Текст книги "Почему мы не проваливаемся сквозь пол"
Автор книги: Джеймс Эдвард Гордон
сообщить о нарушении
Текущая страница: 3 (всего у книги 20 страниц)
Закон Гука
Роберт Гук был первым, кого осенила догадка о том, что происходит при нагружении твердого тела. Он был не только физиком, но и известным архитектором и инженером. Ему нередко случалось беседовать со знаменитым часовых дел мастером Томасом Томпионом (1639–1719). Они толковали о поведении пружин и маятников. Ничего не зная, конечно, о химических и электрических межатомных связях, Гук понял, что часовая пружина – всего лишь частный случай поведения любого твердого тела, что в природе нет абсолютно жестких тел, а упругость является свойством всякой конструкции, всякого твердого тела.
Свои претензии на приоритет Гук оговорил в работе "Десяток изобретений, которые я намерен опубликовать" (1676). Среди других проблем там была "Истинная теория упругости и жесткости". Под этим заголовком стояла лишь анаграмма ceiiinosssttuu, которую можно было понимать как угодно. Лишь тремя годами позже в трактате о пружинах "De potentia restitutiva" ("О восстанавливающей силе") Гук расшифровал ее латинской фразой "Ut tensio sic uis" – «Каково удлинение, такова и сила».
Иными словами, напряжение пропорционально деформации, и наоборот. Так, если упругое тело, например струна, удлиняется на 1 см под нагрузкой 100 кг, то под нагрузкой 200 кг удлинение составит 2 см и так далее, pro rata[9]. Это утверждение известно как закон Гука. Оно является краеугольным камнем всей техники.
По существу, закон Гука является приближенным соотношением, которое вытекает из характера межатомных взаимодействий. Различные типы химических связей (Приложение I) в конечном счете дают зависимость действующей между двумя атомами силы от расстояния между атомами, как это схематически показано на рис. 3.
Рис. 3. Зависимость силы, действующей между двумя атомами, от расстояния между ними.
При очень больших деформациях – скажем 5–10% – от пропорциональности между напряжениями и деформациями не остается и следа. Но обычно деформации не превышают ±1%, а в этом диапазоне зависимость между напряжениями и деформациями линейна. Кроме того, для малых деформаций процесс нагрузки и разгрузки обратим, то есть кусок материала можно нагрузить и снять с него нагрузку тысячи и миллионы раз с одним и тем же результатом. Наглядный пример этому – пружинка балансира в часах, которая повторяет этот процесс 18 000 раз в час. Такой тип поведения твердого тела под нагрузкой называется упругим. Упругое поведение свойственно большинству технических материалов, хотя существуют и материалы с пластическим поведением. Наиболее ярко пластичность проявляется у таких веществ, как пластилин, оконная замазка – эти материалы не подчиняются закону Гука: после снятия внешних нагрузок их форма и размеры не восстанавливаются.
Вообще говоря, наука об упругости изучает напряжения и деформации в твердых телах. Не только во времена Гука, но даже и совсем недавно мы мало знали об упругих свойствах материалов. В тех случаях, когда их деформации превышали примерно 1%, они либо разрушались, либо утрачивали упругие свойства. Поэтому кривая зависимости межатомной силы от расстояния при больших смещениях атомов из положения равновесия (рис. 3) представляла главным образом академический интерес, на практике больших напряжений достигнуть не удавалось. И лишь сравнительно недавно появилась возможность растянуть очень прочные нитевидные кристаллы – усы – до деформаций от 3 до 6%. Эти опыты подтвердили, что закон Гука не всегда верен. Зависимость напряжения от деформации на графике отклоняется от прямой линии и следует кривой межатомной силы, которая была рассчитана ранее физиками-теоретиками. На рис. 4 показана такая кривая для кремниевого уса, деформированного более чем на 3%.
Рис. 4. Кривая напряжение-деформация очень кремниевого кремниевого уса, который был деформирован в испытательной машине до 3,6%. Поведение уса при больших деформациях не подчиняется закону Гука.
(обратно)
Модуль Юнга
Гук установил, что удлинения, укорочения, прогибы как пружин, так и других упругих тел пропорциональны приложенным к ним нагрузкам. Они зависят, конечно, от геометрических размеров и формы конструкции, а также от того, из какого материала она сделана. Мы не знаем, понимал ли Гук, в чем разница между упругостью как свойством материала и упругостью как функцией формы и размеров конструкции. Дело в том, что можно получить сходные кривые "нагрузка – удлинение" и для куска резинового шнура, и для завитого куска стали, который мы называем пружиной, – это сходство явилось источником бесконечных заблуждений. Примерно столетие после Гука существовала эта путаница: не всем была ясна разница между двумя понятиями упругости.
Около 1800 года Томас Юнг (1773–1829) пришел к выводу, что, если пользоваться не абсолютными значениями сил и смещений в конструкциях, а напряжениями и деформациями, то закон Гука можно записать в следующем виде: Напряжение / Деформация = σ/ε константа.
Юнг заключил, что эта константа является неотъемлемой характеристикой каждого химического вещества и представляет его жесткость. Мы называем эту константу упругости модулем Юнга и обозначаем буквой E. Итак, E = σ/ε
Следовательно, Е описывает жесткость материала как такового. Жесткость любого заданного объекта зависит не только от модуля Юнга материала, но и от геометрической формы объекта. Между прочим, считают, что Юнг «был человеком великой учености, но, к сожалению, он никогда даже не подозревал, что возможности заурядного ума ограничены»[10]. Его идея о модуле упругости была изложена в не очень понятной статье, опубликованной в 1807 году. К этому времени Юнгу запретили читать лекции в Королевском институте, так как считали, что он слишком далек от практики. Так и случилось, что одно из самых распространенных ныне и полезных технических понятий не было принято и внедрено в инженерную практику при жизни автора.
Громадная важность модуля упругости для техники объясняется двумя причинами. Во-первых, нам нужно точно знать возникающие под нагрузками смещения как в конструкции в целом, так и в различных ее частях. Разнообразие конструкций огромно – мосты, самолеты, коленчатые валы и т.д. Посмотрите, например, на деформированное крыло самолета (рис. 5). Под действием рабочих нагрузок взаимодействие деталей в конструкции не должно нарушаться[11]. В таких расчетах нам в первую очередь нужны величины Е.
Рис. 5. Самолет, в котором деформация лонжеронов крыла составляет 1,6% (радиус кривизны балки = Толщина / [2xДеформация])
Во-вторых, хотя неспециалисту и позволено думать, что жесткости всех конструкционных материалов практически одинаковы и говорить "Отлично, это вполне жестко! Не видно никаких смещений", такие суждения не соответствуют действительному положению вещей. Нам необходимо знать модули упругости различных материалов (стали, древесины и т.д.) не только для того, чтобы рассчитать деформации конструкции, но и для того, что бы деформации ее отдельных элементов были согласованными – тогда и напряжения между этими элементами будут распределяться так, как мы хотели этого, проектируя конструкцию. Определяя модуль Юнга, мы разделили напряжение на безразмерное число – деформацию, следовательно, модуль должен иметь размерность напряжения (кг/мм2, Н/м2 и т.п.). Если деформация равна 1 (100%), то напряжение оказывается равным модулю упругости. Стало быть, модуль упругости можно считать таким напряжением, которое удваивает длину упругого образца (конечно, если он прежде не разрушится). Легко себе представить, что величина модуля упругости должна быть большой, обычно она по крайней мере в 100 раз больше разрушающего напряжения: ведь мы упоминали уже, что материалы, как правило, разрушаются, когда их упругая деформация не превышает 1%. Модуль Юнга для стали, например, составляет около 20000 кг/мм2.
Как мы уже говорили, величина E может сильно из меняться от одного вещества к другому. Ниже приведены величины модуля для некоторых материалов[12].
Материал / Е, кг/мм2
Резина / 0,00007x104 (т.е. 0,7)
Неармированные пластики / 0,015x104
Органические молекулярные кристаллы, фталоцианин / 0,015x104
Древесина / 0,15x104
Кость / 0,3x104
Магний / 0,4x104
Обычное стекло / 0,7x104
Алюминий / 0,8x104
Сталь / 2x104
Окись алюминия (сапфир) / 4x104
Алмаз / 12x104
Таким образом, модуль самого жесткого из твердых тел (алмаза) почти в 200 000 раз больше модуля резины, тоже твердого тела. У резин модуль упругости очень мал, потому что резина состоит из длинных гибких молекулярных цепочек, которые в ненагруженном материале изгибаются, свиваются, сплетаются, словом, ведут себя подобно ниткам в спутанном клубке. Когда резину растягивают, изогнутые цепочки распрямляются, и совершенно очевидно, что необходимая для этого сила будет намного меньше той, которая потребовалась бы, чтобы растянуть пучок нитей, вытянутых в одном направлении. Совершенно иная картина наблюдается в кристалле. Прикладывая к нему силу, мы действуем непосредственно на межатомные связи, и единственная причина большой разницы в величине Е для разных кристаллов заключена в различной жесткости самих химических связей. Наклон прямого участка кривой межатомного взаимодействия очень сильно зависит от энергии межатомной связи. Но общая форма кривой для всех кристаллов одинакова.
Если обратить внимание на величину Е для фталоцианина, то нетрудно понять, почему огромное множество твердых химических соединений не может быть использовано в качестве конструкционных материалов. Вообще говоря, мы всегда хотим, чтобы наши конструкции были как можно жестче: колебания мостов и зданий и без того велики. А если сделать конструкцию из материала с жесткостью фталоцианина, она никуда не будет годиться. Сталь – наиболее жесткий из сравнительно дешевых материалов, и в этом одна из причин ее широкого использования. Пластики, даже армированные стеклопластики, имеют низкую жесткость, что ограничивает их применение для крупных конструкций.
(обратно)
Прочность
По-видимому, наиболее убедительно в рекламе продаваемой вещи звучат слова "не боится огня" и "не ломается". И хотя почти все мы знаем, что авторы рекламы не очень объективны, все же реклама находит адресата, и всегда можно встретить людей, искренне убежденных в том, что существуют (или, по крайней мере, должны существовать) какие-то действительно неразрушающиеся предметы. Однако создать такие предметы невозможно, поскольку энергия химических связей не бесконечна, и эти связи имеют определенную прочность. Нужно лишь, надежно закрепив предмет, достаточно сильно на него нажать или потянуть, и он сломается. Вопрос лишь в том, когда.
Следует четко усвоить, что прочность и жесткость не одно и то же. Жесткость (модуль Юнга) показывает, насколько податливым является материал. Прочность характеризуется напряжением, необходимым для того, что бы этот материал разрушить. Печенье – жестко, но непрочно; сталь – и жесткая, и прочная; нейлон – нежесткий, гибкий, но прочный; малиновое желе – и нежесткое, и непрочное. Вряд ли можно ожидать большей информации о свойствах твердого тела, если пользоваться лишь двумя его характеристиками.
Проще всего начать с прочности на разрыв. Это – напряжение, необходимое для того, чтобы разорвать материал на части, разрушив все межатомные связи вдоль поверхности разрыва. Представьте себе стержень, который растягивается вдоль оси. Стержень из очень прочной стали может выдержать растягивающее напряжение 300 кг/мм2. А вот обычный кирпич выдержит лишь 0,4–0,6 кг/мм2. Следовательно, прочность материалов, используемых в технике, может изменяться примерно в 1000 раз.
Ниже приведена прочность на разрыв некоторых наиболее часто применяемых материалов.
Материал / Прочность, кг/мм2
Металлы
Стали
рояльная проволока / 300
высокопрочная сталь / 150
низкоуглеродистая сталь / 40
Чугун
обычный / 7–15
современный / 15–30
Другие металлы
чистый алюминий / 7
сплавы алюминия / 15–60
медь / 15
латуни / 12–40
магниевые сплавы / 20–30
титановые сплавы / 75–150
Неметаллы
древесина, ель
вдоль волокон / 10
поперек волокон / 0,3
стекло (оконное и посудное) / 3–20
хорошая керамика / 3–35
обычный кирпич / 0,5
льняное волокно / 70
хлопок / 35
шелк / 35
паутина / 25
сухожилие / 10
пеньковый канат / 8
кожа / 4
кость / 15
Говоря о прочности, мы обычно имеем в виду прочность на разрыв, хотя материалы чаще работают на сжатие, чем на растяжение. Казалось бы, если мы пытаемся прижать атомы один к другому, это не должно вызывать разрушения. Однако разрушение происходит, хотя и представляет собой явление более сложное, чем разрыв. Под действием сжимающей нагрузки материал может ломаться самым различным образом.
Если мы сжимаем достаточно короткий стержень, на пример подставку, подпорку или что-нибудь в этом роде, из материала мягкого, пластичного, подобного меди или мягкой стали, то материал просто растечется в разные стороны, словно пластилин. Если стержень сделан из хрупкого материала (камень, стекло), то при сжатии он разлетится, обратившись в осколки и пыль (иногда это бывает довольно опасным). Если же вы навалитесь на тонкую трость, она выгнется, а затем сломается пополам – так ведут себя при сжатии любые длинные гибкие стержни и пластинки. Консервная банка под действием большой нагрузки, например если на нее наедет автомобиль, сомнется – этот вид разрушения похож на предыдущий. Аналогично разрушаются любые тонкостенные конструкции, каких много в кораблях, самолетах, автомобилях. Оказалось, что нелегко составить таблицу, которая давала бы наглядное представление о "прочности при сжатии". Чтобы определить эту величину, требуются знания и опыт, но, вообще говоря, этой характеристикой лучше не пользоваться.
Между величинами прочности материалов на растяжение и сжатие какого-либо универсального соотношения не существует. Отчасти это связано с тем, что в большинстве случаев трудно провести четкую грань между материалом и конструкцией. Например, куча кирпича обладает прочностью на сжатие и не имеет никакой прочности на растяжение. Несомненно, в данном случае куча кирпича представляет собой конструкцию, а не материал, но такие материалы, как чугун, бетон, гипс, на много прочнее при сжатии, чем при растяжении, и в основном по той же самой причине, что и куча кирпича: в них масса трещин. Цепи и канаты прочны на разрыв, но совсем не сопротивляются сжатию. Вероятно, их следует считать конструкциями. Древесина, однако, примерно в три-четыре раза прочнее при растяжении, чем при сжатии, потому что ее отдельные волоконца при сжатии сгибаются. Тем не менее древесина считается материалом, а не конструкцией.
(обратно)
Растяжение и сжатие в конструкциях
В течение многих веков инженеры и архитекторы старались по возможности не нагружать материал растяжением. И это делалось не столько потому, что не было достаточно прочных на разрыв материалов (древесина, например, в этом отношении прекрасный материал), сколько из-за того, что очень трудно сделать достаточно прочное на разрыв соединение. (Большинство из нас интуитивно чувствует, что сжатая конструкция безопаснее растянутой; например, нам кажется, что кирпичная стена безопаснее подвесной канатной дороги.) Но когда все-таки приходилось соединять детали, работающие на растяжение, например на кораблях, места стыков всегда были наиболее уязвимым местом конструкции. Теперь мы научились делать надежные стыки с помощью болтов, заклепок, клея и сварки, и уже нет особых оснований не доверять таким конструкциям.
Однако в древности проблема соединений в сжатых конструкциях решалась намного проще, чем в растянутых. В самом простом случае это была укладка камней или кирпичей один к другому без применения раствора, и такое сооружение не рушилось. Эта работа требует навыка, но он не многим сложнее того, который приобретают дети, складывая картинки из кубиков. Однако с развитием архитектуры росла и высота стен, появилась необходимость надежнее связывать кирпичи и камни между собой. Иначе стены с грохотом превращались в груды камня: не связанные между собой камни расползались под весом верхней части кладки.
До наших дней сохранились великолепные образцы соединений в античных постройках. Правда, не ясно, насколько необходима была та тщательность, с которой выполнены большие каменные блоки этих сооружений. Вероятно, отчасти она определялась соображениями престижа. Но как бы то ни было, многие из древних построек поражают наше воображение.
Однако какой высокой и впечатляющей ни была бы стена, технически это не очень мудреная конструкция; ее создатель должен был думать лишь о напряжениях, действующих в одном направлении, по вертикали. Правда, перекрытия, двери, окна всегда вносят дополнительные трудности. А как только мы начинаем рисовать в своем воображении системы напряжений в двух и трех направлениях, перед нами открываются колоссальные возможности. Примером может служить арка. Самая простая арка (рис. 6) работает на сжатие одновременно в двух направлениях, хотя на первый взгляд это кажется невозможным. Кирпичной аркой можно без особых ухищрений перекрыть пролет длиной около 50 м (чаще встречаются пролеты в 25–50 м). Это намного больше того, чего удается добиться с помощью любого простого балочного перекрытия. Арки очень долговечны, и до наших дней в отличном состоянии сохранилось много древнеримских арок, с их помощью, например, перебрасывали водопроводы через овраги.
Рис. 6. Арка, представляющая собой конструкцию, работающую на сжатие в двух направлениях
Формирование представлений о сложном напряженном состоянии стимулировало громадный скачок в развитии не только архитектуры, но и техники. Как только была принята концепция двумерной арки, а вслед за этим сделан следующий логический шаг – к трехмерному куполу, – архитектура стала творить чудеса. Центральная часть собора св. Софии, построенного в Константинополе около 530 года при императоре Юстиниане, представляет собой огромный купол, диаметр которого достигает 33 м. Для легкости он сложен из пемзы и покоится на громадных арках, которые в свою очередь опираются на вспомогательные полукупола (рис. 7). Размеры свободного от каких-либо колонн пространства площадью более чем 60x30 и высотой около 80 м были, вероятно, непревзойденными вплоть до постройки современных вокзалов, крыши которых держатся на металлических стропилах.
Рис. 7. Макет куполов собора св. Софии в Константинополе.
Формы византийских зданий, как правило, просты. Готические же архитекторы, давая волю своему воображению, создавали перекрытия, боковые приделы, витражи. И хоть это, надо думать, обходилось недешево, такие постройки, если они были сделаны со вкусом и знанием дела, могли служить образцами инженерного искусства и художественного мастерства. Что же касается каменной кладки, то она должна быть выполнена так, чтобы напряжения во всех точках конструкции были сжимающими: ведь кладка совсем не сопротивляется растяжению, под действием которого она разваливается по швам.
Готические архитекторы, пытаясь заставить конструкцию работать на сжатие, не прибегали к математике, и поэтому в трехмерные лабиринты соборных крыш чертом прокрадывалось растяжение. Так обрушилась башня одного из самых больших готических соборов – собора в Бове (1247), крыша его проваливалась дважды. Архитекторы знали лишь качественную сторону подобных катастроф и пытались предупредить их, подкрепляя конструкции частоколом контрфорсов (рис. 8).
Рис. 8. Типичная конструкция готического собора с контрфорсами. 1 – деревянная крыша; 2 – арочный свод; 3 – контрфорс; 4 – деревянная крыша бокового придела; 5 – стена придела.
В соборе св. Софии эта задача решалась и рациональнее и успешнее: там вспомогательные купола давили на главный купол и создавали сжатие в опасной области. Однако иногда готические зодчие перебарщивали: создавая слишком большие боковые давления, они должны были ставить подпорки изнутри, чтобы предотвратить разрушение крыш. Эти подпорки чаще всего делались в виде перевернутых арок, подобных аркам собора в Уэлсе (Великобритания), который, как бы ни оценивали его в эстетическом плане, технически построен неграмотно (рис. 9). Не удивительно, что крыши церквей довольно часто рушились на головы коленопреклоненных прихожан.
Рис. 9. Собор в Уэльсе (Великобритания).
Каменная кладка остается целой благодаря силам тяжести, то есть при правильно спроектированной кладке вес камня создает безопасную сжимающую нагрузку во всех ее точках. А если этого веса не хватает, к зданию всегда можно добавить бельведеры или башни. Если же в конструкции появляются растянутые области, то, безусловно, растягивающие и сжимающие нагрузки (в том числе нагрузки от веса сооружения) должны быть уравновешены. Так, канаты подвесного моста (рис. 10) находятся в растянутом состоянии, а грунт под мостом оказывается сжатым. Растяжение в брезенте и растяжках палатки уравновешивается сжатием в центральной подпорке и на той земляной площадке, где установлена палатка. На плывущем корабле растяжение в парусах и оснастке вызывает сжатие мачт и рангоутов. В теле животных сжимающие нагрузки воспринимаются скелетом, в основном позвоночником; эти напряжения возникают не только под действием собственного веса, но и вследствие растяжения в мышцах и сухожилиях. Сокращая мышцу, я поднимаю руку, в это время мышца передает сжимающую силу кости, а кость легко выдерживает сжатие. Если нога попадает в условия, когда на нее действует изгиб – а изгиб включает растяжение, – нога может сломаться.
Рис. 10. Растяжение в тросах балансируется сжатием в грунте
Когда мы располагаем материалами, одинаково хорошо работающими и на сжатие и на растяжение, наши конструкции оказываются проще и безопаснее. Именно поэтому в строительстве удобны железобетон и стальные конструкции.
Инженерам повезло, в их распоряжении есть железо и сталь – ведь мы часто и не знаем, какого рода напряжения придется выдержать машине во время работы. Например, стенки парового котла работают на растяжение, но если по какой-то причине давление пара упадет ниже атмосферного, котел будет сжат разностью давлений, однако со стальным котлом ничего страшного не произойдет.
К довольно неожиданным эффектам, с которыми приходится бороться, могут привести сжимающие напряжения в корпусе подводной лодки. Когда лодка находится в надводном положении, она плавает, как любое другое судно, поскольку ее вес меньше веса воды, которая может быть вытеснена объемом лодки. Чтобы лодка погрузилась, балластные цистерны заполняют водой настолько, чтобы вес лодки был равен весу воды в ее объеме. Тогда "удельный вес" лодки будет равен удельному весу воды, и лодка не будет иметь запаса плавучести.
Теперь лодка может опускаться на глубину и маневрировать примерно так же, как это проделывает дирижабль в воздухе. Однако, погружаясь глубже, лодка испытывает все большее и большее давление воды, и сжимающие напряжения в ее корпусе растут. Поскольку давление внутри лодки остается примерно постоянным, корпус ее сжимается, уменьшается объем, а следовательно, уменьшается и выталкивающая сила. Если вес лодки вместе с балластом не изменяется, она стремится провалиться глубже, и при некоторых обстоятельствах этот процесс может стать опасным. На предельной для подводной лодки глубине погружения величина деформации сжатия может составить около 0,7%. Деформация происходит во всех трех направлениях, поэтому объем лодки может уменьшиться примерно на 2%. Так как сжимаемость воды очень невелика, то для лодки весом 1000 т это будет означать потерю выталкивающей силы примерно 20 т[13]. Если эту силу не компенсировать, частично опорожняя балластные цистерны от воды, подводная лодка будет опускаться все глубже и глубже, пока ее не раздавит давлением воды. В этом, между прочим, заключается одна из трудностей постройки подводной лодки из стеклопластиков, которые всем, пожалуй, хороши, кроме модуля упругости: он слишком мал.
Иногда думают, что затонувшие подводные лодки "висят" где-то поблизости от океанского дна. Это, конечно, нелепое представление: если корпус потерпевшей аварию лодки и не сомнет давлением воды, что случается чаще всего, то он будет непрерывно сжиматься, выталкивающая сила будет падать и лодка будет опускаться на дно все быстрее и быстрее.
Воздушные шары, пневматические шины и т. п. представляют особый случай конструкции, в которой растягивающие напряжения в оболочке уравновешены давлением наполняющего их газа или жидкости. Поэтому большие баржи-мешки и надувные лодки обычно очень легкие и эффективные конструкции. Изобретение крыш, поддерживаемых изнутри воздухом, заставляет пересмотреть прежние архитектурные традиции, в этих конструкциях все элементы работают на растяжение, лишь воздух внутри здания сжат.
(обратно)
