Текст книги "Трехмерный мир. Евклид. Геометрия"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 7 страниц)

ГЛАВА 6

Квадратура круга

Одним из главных достижений пифагорейской школы было открытие возможности построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Но было ли это справедливо для круга и других фигур с одной или всеми изогнутыми сторонами? Этот вопрос занимал не только математиков, но и мыслителей, и со временем выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи.

Метод танграма позволяет построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Вследствие любви к обобщению древнегреческие геометры задавались вопросом: можно ли свести к квадрату фигуры с округленными сторонами и, в частности, идеальную фигуру – круг? Первым к решению этой задачи приступил гениальный математик Гиппократ Хиосский. Он разработал серповидные фигуры (гиппократовы луночки): одну над окружностью, другую – над меньшей частью окружности и еще одну – над ее большей частью. Для доказательства, основанного на методе танграма, Гиппократу были необходимы два результата:

– теорема Пифагора;

– доказательство того, что соотношение площадей двух окружностей равно соотношению квадратов их диаметров.

Маловероятно, что Гиппократ располагал этими доказательствами: скорее всего, он интуитивно догадался об их существовании. Сейчас мы подробно рассмотрим решение задачи квадратуры луночки над окружностью.

Рассмотрим дугу AGB, проведенную над стороной АВ квадрата ADEB_y и полуокружность АСВ. Между ними находится луночка AGBCAy выделенная на рисунке 1 серым цветом. Докажем, что ее площадь равна площади равнобедренного ΔАСВ. Луночка состоит из треугольника АСВ за вычетом сегмента S плюс два равных сегмента S₁ и S₂:

площадь AGBCA = площади АСВ – S + (S₁ + S₂).

Так Гиппократ применяет метод танграма. Все сводится, следовательно, к доказательству того, что S = S₁ + S₂. Из теоремы Пифагора мы знаем, что

АВ^² = АС^² + СВ^². (*)

РИС. 1

Теперь достаточно объединить площади поверхностей S с указанными выше квадратами. Как мы уже сказали, Гиппократ предполагал, что круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров, то есть выполняется соотношение

S/АВ² = S₁/AC² = S₂/CB²

Следовательно,

S/AB² = (S₁ + S₂)/(АС² + СВ²)

(исходя из предложения 12 книги V). Согласно (*) получается, что S = S₁ +S₂. Действительно, очень изящное доказательство! Так была открыта дорога к решению задачи о квадратуре круга.

БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД

Древнегреческие софисты Антифонт (480-411 до н. э.) и Брисон (ок. V века до н. э.) также занимались вопросом квадратуры круга и пришли к простому и бесспорному на первый взгляд выводу. Они предлагали описать круг методом приближения вписанных в него (Брисон добавлял – и описанных) многоугольников, построенных путем разделения пополам каждой стороны круга, то есть переходя от квадрата к восьмиугольнику, 16-угольнику и так далее. Таким образом можно получить последовательность плоских прямоугольных фигур, которые содержат в себе круг (см. рисунок 2). Вписывая в него и описывая вокруг него квадрат, 8-, 16-угольник и так далее, мы получаем последовательность плоских прямоугольных фигур, содержащих круг, причем все они сводимы к квадрату:

P₄ < P₈ < P₁₆ < ... < Ρ₂n <···< Ρ₂n <···< Ρ₁₆ < Ρ₈ < Ρ₄.

РИС. 2

Но есть ли гарантия, что все фигуры этого бесконечного ряда будут сводимы к квадрату? Напомним, что Аристотель запретил прибегать к понятию бесконечности – чтобы сделать невозможными подобные рассуждения. Рассмотрим следующее предложение, явно неверное:

Две стороны треугольника равны по длине третьей стороне (рисунок 3 на следующей странице).

Мы видим, что длина отрезков, составляющих ломаную линию, идущую от точки А до точки В, равна сумме длин сторон АС и СВ: АС + СВ = АС₁ + С₁А₁ + А₁С"₁ + С'₁В.

Если мы доведем эту последовательность до предела, ломаная линия сольется со стороной АВ, что доказывает ложность данного предложения. Гипотеза, верная до того, как ее «довели до предела», может оказаться ошибочной после этого.

РИС. 3

ПЛОЩАДЬ КРУГА В НАЧАЛАХ»

Евклид открывает книгу XII двумя предложениями, которые устанавливают одну и ту же теорему для правильных многоугольников, вписанных в круг, и для круга.

Книга XII, предложение 1. Подобные многоугольники, вписанные в круги, будут относиться друг к другу как квадраты диаметров этих кругов.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

Первое предложение является прямым следствием теоремы Фалеса применительно к площадям, поскольку достаточно убедиться, что каждый из центральных треугольников, на которые раскладываются правильные многоугольники, подтверждает теорему Фалеса. Второе можно было бы доказать методом бесконечного ряда, но рассуждения, в которых используется понятие бесконечности, были неприемлемы для древнегреческих ученых (хотя в этом случае это было бы правильно). Евклид мог бы довести до предела предложение 2 книги XII таким образом: если для каждого многоугольника п вида п=2k справедливо соотношение

Р¹_n/d²₁ ⁼ Р²_n/d²₂

и в самом крайнем случае Р¹_n равно S₁ а Р²_n равно S₂ то есть от многоугольника переходим к кругу и получаем:

S₁/d²₁ = S₂/d²₂

Ч.Т.Д.

РИС. 4

Правильные многоугольники с 4,8,16,... сторонами все больше заполняют площадь круга.

Отказавшись от предела последовательности, нам остается только применить метод исчерпывания, то есть доказать, что квадрат, вписанный в круг, покрывает больше половины его площади. Если мы добавим треугольники, чтобы получить из квадрата восьмиугольник, получится больше половины площади, оставшейся после того, как мы уберем треугольник, и так далее. В какой-то момент вписанная в круг S многосторонняя фигура Р2k заполнит его так, что оставшееся пространство будет меньше любой другой предыдущей фигуры (см. рисунок 4).

Обратим внимание, что аналогично сказанному в предыдущей главе касательно сегмента параболы равнобедренный треугольник, который мы добавили к каждой стороне квадрата, чтобы получить восьмиугольник, покрывал более половины сегмента окружности, то есть четверть того, что остается от круга, когда мы убираем вписанный квадрат. Затем мы применили те же самые рассуждения к равнобедренным треугольникам, которые строятся на сторонах правильного восьмиугольника, чтобы получить 16-угольник, и так далее. Каждый раз фигуры покрывают более половины, что и необходимо для применения метода исчерпывания.

Пользуясь этим инструментом, Евклид выдвинул два предположения: соотношение площадей либо больше соотношения квадратов диаметров, либо меньше. Запишем оба случая:

(1) S₁/S₂ < d²₁/d²₂ или (2) S₁/S₂ > d²₁/d²₂

В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, соотношение между площадями и квадратами диаметров есть соотношение равенства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 2 ИЗ КНИГИ XII

В случае когда

S₁/S₂ < d²₁/d²₂ (1)

предположим, что существует такая площадь S < S₂, для которой

S₁/S₂ = d²₁/d²₂

Затем рассмотрим площадь Е = S₂ – S. Метод исчерпывания гарантирует, что существует некий многоугольник Р₂, вписанный в S₂, который заполняет его так, что S₂ – Р₂ < Е = S₂ -S. Это приводит к неравенству S < Р₂. Теперь рассмотрим многоугольник Р₂, вписанный в круг (то есть Р₂ < S₁, подобный P₂. Из предложения 1 книги XII мы знаем, что

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ ,

где n = 2^k. Исходя из общего понятия 1 мы имеем

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ = S₁/S₂,

где S < Р₂ и Р₂ < S₁, что противоречит определению равенства соотношений (книга V, определение 5). Следовательно, первое допущение (1) неверно. Затем Евклид таким же образом рассматривает второе допущение

S₁/S₂ > d²₁/d²₂ (2)

и приходит к выводу, что оно также неверно. Следовательно, отношение должно быть следующим:

S₁/d²₁ = S₂/d²₂

Возникают два вопроса. Откуда Евклид знал, что он должен был доказать? Другими словами, почему он взял соотношение именно между площадями и диаметрами? Он неявно использовал метод доведения до предела, который мы рассмотрели выше? Мы не знаем. С другой стороны, для доказательства (1) Евклид предположил существование площади S < S₂, при которой

S₁/S = d²₁/d²₂ .

Это означает, что при данных площадях S₁, d²₁, d²₂ он предположил существование «площади S, являющейся четвертой пропорциональной». Однако Евклид доказал ее существование только для трех прямых, а не для трех площадей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА π

Во второй половине XIX века англичанин Генри Ринд приобрел папирус, датированный примерно 1650 годом до н.э. и названный впоследствии его именем. Этот папирус, в свою очередь, был копией еще более древнего папируса, 1800 года до н.э., и содержал задачи по определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Его автор, писец Ахмес, хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело его к определению числа π. В древности его обычно считали равным 3. Однако Ахмес предложил более точное значение π, приблизительно сведя окружность к восьмиугольнику

Дан квадрат, состоящий из девяти частей по сторонам. Разделим его на девять квадратов так, что сторона каждого из них будет равна трем этим частям. Уберем четыре прямоугольных треугольника с вершинами, образующимися при проведении диагонали. Площадь получившегося восьмиугольника будет равна

9^² – 4 x (3 x 3)/2 = 81 -18 = 63

частей в квадрате. Построим площадь круга с диаметром, равным девяти частям и 64 частям в квадрате [то есть 64 – квадрат числа]. Значение к при этом приближении будет равно

π = 64/(9/2)² = (16/9)² = 3.16...

Такое значение π, действительное для всех фигур (то есть при любом значении диаметра d), получается при наложении двух плоских фигур – круга и восьмиугольника. Более тысячи лет спустя Архимед, мудрец из Сиракуз, в своем кратком сочинении «Об измерении круга» изложил два новых результата.

Предложение 1. Отношение L/d, возникающее между длиной окружности L и ее диаметром d, будет равно величине, находящейся между 223/71 и 22/7.

Предложение 2. Площадь круга S равна площади прямоугольного треугольника T, катеты которого равны радиусу r круга и длине L его окружности.

В доказательстве предложения 2 Архимед использовал метод исчерпывания, как и Евклид в предложении 2 книги XII. Он предположил, что

(1) S > T, и (2) S < T,

а затем показал: оба варианта ведут к противоречию. Следовательно, S должно непременно равняться Т. Но каким образом он догадался о существовании этого соотношения? Об этом мы никогда не узнаем.

Что касается предложения 1, Архимед использовал длины сторон l₆, l₁₂, l₂₄, l₄₈, l₉₆; L₆, L₂₄, L₁₂, L₄₈, L₉₆, соответствующих вписанным и описанным многоугольникам с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Для расчета этих длин он предложил итеративный алгоритм, с помощью которого начиная с ln можно было вычислить длину l_2n, а с помощью L_n – L_2n, где n равно 6. В конце Архимед выразил отношение L₉₆ < L < L₉₆ и пришел к следующему результату:

223/71 < L/d < 22/7

Математик сделал важное наблюдение: соотношение между площадью круга S и радиусом в квадрате r² и соотношение между длиной L окружности и ее диаметром d=2r равны. Числовое значение этого соотношения обозначается буквой π.

Другими словами, Архимед установил, что

S/r2 = L/d = π

Открытия, совершенные Евдоксом и систематизированные Евклидом, позволяют добиться значительных результатов в изучении круга и окружности. Необходимо также учесть, что Архимед использовал периметры, в то время как в папирусе Ринда и тексте Евклида говорится о площадях.

НЕСБЫТОЧНАЯ МЕЧТА

Решение задачи квадратуры круга «по-гречески», то есть при помощи линейки и циркуля, ускользало от геометров на протяжении нескольких столетий. В 414 году до н. э. афинский драматург Аристофан назвал своего персонажа, который хвалился тем, что построил квадратуру круга, шарлатаном. Но трудности не помешали многим выдающимся математикам делать попытки там, где потерпели поражение предшественники. Николай Кузанский (1401-1464), Оронций Финеус (1494-1555) и Грегуар де Сен-Венсан (1584-1667) опубликовали фантастические методы получения квадратуры круга, которые оказались ложными. В то же самое время Джеймс Грегори (1638-1675) и Иоганн Бернулли (1667-1748) разработали различные способы, позволяющие подойти к решению этой задачи с другой стороны. Немецкий ученый Иоганн Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным. Его соотечественник Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) в 1880 году открыл, что π – еще и трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Это делало невозможным построение квадратуры круга при помощи только линейки и циркуля. Так пришлось отказаться от решения тысячелетней задачи, а мечты легиона искателей квадратуры круга, среди которых были английский философ Томас Гоббс и даже Наполеон, пошли прахом.

ГЛАВА 7

Арифметика в «Началах»

В «Началах» говорится преимущественно о геометрии.

Однако это сочинение также содержит три книги, написанные под явным влиянием пифагорейской школы и не зависящие от остальных. В них Евклид рассказывает об элементарных результатах теории делимости, в том числе о знаменитом алгоритме нахождения наибольшего общего делителя.

Для того чтобы понять книги VII, VIII и IX, необходимо владеть некоторыми основными понятиями. В книге VII Евклид дает все арифметические определения, которыми пользуется позже, но не представляет ни одного постулата. Самыми важными определениями являются следующие.

1 .Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число – множество, составленное из единиц.

3. Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее.

4. «Части же – если оно его не измеряет».

5. Кратное же – большее от меньшего, если оно измеряется меньшим.

6. Четное число есть делящееся пополам.

7. Нечетное число есть [...] отличающееся на единицу от четного числа.

8. Четно-четное число есть четным числом измеряемое четное число раз.

9. Четно же нечетное есть четным числом измеряемое нечетное число раз.

10. Нечетно-четное есть нечетным числом измеряемое четным числом раз.

12. Простое число есть измеряемое только единицей.

13. Простые между собой числа суть измеряемые только единицей как общей мерой.

14. Составное число есть измеряемое некоторым числом.

21. Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же частями.

23. Совершенное число есть то, которое будет равным своим частям (делителей).

Первое определение является чисто философским. В нем отрицается числовая природа единицы, хотя Евклид использо вал ее как число – например, в следующем определении. Он также различает понятия «часть» (2 – часть 6, так как является его делителем) и «части» (5 – «части» 6 по противоположной причине). Здесь наблюдается аналогия с книгой V, хотя в ней вместо «части» говорится об «отношении», гораздо более сложном понятии. «Части» – основа многих арифметических доказательств Евклида: он рассматривает их в книге VII и прибегает к ним в книгах VIII и IX. Евклид также устанавливает различие между четным числом (N = n + n = 2n) и нечетным (N = 2n + 1) и предлагает классификацию чисел (не очень точную) на основе формул, которые мы сегодня бы записали так:

2^m, 2^m(2n + + 1), (2m +1) (2n + 1). Самые важные понятия книги VII – понятие «первого» (простого) числа, «составного» и чисел, «первых между собой». Определение 20 сегодня выглядело бы так:

m/n = p/q

только если существует такое λ Є Q, при котором если n = λ х m, то q = λ х р.

В заключение Евклид приводит довольно спорное определение совершенного числа, которое вряд ли принадлежит пифагорейской школе VI века. Некоторые приписывают его Гиппократу Хиосскому.

Математика – царица наук, а арифметика – царица математики.

Карл Фридрих Гаусс

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Книга VII начинается со знаменитого алгоритма Евклида, который изучается еще в школе:

если даны два числа т и п, то существует число р, являющееся частью и m, и n.

Его смысл заключается в следующем: от большего числа, например m, вычитается меньшее, n, столько раз, сколько возможно. Остается число r < n и рассматривается пара n, r, процедура повторяется несколько раз, в результате чего мы имеем последовательность пар m, n; n, r, r, s; s, t; t, u; ...; х, y, y, z.

В какой-то момент 2 будет равна у, и это означает, что отнимать больше нечего. Выполняя обратное действие, мы убеждаемся, что у является делителем х и, в конце концов, что z делит и m, и n. К тому же это их наибольший общий делитель, так как любой общий для m и n делитель d делит также и 2.

Таким образом, z называется наибольшим общим делителем пары m и n. Сумма общих делителей m и n обычно обозначается как v. Если v равна единице, то m и n являются «первыми между собой». Этот метод определения отношений между числами называется взаимным вычитанием. Мы уже рассматривали его с геометрической точки зрения, когда анализировали несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Основное различие между этими случаями состоит в том, что, согласно Евклиду, в арифметике этот процесс должен рано или поздно подойти к концу, а в геометрии он продолжается до бесконечности.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА В ДЕЙСТВИИ

Из алгоритма Евклида следует, что

m = q₀ ∙ n + r₁    r₁ < n

n = q₁ ∙ r₁ + r₂    r₂ < r₁

r₁ = q₂ ∙r₂ + r₃   r₃ < r₂

...

r_k-1 = q_k ∙ r_k.

С одной стороны, r_k-2 = q_{k-1 ∙} r_k-1 + r_k, с другой – r_k-1 = q_{k ∙} r_k. Таким образом, r_k-2 = q_k-1 ∙ (q_k ∙ r_k) + r_k = (q_k-1 ∙ q_k + 1) ^_∙ r_k, где q_k-1 ∙ q_k + 1 – натуральное число. Следовательно, r_k является точным делителем r_k-2.

При помощи аналогичного рассуждения, но обращенного вперед, мы получаем, что если d является общим делителем m и n, так как по построению m = q₀ ∙ n + r₁, то r₁ = m – q_{0 ∙} n, где m = m₁ ∙ d, n=n₁ ∙ d. Следовательно, r₁ = m₁ ∙ d – (q₀ ∙ n₁) ∙ d = (m₁-(q_{0 ∙} n₁)) ∙ d. Значит, d является делителем r₁, что и требовалось доказать.

В книге X Евклид использует этот алгоритм для величин вообще, а не только для чисел, и приходит к выводу, что взаимное вычитание имеет конец, только если обе величины соизмеримы и, следовательно, могут быть выражены с помощью чисел. Другими словами, если они несоизмеримы, то взаимное вычитание можно производить бесконечно. Об этом говорится в предложениях 2 и 3 книги X. Несмотря на сделанные открытия, Евклиду не удалось полностью использовать потенциал этого метода так, как это сделали индийские и китайские математики.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА В ДЕЙСТВИИ

Книга VII, предложение 17. Если число, умножая два числа, производит нечто, то возникающие из них будут иметь то же самое отношение, что и умножаемые [коммутативное свойство результата].

Книга VII, предложение 18. Если два числа, умножая некоторое число, производят нечто, то возникающие из них: будут иметь то же самое отношение, что и умножающие.

Книга VII, предложение 19. m/n = p/q, только если m х q = n х p.

Книга VII, предложение 20. Числа, наименьшие из имеющих то же самое отношение с ними, равное число раз измеряют имеющие то же самое отношение числа, причем большее измеряет большее, а меньшее – меньшее.

Книга VII, предложение 24. Если (p,m) = 1 , то (p,m х n) = 1.

Книга VII, предложение 29. Если p – первое число, не являющееся частью n, то (p,n) = 1.

Книга VII, предложение 30. Если р – первое число и делитель m х n, то p – часть одного из множителей m и n.

Книга VII, предложение 31. Всякое составное число измеряется каким-то простым числом.

Книга VII, предложение 32. Всякое число или простое, или измеряется каким-то простым числом.

Книга IX, предложение 14. Если число будет наименьшим измеряемым данными простыми числами, то оно не измерится никаким иным простым числом, кроме первоначально измерявших его.

Книга IX, предложение 20. Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел.

В доказательстве 31 книги X Евклид пользуется подразумевающимся постулатом. Он рассуждает следующим образом: пусть N– составное число, тогда его делителем (его частью) будет N’< N. Предположим, что это не простое число. Значит, оно, в свою очередь, составное и имеет делитель (часть) N" < Ν' < N и так далее. Невозможно, что не найдется никакого простого числа Р, потому что в противном случае у нас будет бесконечная последовательность... <Νⁿ< ... < Ν"< Ν'< Ν. Согласно Евклиду, это невозможно. Таким образом, он постулирует невозможность убывающей последовательности первых чисел.

Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человека.

Леопольд Кронекер (1823-1891)

Пьер де Ферма впоследствии назвал это свойство методом бесконечного спуска и достиг с его помощью важнейших результатов, приведших к возрождению арифметики.

Предложение 14 книги IX иногда называют основной теоремой арифметики (каждое целое число больше 1 или простое, или может быть записано в виде произведения простых чисел), выраженной математическим языком той эпохи. Чтобы утверждать это с полным правом, нам нужно знать, отличаются эти простые числа или могут быть равны. Во втором случае мы получим основную теорему.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

В предыдущих главах мы говорили об ограничениях, наложенных Аристотелем на использование понятия бесконечности. В предложении 20 книги IX {«Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел») Евклид соблюдает это ограничение и проявляет большую осторожность, чтобы не сказать о «бесконечном ряде простых чисел». И тем не менее существует ли алгоритм, позволяющий получать все больше и больше простых чисел? Евклид ничего не говорил по этому поводу. Лишь позже, в «Арифметике» Никомаха Герасского (ок. 60 – ок. 120) рассказывается о решете Эратосфена – методе, названном по имени изобретшего его математика:

«Способ получения всех этих чисел Эратосфен назвал решетом, потому что здесь сначала берутся нечетные числа, все вместе и без различий между ними, а затем этим производящим методом отделяются, как посредством решета, первичные числа от составных. Способ решета состоит в следующем. Начинают с тройки, а потом располагают в ряд все числа, кратные трем, пропуская два числа через каждые три и убирая третье. Потом переходят к первому оставшемуся числу, пятерке; пропускают четыре числа и убирают пятое; затем то же проделывают с семеркой, и так дальше, начиная всякий раз с первого неубранного числа».

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

Хотя Евклид и дал правильное определение простых чисел, а также теорему, чтобы породить совершенные числа, он не снабдил ее никаким примером. Соответствующее предложение может показаться неясным, возможно потому что оно представлено в описательной форме.

Книга IX, предложение 36. Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их сумма не станет первым числом, [...] то возникающее число будет совершенным.

Евклид имеет в виду следующее:

Если 1,2, 2², 2³, ..., 2ⁿ последовательно удваивать, то их сумма будет

S_n=1 + 2 + 2² + 2³+...+ 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ -1; если S_n – простое число, то Р_n = 2ⁿ x S_n = 2ⁿx(2ⁿ⁺¹-1) – совершенное число (четное).

Евклиду удалось получить этот результат, потому что в предложении 35 книги IX он уже дал формулу, необходимую для сложения чисел из последовательности 1, 2, 2², 2³, ..., 2ⁿ. Он также обратил внимание, что единственные рассмотренные делители Р, 1, 2, 2², 2³,..., 2ⁿ и S_n, 2 х S_n, 2² х S_n, 2³ x S_n,..., 2^n-1 x S_n. Он сложил их и получил результат теоремы: сумму делителей 1, 2, 2², 2³, ..., 2ⁿ,

равную S_n = 2^{n + 1} – 1, и сумму делителей S_n, 2 x S ,2² x S ,2³ x S ,..., 2^n-1 x S и (2ⁿ – 1) x S . Сумма двух результатов – Р_n = S_n + (2n– 1) х S_n = 2ⁿ х S_n = 2ⁿ х (2^{n + 1} – 1). Ч. Т. Д.

Первые примеры

В «Арифметике» Никомах Герасский устанавливает, что совершенными числами являются 6,28,496 и 8126. Из этого он делает следующие выводы.

1. Совершенные числа (четные) оканчиваются на 6 и 8 (верно).

2.Они чередуются (неверно).

3.Существует одно совершенное число на каждый десятичный порядок – среди единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее (неверно).

В XVIII веке Эйлер доказал теорему, взаимодополняющую теорему Евклида: каждое совершенное число (четное) имеет вид 2ⁿ х (2ⁿ⁺¹-1), где 2ⁿ⁺¹-1 – простое число. На сегодняшний день все еще существуют нерешенные вопросы относительно совершенных чисел: неизвестно, бесконечен ли их ряд и существуют ли совершенные нечетные числа.

Начнем с последовательности нечетных чисел.

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

77

79

81

83

85

87

89

91

93

95

97

99

101

103

Начиная с 3 уберем третьи числа через каждые два.

3

5

7

11

13

17

19

23

25

29

31

35

37

41

43

47

49

53

55

59

61

65

67

71

73

77

79

83

85

89

91

95

97

101

103

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

49

53

59

61

67

71

73

77

79

83

89

91

97

101

103

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

ПИФАГОРОВА ТРОЙКА

Последняя задача, которую стоит разобрать, – это алгоритм получения пифагоровых троек – трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а² + b² = с².

Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число – это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n^² + (2n + 1) = (n+1)^². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза – два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k^², где k – нечетное число. Следовательно,

n = (k² – 1)/2, k нечетное.

Так можно получить тройки n = (k² – 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,

где k – нечетное число, образующее следующие таблицы.

Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n – 1)^², n^². Чтобы перейти от c_n = n^² к c_{n + 1} = (n + 1)^², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.

a = k, где k нечетное

3

5

7

9

11

13

15

...

b = n = n = (k² – 1)/2

4

12

24

40

60

84

112

...

c = n + 1 = n = (k² + 1)/2

5

13

25

41

61

85

113

...

Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n – 1)^² к (n + 1)^². Для этого надо сложить два гномона: 2n – 1, позволяющий перейти от (n – 1)^² к n^², и 2n + 1, позволяющий перейти от n^² к (n + 1)^². Всего надо добавить 4n. То есть (n – 1)^² + 4n = (n + 1)^². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k^². Так мы получаем тройки k^² – 1, 2k и k^² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

k

2

3

4

5

6

7

8

a = k²– 1

3

8

15

24

35

48

63

b = 2k

4

6

8

10

12

14

16

с = k² +1

5

10

17

26

37

50

65

Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ^²-μ^², b = 2λμ, c = λ^² + μ^², где λ и μ – взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 – натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

ГЛАВА 8

Распространение «Начал»

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.

«Начала» являют собой блестящий синтез трех веков достижений древнегреческой математики. Значение этого наследия было оценено уже в эпоху самого Евклида. На протяжении всей истории – в римский период, арабский, в Средние века и вплоть до наших дней – этот текст множество раз публиковали в более или менее полном виде.

Впервые он был издан в 370 году Теоном Александрийским; его версия может считаться основной традицией, на которую опираются все последующие.

Одной из самых великих научных традиций является арабская. Математики IX-X веков из багдадского Дома мудрости (эта эпоха и место имели огромное историческое значение для мировой культуры, науки в общем и для математики в частности) оценили значение «Начал», и благодаря их исследованиям и комментариям (из которых надо особо отметить комментарии Аль-Харизи и Ибн Малика) труды Евклида и других греческих мыслителей начиная с XII века стали возвращаться в Европу. К тому же периоду относятся переводы «Начал» на латынь, над которыми особенно потрудились переводчики из знаменитой толедской школы и, в меньшей мере, школы города Риполь.

МАНУСКРИПТЫ И ИЗДАНИЯ

Самый древний сохранившийся манускрипт «Начал» Евклида относится к X веку (если не учитывать отрывок, датированный между 75 и 125 годами). Он был обнаружен на свалке города Оксиринх, близ современной Эль-Бахнасы, в 160 км от Каира, во время раскопок, проводимых Бернардом Гренфеллом и Артуром Хантом для Оксфордского университета в 1896– 1897 годах. В таблице кратко перечислены основные рукописи «Начал». От некоторых остался всего один экземпляр.