Текст книги "У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте."

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 8 страниц)

Во второй теореме о неполноте говорится, что нельзя доказать непротиворечивость аксиом Пеано... но мы только что его доказали. Как это возможно? Ответ, конечно же, в том, что во второй теореме о неполноте на самом деле говорится: невозможно доказать непротиворечивость аксиом Пеано, пользуясь методами программы Гильберта. Доказательство непротиворечивости, которое мы только что осуществили, следовательно, является корректным рассуждением, но не подчиняется ограничениям этой программы: корректность доказательства нельзя проверить алгоритмически.

Это ведет нас напрямую к следствию из теорем Гёделя: не существует алгоритма, который мог бы во всех случаях проверить истинность или ложность арифметического высказывания (если бы это было так, компьютер мог бы проверить корректность доказательства о непротиворечивости, которое мы вывели выше, что, согласно второй теореме Гёделя, невозможно). Другими словами, никогда нельзя будет запрограммировать компьютер так, чтобы можно было доказать все гипотезы арифметики (речь идет о принципиальном ограничении, которое не сможет преодолеть технический прогресс), компьютеры никогда не превзойдут математиков (хотя, как мы увидим далее, также неясно, всегда ли математики будут способны превосходить компьютеры).

Итак, вторая теорема о неполноте оказывается ложной, если мы применим при доказательстве семантические методы. Но что произойдет с первой теоремой Гёделя? Можно доказать, что если мы допустим семантические методы, то любая арифметическая истина доказуема на основе аксиом Пеано. Под семантическими методами мы понимаем те, что основаны на понятии истины. Логическое правило, которое используется в этих рассуждениях, таково: из Р выводится Q, если во всех мирах (или моделях), где Р истинно, Q также истинно (см. рисунок). Вновь возьмем пример доказательства, который мы рассматривали в главе 2, и зададимся вопросом, справедлив ли вывод:

из равенства (а – b) · а = (а – b) с мы делаем вывод, что а = с,

где Р – это высказывание "(а – b) · а = (а – b) · с", a Q – это "а = с". Вывод несправедлив, поскольку существует модель (пример), в которой Р истинно, a Q ложно. Действительно,

если мы возьмем а = b = 2 и с = 3, то получается, что Р истинно, a Q ложно.

При заданном высказывании существует потенциально бесконечное число миров, где оно может быть истинным. Значит, если на одном шаге семантического доказательства мы говорим, что из Р выводится Q, чтобы узнать, верно ли это, нам придется проверить потенциально бесконечное число случаев, где Р истинно, и убедиться, что во всех также истинно Q. Это предполагает бесконечное число проверок, которое не может быть осуществлено компьютером. Также неясно, может ли оно быть осуществлено человеческим разумом.

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ

Евклидова геометрия, изложенная в работе ученого «Начала» (III век до н. э.), основана на пяти постулатах, или аксиомах, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1. Через две точки можно провести единственную прямую.

2. Отрезок можно продолжить из любого его конца.

3. При любом центре и любом радиусе можно провести окружность.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Итальянский математик Эудженио Бельтрами.

Первые четыре постулата очевидны, но пятый имеет высокую понятийную сложность и может оказаться не таким явным, как остальные. На самом деле оригинальная формулировка Евклида для пятого постулата была еще сложнее (выше приведена самая известная формулировка, предложенная английским математиком Джоном Плейфэром в конце XVIII века). Интересно добавить, что в своих доказательствах Евклид старался меньше использовать пятый постулат (как будто он сам немного не доверял его справедливости).

Доказательство Эудженио Бельтрами

В течение многих веков считалось, что пятый постулат можно доказать на основе четырех других. Было сделано много попыток найти доказательство, но все они провалились. Наконец, в 1868 году Эудженио Бельтрами доказал, что пятый постулат неразрешим относительно остальных четырех, то есть ни сам постулат, ни его отрицание не могут быть доказаны на их основе. Это был первый в истории известный пример неразрешимости относительно множества аксиом – за несколько десятков лет до того, как Гёдель доказал свою теорему. У пятого постулата есть два отрицания: в одном из них говорится, что через точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной, в другом – что через нее проходит больше одной параллельной прямой. Как пятый постулат, так и его отрицания могут быть добавлены к оставшимся четырем, и во всех случаях получается непротиворечивое множество аксиом. Когда добавляется пятый постулат, получается, конечно же, геометрия Евклида; в оставшихся двух случаях возникают так называемые неевклидовы геометрии. Сегодня считается, что все эти геометрии одинаково справедливы; неевклидовы больше подходят для описания эйнштейновского пространства, искривленного присутствием масс, в то время как евклидова больше приспособлена к нашему восприятию повседневных явлений.

Это приравнивает математику к естественным наукам. В физике, например, любая теория является предварительной. То, что гравитационное притяжение между двумя телами уменьшается согласно квадрату расстояния, – это предварительное утверждение, поскольку мы никогда не сможем проверить силу гравитационного притяжения для всех пар тел, существующих во Вселенной, на всех возможных расстояниях. Утверждение истинно... пока не найдена ситуация, в которой оно не работает.

Нечто подобное происходит с семантическими доказательствами; мы можем быть уверены, что из Р выводится Q... пока не найдем мир, в котором Р будет истинным, a Q не работает. В программе Гильберта предполагалось избавление от этой неточности и предлагались методы доказательства, правильность которых можно было бы проверить раз и навсегда.

Повторим сказанное выше: любое истинное арифметическое высказывание может быть доказано на основе аксиом Пеано, если мы допустим семантические методы. Но мы никогда не сможем быть абсолютно уверены в том, что эти семантические методы верны. Мы можем иметь точные и достоверные методы рассуждения, как хотел Гильберт, но в этом случае не сможем доказать все истины. Мы можем узнать потенциально все арифметические истины, но без уверенности в том, что наши методы корректны. Надежность и достоверность либо возможность узнать все истины – одно или другое, но не оба варианта одновременно.

ЛЮДИ И КОМПЬЮТЕРЫ

Выше ли человеческий разум компьютера? Верно ли, что мы «думаем», в то время как компьютер просто «считает»? Или нет принципиальной разницы, и однажды технологический прогресс позволит нам создать искусственный интеллект, с которым мы встречаемся в научной фантастике?

Полемика на эту тему началась в середине XX века – с развитием первых электронных компьютеров. С тех пор были написаны десятки и даже сотни книг и статей с аргументами, опровержениями, дебатами и гипотезами на эту тему, но до сегодняшнего дня ответа так и нет.

Очевидно, что на нескольких страницах невозможно сделать обзор всех аргументов за или против. Упомянем лишь: теоремы Гёделя о неполноте несколько раз использовались в таких дискуссиях как аргумент в пользу того, что человеческий разум выше компьютера.

Прежде мы привели доказательство непротиворечивости аксиом Пеано, и наша человеческая способность воспринимать семантическое понятие "истины" убеждает нас в том, что оно верно. Однако во второй теореме Гёделя доказывается, что правильность этого доказательства не может быть проверена компьютером. Так мы нашли задачу (проверка правильности доказательства того, что аксиомы Пеано непротиворечивы), которую человеческий разум может осуществить, а компьютер нет (и эта невозможность принципиальна). Следовательно, человеческий разум выше компьютера.

В случае если математические предложения имеют отношение к действительности, они неточны, и наоборот, если они точные, они не имеют отношения к действительности.

Альберт Эйнштейн на лекции, прочитанной 27 января 1921 года

Аргумент кажется убедительным, но он не окончательный. Доказательство непротиворечивости аксиом Пеано основывается на нашей интуиции о том, что эти аксиомы являются истинными высказываниями. Но не ошибается ли наша интуиция? Она ведь подвела, например, Фреге, который в течение нескольких лет был убежден в непротиворечивости своих аксиом, пока Бертран Рассел не открыл, что одна из них противоречит самой себе. Возможно, когда-то в будущем новый Рассел покажет нам парадокс, следующий из аксиом Пеано, и скажет, что они все-таки противоречивы.

Следовательно, мы не можем хвастаться своим превосходством над компьютерами, поскольку никогда не будем уверенными в том, что наши семантические рассуждения верны. Нам нужно свыкнуться с возможностью того, что в будущем все (или почти все) наши рассуждения окажутся неверными.

Дискуссия, начатая с открытия парадокса Рассела, так и не закончилась. Три предположения, которые были сделаны в начале XX века, – интуиционизм, логицизм и формализм (или программа Гильберта) – провалились по разным причинам и не были заменены другой программой аналогичного уровня. Какова природа математических объектов? Существует ли промежуточный уровень между чисто синтаксическими и семантическими рассуждениями, который позволил бы превзойти неполноту теорем Гёделя, в то же время обеспечив непротиворечивость? Действительно ли существует категорическая разница между синтаксическим и семантическим? Или понятия, которые мы называем семантическими, являются всего лишь более сложными синтаксическими понятиями (в которых работают с группами символов вместо индивидуальных символов)? Существует еще много подобных вопросов, ответы на которые не найдены... к счастью.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Godel, K., Sobrepropositions formalmente indetidibles de los Principia Mathematica у sistemas afines, Oviedo, KRK Ediciones, 2006.

Hofstadter, D., Godel, Eschery Bach (Un etemo у grdcil bucle), Barcelona, Tusquets, 1992.

Kline, M., Matemdticas, la perdida de la incertidumbre, Mexico D.F., Siglo Veintiuno Editores, 1998.

Martinez, G., Pineiro, G., Godel V (para todos), Barcelona, Destino, 2010.

Martinon, A. (compilador), Las matemdticas del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.

Nagel, E., Newman, J., El teorema de Godel, Madrid, Tecnos, 1994.

Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx: de los conjuntos a la complejidad, Buenos Aires, Katz Editores, 2006.

Smullyan, R,,Juegos por siempre misteriosos, Barcelona, Gedisa, 1988.

Stewart, I., Historia de las matemdticas, Madrid, Critica, 2008.

Указатель

Аристотель 18-21, 37, 65

арифметика 22, 33, 35, 44-48, 51, 54, 58, 60, 62, 63, 64, 69, 73, 76-78, 81, 83, 84, 107, 108, 110, 112, 115-117, 155-157, 160

Архимед 24

бесконечность

актуальная 19-24, 28, 29, 31, 35, 37, 43, 44

потенциальная 19, 20, 22, 25, 28

Борель, Эмиль 10, 11

Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 37, 38, 40, 47, 48, 56

Вена 13, 17, 18, 41, 53-57, 67, 90, 92-94, 96, 121, 126, 148

Венский кружок 13, 56-57, 67, 93, 121

Вселенная 21, 101, 124, 126, 127, 156, 157, 158

вращающаяся 123-128

Гёделя 124

Галилей, Галилео 21-23, 29, 37

Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 23

Гейне, Эдуард 25, 28

Гейтинг, Аренд 48, 96

Герон Александрийский 45

Гёте, Иоганн Вольфганг фон 54

теория цвета 53, 54

Гиббсовская лекция 13, 149-155

Гильберт, Давид проблемы 7, 8, 42, 45, 46, 56, 65, 128, 137

программа 43-49, 51, 56-58, 61, 64, 65, 68, 74, 84, 87, 96-99, 106-108, 115, 150, 155, 156, 159, 161, 162

гипотеза континуум 43, 128, 136-138, 141, 151, 152

Римана 8

Гольдбах, Кристиан 108

Гольдбаха гипотеза 8, 9, 10, 108

Гудстейна теорема 80, 81

Джинс, Джеймс Хопвуд 126, 127, 140

диагональная функция 78, 79, 110

доказательство семантическое 157, 159, 160

синтаксическое 97, 99, 101, 103, 104, 107, 109-111, 113, 115, 139

единственность 26, 28, 137

разложения на простые числа 28

интуиционизм 36-43, 47, 48, 150, 161

Кантор, Георг 23-25, 28-32, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 128, 130-132, 136, 137, 141, 151, 152

Кантора диагональный метод 132-136

код 70-74, 76-82, 109, 110, 111, 113, 114, 116, 117

концептография 32

Коэн, Пол Джозеф 43, 137, 138, 141.152

Кронекер, Леопольд 25, 30, 31, 38

логицизм 36-43, 48, 161

множество 29, 30, 33, 34, 36, 46, 51, 58, 60, 65, 66, 73, 84, 85, 89-91, 99, 101, 103-106, 108, 109, 112, 113, 115-118, 128, 130-132, 134, 136-138, 141, 154-156, 159

бесконечное 28, 29, 128, 130– 32, 154

кардинальное число 128-134, 136, 138, 141

конечное 128, 130

теория 29, 30, 31, 33, 40, 41, 43, 44, 81, 127, 138, 141, 151, 152, 154

множество аксиом 46, 58,60,65, 66,73,89,90,101,103-106, 108,109,112,113,115-118, 155,156,159

неполное 106,109

непротиворечивое 101,103, 106,108,109,112-118,124, 151, 156, 159, 161

омега-непротиворечивое 112

полное 106, 108, 115

противоречивое 103-106, 116, 156, 161

модель 139-141, 153, 154, 157

Моргенштерн, Оскар 91, 122, 147, 148

"Начала" (Евклид) 22, 158

Нейман, Джон фон 48, 49, 91, 94, 146, 148

относительности теория 12, 55, 119, 123, 124, 126, 127, 140

парадокс лжеца 36, 83, 100

Пеано, Джузеппе 46

аксиомы 46, 60, 84, 155-157, 159-161

Планк, Макс 57

Планка принцип 31

платонизм 149-151

понятия семантические 96-100, 104, 156, 157, 159-162

синтаксические 96-99, 101, 103, 104, 106, 109, 115, 151-153, 162

Поркерт, Адель 13, 93-95

правила логики 60, 63, 66, 104, 111, 150, 157

синтаксические 104

Принстон, Институт перспективных исследований 13, 55, 90– 92, 96, 119, 121-123, 125-127, 145-148

Рассел, Бертран 11, 19, 31-37, 56, 70, 100, 104, 105, 124, 161

Рассела парадокс 34, 36, 43, 60, 100, 105, 154, 161

самореференция 36

метод 78-84, 110

семантическая 100

синтаксическая 100

теорема о неполноте (вторая теорема) 49, 65, 90, 106, 117, 143, 149, 152, 156, 160, 162

о неполноте (первая теорема) 7, 13, 41, 48, 51, 57, 64-68, 70, 82, 84, 87, 89, 90, 96, 97-99, 101, 109, 115, 117, 138, 143, 149, 152, 153, 160, 162

о полноте 57, 58-65, 85

Уайлс, Эндрю 59, 75, 85

Ферма теорема 59, 75, 84

формализм 48, 150, 151, 161

Фреге, Готлоб 19, 31-33, 35, 36, 44, 104, 105, 161

Фуртвенглер, Филипп 13, 54, 55, 67

Фурье ряды 25-26, 137

Чёрч, Алонзо 91, 92

число Гёделя 70-74, 76-79, 109, 116, 117

действительное 132, 134, 136

иррациональное 39, 40, 44

квадратное 22, 23, 29, 130

нормальное 10, 11

простое 8, 9, 22, 26-29, 38, 39, 58, 74, 76-78, 83, 99, 100, 102, 103, 107, 108, 116, 117

целое 26, 131, 132, 134, 139, 140

Шлик, Мориц 13, 56, 57, 93

Эйделотт, Франклин Риджвей 145, 146

Эйнштейн, Альберт 13, 18, 55, 90, 91, 94, 119, 122-126, 141, 146, 147, 161

Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.