась мне довольно застенчивым человеком. Она просто обожает дядю Джека.

Это были обычные люди, которым в большей мере удалось помочь Алану почувствовать уют родного дома, чем кому-либо из научного мира Принстонского университета. Не долго раздумывая, Кроуфорды разместили своих гостей в комнате с одной двуспальной кроватью.

В один момент все занавесы разом упали. Морис был поражен – он не имел ни малейшего подозрения. Алан тотчас же извинился и удалился. Но затем он вспыхнул, но не от стыда, а от гнева и на одном дыхании рассказал свою историю: как родители надолго оставляли его одного, уезжая на службу в Индию, и как непросто ему приходилось во время обучения в закрытых школах-пансионах. Все это уже было высказано раньше в романе «The Loom of Youth»:

Тогда Джеффри пришел в ярость, благодаря которой он стал непревзойденным спортсменом, и выпалил: «Несправедливо? Да, это слово как нельзя лучше подходит в этой ситуации, все это действительно несправедливо. Кто сделал меня таким, как если не сам Фернхерст? (…) И теперь тот самый Фернхерст, который сделал меня таким, разворачивается и говорит мне: “Ты не достоин учиться в этой школе!” – и мне придется уйти…»

Эта неловкая ситуация обнажила мучившую Алана жалость к самому себе, никогда ранее им не проявляемую, а также показала результат его собственного психоанализа, который, как он должен был понимать, был весьма поверхностным. Ему нужно было начать смотреть в свое будущее, не оборачиваясь назад, но что же его там ожидало? Морис принял его объяснение, и они больше не поднимали эту тему. И в день, когда Алану исполнилось двадцать пять лет, он поднялся на борт трансатлантического лайнера «Куинс Мэри» и уже 28 июня высадился в Саутгемптоне.

Вернувшись в Кембриджский университет на целых три месяца в мягкий климат родной Англии, Алан принялся за работу сразу над тремя проектами. Сначала ему нужно было внести некоторые изменения в статью «О вычислимых числах». Из Цюриха Бернайс прислал письмо, в котором довольно неприятным образом указал на несколько ошибок в его доказательстве, что проблема разрешимости Гильберта в своей точной формулировке не имеет решения, поэтому Алану пришлось писать примечание с исправлением для журнала Лондонского математического общества Proceedings. Он также оформил свое доказательство того, что его понятие «вычислимости» в точности соответствовало понятию Чёрча о «практической вычислимости». К тому моменту появилось и третье определение схожей идеи, известное под названием «рекурсивная функция». Такая функция позволяла определить математическую функцию в рамках более простых функций. Эта идея впервые появилась в работе Гёделя, и позже Клини развил ее в своем исследовании. Существование рекурсивной функции подразумевалось в доказательстве Гёделя неполноты арифметики. Когда Гэдель показал, что понятие доказательства с точки зрения шахматной игры является понятием таким же арифметическим, как нахождение наибольшего общего делителя, по существу он говорил о том, что эта работа может быть выполнена при помощи «определенного метода». Позже эта идея привела к понятию «рекурсивной функции». И как теперь оказалось, общая рекурсивная функция была точным эквивалентом вычислимой функции. Таким образом, лямбда-исчисление Чёрча и метод определения арифметических функций Гёделя оказались эквивалентны машине Тьюринга. Сам Гёдель позже признал устройство машины Тьюринга как наиболее удовлетворительное выражение «определенного метода». В то время совершенно удивительным и поразительным обстоятельством казалось то, что три независимых подхода к идее «определенного метода» сошлись на одном общем ее представлении.

Второй проект касался «новых идей в области логики» для его докторской диссертации. Основная идея работы состояла в том, чтобы понять, существует ли способ каким-либо образом ослабить силу результата теоремы Гёделя, согласно которому в арифметике всегда будут существовать верные, но недоказуемые утверждения. Этот вопрос не был новым, поскольку Россер, который теперь состоял при Корнеллском университете, опубликовал статью, в которой исследовал эту тему, в марте 1937 года. Тем не менее Алан планировал решить вопрос в более общем виде.

Его третий проект был наиболее амбициозным, поскольку он решил испытать свои силы и попытаться решить центральную проблему в теории чисел. Он уже проявлял интерес к этой теме, поскольку приобрел книгу Ингама с исследованиями в области теории чисел еще в далеком 1933 году. Однако, когда Ингам в 1937 году выслал ему несколько последних работ на эту тему, он решил самому попробовать решить проблему. Проект казался амбициозным главным образом потому, что над темой, которую он выбрал предметом своего исследования, безуспешно и многие годы бились одни из величайших умов в области чистой математики.

Хотя простые числа использовались повсеместно в математике, довольно легко можно было сформулировать всего в нескольких словах такие вопросы, которые привели бы любого ученого в замешательство. Один из таких вопросов был решен довольно скоро. Евклиду удалось доказать существование бесконечного множества простых чисел, и хотя в 1937 году число 2¹²⁷ – 1 = 170141183460469231731687303715884105727 было самым большим известным простым числом, так же было известно, что их ряд продолжался бесконечно. Другим свойством простых чисел, о котором было нетрудно догадаться, но которое было трудно доказать, стало особое распределение простых чисел: сначала почти каждое число является простым, но уже ближе к 100 простым будет только одно из четырех, ближе 1000 – одно из семи, а ближе к 10 000 000 000 – только одно из двадцати трех. Тому должна была быть какая-то причина.

Где-то в 1792 году пятнадцатилетний Гаусс заметил закономерность распределения простых чисел. Расстояние между простыми числами рядом с числом n было пропорционально количеству цифр в числе n. На протяжении всей своей жизни Гаусс, очевидно увлекавшийся вещами подобного рода, проводил свободные часы, определяя все простые числа до трех миллионов, каждый раз подтверждая свое наблюдение.

Вопрос оставался без внимания вплоть до 1859 года, когда Риман новую теоретическую систему взглядов, в которой можно было вновь рассмотреть эту проблему. Тогда он сделал открытие, что исчисление комплексных чисел могло связать фиксированные и дискретные простые числа с одной стороны и гладкие функции вроде логарифма – непрерывные и усредненные величины – с другой. Таким образом, он получил формулу распределения простых чисел, улучшенную версию логарифмической закономерности, которую заметил Гаусс. Но даже тогда формула не была совсем точной и не имела доказательства.

Формула Римана не принимала во внимание определенные условия, которые он тогда еще не мог оценить. И только в 1896 году было доказано, что его ошибочные условия недостаточны, чтобы повлиять на основной результат, который теперь носил название Теоремы о числе простых чисел. Теорема утверждала, что распределение простых чисел могло быть описано логарифмической функцией. Теперь это было не просто наблюдение, теорема доказывала, что подобное распределение происходило до бесконечности. Но на этом история не заканчивалась. Графики показывали, что простые числа поразительно точно отвечали логарифмической закономерности их распределения. Ошибочные условия оказались не просто недостаточными по сравнению с общей логарифмической схемой, они были мизерными. Но было ли такое наблюдение справедливо по отношению к всем простым числам бесконечного ряда, и если да, то чем это можно объяснить?

Работа Римана рассматривала этот вопрос в несколько иной форме. Он определил функцию комплексных чисел и назвал ее «дзета-функцией». Утверждение о том, что ошибочные условия оставались недостаточными, по существу было равнозначно утверждению, что дзета-функция Римана принимала значения нуля в точках, располагающихся на одной критической прямой. Это утверждение стало известно под названием гипотеза Римана. Сам Риман считал гипотезу с большой вероятностью верной, и его мнение разделяли многие другие ученые, но доказательство гипотезы так и не было найдено. В 1900 году Гильберт включил ее в свой список знаменитых проблем и порой называл ее «наиболее значимой в математике, безусловно самой значимой». Харди безуспешно бился над решением проблемы на протяжении тридцати лет.

Такова была суть центральной проблемы в теории чисел, но вместе с ней возникал целый ряд других вопросов, один из которых Алан выбрал для своего собственного исследования. Простое предположение о распределении простых чисел согласно логарифмической функции без внесенных Риманом улучшений в формулировку, казалось, переоценивает действительное количество целых чисел в некоторой степени. Здравый смысл, или «научная интуиция», основанная на миллионе примеров, подсказывала, что такая закономерность будет прослеживаться и дальше, с более и более крупными числами. Но уже в 1914 году Дж. И. Литлвуд, английский математик и коллега Харди, доказал обратное, объяснив это существованием некоторого предела, где простое предположение будет недооценивать кумулятивное множество простых чисел. Позже, в 1933 году кембриджский математик С. Скьюз показал, если гипотеза Римана верна, точка пересечения появится перед числом которое, как заметил Харди. Возможно, было самым большим числом, когда-либо использованным в математике для какой-либо конкретной цели. Здесь возникали вопросы: может ли такая огромная область быть уменьшена и можно ли найти такое число, которое бы стало исключением для гипотезы Римана? Эти вопросы и легли в основу исследования Алана.

Одним из знаменательных событий в его жизни стало знакомство с философом Людвигом Витгенштейном. Он мог видеть его и раньше на встречах Клуба Моральных Наук, и Витгенштейн (как и Бертран Рассел) получил экземпляр статьи «О вычислимых числах». Но именно летом 1937 года Алистер Уотсон, член совета Кингз-Колледжа, представил их друг другу, и позже они иногда встречались в ботаническом саду. Уотсон написал работу по основаниям математики для Клуба Моральных Наук, в которой использовал понятие машины Тьюринга. Витгенштейн, который изучал инженерное дело, всегда высоко ценил практичные устройства и мог по достоинству оценить то, как Алан представил такие неясные идеи в лаконичной форме. Как ни странно, крах программы Гильберта также означал конец тех взглядов, которые Витгенштейн выдвигал в своем эссе Tractatus Logico-Philosophicus, главной работе раннего периода своей философии, а именно, что любая ясно изложенная проблема может быть решена.

В том же Лондоне состоялась встреча с Джеймсом. На выходные они остановились в довольно убогой гостинице с полупансионом неподалеку от Рассел-сквер. Пару раз они сходили в кино, а также посмотрели пьесу Элмер Райс «Судный день», которая рассказывала о поджоге здания Рейхстага и последовавшем за ним фашистском перевороте. Алан наконец нашел утешение в компании человека, который не отвергал его «ухаживаний», хотя он прекрасно понимал, что Джеймс не вызывает у него глубоких чувств и даже не кажется ему физически привлекательным. Учитывая все это, их отношения не могли развиваться дальше. После проведенных с Аланом выходных у Джеймса практически не было другой такой возможности на протяжении долгих двенадцати лет. И хотя Алан проявлял куда больше любознательности в этом вопросе, его судьба сложилась похожим образом.

В Саутгемптоне Алан встретился со своим американским другом из Колледжа Градуейт, Уиллом Джонсом. Заранее они договорились отправиться в Америку вместе, и 22 сентября взошли на борт немецкого трансатлантического лайнера «Европа». Уилл Джонс провел все лето в Оксфордском университете, и именно он выбрал немецкое судно лишь потому, что его двигатели были самыми мощными на момент его создания, а значит, по скорости ему не было равных. Если бы Алан был антифашистом с принципиальными убеждениями, он бы не стал пользоваться услугами немецкой компании, но с другой стороны, если бы он был человеком традиционных взглядов, он бы не стал тратить время своего путешествия на изучение русского языка, наслаждаясь изумленными выражениями лиц немцев, когда он доставал свой учебник с изображенными на обложке серпом и молотом.

Еще находясь на борту, по прибытию Алан писал:

Я очень рад, что Уилл Джонс составил мне компанию в пути сюда. На борту не оказалось ни одного интересного лица, так что мы с Уиллом коротали время за философскими беседами и потратили почти полдня, пытаясь вычислить скорость судна.

Вернувшись в Принстонский университет, Алан проводил с Уиллом много времени за разговорами. Будучи специалистом в области философии с живым интересом к науке, Уилл Джонс также как и Алан возвышался над традиционным пониманием искусства и науки. На тот момент он был занят своей диссертацией, рассматривающей понятие категорического императива Канта. Но Алан теперь был менее заинтересован в философских, в отличие от научных, рассуждениях о природе свободной воли. Возможно, причины его противоречия по этому вопросу скрывались в его порыве мысли в материалистическом направлении. «Люди мне кажутся окрашенными в розовый цвет элементарных чувственных образов», – однажды шутливо заметил он. Но если бы все было так легко. Вполне символичным образом авторучка, подаренная ему миссис Морком еще в 1932 году, была утеряна где-то на палубе лайнера.

Уилл Джонс в свою очередь попросил Алана в общих чертах объяснить ему теорию чисел и остался вполне доволен, как тот справился со своей задачей, показав, как из самых простых аксиом могут быть выведены все свойства, что совсем не было похоже на скучные школьные занятия по математике. Алан никогда не говорил с Уиллом о терзавших его эмоциональных проблемах, возможно, он получал моральную поддержку в более общем смысле, поскольку Уилл мог по достоинству оценить воплощенную в нем моральную философию Дж. Мура и Кейнса.

Алан познакомился с Уиллом еще в прошлом году через общих знакомых, и один из друзей тоже вернулся в Принстонский университет. Это был Малкольм Макфэйл, физик из Канады, который косвенным образом принял участие в новом исследовании Алана:

Скорее всего, именно осенью 1937 года Тьюринг с тревогой осознал возможность военного конфликта с Германией. В то время он предположительно усердно трудился над своей известной диссертационной работой и тем не менее нашел время заняться криптоанализом со свойственной ему страстью. (…) мы много раз обсуждали эту тему. Он предположил, что слова могут быть заменены числами, указанными в официальном словаре кодов, так что сообщения будут передаваться в виде чисел, представленных в двоичной системе исчисления. Но чтобы предотвратить ситуацию, если в руки врага попадет словарь кодов и у него появится возможность расшифровать сообщение, он предложил умножить число в соответствии со специальным сообщением на секретное число с ужасно большим рядом цифр и передать полученный результат. Длина ряда цифр должна была отвечать условию, что у ста немцев, работающих по восемь часов в день за настольными счетными машинами, смогут расшифровать секретный множитель только через сто лет поиска!

Тьюрингу действительно удалось разработать электрическое устройство, выполняющее операцию умножения, и собрал его основную часть, чтобы проверить, будет ли оно выполнять поставленную перед ним задачу. Для этих целей ему потребовались релейные переключатели, которые не было возможности приобрести, и он собрал их сам. Факультет физики Принстонского университета содержал небольшую, но хорошо оснащенную механическую мастерскую для проведения практических работ его аспирантов, и мой незначительный вклад в этот проект заключался в том, что я передал Алану свой ключ от мастерской, что, возможно, противоречило всем правилам устава университета, и показал ему, как пользоваться токарным станком, дрелью, прессом и другими инструментами, не лишаясь собственных пальцев. Таким образом, он смог собрать и запустить релейные переключатели, и к нашему общему изумлению и восторгу, устройство действительно работало.

С точки зрения математики этот проект не был передовым, поскольку выполнял только операцию умножения. Но даже без применения передовых теоретических знаний оно подразумевало применение «скучной и элементарной» математики, о котором вовсе не было известно в 1937 году.

Прежде всего, представление чисел в двоичной системе исчисления могло показаться новшеством любому, кто занимался практическими вычислениями. Алан уже использовал двоичные числа в статье «О вычислимости чисел». Там их использование не подразумевало никакого особого смысла, только позволило представить все вычислимые числа в виде бесконечных последовательностей, состоящих из одних нулей и единиц. В устройстве-умножителе, однако, преимущество использования двоичных чисел было очевиднее: в таком случае таблица умножения упрощалась до нижеприведенного вида:

При использовании такой упрощенной таблицы, работа умножителя сводилась к операциям переноса и добавления символов.

Другим любопытным аспектом этого проекта стала его связь с элементарной логикой. Арифметические операции с нулями и единицами могли рассматриваться в рамках логики высказываний. Таким образом, упрощенная таблица умножения, к примеру, могла рассматриваться как эквивалент логической функции «И». Примем p и q за логические высказывания, тогда нижеприведенная «таблица истинности» покажет, при каких условиях высказывание “p И q” будет верным:

Вторая таблица была лишь интерпретацией первой. Все это должно было быть хорошо известно Алану, поскольку тема исчисления логических высказываний появлялась на первых страницах любой работы в области математической логики. Иногда она указывалась под названием «булева алгебра» в честь английского математика Джорджа Буля, который представил в виде формальной теории «законы мышления» в своем трактате, опубликованном в 1954 году. Вся двоичная арифметика могла быть выражена при помощи понятий булевой алгебры, используя логические операции «И», «ИЛИ» и «НЕ». Проблема, возникшая у Алана при конструировании умножителя, сводилась к использованию булевой алгебры, чтобы минимизировать количество необходимых для работы операций.

Устройство-множитель имело общую проблему в конструировании с машиной Тьюринга. Чтобы воплотить идею в виде работающего устройства, было необходимо найти определенный способ организации разных конфигураций машины. Эту задачу как раз и выполняли переключатели, поскольку основной смысл их работы заключался в том, что они могли находиться в одном из двух состояний: «включен» или «выключен», «0» или «1», «верно» или «ложно». Переключатели, которые он использовал в работе, работали на реле, и таким путем электричество впервые сыграло свою непосредственную роль в его желании связать логические идеи с работающим устройством. В работе использовалось обычное электромагнитное реле, которое было изобретено американским физиком Генри еще столетие тому назад. Принцип его работы был таким же как у электродвигателя: при подаче в обмотку реле электрического тока, порождающего магнитное поле, происходит перемещение ферромагнитного якоря реле. Но главная особенность электромагнитного реле состояла в том, что якорь реле могло замкнуть или разомкнуть механические электрические контакты, и последующее перемещение контактов коммутировало внешнюю электрическую цепь. Таким образом, электромагнитное реле выполняло задачу переключателя. Название «реле» укрепилось после использования в устройстве ранних телеграфных аппаратов, в которых переключатели позволяли усилить слабый сигнал.

В то время еще не было хорошо известно, что логические свойства комбинаций переключателей могли быть выражены в рамках белевой алгебры или двоичной арифметики, но любому логику не представляло труда понять эту идею. Задача Алана состояла в том, чтобы воплотить логическое устройство машины Тьюринга в виде сети релейных переключателей. Идея была такой: при введении числа в машину, предположительно путем настройки электрических токов к набору входных контактных зажимов, реле должны были разомкнуть и сомкнуть контакты, тем самым пропуская электрические токи к выходным контактным зажимам, в результате записывая зашифрованное число. На деле такое устройство не использовало рабочую ленту, но с точки зрения логики принцип работы был таким же. Машины Тьюринга все же нашли свое применение, поскольку основная часть его релейного множителя действительно работала.