Текст книги "Прокачай мозг методом знатоков «Что? Где? Когда?»"

Автор книги: Дмитрий Гаврилов

Соавторы: Анатолий Вассерман,Нурали Латыпов,Сергей Ёлкин
сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 17 страниц)

Поспорим? Решения парадокса «Еватл и Протагор»

Конспективно повторим разбор, данный А. А. Ивиным в книге «Логика», который будет особо полезен для работников юридического профиля:

«Протагор посвятил спору с Еватлом сочинение „Тяжба о плате“, которое, к сожалению, не дошло до нашего времени. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), будучи юристом по образованию, посвятил этому спору свою докторскую диссертацию „Исследование о запутанных казусах в праве“. Великий ученый пытался доказать, на примере тяжбы Протагора и Еватла, что все реальные случаи, даже самые запутанные, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мнению Лейбница, суд должен отказать Протагору в возбуждении дела за несвоевременностью предъявления иска, но оставить, однако, за ним право потребовать уплаты денег позже, а именно после первого выигранного Еватлом процесса…

Рассмотрим некоторые другие решения данного парадокса.

Решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение именно по её поводу и на её основе.

Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но ведь известно, что этот принцип всегда имел исключения, тем более в рабовладельческом обществе. К тому же он просто неприложим к конкретной ситуации спора: ведь Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать плату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.

И Протагор, и Еватл – оба правы частично, и ни один из них в целом. Каждый из них учитывает только половину возможностей, выгодную для себя. Полное или всестороннее рассмотрение открывает четыре возможности, из которых только половина выгодна для одного из спорящих. Какая из этих возможностей реализуется, это решит не логика, а жизнь. Если приговор судей будет иметь большую силу, чем договор, Еватл должен будет платить, только если проиграет процесс, т. е. в силу решения суда. Если же частная договоренность будет ставится выше, чем решение судей, то Протагор получит плату только в случае проигрыша процесса Еватлу, то есть в силу договора с Протагором.

Эта апелляция к жизни окончательно всё запутывает. Чем, если не логикой, могут руководствоваться судьи в условиях, когда все относящиеся к делу обстоятельства совершенно ясны? И что это будет за руководство, если Протагор, претендующий на оплату через суд, добьется её, лишь проиграв процесс?

Впрочем, и решение Лейбница, кажущееся вначале убедительным, не на много лучше, чем неясное противопоставление логики и жизни. В сущности, Лейбниц предлагает задним числом заменить формулировку договора и оговорить, что первым с участием Еватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора. Мысль эта глубокая, но не имеющая отношения к конкретному суду. Если бы в исходной договоренности была такая оговорка, нужды в судебном разбирательстве вообще не возникло бы.

Если под решением данного затруднения понимать ответ на вопрос, должен Еватл уплатить Протагору или нет, то все эти, как и все другие мыслимые решения, являются, конечно, несостоятельными. Они представляют собой не более чем уход от существа спора, являются, так сказать, софистическими уловками и хитростями в безвыходной и неразрешимой ситуации. Ибо ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор.

Невозможно выполнить вместе договор в его первоначальной форме и решение суда, каким бы последнее ни было. Для доказательства этого достаточно простых средств логики. С помощью этих же средств можно также показать, что договор, несмотря на его вполне невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить» (Ивин, 1998, С. 202–204).

Таким образом, в парадоксе мы сталкиваемся с так называемым дистантным противоречием, которое неочевидно в начале рассуждения и поэтому такого рода проблемы часто можно встретить в жизни. Ведь никому и в голову не приходит в самом начале текста, что участники договора могут встретиться в суде! То есть и здесь имеет место самоприменимость!

Явное же противоречие называется контактным и редко встречается в мышлении и языке.

Природа же противоречия «Протагор и Еватл» лежит в том, что с самого начала разрешено рассуждение при абсолютном равенстве двух независимых оснований, одно из которых первоначально скрыто (плата по суду), хотя и является совершенно очевидной возможностью.

И всё-таки приятно, что, в отличие от парадокса «лжеца», в этом случае можно исключить подобные парадоксы в будущем, ничего не меняя ни в судебной практике, ни в языке, ни в мышлении. Достаточно грамотно написать договор.

ВОПРОС № 13

Миссионер очутился у людоедов и попал как раз к обеду. Дикари разрешают ему выбрать, в каком виде его съедят. Для этого миссионер должен произнести какое-либо высказывание, с условием, что, если оно окажется истинным, его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят. Что следует сказать миссионеру?

Математические парадоксы

Вернёмся к апории «Ахиллес и черепаха», ведь она имеет непосредственное отношение к математике:

«В классическом курсе логики, написанном Вильямом Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя дает ей фору не только в расстоянии – 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу – всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти еще на 10 саженей вперед. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдет еще на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится – пусть на одну десятую сажени, но все-таки вперед, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +… Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Её сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошел алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1/9. Проделав нехитрый подсчет, Минто заключает: „Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет её между 111-й и 112-й саженями на их пути“. Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамленному софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча…» (Бобров, 1966).

Для того чтобы решить фундаментальную задачу, необходимо, как говорится, «докопаться до сути». Именно, «докапывание до сути» и приводит к парадоксам и противоречиям. А затем парадокс или противоречие необходимо разрешить (снять). Так что есть две половинки пути: формулировка противоречия и его разрешение.

Предлагаем ещё один, уже не такой старый парадокс, как в случае с лжецом, – парадокс вероятности.

Парадокс вероятности (обсуждение на семинаре «Междисциплинарные исследования»)

С. Ёлкин. Если представить мысленный эксперимент с бросанием точки на плоскость, то исходным постулатом является то, что вероятность попасть в какую-либо конкретную точку плоскости равна нулю (невозможное событие). Но при этом вероятность, что точка попадёт на плоскость, равна единице (достоверное событие). То есть, в конце концов, реализуется одно из невозможных событий.

В. Ковалёв. Да, внутри всякой реальности сидит противоречие, которое её как раз и созидает. Найти самое глубокое противоречие для данной реальности – это даже не полдела, а почти всё дело. Потому что решение противоречия содержится в нём самом, и значит, надо просто понаблюдать, как оно разрешает само себя. Противоречие – это соотношение противоположностей, и потому надо увидеть, каковы они в рамках рассматриваемой системы. Это обычно очень трудно, потому, что мешает спутанность отношений, масса привходящих обстоятельств и т. д.

А насчёт парадокса вероятности, то тут, думаю, не всё так безнадёжно, как кажется. Плоскость по отношению к точкам – это ведь их целое, которое не сводится к ним и не состоит из них. Поэтому не надо их ставить «на одну доску». Попасть абсолютно точно в часть невозможно, а в целое – запросто, потому как оно везде.

С. Ёлкин. Неясно, почему «невозможно абсолютно точно попасть в часть»? Добавлю, так, «про между прочим», что этот парадокс послужил одной из тех причин, по которой великий Давид Гильберт сформулировал проблему создания аксиоматической теории вероятности и включил её в число выдающихся проблем математики на том самом выдающемся конгрессе математиков[33]33
  Проблемы Гильберта – список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Конечно, это была не главная причина. Главной причиной было желание сделать теорию вероятности математической дисциплиной, так как в то время она считалась отраслью естествознания.


[Закрыть]. Проблема эта была разрешена только более 30 лет спустя другим великим математиком – А. Н. Колмогоровым[34]34
  Аксиоматика Колмогорова – общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 г., окончательно в 1933 г.; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.


[Закрыть].

В. Ковалёв. Во-первых, я никак не могу взять в толк, как можно попасть в то, что не имеет размеров, то есть в точку. Во-вторых, точность – это идеализация, химера нашего ума, а в реальном мире ничто не может абсолютно точно совпасть друг с другом, ничто не может абсолютно заменить другое. В-третьих, не надо путать математику с логикой, а логику формальную (математическую) с диалектической, то есть рассудок с разумом. Математика – предел формализации как таковой, то есть рассудок чистейшей воды, который умеет только разделять, фиксировать и связывать внешней связью эти выделенные им неподвижности. Созданная математикой абстракция точки, то есть дискретности как таковой, у которой единственное свойство – отсутствие свойств, – ярчайший пример голого рассудка. Плоскость же по отношению к точке есть её прямая противоположность, то есть континуум, непрерывность как таковая. Математика – это только фиксация их различия и ничего более. А в чём состоит их тождество, она не знает, это уже вопрос философии, которая на что-нибудь да может-таки сгодиться. Наше сознание в любом процессе познания то проваливается в голую математику, то поднимется на уровень философии, и только так, пульсируя, оно может получить действительное знание.

А. Трушечкин[35]35
  А. С. Трушечкин, доцент кафедры № 28 (Системный анализ) НИЯУ МИФИ.


[Закрыть]. Общепринятый ответ на этот парадокс – что «невероятное» не означает «невозможное». Невероятное событие – вероятность которого равна нулю, невозможное – которое не может произойти. На это можно возразить: «Как же? Согласно исходным идеям теории вероятностей, если вероятность равна нулю, то событие и есть невозможное!»

Тогда тут, пожалуй, можно разобрать подробнее, как мы делаем вывод о том, что вероятность попадания в точку равно нулю. Здесь речь идёт о геометрической вероятности. Предположим для простоты, что мишень ограниченна: например, это круг единичной площади, и мы стреляем по нему безразмерными пулями. Тогда вероятность попадания в произвольную область этого круга равна площади этой области. Площадь точки равна нулю. Почему? Ответ: по определению (из теории меры) множество имеет площадь ноль, если его можно накрыть множеством сколь угодно малой площади. Для точки можно это сделать. Например, рассмотреть последовательность маленьких кружков с центрами в этой точке и радиусами, стремящимися к нулю. Вероятность попадания в кружок с уменьшением его радиуса уменьшается, но не ноль. То есть множество нулевой площади определяется не непосредственно, а как бы итеративно, путём приближения множествами уменьшающейся площади. Поэтому и утверждение о том, что вероятность попадания в точку равна нулю, можно воспринимать так же: здесь не чистый ноль, а бесконечно малая последовательность чисел. Попасть в точку можно, но вероятность исчезающе мала.

Таким образом, в этих рассуждениях всплывает на поверхность то, что точка – это идеализация очень маленького множества (конец обсуждения)

Так что, любезный наш читатель, зря старался А. Н. Колмогоров?

ВОПРОС № 14

Парадокс неожиданности. Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему: «Вас казнят на следующей неделе в полдень. День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру». Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал. Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «Вы не сможете казнить меня, если хотите выполнить свои обещания!»

Тем не менее, начальник тюрьмы выполнил свои обещания, и узник был казнён неожиданно для него, как и было обещано! Как это возможно?

Парадоксы теории множеств

«Никто не может изгнать нас из рая, созданного нам Кантором!» – заявил Давид Гильберт по поводу теории множеств Георга Кантора. Таково было чувство восторга от новой «игрушки» у математиков того времени. В 1873 году Кантор ввел понятие множества. Первоначально новая теория помогла решить ряд проблем. Однако очень скоро в ней обнаружились противоречия.

Первое противоречие возникло благодаря введению и анализу самого большого множества из всех: множества всех множеств. Простейший вопрос «Существует ли множество всех множеств?» тут же приводит к парадоксу. Для этого надо напомнить, что в теории множеств разрешима процедура включения одного множества в состав другого или «взятие множества от множества». (Это вам ничего не напоминает? Правильно – вездесущую рекурсию!)

Можно включать какие угодно множества в состав одного – их объединяющего, до тех пор пока все множества не исчерпаются. Тогда мы получим сверхмножество, которое включает в себя все остальные множества. Все! Но… не все! Само сверхмножество (множество всех множеств) оказалось не включённым! Ведь его вначале не было, а теперь оно появилось. Ну что же, включим теперь и его. Но тогда появляется новое сверхмножество, которого только что ещё не было. Тогда и его включим, и так до бесконечности! То есть множество всех множеств и существует, и не существует одновременно!

Причиной парадокса является возможность быть множеству элементом самого себя. Можно конечно ограничить эту возможность, но тогда исчезнут многие очень полезные возможности теории множеств. Лучше локализовать проблему, и для этого разделить все множества на два типа, те, которые содержат себя в качестве своего элемента, и те, которые не содержат…

В 1901 году Бертран Рассел в письме коллеге изложил мысль, которая в популярной форме известна как «Парадокс брадобрея»: «В одной военной части был брадобрей. Ему было разрешено под угрозой смертной казни брить только тех военнослужащих, которые не бреются сами. Но вот беда – сам брадобрей тоже был на службе. Мог ли он в таком случае побриться сам?»

Если он себя побреет, то окажется тем, кого ему брить категорически запрещено, а если не побреет, то окажется среди тех, кого брить ему можно!

Словом, в теории множеств выявилось много противоречий[36]36
  См. например: И. Я Ященко. Парадоксы теории множеств. – М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2002.


[Закрыть], а на их устранение потратили огромное количество усилий. Собственно, как и в случае с математическим анализом, который первоначально был противоречив и только трудами титанов – Коши, Вейерштрасс, Гейне – приведён в образцовое состояние. В условно образцовое… Ибо все противоречия математического анализа были упрятаны в его определения, совмещающие в себе невозможное. Достаточно вспомнить бесконечно малые и бесконечно большие величины, которые «куда-то стремятся, но никогда своего предела не достигают». При этом само стремление к пределу происходит вне времени, что невозможно само по себе – в природе такое не наблюдается.

ВОПРОС № 15

Сколько яблок на рисунке?[37]37
  Этот парадокс публикуется впервые, равно как и следующий за ним «детский» парадокс.


[Закрыть]

Детский парадокс

В математике имеется огромное число парадоксов и противоречий. Никто даже не знает сколько – так велика математика! Кстати, это обстоятельство ничуть не мешает нам её любить!

Тем нашим читателям, у кого подрастают дети, ещё предстоит хлебнуть из-за этой «парадоксальности»:

– Папа, существует ли самое большое число?

– Да, существует? – папа пытается отделаться от навязчивого почемучки.

– А что будет, если к нему прибавить единицу?

Очевидно, что ответ неудовлетворителен. Отец в затруднении.

– Нет, Не существует. Так как натуральный ряд стремится к бесконечности! – папа пытается продемонстрировать образованность.

– А можно это несуществующее число, ну, эту бесконечность, обозначить?

– Да, можно.

– А если отнять от этого не существующего числа единицу, мы получим существующее число?

– Нет!

– А если отнять от этого не существующего числа две единицы, мы получим существующее число?

– Нет!

‹…›

– А если отнять от этого не существующего числа бесконечность натуральных чисел, мы получим существующее число? Ведь это бесконечности одинакового порядка!

– Э… Да! Получим.

– Тогда где, на каком числе несуществующее число превращается в существующее?

Парадоксы триалектики

Нередко противники диалектики утверждают, что парадоксы и противоречия возникают как следствие «бинарности», парности её категорий. Это, конечно, и верно, и неверно одновременно. Вот парадокс для трёх понятий.

Парадокс причинности

Будущее, настоящее, прошедшее. Три «стадии», или же измерения, времени. Если существует возможность передать сигнал из будущего в прошлое, то возникает петля времени.

Допустим, мы из некоторой лаборатории передаём сигнал на взрывное устройство, находящееся в прошлом, которое уничтожает наш передатчик. Но тогда мы не можем послать сигнал для уничтожения передатчика, и передатчик передаёт сигнал, который взрывает передатчик, который не передаёт сигнал… и т. д.

Правда в этих рассуждениях отсутствует «настоящее». Или, точнее, оно присутствует в неявном виде, как то место, в котором мы находимся, пока совершаем рассуждения (начало координат). Сохраняется универсальность рассуждений: мы совершаем действие, аналог самоприменимости, по отношению к источнику. В результате возникает замкнутый круг, как и раньше: истина – ложь, самоприменимый-несамоприменимый, и т. д.

Парадоксы цветового восприятия

Любопытно, что все цвета разлагаются на три основных цвета, и это разложение хорошо описывается в числах Гамильтона (i, j, k), так хорошо, что эта математика используется в компьютерной графике.

Есть немало парадоксов для зрительного восприятия цвета, которые можно во множестве видеть в Интернете. Они не описываются словами, но их можно наблюдать – например, знаменитая иллюзия движения…[38]38
  Иллюзия открыта Акииоши Китэоки и известна как «Сменяющие друг друга Змеи». Китэока – японский преподаватель психологии, который специализируется на визуальных иллюзиях геометрических форм и иллюзиях движения.


[Закрыть]

Удивительное оптическое явление обнаружили случайно. Однажды в американской компании «Polaroid Corporation» сотрудник фирмы Е. Г. Ланд сделал два фотоснимка цветных предметов через два разных светофильтра. Один светофильтр был красным, другой зелёным. Затем оба изображения спроектировали на экран и совместили. Диапозитив, сфотографированный через красный светофильтр, подсветили красным светом, а второй диапозитив, снятый через зелёный светофильтр, поставили на пути… белого света. Следовательно, зелёного цвета в опыте не было. Но результат превзошел все ожидания.

Вопреки предположению, что на экране появится изображение в оттенках красного и розового цветов, натюрморт вдруг предстал в красках, которые соответствовали оригиналу. Проекция оказалась подобна «натуре».

Дальше поиск пошёл целенаправленно. М. Х. Вильсон попробовал воспроизвести краски оригинала… одним единственным цветом.

Учёный три раза сфотографировал на чёрно-белую плёнку картину Ван Гога «Лодки на берегу моря». Затем Вильсон совместил эти три изображения на белом экране через три светофильтра. Все три были синего цвета! Между этими светофильтрами было лишь едва уловимое различие по плотности. А на экране получилось изображение, весьма близкое к оригиналу. То есть это была картина Ван Гога в жёлтых, оранжевых, красных, коричневых, зелёных и сине-голубых тонах. Присутствовали почти все цвета спектра…

Известные учёные тщетно пытались объяснить этот экспериментально обнаруженный феномен цветного зрения. В глаз попадают лучи практически одного спектрального состава, а он сам воссоздаёт цветовое многообразие. Явно мы имеем дело с парадоксом, опровергающим принятое представление о работе глаза.

ВОПРОС № 16

Какого цвета будет казаться красная жидкость, если сосуд с ней поместить внутрь другого сосуда с синей жидкостью? И почему? (Капица, 1998, № 172)