Текст книги "Игра в имитацию"

Автор книги: Эндрю Ходжес

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 37 страниц) [доступный отрывок для чтения: 14 страниц]

К сожалению, на деле все обстояло не так просто. Рассел стремился определить множество с одним элементом при помощи идеи равенства, не используя при этом понятие вычисления. Тогда он смог бы определить число «один», как «множество всех множеств с одним элементом». Но уже в 1901 году Рассел заметил логические противоречия, возникающие при попытке использовать понятие «множества всех множеств».

Сложность заключалась в возможном возникновении ссылающихся на самих себя, внутренне противоречивых утверждений, например: «Это утверждение ложно». Подобная проблема возникла в теории множеств, которую разработал немецкий математик Георг Кантор. Рассел заметил, что аналогичный парадоксу Кантора возникает и в его теории типов. Тогда он выделил два вида «классов»: множества, которые не содержат сами себя в качестве подмножества, и множества, которые содержат сами себя в качестве подмножества. С точки зрения Рассела, «в обычном понимании класс не является членом самого себя; человечество, например, не является человеком». Но множество абстрактных понятий или множество всех множеств могут иметь подобное свойство. Получившемуся парадоксу Рассел попытался дать следующее объяснение:

Предположим, что существует множество всех собственных множеств, которые не содержат себя в качестве подмножества. Представим одно из таких множеств: является ли оно подмножеством самого себя? В случае, если оно является подмножеством самого себя, значит, оно относится к тем множествам, которые не содержат себя в качестве подмножества, то есть оно не является подмножеством себя. В случае, если оно не является подмножеством самого себя, значит, оно относится к тем множествам, которые не содержат себя в качестве подмножества, то есть оно является подмножеством себя. Таким образом, в каждом из двух предположений – что оно является и не является подмножеством самого себя – возникает противоречие относительно другого предположения. В этом и состоит суть парадокса.

Такой парадокс не поддавался решению при попытках понять его истинный смысл. Философы могли обсуждать парадокс сколько им было угодно, но все их обсуждения не относились к делу, которым занимались Фреге и Рассел. Вся эта теория была создана с целью вывести арифметические законы из наиболее простых логических допущений при помощи автоматического, не допускающего двойного толкования, деперсонализированного метода. Независимо от истинного смысла парадокса Рассела, он представлял собой лишь последовательность символов, которые, согласно установленным правилам игры, неумолимо ведут к внутреннему противоречию всей последовательности. В этом и заключалось главное бедствие. В любой чисто логической системе не существовало возможности для какого бы то ни было несоответствия. Если бы в результате логических рассуждений было выведено утверждение «2 + 2 = 5», за ним последовал бы вывод, что «4 = 5» и «0 = 1», а значит любое число было бы равно нулю и любое утверждение было бы тождественно «0 = 0» и таким образом являлось бы истинным. Поэтому в условиях подобной игры математика должна была представлять собой нечто, полностью лишенное внутренних противоречий, иначе она теряла свой смысл.

Десять лет ушло на попытки Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда устранить этот дефект. Существенная трудность заключалась в том, что внутренним противоречием обладала и попытка назвать любой набор объектов «множеством». Понятие требовало более точного определения. И хотя парадокс Рассела был не единственной проблемой, возникшей в теории типов, только ему была посвящена значительная часть совместной работы учёных «Principia Mathematica», в которой Рассел и Уайтхед стремились показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть обосновать логицизм. Для этого была введена иерархия различных видов множеств, которые были названы «типами». Формальные объекты этой иерархии разделяются на типы: объекты, множества объектов, множества множеств, множества множеств множеств и так далее. В рамках разработанной теории типов теперь было невозможно сформулировать понятие «множества всех множеств». Между тем, такой подход значительно усложнил теорию, сделав её на порядок более сложной, чем система счисления, принципы которой она и должна была подтвердить. Оставалось неясным, являлась ли теория типов единственным полем для разработки идей о множествах и числах, пока к 1930 году не были разработаны альтернативные системы, автором одной из которых являлся фон Нейман.

На первый взгляд безобидное требование доказательства полноты и последовательности математики открыло для научного сообщество настоящий ящик Пандоры, полный проблем. В одном смысле, математические суждения казались верными, как ничто другое; в другом, они представлялись не больше чем символами на бумаге, которые при попытках объяснить их смысл приводили к непостижимым разумом парадоксам.

Как и в саду Зазеркалья путь к самой сути математики вел в чащу замысловатой специальной терминологии. Подобное отсутствие какой бы то ни было связи между математическими символами и миром физических объектов очаровывало пытливый ум Алана. В конце предисловия к своей работе «Введение в математическую философию» Б. Рассел написал: «Здесь, однако, с точки зрения дальнейших исследований, как и везде, метод более важен, чем результаты, а метод не может быть объяснен в достаточной мере в рамках этой книги. Остается надеяться, что некоторые читатели заинтересуются настолько, чтобы продолжить изучение метода, которым математическая логика помогает прояснить традиционные проблемы философии». Таким образом, можно считать, что книга выполнила свое истинное предназначение с точки зрения автора, поскольку Алан всерьёз заинтересовался проблемой теории типов, а в более широком смысле столкнулся с вопросом, который волновал прокуратора Иудеи Понтия Пилата: «Что есть истина?».

Кеннет Харрисон был также знаком с некоторыми идеями Рассела, и они с Аланом могли провести несколько часов, обсуждая их. Однако, к неудовольствию Алана, его товарищ не мог не задаваться вопросом: «Но какая же польза от всего этого?». На что Алан, возможно, с радостным тоном в голосе отвечал, что, разумеется, никакой пользы в этом нет. И скорее всего, вскоре он нашел более увлечённых собеседников, поскольку осенью 1933 года он был приглашен на еженедельное вечернее заседание Клуба Моральных Наук, чтобы прочитать свою работу. Честь быть приглашенным на подобное заседание редко выпадала на долю кого-то из студентов, и уж тем более тех, кто не учился на факультете Моральных Наук, как раньше называли факультет философии и сопутствующих дисциплин в Кембридже. Подобная перспектива выступить перед лучшими специалистами в области философии могла вызвать некоторое беспокойство у Алана, тем не менее в письме к матери он сообщил об этом со своим привычным невозмутимым тоном:

26 ноября 1933 года

… мне предстоит представить свою работу на заседании Клуба Моральных Наук в эту пятницу. Работа некоторым образом связана с философией математики. Надеюсь, они узнают для себя много нового по этой теме.

В протоколе заседания Клуба Моральных Наук от 1 декабря 1933 года, в пятницу было отмечено:

Шестое заседание осеннего триместра было проведено в комнатах мистера Тьюринга в Кингз-Колледже. А.М. Тьюринг представил членам клуба свою работу под названием «Математика и логика». В ней он выдвинул свое предположение, что чисто логистическое представление математики не соответствует ее требованиям; и что математические суждения обладают множеством интерпретаций, и логистическое высказывание является лишь одной из них. После следовало обсуждение.

Р. Б. Брейтуэйт (подпись).

Ричард Брейтуэйт, выпускник философского факультета, являлся одним из молодых членов совета Кингз-Колледжа, и скорее всего именно по его рекомендации Алан получил приглашение на заседание клуба. Вне всяких сомнений к концу 1933 года Алан Тьюринг с головой погрузился в работу, пытаясь одновременно решить два вопроса чрезвычайной сложности. И в области квантовой физики, и в области чистой математики, задача состояла в том, чтобы установить связь между миром абстрактного представления и физическим миром, между символом и объектом.

Долгое время немецкие математики находились в самом центре мира научных исследований, как в области математики, так и в сферах остальных научных дисциплинах. Но уже к концу 1933 года от центра научного мира остались лишь руины, когда атмосфера в Геттингенском университете радикально изменилась. Здесь следует отметить, что Геттингенская математическая школа – это, в первую очередь, школа Гильберта. Его научные интересы охватывали практически всю математику: теорию чисел, алгебру, функциональный анализ, геометрию, логику. В каждой из этих областей он получил выдающиеся результаты. И именно школа Гильберта понесла при нацизме наибольшие потери. Джон фон Нейман был вынужден уехать в Америку, и после никогда оттуда не возвращался, другие математики прибыли в Кембридж. «Несколько выдающихся немецких ученых еврейского происхождения должны прибыть в Кембридж в этом году», – писал Алан в письме от 16 октября. – «По крайней мере двое из них точно будут числиться на факультете математики, а именно – Борн и Курант». Отсюда можно предположить, что он посещал курс лекций по квантовой механике, которые профессора Борн читал в том же семестре, или лекции по дифференциальным уравнениям, которые читал Курант в следующем семестре. Вскоре Борн переехал в Эдинбург, Шрёдингер обосновался в Оксфорде, но для большинства ученых Америка все же представлялась более доброжелательной и открытой для научных эмигрантов страной, нежели чем Великобритания. Новый Институт перспективных исследований, тесно сотрудничающий с Принстонским университетом во многих совместных проектах, взял на работу ряд учёных, бежавших из Европы от угрозы нацизма. О переезде Альберта Эйнштейна в Принстон французский физик Поль Ланжевен однажды сказал: «Это равносильно тому, что Папа Римский переехал из Ватикана в Новый Свет. Папа Римский мира физики переехал, и теперь Соединенные Штаты станут центром изучения естественных наук».

Но внимание нацистского бюрократического аппарата привлекло не только еврейское происхождение некоторых ученых, но и сами научные идеи, даже в области философии математики:

Но гораздо большим удивлением для англичан стал сам факт того, что государство или политическая партия могли интересоваться абстрактными идеями.

Между тем для читателей «Нью стейтсмен» враждебные чувства Гитлера, выраженные в Версальском мирном договоре, только подтвердили то, о чем всегда говорили Кейнс и Дикинсон. Сложность состояла в том, что учтивость по отношению к Германии теперь могла расцениваться как уступка её бесчеловечному режиму. Однако, консерваторы рассматривали новую Германию с точки зрения соотношения сил государств, и в этой перспективе она представляла новую потенциальную угрозу Великобритании, но вместе с тем и сильный «оплот», заслоняющий страну перед мощью Советского Союза. Неоднозначность сложившейся ситуации привела к возрождению Кембриджского Антивоенного движения в ноябре 1933 года. В связи с этим Алан писал:

12 ноября 1933 года

Многое произошло на этой неделе. В кинотеатре Тиволи должен был состояться показ фильма «Our Fighting

Navy», который по сути представляет собой явную пропаганду милитаризма. В ответ на это Антивоенное движение организовало протест. Организация оказалась не так уж хороша, и в итоге нам удалось собрать лишь 400 подписей, из которых 60 или чуть больше были собраны среди студентов Кингз-Колледжа. В конечном счете фильм все же изъяли из проката, но скорее из-за шумихи, которую милитаристы подняли у здания кинотеатра, когда они узнали о нашем протесте и почему-то вбили себе в головы, что мы собираемся закрыть кинотеатр.

Следующий его комментарий: «Вчера здесь состоялась вполне успешная антивоенная демонстрация», – скорее всего, относился к церемонии торжественного возложения венков в День перемирия, которая в этом году в большей степени носила характер политического заявления. Но не все разделяли мнение сторонников пацифизма. Так, один из друзей Алана, Джеймс Аткинс стал называть себя пацифистом, в то время как сам Алан не вошел в их ряды. Тем не менее, предположение о том, что Первая мировая война была устроена на скорую руку в личных интересах производителей вооружения, стало крепнуть в умах многих людей. Возможно, Алан разделял всеобщее ощущение, что прославление военной техники может приблизить начало второй мировой войны, и этого нельзя допускать.

На данном этапе большое влияние на Алана вновь оказал Эддингтон, который сам был квакером и сторонником интернационализма. И на этот раз уже не своими рассуждениями о «пустословии» квантовой механики, а курсом лекций по методологии науки, который Алан посещал в осеннем семестре 1933 года. В своих лекциях Эддингтон затронул тему тенденции распределения научных измерений при нанесении на граф, который в техническом смысле называли «нормальной» кривой. Шла ли речь о размахе крыльев плодовых мушек рода Drosophilae или о размере выигрышей Альфреда Беутелла в казино Монте-Карло, показания будут стремиться к центральному значению и определенным образом исчезать по обеим сторонам от него. В теории вероятности и статистике объяснение этого феномена стало проблемой фундаментальной важности. Эддингтон выдвинул свои предположения, но они не убедили юного Алана, от природы обладающего изрядной долей скептицизма, и тогда он решил предоставить собственное научное объяснение, основанное на точном результате, которое бы полностью отвечало строгим стандартам чистой математики.

К концу февраля 1934 года ему это удалось. Его работа не претендовала на звание научного открытия, тем не менее она принесла первые результаты в сфере математических исследований. И весьма предсказуемо для работы Алана в ней была найдена та связь чистой математики с физическим миром. Однако, когда он решил показать результаты своей работы, ему сообщили, что результат уже был получен в 1922 году неким Линдебергом и носил название Центральной предельной теоремы. Привыкшему работать независимо, Алану даже в голову не пришло сначала узнать, существуют ли уже результаты подобной работы. Вместе с тем, учитывая независимых характер его исследования и полноту приведенного объяснения, ему посоветовали выдвинуть работу в качестве магистерской диссертации.

Весной Алан вместе с компанией студентов из Кембриджа отправился кататься на лыжах в австрийских Альпах в период с 16 марта по 3 апреля. Поездка была спланирована, чтобы укрепить связь с Франкфуртским университетом, который предоставил участникам свою лыжную хижину неподалеку от австрийской коммуны Лех, расположенной на границе с Германией. Дух сотрудничества между университетами был подпорчен тем обстоятельством, что немецкий лыжный тренер оказался горячим поклонником нацизма. По возвращении в Кембридж Алан писал:

29 апреля 1934 года

… Мы получили весьма забавное письмо от Миши, немецкого руководителя нашей лыжной команды… Он пишет: «… но в своих мыслях я на вашей стороне, где-то посередине»…

Высылаю вместе с письмом своё исследование, которое я провел в прошлом году для Czüber из Вены, поскольку не нашел никого, кто мог бы заинтересоваться им здесь, в Кембридже. Однако, мне представляется возможным, что он уже умер, поскольку его учебники публиковались еще в 1881 году.

Но ничто не могло отвратить приближения выпускных экзаменов, которые в Кембридже традиционно носили название Трайпос. Экзамены по второй части учебной программы были проведены в дни с 28 по 30 мая, и за ними незамедлительно последовала сдача работ второй группы, которая проходила с 4 по 6 июня. В перерыве между экзаменами Алану пришлось спешно вернуться в Гилдфорд, чтобы навестить отца. Разменявший уже шестой десяток, мистер Тьюринг перенес операцию на простате, после чего он уже не мог насладиться всеми радостями своего отменного здоровья, которым некогда так гордился.

Несмотря на это, Алан блестяще сдал экзамены и получил звание «спорщика второго разряда» наряду с восьмью другими студентами. Для Алана экзамены не несли особого значения, и поэтому он с пренебрежением отнесся к ажиотажу своей матери, которая незамедлительно начала оповещать всех знакомых телеграммами, и даже попытался убедить её не приезжать 19 июня на торжественную церемонию в день получения диплома. И всё же в реальном мире полученное звание означало многие привилегии, а также стипендию научного сообщества Кингз-Колледжа в размере 200 фунтов годовых, что позволило ему остаться в Кембридже и попытаться вступить в научное общество университета. Такие серьезные амбиции требовали той уверенности, которой ему недоставало в 1932 году, но теперь он был готов. Несколько других выпускников его курса также решили остаться в Кембридже, и среди них были его друзья – Фред Клейтон и Кеннет Харрисон. К тому времени Дэвид Чамперноун начал заниматься экономикой и еще не получил свой диплом. Джеймса смутил абстрактный характер второй части учебной программы, в связи с чем результаты он получил невысокие. И пока он находился в раздумиях, с чего ему стоит начать свою карьеру, в течение нескольких месяцев он давал частные уроки, не забывая время от времени навещать Алана.

Тем временем промышленность развивалась, а вместе с ней и остальной мир за пределами университета, и под конец студенческих лет Алана начала одолевать депрессия. Тогда он решил ослабить свою окрепшую за эти годы привязанность к Кембриджу и вскоре стал производить впечатление не такого угнетенного и подавленного человека, как раньше, представив миру нового себя – человека острого ума с хорошим чувством юмора. И всё же он так и не смог найти себя в обществе «эстетов» или «атлетов». Он продолжил заниматься греблей, и завязал дружеские отношения с другими членами лодочного клуба, однажды осушив целую пинту пива залпом. Вечера он проводил, играя в бридж со своими старыми приятелями, хотя они никогда не позволяли ему вести счет, зная о его математических талантах. Любому, кто пожелал заглянуть в его комнату, открывался вид на разбросанные повсюду книги, записи и оставшиеся без ответа письма о носках и трусах от миссис Тьюринг. На стенах висели различные памятные вещи, например, фотография Кристофера, и только некоторые могли заметить вырезки из журнала с изображениями мужчин, выражавших определенную сексуальную притягательность. Алану также нравилось проводить время в лавках и на уличных рынках в поисках интересных вещей. Так, во время поездки в Лондон он однажды приобрел скрипку на Фаррингтон-Роуд и взял несколько уроков игры на ней. Но даже это не могло сделать из него настоящего «эстета», хотя в нем все же были некоторые «эстетские» черты поведения, которые становились заметны, когда он принимал напыщенный вид, присущий настоящему английскому характеру. Все это озадачивало миссис Тьюринг, в особенности просьба сына подарить ему на Рождество плюшевого медведя, объясняя свое желание тем, что в детстве у него никогда такой игрушки не было. В семье Тьюрингов существовала традиция в праздник обмениваться подарками более практичными и полезными для развития своих способностей. Но у него было свое мнение и по этому вопросу, и вскоре плюшевый мишка по имени Порги поселился в его комнате.

Окончание курса не принесло значительных изменений в жизнь Алана, за исключением того, что он бросил греблю. После дня вручения дипломов он решил отправиться в путешествие по Германии на велосипеде и пригласил своего знакомого Дениса Уильямса, студента первого курса факультета Моральных наук, составить ему компанию. Их знакомство состоялось в Клубе моральных наук, а после они виделись в лодочном клубе Кингз-Колледжа и во время горнолыжной поездки в Австрию. На поезде они добрались до Кёльна, и уже оттуда, пересев на велосипеды, начали свое путешествие по стране, преодолевая не менее тридцати миль каждый день. Одной из целей поездки было посещение Геттингенского университета, где Алан мог встретиться с компетентным специалистом, по-видимому, в связи со своим исследованием Центральной предельной теоремы.

Несмотря на царивший в Берлине определенный режим власти, Германия оставалась лучшей страной для учебной поездки, привлекая студентов невысокими ценами за проезд и молодежными гостиницами. Едва ли молодые люди могли не заметить развешанные повсюду флаги с изображением свастики, но англичанам они казались скорее нелепостью, нежели чем дурным предзнаменованием. Однажды они остановились в шахтёрском городке и видели, как горняки напевали песню по дороге на работу – зрелище прямо противоположное претенциозности нацистских демонстраций. В молодежной гостинице Денис имел возможность пообщаться с немецким путешественником и в знак дружеского расположения попрощался нацистским приветствием «Heil Hitler!», как обычно делали многие другие иностранные студенты из уважения местному обычаю. (Здесь следует заметить, что также были известны и случаи нападений на студентов, которые отказывались произносить нацистское приветствие). В тот самый момент в комнату зашел Алан и случайно стал свидетелем этой сцены. Чуть позже в разговоре с Денисом он заметил: «Тебе не стоило ему это говорить, он социалист». Должно быть, он уже поговорил с тем немцем ранее, и Дениса поразил тот факт, что Алан мог так просто вывести незнакомца на столь откровенное признание своих политических взглядов, идущих вразрез с установленным в стране режимом. Не то чтобы Алан вел себя как сторонник антифашистского движения, он не мог смириться и выполнить что-либо, если в корне был с этим не согласен. Другим событием для Дениса во время поездки стало знакомство с двумя мальчиками-англичанами из среднего класса. Денис заметил, что было бы вежливо пригласить их к себе на стаканчик. «Положение обязывает», – ответил Алан, и от этих слов Денис почувствовал себя малодушным и лицемерным человеком.

Случилось так, что ребята оказались в Ганновере на следующий день или через день после расправы Гитлера над штурмовиками СА, произошедшей 30 июня 1930 года и получившей название «ночи длинных ножей». Знание немецкого языка у Алана, хотя и почерпнутое из учебников по математике, превосходило языковые способности Дениса. И он перевел другую статью из газеты о том, как накануне начальнику штаба СА Эрнсту Рёму в камеру принесли свежую газету со статьей о его разоблачении и казни сторонников, и пистолет с одним патроном, надеясь, что, прочитав статью, Рём застрелится, но тот отказался и был убит. Алан и Денис были удивлены скорее тем вниманием, которое английская пресса уделила его гибели. Однако последствия этой расправы с некоторыми политиками Веймарской республики, которые были давними оппонентами нацистов, имели особое значение для власти Гитлера и его намерений превратить Германию в «гигантский конный завод». С точки зрения признательных консерваторов, эти события ознаменовали конец «загнивающей» Германии. Позже, когда Гитлер уже полностью утратил свою популярность, их мнение кардинально изменилось, и нацистский режим обрел эпитеты «развращенный» и «загнивающий». Но за всей этой историей нетрудно было углядеть определенный лейтмотив, мастерски организованный самим Гитлером: идея о предательстве гомосексуалиста.

У некоторых студентов Кембриджского университета один только вид новой Германии с ее грубостью и жестокостью мог вызвать желание примкнуть к общественному движению антифашистов. Но поступки такого рода не были характерны для Алана Тьюринга. Всегда с симпатией относившийся к делу антифашистов, он оставался человеком вне политики. Путь к свободе он видел в другом, в преданности своему делу. Пускай другие делают то, на что они способны; Алан желал достичь чего-то правильного, чего-то истинного. Ведь спасенная от угрозы нацизма цивилизация должна продолжить свое развитие.

Летом и осенью 1934 года он продолжал работать над своей диссертацией о центральной предельной теореме теории вероятности. Последний срок, установленный для предоставления работ, истекал 6 декабря, но Алан вручил её комиссии на месяц раньше и был уже всецело готов к своему следующему шагу. Проблему для исследования Алану предложил Эддингтон, сыгравший значительную роль в его ранней научной деятельности. Другую идею для диссертации ему подал Гильберт, хотя и не напрямую. Пока члены комиссии знакомились с его работой, Алан приступил к курсу «Основы математики» третьей части учебного плана, который читал профессор Макс Ньюман.

Наряду с Джоном Генри Уайтхедом этот английский математик в свои сорок лет был признан выдающимся исследователем в области топологии. Этот раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в отличие от геометрии не рассматривает метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). В 1930-х годах топология объединяла и обобщала большую часть чистой математики. В Кембриджском университете Ньюман считался передовым деятелем, поскольку в учебной программе все еще главенствовала классическая геометрия.

В основу топологии легла теория множеств, таким образом Ньюман принял участие и в разработке теории множеств. Также он принял участие в Международном математическом конгрессе в Болонье в 1928 году, на котором Гильберт представлял Германию, исключенную ранее в 1924 году. На этом съезде Гильберт снова заявил о необходимости изучения оснований математики. И именно в рамках научного подхода Гильберта, нежели чем с позиции продолжения курса логистики Рассела, Ньюман читал свои лекции студентам. Несомненно, подход Рассела начал постепенно терять интерес, как только сам Рассел покинул Кембриджский университет в 1916 году, когда впервые был осужден и лишен своего звания профессора в Тринити-Колледже. Что касается его современников, то Людвиг Витгенштейн к тому времени изменил область своих интересов, Гарри Нортон сошел с ума, а Фрэнк Рэмси ушел из жизни в 1930 году. Судьба распорядилась таким образом, что Ньюман остался единственным человеком в Кембриджском университете, обладающим обширными познаниями в области математической логики, хотя, следует отметить, что были и другие не менее выдающиеся специалисты в этой области, и среди них – Брейтвейт и Харди, чей интерес составляли различные методы и подходы в изучении математических наук.

В сущности программа Гильберта представляла собой более подробный вариант работы, над которой он начал трудиться в 1890-е годы. В ней не предпринималось попыток ответить на вопрос, занимавший Фреге и Рассела, а именно – чем на самом деле является математика. В этом отношении она носила менее философский характер и казалась менее претенциозной. С другой стороны, она имела большие перспективы в том отношении, что в ней автор ставил более глубокие и трудноразрешимые вопросы о природе таких систем, которые представил Рассел. Фактически Гильберт сформулировал проблему, требовавшую ответа на вопрос: в чем, в принципе, заключались пределы возможностей аксиоматической системы, подобной представленной в «Принципах математики». Существует ли способ выяснить, что могло быть доказано, а что нет в рамках подобной теории? Подход Гильберта назвали формалистским, поскольку он пытался интерпретировать математику через формализацию, которая, в принципе, превращает ее из системы знаний в игру со знаками и формулами, в которую играют по фиксированным правилам, сравнимую с шахматами. Допустимые шаги доказательства рассматривались как допустимые ходы в шахматной игре, фигурам соответствовал ограниченный – или неограниченный – набор знаков в математике; произвольной позиции фигур на доске – сочетание знаков в формуле. Одна формула или несколько формул рассматривались Гильбертом как аксиомы. Их аналог в шахматной игре – установленная правилами шахматная позиция в начале игры. По этой аналогии «игра шахматными фигурами» означала «производимые вычисления», а определенные формулы шахматной игры (например, если имеется два коня и король – поставить мат возможно лишь если защищающийся допустит грубую ошибку) соответствовали определенным правилам вывода, согласно с которыми новые формулы могли быть получены из заданных формул.

На конгрессе 1928 года Гильберт представил более конкретную формулировку своих вопросов. Во-первых, можно ли назвать математику полной в том смысле, что для каждого осмысленного утверждения (например, «всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов целых чисел») существует свое доказательство или же опровержение. Во-вторых, можно ли назвать математику непротиворечивой или последовательной в том смысле, что утверждение «2 + 2 = 5» ни при каких условиях не могло быть получено в результате ряда операций, соответствующих правилам вывода. И, в-третьих, является ли математика разрешимой? Под этим имелось в виду, существовал ли определенный метод, который мог бы в принципе быть применен к любому утверждению и который гарантировано сможет ответить на вопрос, является ли утверждение верным.

В 1928 году ни одна из этих проблем не была решена. Однако Гильберт был уверен, ответ на каждый из его вопросов в результате окажется положительным. Ранее в своем докладе на Международном конгрессе в Париже он заявил: «Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддается решению. Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus», – и когда в соответствии с уставом университета Гильберт ушел в отставку в 1930 году, он заявил следующее:

Пытаясь привести пример неразрешимой проблемы, философ Конт однажды сказал, что науке никогда не удастся распознать секрет химического состава небесных тел. Спустя несколько лет эта проблема была решена… Истинная причина, из-за которой, по моему мнению, Конт не смог найти неразрешимую проблему, заключается в том, что в действительности такой вещи, как неразрешимая проблема, вообще не существует.

Такой взгляд на науку, казалось, был позитивнее, чем сами позитивисты. Однако, на том самом съезде юный чешский математик Курт Гёдель представил результаты своей работы, наделавшей немало шума.