Текст книги "Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр."

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 8 страниц)

ЛЮТЕРАНСКАЯ ГИМНАЗИЯ

Как было принято в богатых семьях того времени, до десяти лет Янош занимался с учителями дома. Среднее образование он получил в Лютеранской гимназии Будапешта (Budapest– Fasori Evangelikus Gimnäzium), элитной школе, которая, хоть и относилась к лютеранской церкви (все частные школы тогда финансировались какой-либо церковью – христианской, коптской или лютеранской), была толерантна к представителям других верований. Помимо уроков Янош занимался с раввином, который дал ему начальные знания иврита и понятий иудейской культуры, содержащихся в Торе.

В этой школе Янош проучился восемь лет. Он отлично успевал, но не перескочил ни через один класс – это могло бы отдалить его от других ребят и противоречило педагогическому подходу самого Ласло Раца, его учителя по математике. В школе поощрялась командная работа, и товарищи Яноша, с одной стороны, завидовали ему, а с другой – восхищались его интеллектуальными способностями. Там же Янош познакомился с Юджином Вигнером, который учился на класс старше. Позже, в 1963 году, Вигнер получил Нобелевскую премию. Он вспоминал, что Яношу очень нравилось разговаривать с ним, преимущественно о математике, и во время их долгих прогулок он всегда пытался перевести разговор на теорию множеств, которой был очарован уже в то время.

Рац быстро разглядел одаренность Яноша и предложил его отцу составить для мальчика индивидуальный план занятий. Макс сразу же согласился. Рац переговорил с Йожефом Кюршаком, известным математиком из Будапештского университета, который выбрал для Яноша в качестве частного преподавателя молодого математика Михаэля Фекете (1886-1957). Они занимались до самого окончания средней школы. На последнем году школьного обучения Янош и Фекете опубликовали совместную статью об одной теореме математического анализа в журнале Jahresbericht der Deutsche Mathematiker-Vereinigung {«Ежегодный отчет Немецкого математического общества»).

За эту статью Янош был удостоен национальной премии Этвёша. Для конкурса, в котором принимали участие все средние школы страны, требовалось глубокое знание математических понятий и принципов решения задач. Став лучшим в тот раз, Янош навсегда осознал свои удивительные способности.

Маргарет Канн, жена Макса Неймана, мать Джона фон Неймана.

Макс Нейман с сыном, маленьким Яношем Нейманом.

Фасад Лютеранской гимназии в Будапеште, куда Нейман поступил в 1911 году.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

Математические олимпиады, как говорится в их уставе, являются «состязаниями среди юных школьников, и главная их цель состоит в стимулировании занятий математикой и развитии молодых талантов в этой области». Они возникли на основе национальных математических соревнований Этвёша. В 1894 году барону Лорану Этвёшу (1848-1919) предложили стать министром образования, чтобы способствовать установлению гражданских прав и религиозной свободы.

В честь этого события Венгерское общество математики и физики решило организовать ежегодные соревнования для выпускников средних школ. Современное название олимпиад было принято в 1958 году, когда по инициативе Румынии прошла первая Международная математическая олимпиада.

В ней приняли участие 7 стран, а сегодня она открыта для 80 стран всех пяти континентов. Фон Нейман, получивший национальную премию Этвёша, может считаться преолимпийским чемпионом.

Венгерский физик и политик Лоран Этвёш, в честь которого были названы первые соревнования по математике в Венгрии, учрежденные в 1894 году.

УЧЕБА В УНИВЕРСИТЕТЕ

Наверное, многие удивились бы, узнав, что один из самых ярких математиков XX века закончил химический факультет. Фон Нейман выбрал его не по зову сердца, а как компромисс между интересами отца и собственными желаниями. Еврейская семья в Европе вне зависимости от социальной или экономической ситуации должна была жить на чемоданах, готовой в любой момент к путешествию без обратного билета. Часто евреям в течение одного дня нужно было покинуть родину, бросив все нажитое, поэтому они прекрасно понимали, что главным богатством было не то, что можно положить в чемодан, а то, что находится в голове, – этого уж точно никто не может отнять. Каждый еврей должен был владеть хотя бы одним иностранным языком и иметь профессию, которая позволила бы заработать на жизнь. Конечно, многое зависело и от того, в какую страну пришлось бы переехать. Макс Нейман заранее подумал о том, чтобы обучить своих детей превосходному немецкому и дать им достаточные знания английского и французского, – эти страны в то время имели наибольший вес в мировой политике. Кроме того, Макс Нейман всегда хорошо относился к занятиям сына математикой. Его врожденная склонность к этой науке была так велика, что отец понимал: в конце концов Янош сделает ее своей профессией. Но в данном случае речь шла только об интеллектуальном развитии. Достойного экономического положения математика могла и не обеспечить. Макс Нейман попросил помощи у своего друга, физика и инженера Теодора фон Кармана (1881-1963), чтобы тот убедил Яноша выбрать более доходную профессию. Втроем они пришли к соглашению: Янош будет штудировать химическую инженерию, но при этом не оставит и математику. В последующие пять лет обучения в университете Янош занимался в таком интенсивном ритме, что выдержать его мог только человек с необыкновенными способностями.

Университетское образование в Венгрии было доступно далеко не всем и тем более ограничено для евреев, но список достижений фон Неймана открывал ему двери в любое европейское учебное заведение. В 1921 году он поступил на математический факультет Будапештского университета. Юноше нужен был только диплом: он не посетил ни одного занятия и приходил только на экзамены, на которых всегда получал самые высокие оценки. Одновременно с этим Янош два года, с 1921 по 1923 год, занимался химической инженерией в Берлинском университете, а последующие два, с 1923 по 1925 год, – изучал химию в Федеральном технологическом институте в Цюрихе, где и получил диплом. Университетское образование Неймана завершилось защитой докторской диссертации по математике (по теории множеств) в Будапештском университете в 1926 году. К 20 годам он сформулировал определение ординальных чисел, которое используется по сей день.

С этого момента карьера фон Неймана очень быстро пошла в гору, и вскоре он стал одним из самых известных математиков в мире. Янош работал профессором в Берлинском университете с 1926 по 1929 год и в Гамбургском – с 1929 по 1930 год.

Важной датой в его биографии стал 1927 год: фон Нейман получил Рокфеллеровскую стипендию для продолжения обучения в Гёттингенском университете, главном математическом центре Европы. Там он познакомился с Давидом Гильбертом, одним из выдающихся математиков XX века, который оказал огромное влияние на его научную деятельность.

ГЛАВА 2

Германия: чистая математика

Самые важные исследования, проведенные фон Нейманом в Гёттингене под руководством Гильберта, были посвящены вопросам аксиоматизации. Чтобы лучше понять значение его достижений, нужно понимать, какую роль играли аксиомы на протяжении всей истории математики и какой глубокий кризис в аксиоматике наблюдался в начале XX века. Этот кризис поставил под вопрос сами основания математики.

В течение последней четверти XIX века главным центром математики в Европе был Берлинский университет, однако подход к науке в этом учреждении отличался довольно сильным пуризмом. Так, задачи решались прежде всего геометрическими методами. Применение элементов анализа Декарта и алгебры считалось отходом от математического метода, опирающегося на классическую геометрию.

Для пуристов точка, прямая или плоскость были интуитивно понятными объектами, которые можно представить и которые позволяли сформулировать и доказать теоремы исходя из законов логики и аксиом, установленных древнегреческим математиком и геометром Евклидом (ок. 325 – ок. 265 до н.э.). С аналитической же точки зрения, прямая считалась совокупностью точек, определяемых декартовыми координатами, и правила игры в этом случае диктовала абстрактная алгебра. Уже тогда математический анализ был развит достаточно, чтобы оперировать прямыми, плоскостями и кривыми на очень высоком уровне, не нуждаясь в том, чтобы «видеть» эти операции.

Университет немецкого Геттингена стал флагманом этого нового подхода.

ГЁТТИНГЕН

Гёттингенский университет был основан в 1734 году Георгом II, курфюрстом Ганновера. В 1866 году этот город был присоединен к Пруссии, что повлекло за собой важные изменения: прусское правительство считало, что университет имел ключевое значение для развития страны. В том же году ректором был назначен немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925): он сохранил верность этому учебному заведению, отклоняя другие предложения работы, среди которых была и кафедра в Берлине. Клейн проработал здесь до самого выхода на пенсию в 1920 году, но продолжал читать лекции до 1924 года. Он разработал проект, известный как Эрлангенская программа, в рамках которой хотел установить новые связи между различными областями математики и приблизить ее к физике.

ФЕЛИКС КЛЕЙН

Немецкий математик Феликс Клейн родился 25 апреля 1849 года в Дюссельдорфе, в семье важного прусского чиновника. Начальное образование ему дала мать. Затем Феликс два года отучился в частной начальной школе и в 1857 году поступил в Дюссельдорфское училище, где провел восемь лет и получил полное среднее образование. В16 лет Клейн поступил в Боннский университет. Несмотря на то что его очень интересовала математика, он большую часть времени посвящал занятиям ботаникой. Через год после поступления в университет начал посещать семинары по физике, которые проходили под руководством Юлиуса Плюккера, физика и математика, в то время работавшего над своей книгой Neue Geometrie des Raumes («Новая геометрия пространства»). Клейн так углубился в изучение этой темы, что после смерти Плюккера взял на себя составление второй части книги.

Индивидуальная образовательная программа

Отдавая себе отчет в том, что ему не хватает знаний в некоторых областях математики, особенно в интегральном исчислении, в 1869 году Клейн переехал в Гёттинген и в течение года посещал занятия Альфреда Клебша. Клейн никогда не придерживался стандартной академической программы и сам составлял учебный план. Во время учебы в Берлине в 1870 году он посещал не занятия по математике, а кофейни – правда, в обществе двух выдающихся математиков – австрийца Отто Штольца (1842-1905), который уже заведовал математической кафедрой и приехал в Берлин, чтобы расширить свои познания, и норвежца Софуса Ли (1842-1899). Именно Ли открыл Клейну важность теории групп, разработанной Эваристом Галуа (1811-1832) и впоследствии оказавшей большое влияние на научную деятельность Клейна. По прошению Клебша Клейн получил звание ординарного профессора в Эрлангенском университете. Именно там, комментируя созданный им учебный план, Клейн впервые изложил свою знаменитую Эрлангенскую программу. За годы педагогической деятельности он преподавал математику в Мюнхене (1875-1880), Лейпциге (1880-1886) и Гёттингене (1886-1913), где создал институт прикладной математики. В 1882 году у Клейна на фоне серьезного психического расстройства произошел нервный срыв, и он прекратил заниматься наукой. Ученый умер в Гёттингене 22 июня 1925 года.

Эту программу Клейн воплотил в жизнь за десять лет. Его верным союзником стал Давид Гильберт, один из самых выдающихся ученых конца XIX – начала XX века, который, как считается, оказал наибольшее влияние на геометрию после Евклида.

Благодаря Гильберту в 1895 году началась новая эпоха в развитии Гёттингенского университета, а Математический институт Гёттингена прославился во всем мире. Гильберт разделял мнение Клейна о том, что университет должен открыться для международного сообщества и отойти от пуристских взглядов, чтобы способствовать объединению различных математических дисциплин, но при этом стараться избегать открытого столкновения с Берлинским университетом. И действительно, вскоре Гёттингенский университет прославился своей открытостью: здесь радушно принимали ученых и мыслителей с новаторскими идеями независимо от их происхождения или социального положения.

Гильберт придерживался твердой позиции по поводу роли математики по отношению к физике; однажды он даже заявил, что физика слишком сложна для самих физиков. Совместно с немецким математиком Рихардом Курантом (1888-1972) Гильберт издал книгу Methoden der mathematischen Physik («Методы математической физики», 1924), которая оказалась бесценной для физиков. Работа переиздается до сих пор и известна под кратким названием «книга Куранта – Гильберта».

АКСИОМАТИКА

Такие элементарные понятия, как точка, прямая, плоскость, и их взаимоотношения, от простых до сложных, были систематизированы и упорядочены в период с 330 по 275 год до н.э. в одной из самых известных книг во всей истории человечества. Мы говорим о «Началах» Евклида. Этот труд состоит из 13 книг, в которых содержатся все знания по геометрии того времени. Евклид построил свою геометрию на трех ключевых понятиях: аксиомах, теоремах и постулатах. Теоремы относятся к неочевидным предложениям, которые можно доказать на основе аксиом и постулатов посредством логических рассуждений. Всего Евклид ввел 23 аксиомы (или определения) и 5 постулатов. Различие между аксиомой и постулатом очень важно для понимания сущности геометрии, описанной в «Началах». Аксиома не нуждается в доказательстве, так как это ясное и очевидное утверждение. Например, первая аксиома Евклида гласит: «Точка есть то, что не имеет частей». Постулат же – предложение, которое, не будучи таким очевидным, как аксиома, считается истинным без доказательства.

Таким образом, математическое здание строится шаг за шагом на основе системы аксиом и логических правил, которые позволяют создавать теоремы. До появления неевклидовых геометрий этот фундамент казался достаточно прочным и вызывал полное доверие.

ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ

В пятом постулате «Начал» Евклида – не таком ясном, как остальные четыре, – утверждается:

«Если через две прямые проходит прямая, образующая с одной стороны внутренние углы, чья сумма меньше суммы двух прямых углов, то если продолжить эти прямые бесконечно, они встретятся с той стороны, с которой сумма двух углов меньше двух прямых углов».

Возьмем прямую R₃, проходящую через прямые R₁ и R₂ (см. рисунок).

Внутренние меньшие углы, о которых идет речь в постулате, обозначены буквами а и b. Согласно пятому постулату, если мы продолжим прямые R₁ и R₂, то они пересекутся в правой части рисунка. Недостаток в этом постулате простоты и очевидности, присущей первым четырем, всегда привлекал внимание геометров. Сам Евклид старался избегать этого постулата и впервые применил его только в доказательстве номер 29 книги I. Из-за этой попытки построить всю свою геометрию без пятого постулата Евклида даже называли первым неевклидовым геометром. Так или иначе, пятый постулат с самого начала вызывал вопросы. Справедлив ли он? И если да, действительно ли это независимый постулат? Или это теорема, которую можно доказать на основе четырех предыдущих постулатов?

Но среди постулатов Евклида было слабое звено – пятый постулат. Он стал одним из самых обсуждаемых в истории математики, предметом споров, длившихся более 2000 лет, и той трещиной, которая разрушила все здание.

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Неевклидова геометрия – это любая геометрическая система, отрицающая истинность пятого постулата. Если вспомнить, что евклидова геометрия на протяжении 2000 лет считалась единственно возможным геометрическим подходом к изучению окружающего нас мира, то становится понятно: для ее отрицания требовалась определенная интеллектуальная дерзость. Создание таких альтернативных геометрий, казалось, могло быть только математической игрой, забавой. И действительно, сначала дело обстояло именно так, но со временем эти геометрии стали мощным инструментом не только в математике (в таких областях, как динамические системы, автоморфная функция, теория чисел), они оказались необходимой системой измерений во многих областях современной физики.

ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА

В рамках евклидовой геометрии мы оперируем элементами, которые непосредственно принадлежат этому виду геометрии, – точками, прямыми, плоскостями, углами и так далее, а также преобразованиями, которые можно применить к этим элементам. Мы можем переносить их из одного места в другое, вращать их, удлинять, укорачивать или придавать им определенную симметрию. Некоторые преобразования обратимы, то есть если в ходе преобразования из точки А мы переходим в точку В, то существует и другое преобразование, которое приводит нас из точки В в точку А. Также, применяя два преобразования подряд, мы можем получить еще одно преобразование. Если имеется совокупность преобразований, отвечающих этому критерию (и еще нескольким, но в данном случае это не важно), то она называется группой преобразований. Некоторые объекты, с которыми мы имеем дело в геометрии, могут быть в большей или меньшей степени подвергнуты таким преобразованиям.

Пример

Предположим, что мы должны перенести окружность. Ее центром является определенная фиксированная точка, но при переносе она меняется. Если же мы оставим центр на месте и уменьшим длину окружности, изменится ее радиус. Но при всех этих преобразованиях одно свойство остается неизменным – соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Феликс Клейн заметил, что изучение таких инвариантных свойств было определяющей характеристикой конкретного типа геометрии, в рамках которой можно сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами. Тогда он предложил более общее и более абстрактное определение геометрии: она определялась парой (X; G), гдеХ – множество объектов, a G – множество преобразований, применяемых к ним. Все известные геометрии – евклидова, проективная, гиперболическая и так далее – попадали под эту классификацию. Она также открывала путь новым геометрическим системам, поскольку множество объектов X могло состоять из абсолютно любых типов элементов. Клейн изложил свои идеи в докладе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», представленном в 1872 году на математической кафедре Эрлангенского университета. Позднее доклад стал известен в математических кругах как Эрлангенская программа Феликса Клейна.

Открытка 1916 года, на которой изображена улица на территории Эрлангенского университета.

Если речь идет об относительно небольших расстояниях, евклидова и неевклидова геометрии практически эквивалентны. Однако если рассматривать расстояния в астрономии или в некоторых системах современной физики (теории относительности или теории распространения волн), неевклидовы геометрии оказываются более точным инструментом.

В свете этого ученые заключили, что гиперболическая геометрия – один из видов неевклидовой – не менее обоснована, чем евклидова; другими словами, если в гиперболической геометрии и есть противоречия, то они есть и в геометрии Евклида. Последующее развитие теоретической физики показало, что евклидова геометрия необязательно наиболее соответствует «реальности».

Появление неевклидовых систем стало важным этапом не только в развитии самой геометрии. Речь шла о том, чтобы зайти за священную ограду непреложных истин, содержащихся в аксиомах, и сделать предметом изучения само внутреннее обоснование этих аксиом. Геометрия стала детонатором глубокого кризиса, который в итоге поразил один из столпов всей математической науки – теорию множеств.

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Теория множеств имеет большое значение для математики: являясь, в сущности, очень простой, она позволяет дать определения таким понятиям, как упорядоченная пара, соотношение, функция, разбиение множества, порядок, натуральные числа, рациональные, вещественные, комплексные числа, структура группы, кольцо, тело, векторное пространство и так далее,– список можно продолжать очень долго. Само же понятие множества – одно из основных в математике. Сложно найти хотя бы одну ее область, которая не была бы основана на нем, явно или не очень явно. Можно даже утверждать, что все математическое здание стоит на краеугольном камне теории множеств, которой пользуются математики, логики и, в меньшей степени, те, кто имеет дело с программированием.

Первая сложность в этой теории – само определение множества, но если ее преодолеть, все остальное работает прекрасно. Сформулировать же это определение, не используя само слово «множество» или его синонимы (совокупность, общность, последовательность и другие), очень трудно. Одна из лучших формулировок, в которой нет никаких синонимов (по крайней мере на первый взгляд), была предложена британским ученым Бертраном Расселом (1872-1970):

«Множество суть одновременное рассмотрение различных элементов».

Это очень интересное определение, так как в нем множество представляется как направление мысли, и это означает, что речь идет действительно о базовом понятии. Представим, что мы пришли на прием, где никого не знаем, и начинаем скучать. Чтобы убить время, мы посмотрим на обувь, которую носят гости, и попробуем ее классифицировать по очень простому принципу «нравится – не нравится». Тем самым мы установим некое соотношение в точно определенном множестве: вся обувь на приеме. Перемена направления мысли состоит именно в том, чтобы рассмотреть одновременно ряд объектов, ограничить наше внимание только ими, сконцентрироваться только на них. Именно так мы и получили «множество обуви».

Существует два особых и теоретически неизбежных множества – пустое и универсальное. Пустое множество обозначается знаком 0 и определяется как множество, не имеющее ни одного элемента. С философской точки зрения это очень противоречивое понятие, и в свое время у него было много противников. Ведь раз множество не содержит ни одного элемента, значит оно состоит из ничего, а поскольку «ничто» не существует, то не существует и пустого множества. Универсальное множество, напротив, имеет слишком много элементов, то есть оно просто-напросто слишком большое. В большинстве научных работ его обозначают буквой U. Определение универсального множества не такое четкое, как пустого. Считается, что оно включает в себя все множества, которые мы только можем рассмотреть. Поскольку в пустом множестве ничего нет, в U возникает соблазн включить все. Это означало бы, что U – множество всех возможных множеств, что не совсем правильно – не с метафизической точки зрения, на которую математики не обратили бы внимания, а с точки зрения внутренней логики самого понятия множества. Поэтому для универсального множества ставят условные ограничения. В приведенном выше примере, когда скучающий гость рассматривает обувь всех приглашенных на прием, мы можем считать универсальным множеством U «всю обувь, которая есть на приеме». Но для нас также удобно расширить это множество до всей обуви, произведенной в стране, если, например, мы рассматриваем определенные марки. Или мы легко могли бы принять за универсальное множество «всю обувь мира». Главное – множество должно быть достаточно большим, чтобы нам было удобно оперировать членами внутри него. Разумеется, если мы будем следовать такому алгоритму, то в наших универсальных множествах в итоге всегда будет бесконечное количество элементов. Неудивительно, что история теории множеств тесно связана с понятием бесконечности, в частности с понятием актуальной бесконечности и необходимостью создавать математические объекты с бесконечным количеством элементов.

Несмотря на то что первые понятия множеств были выведены еще Бернардом Больцано (1781-1848), создателем этой теории является Георг Кантор (1845-1918). Можно сказать, что она родилась в 1874 году в работе Кантора, опубликованной в престижном «Журнале Крелля» под названием Über eine Eigenschaft des Ibegriffes aller reellen algebraischen Zahlen («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»).

Впервые аксиомы для теории множеств вывел немецкий математик и логик Готлоб Фреге (1848-1925), который хотел придать ей логическую структуру. Эта серия аксиом должна была не только обеспечить правильность операций с множествами, но и неким образом, явно или нет, выявить само определение множества. Так или иначе, эта система аксиом просуществовала очень недолго, так как в теории был открыт коварный парадокс.

ПАРАДОКС РАССЕЛА

В 1903 году Бертран Рассел доказал, что в теории множеств Кантора таится противоречие, и поставил под вопрос само определение множества. Кантор понял это, когда столкнулся с тем, что множество всех множеств не может существовать, так как множество никогда не может являться частью самого себя. Предположим, что существует два типа множеств, – те, что принадлежат сами себе, и те, которые не принадлежат. Назовем, например, множество всех существующих столов М. Пусть m – произвольный стол. Следовательно, m принадлежит М:

m ϵ М

Разумеется, множество всех столов не является столом. Следовательно, мы можем утверждать, что

М┐ϵ М.

(здесь ┐ϵ  заменяет отсутствующий символ "перечеркнутое  ϵ ")

Таким образом, это пример множества, не принадлежащего самому себе. Теперь рассмотрим множество T, состоящее из всех множеств, которые содержат более трех членов. Если мы возьмем множество р, образованное парой одинаковых элементов, то получим, что

р┐ϵ Т.

У множества T, разумеется, больше трех элементов – их бесконечное количество, поэтому

T┐ϵ T.

Следовательно, это пример множества, принадлежащего самому себе.

Тогда Рассел вводит следующее множество R:

«R состоит из множеств, которые не являются элементами самих себя».

Исходя из предыдущих примеров, мы имеем:

M┐ϵ R и T┐ϵ R.

В этом случае вопрос Рассела звучит так:

R┐ϵ R?

Если ответ да, то R не может быть элементом R, так как содержит само себя и, следовательно, не принадлежит само себе. Если же ответ нет, то множество R не принадлежит само себе. Таким образом, в любом случае мы получаем элемент, который одновременно и принадлежит, и не принадлежит некоему множеству, что является парадоксом, или, выражаясь языком логики, противоречием. Проблема, лежащая в его основе, заключалась в том, что в рамках теории Кантора ничто не запрещало образовывать такие множества, как множества Рассела. Следовательно, надо было создать такую аксиоматику, которая не оставила бы места множествам такого типа.

МЕТОД ФОН НЕЙМАНА

Немецкий логик и математик Эрнст Цермело (1871-1953) сформулировал семь аксиом, с помощью которых не только хотел придать логическую основательность теории множеств, но и избежать таких спорных ситуаций, как в парадоксе Рассела. Для этого Цермело дал определение основным понятиям и их отношениям. За аксиому принималось существование самого множества, пустого множества, объединения и пересечения множеств, а также части множества. Таким образом гарантировалось точное существование множеств, на которых можно было основываться и которые позволяли доказать фундаментальные для анализа теоремы. В то же время из игры исключались ненадежные множества, которые могли привести к парадоксам.

Бертран Рассел, один из основателей аналитической философии. Портрет маслом кисти Роджера Фрая, 1923 год.

В Геттингенском университете фон Нейман (фотография 1940-х годов) познакомился с Давидом Гильбертом, чьи труды оказали на него большое влияние.

Медная гравюра, на которой изображено здание Гёттингенского университета и библиотеки. Около 1815 года.

Позже теория множеств Цермело была дополнена и расширена Абрахамом Галеви Френкелем (1891-1965). Так появилась система аксиом, ставшая известной как аксиоматика Цермело – Френкеля. Пользуясь сравнением Анри Пуанкаре (1854-1912), теперь овцы были окружены забором, который защищал их от волков, оставшихся снаружи, но при этом было неизвестно, не спрятался ли какой-нибудь волк внутри. Другими словами, система Цермело – Френкеля позволяла создавать все необходимые для математики множества, но не исключала вероятности существования множеств, принадлежащих самим себе, – затаившихся внутри ограды волков.

Существует такое бесконечное множество А, которое не является слишком большим.

Джон фон Нейман

Фон Нейман предложил для решения этой проблемы два способа, которые дополняли друг друга: аксиому регулярности и понятие класса. Обе эти модели он изложил в 1928 году в своей докторской диссертации Die Automatisierung der Mengenlehere {«Аксиоматизация теории множеств»), которую защитил в Будапештском университете.

При помощи аксиомы регулярности и следуя аксиомам Цермело фон Нейман строил множества снизу вверх, так, что если одно множество принадлежало другому, то оно обязательно было первым в последовательности. При этом исключалась вероятность того, что множество принадлежит само себе. Важно подчеркнуть, что метод, использованный фон Нейманом для демонстрации этого результата, стал фундаментальным для многих доказательств теории множеств и используется по сей день.

Другой его метод, связанный с понятием класса, состоял в использовании функций для определения множеств.

ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Функция принадлежности, применяемая для множества, принимает только два значения – 0 и 1 – исходя из заданного критерия. Его устанавливают так, что все элементы, принимающие значение 1, – это именно те, что составляют множество, которое мы хотим определить. Рассмотрим множество всех четных чисел. С помощью функции с его можно определить следующим образом: с (4) = 1; с (7) = 0; с (31) = 0; с (220) = 1. То есть функция с равна 1, когда применяется к четному числу, и 0 – когда к нечетному (см. рисунок). Таким образом, множество всех четных чисел – это множество, образованное всеми числами, для которых функция принадлежности принимает значение 1. Следовательно, множества можно определять с помощью функций.

Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами – это особый вид соотношений между элементами первого и второго множеств. Например, если первое множество состоит из рубашек, а второе – из брюк, мы можем установить между ними следующее соответствие: каждой рубашке первого множества соответствует пара брюк такого же размера из второго. Тогда мы скажем, что брюки – отображение определенной рубашки. Может случиться, что у одной рубашки будет размер XXL, а среди брюк не будет ни одной пары этого размера; тогда мы скажем, что у этой рубашки нет отображения. Или может быть, что одной рубашке соответствуют несколько пар брюк того же размера. В этом случае мы скажем, что у рубашки несколько отображений. Когда каждому элементу соответствует только одно отображение, мы говорим о взаимно однозначном отображении, или о биективной функции. Например, биективной будет функция, переводящая каждое число множества целых чисел в то же число, умноженное на два. Назовем эту функцию ƒ. Мы получим, что ƒ(2) = 4; ƒ(5) = 10; ƒ(14) = 28... Если вместо того чтобы записывать через функцию значения, которые принимает каждый элемент, мы запишем их в скобках, то получим тот же результат: