Текст книги "Трехмерный мир. Евклид. Геометрия"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 7 страниц)

«Никто не может одновременно служить двум господам. Нельзя служить правде и лжи. Если евклидова геометрия верна, то неевклидова – ложна. Если верна неевклидова геометрия, то ложна евклидова. [...] Или так, или эдак! От какой же надо отказаться – от евклидовой или неевклидовой? Вот в чем вопрос».

Но все не так просто. Если мы будем исходить из гипотезы о том, что верна одна геометрия – например, геометрия Евклида, – то мы можем построить в ней такие поверхности, как сфера, обладающие эллиптической геометрией, и другие – при помощи геометрии внутреннего двора: первым таким примером стала псевдосфера Эудженио Бельтрами (1835-1900) в гиперболической геометрии. Другими словами, правильность одной геометрии подразумевает правильность и остальных, поскольку во всех них существуют поверхности или пространства, где они могут быть справедливы.

ТРАКТРИСА И ПСЕВДОСФЕРА

Если мы возьмем трактрису – кривую, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с осью OY является постоянной величиной (см. рисунок), – и будем вращать ее вокруг OY (ее асимптоты), то получим псевдосферу, первую модель гиперболической геометрии.

В 1899 году Гильберт опубликовал работу «Основания геометрии», в которой переписал «Начала» Евклида, дав им твердое основание и не прибегая ни к интуиции, ни к рисункам. Основные объекты – будь то «точки, прямые и плоскости» или «стулья, столы и пивные стаканы», как говорил Гильберт,– определялись исключительно аксиомами, которые устанавливали отношения между ними. Интересно, что Евклид принял за «истинную» не сферическую, а идеальную геометрию, основанную на абсолютно правильных построениях, а не на том, что мы видим вокруг. Единственно возможное объяснение – влияние Платона, благодаря которому Евклид по умолчанию признавал существование этой идеальной геометрии, не подверженной воздействию другой реальности, не подразумевающейся в ней самой.

ИТАК, ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ – ЭТО...

Во Вселенной геометрия связана с поверхностью, на которой она рассматривается, то есть с геометрическими объектами. Представим, что мы, как современный Архимед, лежим в ванне и рисуем прямые линии на ее стенках: некоторые из них – на дне – будут прямыми в евклидовом смысле слова, другие будут восходящими кривыми (те, что идут со дна ванны вверх по стенкам) и нисходящими (те, что идут по стене от верхнего бортика). Теперь зададимся вопросом: почему некоторые из них могут называться прямыми, а другие нет?

Общая теория относительности Эйнштейна утверждает, что пространство и, следовательно, прямые, которые в нем содержатся, деформируются в присутствии значительных масс или энергий. Представим себе тяжелый свинцовый шар на большом барабане: его мембрана деформируется, то есть изгибается. Если шарик поменьше будет вращаться по краю, то по спирали «упадет» в центр. В пространстве происходит нечто похожее: тела с большой массой, аналогично свинцовому шару, искривляют пространственно-временной континуум и оказывают влияние на другие тела. Пространство подобно земной поверхности, форма которой также неидеальна, и тем не менее никто не отрицает, что в общем поверхность нашей планеты можно назвать шарообразной. Какова же геометрия Вселенной? Тела, обладающие большой массой и большой энергией, локально изменяют пространство, но если брать Вселенную в целом, какова ее геометрия? Можно ли считать ее евклидовой, гиперболической или эллиптической? Ответ надо искать не в математике, потому что математически все эти геометрии имеют право на существование: все они основаны на формальных принципах и обладают внутренней логикой. Ответ кроется в окружающей нас реальности.

Более века назад Карл Фридрих Гаусс задался тем же вопросом, что и мы. Как устроена Вселенная? Какова ее геометрия? Ученый пришел к выводу, что если бы он смог измерить три внутренних угла треугольника, вершинами которого являются три отдаленные друг от друга звезды, то понял бы геометрию Вселенной. Мы знаем, что...

Если сумма трех углов -

>180°

= 180°

<180°

то геометрия вселенной.

эллиптическая (сферическая)

евклидова

гиперболическая.

Но расчеты Лобачевского и Фридриха Бесселя (1784– 1846), астронома и друга Гаусса, не дали никаких результатов. В 1981 году американский физик Алан Гут (1947) ввел понятие плотности Вселенной, которая равна отношению массы материи к единице объема. Существует ее критическое значение – ρ₀ = 4 х 10^-27 кг/м³. Оно определяет геометрию Вселенной и ее последующее развитие (см. таблицу).

Варианты развития Вселенной

Плотность

Геометрия

Будущее

>ρ

₀

Сферическая

Коллапс

=ρ

₀

Евклидова

Плавное расширение

<ρ

₀

Гиперболическая

Резкое расширение

На данный момент полученное значение равно 10% ρ₀. Таким образом, считается, что Вселенная имеет гиперболическую геометрию и расширяется резко. Слова Галилея обретают новое звучание:

«Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту».

Видимо, для того чтобы понять устройство Вселенной, необходимо прибегнуть к геометрии. Такое же мнение высказал Исаак Ньютон в своем знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии».

БЕСКОНЕЧНОСТЬ В НАЧАЛАХ

Мы не можем и не должны забывать о влиянии философии на древнегреческую математику. Аристотель, например, уделяет огромное влияние понятию бесконечности в своей «Физике». В самом начале он пишет:

«Мелисс... утверждает, что сущее бесконечно. Следовательно, сущее есть нечто количественное, так как бесконечное относится к [категории] количества, сущность же, а также качество или состояние не могут быть бесконечными иначе как по совпадению... ведь определение бесконечного включает в себя [категорию] количества, а не сущности или качества. Стало быть, если сущее будет и сущностью, и количеством, сущих будет два, а не одно; если же оно будет только сущностью, то оно не может быть бесконечным и вообще не будет иметь величины, иначе оно окажется каким-то количеством».

Но более детальный анализ бесконечности производится в книге III, где Аристотель рассуждает о природе бесконечности, ее существовании и видах. После подробнейших философских рассуждений древний грек заключает, что существует «бесконечное путем прибавления» для чисел (в арифметике) и «бесконечное путем деления» для величин (в геометрии). Оба типа бесконечного существуют потенциально, «в возможности», а не «актуально», в действительности. Другими словами, в науке бесконечности не существует, ни один объект не может считаться бесконечным.

Портрет Евклида на марке Мальдивской Республики (1988).

Аристотель.

В 1975 году математик Джон Плейфэр предложил новую формулировку пятого постулата Евклида;теперь этот постулат известен как аксиома Плейфэра.

Немецкий математик Давид Гильберт в 1886 году.

Бесконечность является только порождающим процессом. Актуальную бесконечность нельзя принять как возможную идею идеального мира и тем более ее нельзя применить к математике. Следовательно, остается только потенциально бесконечное, то есть возможность постоянно продолжать что-то, но всегда на ограниченное число ступеней. Этот процесс может никогда не кончаться: бесконечное всегда останется в области возможного. Аристотель очень убедителен, когда говорит об использовании математиками актуальной бесконечности:

«Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их исследования, ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им: [математикам] надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им желательно, а в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно разделить какую угодно другую. Таким образом, для доказательств бесконечное не принесет им никакой пользы, а бытие будет найдено в [реально] существующих величинах».

Для понимания методологии Евклида очень важно ответить на вопрос: прав ли Аристотель, когда утверждает, что его философия бесконечности не относится к математике? Насколько строго Евклид придерживается ограничений, установленных Аристотелем, и в каких случаях он их нарушает? Евклид считает, что прямые – это прямые отрезки, а их концы – точки, то есть прямые конечны. Он дает определение именно отрезкам и рассматривает только их. В пятом постулате он избегает говорить о параллелизме, который, как мы увидим дальше, подразумевает существование бесконечности. В разделе по арифметике, в частности в предложении 20 книги IX, он говорит:

Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел.

Такая формулировка позволяет Евклиду применить прямое доказательство, а если бы он воспользовался понятием актуальной бесконечности, то вынужден был бы прибегнуть к непрямому доказательству. В этом заключается одна из трудностей, перед которой нас часто ставит использование понятия бесконечности: приходится прибегать к косвенным доказательствам с помощью метода доведения до абсурда. Рассмотрим разницу между двумя типами доказательств на примере утверждения Евклида, процитированного выше. Начнем с прямого. Представим, что у нас есть бесконечное количество простых чисел: а, b,..., т. Возьмем число N = (а х b х ... x m) + 1. Если N– простое число, значит есть простое число, отличное от а, b, ..., m. Напротив, если N – составное число, то его делителем будет простое число (книга VII, предложение 32), которое должно быть отличным от каждого из ряда простых чисел а, b, ..., m.

Теперь обратимся к непрямому доказательству. Переформулируем предложение 20 следующим образом:

Ряд простых чисел бесконечен.

Если принять за истину обратное, то ряд простых чисел а, b, ..., m ограничен и содержит в себе их все. Но если мы повторим предыдущее доказательство, то получим число, отличное от а, b, ..., m, значит, последовательность не включает в себя все числа.

Однако Евклид не мог совершенно избежать использования актуальной бесконечности. Например, он пишет:

Книга I, определение 23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны не встречаются.

РИС. 6

РИС. 7

В этом утверждении прямо говорится о неограниченности, то есть подразумевается актуальная бесконечность. В той же первой книге это слово встречается еще в двух предложениях: в формулировке и в доказательстве.

Книга I, предложение 12. К данной неограниченной прямой из заданной точки, на ней не находящейся, можно провести перпендикулярную прямую (см. рисунок 6).

Книга I, предложение 22. Из трех прямых, которые равны трем данным, можно составить треугольник (см. рисунок 7).

Что заставляет Евклида бросать вызов аристотелевскому ограничению на использование бесконечности в действительности? Ответ прост. Он хочет, чтобы его утверждения были действительны в общем смысле, то есть не зависели от конкретного рисунка. В первом случае прямая, к которой мы хотим провести перпендикуляр, должна быть достаточно длинной, чтобы гарантировать, что исходная точка этого перпендикуляра будет над ней независимо от конкретной точки на рисунке. Во втором случае три стороны треугольника должны находиться на и над прямой, которая, соответственно, должна быть настолько длинной, чтобы вмещать их независимо от длин сторон, а для этого она должна быть бесконечной. Значит, в некотором смысле ограничение, установленное Аристотелем, отнимает что-то у математиков. Девять веков спустя Прокл в комментарии к первой книге «Начал» выразил свое мнение по этому поводу, анализируя предложение 12:

«Но надо исследовать теоретически, как полагается беспредельное в цельном. Ясно, что если имеется неограниченная прямая, то неограниченна и плоскость, содержащая ее, причем на деле, поскольку задача предложена. [...] Остается считать, что беспредельное существует лишь в воображении, но беспредельное не мыслится воображением. Ведь мыслить – значит придавать мыслимому форму и предел [...] Так что беспредельное относится не к мышлению, но к неопределенному для мысли; и, будучи немыслимым, несоразмерным природе и непостижимым для мысли, оно и называется беспредельным. [...] Воображение порождает его в силу своей нераздельной способности непостижимого порождения и представляет беспредельное по его немыслимости. [...] Так что когда мы полагаем в воображении данную неограниченную прямую, подобно всем прочим геометрическим фигурам, [...] не удивительно ли, как эта линия может быть беспредельной на деле и как она, будучи неопределенной, связана с определенными понятиями? С другой стороны, разум, из которого исходят рассуждения и доказательства, не пользуется беспредельным в науках, [...] беспредельное берется не ради беспредельного, но ради определенного. Ведь если данная точка не лежит на продолжении ограниченной прямой и не отстоит от этой прямой так, что никакая часть прямой не лежит под точкой, у нас не будет никакой потребности в беспредельном. В этом случае пользуются ограниченным, как не подлежащим проверке и бесспорным».

В этом тексте сделан большой шаг вперед по сравнению с предыдущими рассуждениями о бесконечном. Однако лишь благодаря исследованиям немецких ученых Рихарда Дедекинда (1831-1916) и особенно Георга Кантора (1845-1918) – всего через 50 лет после того, как Лобачевский и Бойяи расправились с пятым постулатом, – актуальная бесконечность стала частью математики. Так был положен конец философско-научной традиции, длившейся более 2000 лет.

ГЛАВА 4

Метод танграма в «Началах»

Одним из важнейших достижений китайской геометрии было изобретение танграма, позволяющего составлять различные фигуры с одинаковой площадью. Древнегреческие математики развили и обобщили эту технику, придав ей огромный дедуктивный потенциал. В частности, метод танграма позволил Евклиду доказать одну из основополагающих теорем древнегреческой геометрии, знаменитую теорему Пифагора, и решить задачи тысячелетней давности, унаследованные от месопотамских мыслителей.

Классический китайский тантрам – это элементарный геометрический метод, который основывается на следующем фундаментальном постулате.

Две фигуры, состоящие из равных частей, равны между собой.

В Китае этот метод был известен с незапамятных времен и назывался qi qiao ban – «семь дощечек мастерства». В Европу танграм попал как игра-головоломка и в таком виде распространился по всему миру. Изначально семь составляющих его частей сложены так, что образуют квадрат (см. рисунок 1 на следующей странице). Площади фигур, составленных из всех этих частей, равны площади квадрата (рисунок 2). Эта особенность позволяет, помимо прочего, показать значение диагонали квадрата. Итак, из данного квадрата можно сложить еще два с равной площадью (рисунок 3). Таким образом, мы видим, что при помощи диагонали квадрата справа можно построить еще один (как данный первоначально) с площадью, вдвое большей. Мы использовали термин «показать», поскольку в этом случае речь идет о простом наблюдении фигур без использования каких-либо логико-дедуктивных методов.

Такой вид рассуждения тесно связан с диалогом Платона о воспоминании «Менон», где Сократ показывает: раб знает то, о чем он не знает, что знает. Рассуждение Сократа строится по принципу следующего: возьмем квадрат (со сплошным контуром, см. рисунок 4). Повторив его четыре раза, мы получим квадрат с пунктирными сторонами, как видно на том же рисунке. Затем проведем диагональ и на ней построим еще один квадрат. Получаем наклонный квадрат с пунктирными сторонами. Очевидно, что площадь этого квадрата равна сумме площадей двух квадратов, равных данному.

РИС. 1

РИС. 2

Танграм работает по такому же принципу, только используются прямоугольные равнобедренные треугольники, построенные на диагонали квадрата, в который части танграма сложены изначально. Евклид использовал в своей геометрии (точнее, в геометрии, основанной на его постулате о параллелях) обобщенный метод танграма: для деления отрезка таким образом, чтобы его части образовывали прямоугольник с площадью, большей, меньшей или равной площади данного квадрата; для геометрического решения месопотамской задачи, применяемой в решении уравнений второго порядка; для построения квадратуры многоугольников – то есть квадрата с площадью, равной площади данного многоугольника; наконец, для определения золотого сечения – операции, заключающейся в разделении отрезка на две части так, чтобы меньшая относилась к большей так, как большая относится к целому.

Евклид располагал базовым инструментом – параллелизмом, с помощью которого смог доказать следующие результаты.

Книга I, предложение 29. Накрест лежащие углы равны между собой.

Книга I, предложение 32. Сумма трех внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых углов.

Книга I, предложение 34. Противоположные стороны и углы параллелограммов равны между собой.

РИС.З

РИС. 4

Предложения 29 и 34 позволяют применить обобщенный метод танграма, то есть использовать тантрам, не ограничиваясь изначально заданными фигурами, на которые он разделен. Для этого нужны теоремы, устанавливающие равенство их площадей.

Книга I, предложения 35 и 36. Параллелограммы, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными прямыми, равны между собой.

Книга I, предложение 37. Треугольники, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же прямыми, равны между собой.

РИС. 5

Рисунок 5 иллюстрирует предложения 35 и 26 первой книги.

Евклид говорит, что параллелограммы ВС и IH обладают одинаковой площадью. Сегодня это утверждение кажется нам очевидным. У фигур одинаковое основание и одинаковая высота, а площадь получается путем умножения этих двух величин (хотя это тоже требует доказательства). Однако древнегреческая геометрия оперирует размерами, у которых вследствие несоизмеримости нет длины. Из-за этого один или оба отрезка не могут быть измерены (этот вопрос мы рассмотрим подробнее в главе 5). Следовательно, необходимо найти способ доказать равенство этих двух площадей. Евклид использовал общее понятие 1. Если бы ему удалось доказать, что площади параллелограммов ВС и AJ с общим основанием равны и что площадь второго равна площади параллелограмма IH с которым у него одинаковое основание, то и параллелограммы ВС и IH были бы равны.

Точка обозначает конец линии или ее начало?

Кто знает. Никто.

Мо-цзы (479-400 до н. э.)

Начнем с первого вопроса. Евклид анализирует все фигуры (то есть пользуется методом китайского танграма) и применяет общие понятия 2 и 3. Треугольники BAI и DCJ состоят из белой фигуры и серой, которая является общей для них обоих. Если мы отнимем у них этот общий кусок («от равных отнимем равное»), то получится, что площади четырехугольников BAMD и IMCJ равны, хотя они и имеют разную форму.

Теперь добавим к этим четырехугольникам треугольник АМС (темно-серый), который станет их общей частью. Поскольку мы прибавили «к равным равное», получается, что площади параллелограммов ВС и AJ с общим основанием АС равны. В чем разница между случаем, который мы только что доказали, и общим утверждением предложений 35 и 36 первой книги? Она состоит в том, что, как мы уже видели, в этом случае речь идет не просто о равных основаниях, а об одном и том же основании (в паре ВС и AJ – отрезок АС, в паре AJ и IH – отрезок IJ).

В этом доказательстве Евклид, возможно, использовал предложение 4 из первой книги (критерий равенства по двум сторонам и углу), которое устанавливает равенство треугольников BAI и DCJ. Для этого ему были необходимы некоторые свойства, вытекающие из постулата о параллельных (см., в частности, предложения 34 и 29 первой книги). После того как Евклид пришел к этому результату, он мог использовать метод танграма, при котором части не равны друг другу, но имеют одинаковую площадь. В этом и состоял принцип обобщенного танграма, который Евклид использовал с большим мастерством. Предложение 37 первой книги является простым выводом из предыдущих, поскольку сводится к доказательству того, что площадь треугольников равна половине площади параллелограмма (см. рисунок 6).

Разум не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь.

Плутарх

Евклид, как до него и другие древнегреческие математики, вывел геометрию на новый уровень и придал ей большую ясность, обобщив простые и очевидные результаты. В данном случае он установил, правда не объясняя это отдельно, а сразу используя в своих доказательствах, что площади можно высчитывать при помощи различных по форме фигур (параллелограммов и треугольников).

РИС. 6

Еще одно геометрическое понятие, позволившее Евклиду использовать обобщенный метод танграма,– гномон. Геродот так говорит о нем во второй книге «Истории»:

«Сесострис разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать.

Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу.

Ведь «полос» и «гномон», так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян».

РИС. 7

Евклид дал определение гномону в книге II, хотя уже в книге I установил характеристики, благодаря которым он имеет такое большое значение.

Книга II, определение 2. Во всякой образованной параллельными линиями площади каждый из расположенных на ее диаметре параллелограммов вместе с двумя дополнениями будем называть гномоном.

Его интересная особенность:

Книга I, предложение 43. Во всяком параллелограмме дополнения расположенных по диаметру параллелограммов равны между собой.

Как видно на рисунке 7, гномоном, согласно определению 2 книги II, является серая фигура, состоящая из четырех частей: двух параллелограммов IH, GC и двух треугольников IGD и JDG, явно равных. Треугольники, на которые параллелограмм делится диагональю, то есть белые и темно-серые, равны по признаку равенства треугольников, то есть применяется общее понятие 3. Следовательно, фигуры разной формы (которые нельзя наложить одну на другую) равновеликие, в этом и заключается обобщенный метод танграма.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Игра в танграм позволила Евклиду дать очень изящное и в то же время очень оригинальное доказательство теоремы Пифагора.

Доказательство Евклида из предложения 47 книги I.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике ΔАВС квадрат на гипотенузе ВС равен сумме квадратов, построенных на катетах АВ и АС.

Как видно на рисунке 8, из вершины А проводится прямая, перпендикулярная гипотенузе ВС, до пересечения со стороной Н1 квадрата В1. Мы получаем прямоугольники CJ и В]. Необходимо доказать, что прямоугольник С] равен квадрату AD и что прямоугольник BJ равен квадрату AG. Евклид строит треугольники AACI и ADCB. Они равны, как можно легко убедиться, поскольку имеют равные стороны и угол между ними (общее понятие 2). Итак, у треугольника AACI и прямоугольника CJ общая сторона СI, а его вершина А находится на той же параллельной прямой, AJ, на которой у прямоугольника CJ расположена сторона KJ, противоположная стороне CI. Следовательно, площадь прямоугольника CJ в два раза больше площади треугольника ΔACI. Таким же образом, площадь квадрата AD в два раза больше площади треугольника ADCB. Следовательно, площадь квадрата AD равна площади прямоугольника IK (первое равенство, которое мы должны были доказать). Аналогично, площадь квадрата AG равна площади прямоугольника BJ (второе равенство, которое мы хотели доказать). Следовательно, согласно общему понятию 2, теорема доказана.

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ТАНГРАМА В КНИГЕ II

Термин «геометрическая алгебра» в свое время вызывал споры, но в любом случае он очень удобен из-за своей лаконичности. Дисциплина заключается в том, чтобы выразить площади прямоугольников и квадратов в числовой форме. Ее пионерами были Диофант Александрийский и арабские математики. Например, знаменитое дистрибутивное свойство умножения, представленное в алгебраическом виде как а (b + с + d +...) = (a x b) + (a x c) + + (а х d) + ..., в геометрии Евклида будет записано так:

Книга II, предложение 1.

Если имеются две прямые и одна из них рассечена на сколько угодно отрезков, то прямоугольнику заключающийся между этими двумя прямыми у равен вместе взятым прямоугольникам, заключенным между нерассеченной прямой и каждым из отрезков (см. рисунок 9).

РИС. 8

РИС. 9

Аналогичным образом можно выразить и другие алгебраические равенства, например (а ± b)^² = а^² + b^² ± 2ab_y (а + b) х (а – b) = а^² – b^². Рассмотрим только (а + b) х (а – b) = а^² – b^². Будем исходить из альтернативной формулировки предложения 5 книги 2. Возьмем фигуру, как на рисунке 10. Разобьем прямоугольник HJ. В первую очередь установим равновеликость прямоугольников FN и NB, используя свойства гномона. Прямоугольник NB равновелик прямоугольнику BI по построению, так как DB = DF = а, BJ = FH = b, DJ = а + b, JI = DH = а – b. Получается, что прямоугольник HJ состоит из квадрата KD (а^²), поскольку прямоугольники GJ и FN равны, но остается квадрат MG (b^²).

РИС. 10

РИС. 11

Второе применение танграма позволяет доказать, что многосторонние фигуры могут трансформироваться в равновеликий квадрат. Для доказательства мы будем постепенно уменьшать количество сторон многосторонней фигуры, сведя ее к треугольнику. Возьмем многостороннюю фигуру ABCDEFG (см. рисунок 11). Соединим две ее любые вершины, между которыми есть хотя бы одна другая вершина, например D и F. Проведем параллельную прямую через вершину Е. Продлим сторону CD, пока она не пересечет эту параллельную в точке I. Соединим точки I и F. Треугольники IFD и EFD равновеликие (книга I, предложение 35). Таким образом, фигуры ABCDEFG и ABCIFG также равновеликие, но у первой на одну сторону больше, чем у второй. Повторив эту процедуру, мы получим прямоугольник, равновеликий заданному многоугольнику. Следовательно, всякую многоугольную фигуру можно свести к треугольнику.

РИС. 12

Затем мы можем доказать, что любой треугольник можно преобразовать в прямоугольник, что наглядно показано на рисунке 12.

Остается разобрать последний вариант: доказать, что всякий прямоугольник можно свести к квадрату (книга II, предложение 14). Возьмем прямоугольник AD и попробуем преобразовать его в квадрат. Рассмотрим рисунок 13. Отложим отрезок, равный CD, на продолжении стороны АС. Разделим отрезок АВ пополам точкой G. Проведем полуокружность с центром G и радиусом GB и полухорду FC, перпендикулярную АВ и пересекающую ее в точке С. Отрезок FC будет стороной квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.

Все эти построения можно сделать исключительно при помощи линейки и циркуля. Необходимо доказать, что FC соответствует нужным требованиям. Рассмотрим отрезки r [=GF=AG=GB] и s [=СС]. Получается, что прямоугольник равновелик (r + s) (r – s), то есть r^² – s^². FC – катет прямоугольного треугольника FCG. По теореме Пифагора его квадрат равен r^² – s^². Следовательно, прямоугольник AD равновелик квадрату ЕС, что мы и хотели доказать. Евклид провел это доказательство при помощи метода танграма; мы же использовали алгебраические формулировки, чтобы упростить объяснение, не искажая его.

РИС. 13

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотым сечением называется такое соотношение двух отрезков a и b, при котором соотношение сумм их длин а + b к большей длине а равно соотношению а к b (см. рисунок 14). Предположительно своим названием соотношение обязано частым использованием в произведениях архитектуры и искусства, которым оно придает, как пишут некоторые авторы, особую гармонию. Его также называют золотым отрезком (когда подразумевается некий наибольший отрезок), золотым числом, божественной пропорцией, или, в терминологии Евклида, делением в крайнем и среднем отношении. Оно обозначается греческой буквой фи (Ф) и соответствует значению:

РИС. 14

РИС. 15

Ф = (1+ √5)/2 = 1,618033988749894848204586834365638117720309...

Это иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде дроби целых чисел. С геометрической точки зрения для построения золотого отрезка надо разделить данный отрезок АВ в точке Е так, чтобы квадрат с большей стороной АЕ совпал с прямоугольником с меньшей стороной ЕВ и первоначальным отрезком (книга II, предложение 11), как видно на рисунке 15.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ЗВЕЗДА

Евклид использовал золотое сечение для промежуточного этапа построения правильного пятиугольника, в частности чтобы получить равнобедренный треугольник, у которого углы в основании были бы в два раза больше угла у вершины. Это удивительное построение можно объяснить, только предположив, что у Евклида уже был пример такого пятиугольника, причем идеального, и что анализируя эту фигуру, он пришел к выводу о необходимости вышеуказанного треугольника. Это еще один пример анализа и синтеза, о которых мы говорили в главе 2. Действительно, при рассмотрении пятиугольника видно, что две диагонали и одна его сторона образуют равнобедренный треугольник, углы в его основании вдвое больше угла у вершины. Диагонали ЕВ и AD пересекаются в точке F, которая делит их в крайнем и среднем соотношении. По всей вероятности, правильный пятиугольник имел особое значение для пифагорейской школы, символом которой, как говорят, была пятиугольная звезда, получаемая путем проведения диагоналей внутри фигуры (непрерывные линии).

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

При помощи золотого отрезка можно построить прямоугольник, сторонами которого будут первоначальный отрезок АВ и самая длинная часть золотого отрезка, АЕ; поэтому он и называется золотым прямоугольником. На рисунке 15 мы видим, что точка Е делит АВ в крайнем и среднем соотношении. Особенностью этого прямоугольника является то, что он может самовоспроизводиться следующим образом (см. рисунок 16): меньший отрезок BE делит больший отрезок АЕ в крайнем и среднем соотношении и становится таким образом большим отрезком нового деления (точка J делит отрезок ВН(=АЕ) в крайнем и среднем соотношении). Прямоугольник АН является золотым прямоугольником, так же как ЕН, LH и так далее до бесконечности.