Текст книги "Истину можно вычислить"

Автор книги: Анатолий Фоменко

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 26 страниц) [доступный отрывок для чтения: 10 страниц]

1.5. Методика датирования исторических событий

Поскольку наша теоретическая модель подтвердилась на экспериментальном материале, мы можем теперь предложить новую методику датирования древних событий. Хотя она, конечно, не универсальна. Опишем идею метода.

Пусть Y – исторический текст, описывающий неизвестный нам «поток событий» с утраченными абсолютными датировками. Пусть годы t отсчитываются в тексте от какого-то события местного значения, например, от основания какого-то города или от момента воцарения какого-то царя, абсолютные датировки которых нам неизвестны. Подсчитаем для текста Y его график объема «глав» и сравним его с графиками объема других текстов, для которых абсолютная датировка событий, описанных в них, нам известна. Если среди этих текстов обнаружится текст X, для которого число p(X, Y) малó, то есть имеет такой же порядок, как и для пар зависимых текстов (не превосходит, например, числа 10^-8 для соответствующего количества локальных максимумов), – то можно с достаточно большой вероятностью сделать вывод о совпадении или близости описываемых в этих текстах «потоков событий». Причем эта вероятность тем больше, чем меньше число p(X, Y).

При этом оба сравниваемых текста могут быть внешне совершенно несхожи. Например, они могут быть двумя вариантами одной и той же летописи, но написанными в разных странах, разными летописцами, на разных языках.

Эта методика датирования была экспериментально проверена на средневековых текстах с заранее известной датировкой. Полученные даты совпали с этими датировками. Приведем типичные примеры.

ПРИМЕР 6.

В качестве текста Y мы взяли русскую летопись, так называемую краткую редакцию Двинского летописца, описывающую события на 320-летнем интервале [672]. Попробуем датировать описанные в летописи события, используя указанную методику. Перебирая все летописи, опубликованные в «Полном собрании русских летописей», мы вскоре обнаруживаем текст X, график объема vol X(t) которого делает всплески практически в те же годы, что и график vol Y(t) летописи Y, рис. 14.

Рис. 14. Графики объемов зависимых летописей: Двинского летописца и его краткой редакции. Оба графика делают всплески практически одновременно.

При сравнении графиков мы, конечно, предварительно совмещаем временные интервалы (А, В) и (С, D), накладываем их друг на друга. Подсчет дает, что здесь p(X, Y) = 2 × 10^-25. Следовательно, весьма вероятно, что эти две летописи описывают приблизительно одни и те же «потоки событий». Таким образом, нам удалось чисто формально, на основе сравнения лишь статистических характеристик текстов, датировать события, описанные в тексте Y. Оказывается, что летопись X – это пространная редакция Двинского летописца [672]. Считается, что эта летопись описывает «поток событий» 1390–1707 годов н. э. В результате полученная нами датировка текста Y совпала с его стандартной датировкой, что подтверждает эффективность нашего метода.

ПРИМЕР 7.

Возьмем в качестве «текста Y с неизвестной датировкой» русскую Академическую летопись [672]. Следуя приему, описанному выше, вскоре обнаруживаем текст X, а именно часть Супрасльской летописи [672], описывающей, как считается, 1336–1374 годы. Оказывается, график объема vol X(t) делает всплески практически в те же годы, что и график объема vol Y(t), рис. 15.

Рис. 15. Графики зависимых летописей: Супрасльской и Академической на интервале 1336–1374 годы н. э. Всплески графиков объема происходят в точности одновременно, всего лишь за одним исключением. Положения локальных максимумов графиков указаны большими черными точками под графиками. Под графиком Супрасльской летописи эти две цепочки точек изображены рядом друг с другом. Видно, что точки всплесков разошлись только в одном месте. Таким образом, здесь налицо яркая зависимость двух летописей.

Подсчет дает, что здесь p(X, Y) = 10^-14. Такое малое значение коэффициента ясно указывает на зависимость этих двух текстов. Поскольку летопись X датирована, то мы датируем и летопись Y. Полученная нами датировка текста Y совпала с его датировкой, известной ранее.

Мы обработали несколько десятков аналогичных текстов эпохи XVI–XIX веков, и во всех случаях полученная нами датировка «неизвестного текста Y» совпала с его обычной датировкой.

Конечно, в последних перечисленных примерах мы ничего нового не узнали, поскольку датировка, например, краткой редакции Двинского летописца была и без того заранее известна, и особых поводов сомневаться в ее правильности у нас нет. Ведь это уже XIV–XVIII века, то есть эпоха более или менее надежной хронологии. Однако вскоре мы увидим, что наш метод даст интересные результаты для летописей, традиционно относимых к более ранним эпохам, то есть ранее XIV века н. э.

Принцип корреляции максимумов мы изложили выше огрублено, не вникая в статистические детали, потому что преследовали одну цель – быть быстро понятыми читателями. В то же время строгое математическое изложение метода и его уточнений требует существенно больших подробностей. Мы отсылаем читателя, желающего глубже вникнуть в описанный метод, к научным публикациям [884], [892].

Коэффициент p(X, Y) можно условно назвать ВССЛ – вероятностью случайного совпадения лет, подробно описанных в летописях X и Y.

Дальнейшее развитие и уточнение идеи было дано в работах В.В. Федорова, А.Т. Фоменко [868] и В.В. Калашникова, С.Т. Рачева, А.Т. Фоменко [357]. Выяснилось далее, что наиболее ярко принцип корреляции максимумов проявляется при сравнении исторических текстов примерно одинакового объема, имеющих примерно одинаковую «плотность описания». Кроме того, обнаружилось, что в некоторых случаях для заведомо зависимых текстов коррелируют не только точки локальных максимумов, но даже и сами функции объема, то есть их амплитуды! Это достаточно удивительный и важный факт. Особо ярко корреляция амплитуд функций объема наблюдается при сравнении «достаточно бедных» текстов, то есть летописей, содержащих большие лакуны – значительные интервалы времени, не отраженные в хронике. Оказалось, что процесс написания хронистами «достаточно бедных» летописей подчиняется интересному принципу «уважения к информации» или принципу «сохранения раритетов». Эта закономерность была обнаружена С.Т. Рачевым и А.Т. Фоменко [723], [1140]. Предварительные исследования в этом направлении и саму формулировку принципа уважения к информации см. в работах [723], [1140] и в [ХРОН2], гл. 5:1, в разделе, написанном С.Т. Рачевым и А.Т. Фоменко.

Принцип корреляции максимумов был также успешно применен к анализу некоторых русских летописей периода «смуты» конца XVI – начала XVII века н. э. См. на эту тему работы Л.Е. Морозовой и А.Т. Фоменко [902], [548]. В этом исследовании большое участие принимал также Н.С. Келлин. Полученные результаты изложены в [ХРОН2], гл. 5:2.

2. Метод распознавания и датирования династий правителей
Принцип малых династических искажений

2.1. Формулировка принципа малых династических искажений

Принцип малых династических искажений и основанный на нем метод были предложены и разработаны автором в [884], [885], [888], [1129], [895], [1130].

Пусть обнаружен исторический текст, описывающий неизвестную нам династию правителей с указанием длительностей их правлений. Возникает вопрос: является ли эта династия новой, ранее нам неизвестной и, следовательно, нуждающейся в датировке, или это одна из известных нам династий? Однако описанная в непривычных для нас терминах. Например, видоизменены имена правителей и т. п.? Ответ дается излагаемой ниже методикой [904], [908], [1137], [885], [886].

Рассмотрим k любых последовательных реальных правителей, царей в истории какого-то государства, области. Условно назовем эту последовательность РЕАЛЬНОЙ ДИНАСТИЕЙ. При этом ее члены отнюдь не обязаны быть родственниками. Часто одна и та же реальная династия описывается в разных документах и разными летописцами. При этом описывается с разных точек зрения. Например, по-разному оценивается деятельность правителей, их значение, их личные качества и т. д. Тем не менее, существуют «инвариантные» факты, описания которых в меньшей степени зависят от симпатий или антипатий летописцев. К таким более или менее «инвариантным фактам» относится, например, ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ПРАВЛЕНИЯ ЦАРЯ. Обычно нет особых причин, по которым хронист значительно и намеренно исказил бы это число. Однако перед летописцами часто возникали естественные трудности в подсчете длительности правления того или иного царя.

Эти естественные трудности таковы: неполнота информации, искажения в документах и т. д. Они приводили иногда к тому, что разные летописцы приводят в своих хрониках или таблицах разные числа, являющиеся, по их мнению, длительностью правления одного и того же царя. Такие расхождения, иногда значительные, характерны, например, для фараонов в таблицах Г. Бругша [99] и в «Хронологических таблицах» Ж. Блера [76]. Например, в таблицах Ж. Блера, доведенных до начала XIX века, собраны все основные исторические династии, с датами правлений, сведения о которых дошли до нас. Таблицы Ж. Блера ценны для нас тем, что они были составлены в эпоху, достаточно близкую ко времени создания скалигеровской хронологии. Поэтому они несут в себе более явственные отпечатки «скалигеровской деятельности», позднее затушеванные, заштукатуренные историками XIX–XX веков.

Итак, каждый летописец, описывая реальную династию M, по-своему, в меру своих способностей и возможностей, вычисляет длительности правлений ее царей. В результате он получает некоторую последовательность чисел а = (а₁, а₂, …, а_k), где число a_i изображает, быть может с ошибкой, реальную длительность правления царя с номером i. Напомним, что число k – это общее число царей в данной династии. Эту последовательность чисел, извлекаемую из летописи, мы условно называем ЛЕТОПИСНОЙ ДИНАСТИЕЙ. Ее удобно изображать вектором a в евклидовом пространстве R^k.

Другой летописец, описывая ту же самую реальную династию M, возможно, припишет этим же царям несколько другие длительности правлений. В результате получится другая летописная династия b = (b₁, b₂, …, b_k). Таким образом, одна и та же реальная династия M, но описанная в разных летописях, может изображаться в них разными летописными династиями а и b. Спрашивается: насколько велики возникающие искажения? При этом существенную роль играют ошибки и объективные трудности, препятствующие точному определению реальных длительностей правлений. Основные типы ошибок мы опишем ниже.

Сформулируем статистическую модель, гипотезу, которую мы условно назовем ПРИНЦИПОМ МАЛЫХ ИСКАЖЕНИЙ.

ПРИНЦИП МАЛЫХ ИСКАЖЕНИЙ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ ПРАВЛЕНИЙ.

Если две летописные династии a и b «мало» отличаются друг от друга, то они изображают одну и ту же реальную династию M, то есть являются двумя вариантами ее описания в разных летописях. В этом случае летописные династии назовем ЗАВИСИМЫМИ.

Напротив, если же две летописные династии a и b изображают две различные реальные династии M и N, то они «значительно» отличаются Друг от друга. В этом случае назовем их НЕЗАВИСИМЫМИ.

Остальные пары династий мы назовем НЕЙТРАЛЬНЫМИ.

Другими словами, согласно этой гипотезе-модели, РАЗНЫЕ ЛЕТОПИСЦЫ «МАЛО» ИСКАЖАЛИ ОДНУ И ТУ ЖЕ РЕАЛЬНУЮ ДИНАСТИЮ ПРИ НАПИСАНИИ СВОИХ ЛЕТОПИСЕЙ. Во всяком случае, возникавшие разночтения оказывались «в среднем» меньше, чем имеющиеся различия между заведомо разными, то есть независимыми реальными династиями.

Сформулированная выше гипотеза, модель, нуждается в экспериментальной проверке. В случае ее справедливости мы обнаруживаем важное и отнюдь не очевидное свойство, характеризующее деятельность древних летописцев. А именно ЛЕТОПИСНЫЕ ДИНАСТИИ, ВОЗНИКАВШИЕ ПРИ ОПИСАНИИ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ РЕАЛЬНОЙ ДИНАСТИИ, ОТЛИЧАЮТСЯ ДРУГ ОТ ДРУГА И ОТ СВОЕГО ПРОТОТИПА МЕНЬШЕ, ЧЕМ ОТЛИЧАЮТСЯ ДРУГ ОТ ДРУГА ДВЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО РАЗНЫЕ РЕАЛЬНЫЕ ДИНАСТИИ.

Существует ли естественный числовой коэффициент, с(а, b), вычисляемый для каждой пары летописных династий а и b и обладающий тем свойством, что он «мал» для зависимых династий и, напротив, «велик» для независимых? Другими словами, этот коэффициент должен различать зависимые и независимые династии. Такой коэффициент был нами найден.

Оказывается, для оценки «близости» двух династий а и b можно ввести числовой коэффициент с(а, b), аналогичный описанному выше коэффициенту ВССЛ p(X, Y). Этот коэффициент с(а, b) также имеет смысл вероятности. Сначала опишем грубую идею определения коэффициента с(а, b). Летописную династию удобно изображать в виде графика, отложив по горизонтали номера царей, а по вертикали – длительности их правлений. Мы скажем, что династия q «похожа» на две династии а и b, если график династии q отличается от графика династии а не больше, чем график династии b отличается от графика династии а. Подробности см. ниже и в [904], [1137], [885], [886], [884].

В качестве с(а, b) берется доля, которую династии, «похожие» на династии а и b, составляют во множестве всех династий. Другими словами, подсчитывается отношение:

Длительности правлений царей могут определяться летописцами с ошибкой. Фактически мы извлекаем из летописей лишь некоторые приближенные их значения. Можно математически описать вероятностные механизмы, приводящие к появлению этих ошибок. Кроме того, мы учитывали еще две возможные ошибки летописцев: перестановку двух соседних царей и замену двух соседних царей одним «царем» с суммарной длительностью правления.

Коэффициент с(а, b) можно условно назвать ВССД – вероятностью случайного совпадения династий а и b.

2.2. Статистическая модель

Дадим теперь формальное определение коэффициента с(а, b). Обозначим через D множество всех реальных династий длины k, то есть состоящих из k последовательных царей. Фактически за множество D нам придется взять те исторические династии, сведения о которых дошли до нас в сохранившихся исторических хрониках. Практически полный список всех таких династий мы составили на основе большого числа разнообразных хронологических источников, перечисленных ниже. На их основе мы составили список всех групп из 15 последовательных царей, правивших, согласно скалигеровской хронологии, в интервале от 4000 года до н. э. до 1900 года н. э. в Европе, Средиземноморье, на Ближнем Востоке, в Египте, Азии.

Каждую летописную династию можно условно изобразить вектором в евклидовом пространстве R размерности k. В нашем конкретном эксперименте мы брали k = 15, см. выше. Мы будем считать две династии существенно различными, если число царей или реальных правителей, входящих одновременно в обе эти династии, не превышает k/2, то есть половины числа членов всей династии. Две взятые наугад реальные династии могут пересекаться, иметь общих членов, поскольку каждый раз мы можем произвольно объявить того или иного царя «началом династии». Наряду с зависимыми и независимыми династиями имеются еще и «промежуточные», «нейтральные» пары династий, в которых число общих царей или реальных правителей превышает k/2 (однако династии не являются зависимыми). Ясно, что если общее число рассматриваемых династий велико, то количество промежуточных, нейтральных пар династий относительно мало. Поэтому основное внимание можно уделять зависимым и независимым парам династий.

Сформулированный выше принцип малых искажений означает, что на практике «в среднем» летописцы ошибались все-таки незначительно, то есть не очень сильно искажали реальные числовые данные.

Обсудим теперь ошибки, которые чаще всего делали летописцы при вычислении длительностей правлений древних царей. Эти три типа ошибок были выделены нами при обработке большого числа конкретных исторических текстов. Выяснилось, что именно эти ошибки чаще всего приводили к искажению реальных длительностей правлений царей.

Ошибка первая. Перестановка, путаница двух соседних царей.

Ошибка вторая. Замена двух царей одним, длительность правления которого равна сумме длительностей их правлений.

Ошибка третья. Неточность в вычислении длительности правления царя. Чем больше эта длительность, тем бóльшую ошибку обычно допускал летописец при ее определении.

Эти три типа ошибок можно описать и смоделировать математически. Начнем с ошибок (1) и (2). Рассмотрим какую-либо династию p = (р₁, р₂, …, р_k) из множества D. Вектор q = (q₁, q₂, …, q_k) мы назовем ВИРТУАЛЬНОЙ ВАРИАЦИЕЙ вектора (династии) p и будем обозначать его через q = vir(р), если каждая координата q_i вектора q получается из координат вектора p одной из следующих двух процедур (1) и (2).

(1) Либо q_i = p_i (то есть координата не меняется), либо pi переставляется с p_i-1, либо p_i переставляется с p_i+1, то есть с одной из «соседних координат» вектора p.

(2) Либо q_i = p_i, либо q_i совпадает с числом p_i + p_i+1.

Ясно, что каждый такой вектор (династия) q можно рассматривать как летописную династию, получившуюся из реальной династии p в результате «ее размножения» под воздействием ошибок (1) и (2) летописцев. Другими словами, мы берем каждую реальную династию p = (р₁, р₂, …, p_k) из списка D и применяем к ней «возмущения» (1) и (2). То есть либо мы меняем местами два соседних числа p_i и p_i+1, либо заменяем какое-то число p_i суммой p_i + p_i+1 или суммой p_i-1 + p_i. Для каждого номера i мы применяем указанные операции только по одному разу, то есть не рассматриваем «длинные итерации» операций на одном и том же месте i. В результате из одной династии p получается некоторое число виртуальных династий q = vir(р). Количество таких виртуальных династий легко подсчитать.

Таким образом, каждая «точка» из множества D «размножается» и порождает некоторое множество «виртуальных точек», ее окружающих, так сказать, порождает «окрестное облако», «шаровое скопление», рис. 16. Некоторые из получившихся виртуальных династий могут встретиться нам в какой-то конкретной летописи (в этом случае они будут летописными династиями), некоторые остаются всего лишь «теоретически возможными», то есть «виртуальными».

Рис. 16. Каждая династия p порождает некоторое множество vir(p) виртуальных династий. Геометрически они изображаются в виде «облака», «шарового скопления», окружающего точку p в пространстве.

Объединяя все виртуальные династии, получающиеся из всех реальных династий p, составляющих наш список династий D, мы получаем некоторое множество vir(D), то есть «окутывающее облако» исходного множества династий D.

Таким образом, для каждой реальной династии M множество изображающих ее летописных династий можно представлять себе как «шаровое скопление» vir(M). Пусть теперь даны две реальные династии M и N. Если сформулированный нами принцип малых искажений верен, то шаровые скопления vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям M и N, не пересекаются в пространстве R^k. То есть они должны быть расположены достаточно далеко друг от друга рис. 17.

Рис. 17. «Шаровые скопления» vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям M и N, расположены далеко друг от друга.

Пусть теперь а и b – две какие-то династии из множества vir(D), например, две летописные династии, рис. 18. Мы хотим ввести некоторую количественную меру близости между двумя династиями, то есть «измерить расстояние между ними», оценить, насколько они далеки друг от друга. Простейший способ был бы таким. Рассматривая обе династии как векторы в пространстве R^k, можно было бы просто взять евклидово расстояние между ними, то есть подсчитать число r(а, b), квадрат которого имеет вид

(а₁ – b₁)² + … + (a_k – b_k)².

Рис. 18. Наглядное изображение длительностей правлений в двух династиях а и b в виде графиков.

Однако численные эксперименты с конкретными летописными династиями показывают, что это расстояние не позволяет уверенно отделить друг от друга зависимые и независимые пары династий. Другими словами, такие расстояния между заведомо зависимыми летописными династиями и расстояния между заведомо независимыми летописными династиями в некоторых случаях оказываются сравнимыми друг с другом. Оказывается, иногда они имеют «один и тот же порядок».

Тем более нельзя определять «похожесть» или «непохожесть» двух династий, точнее, графиков их правлений, «на глаз». Визуальная похожесть двух графиков может ни о чем не говорить. Можно привести примеры заведомо независимых династий, графики правлений которых окажутся «весьма похожими». И, тем не менее, никакой зависимости тут на самом деле не будет. Как выяснилось, в данной проблеме визуальная близость может легко ввести в заблуждение. Требуется надежная количественная оценка, устраняющая зыбкие субъективные соображения вроде «похожи», «не похожи».

Итак, задача состоит в том, чтобы выяснить, существует ли вообще такая естественная мера близости на множестве всех виртуальных династий, которая позволила бы уверенно отделить зависимые династии от независимых. То есть чтобы «расстояние» между заведомо зависимыми династиями было «мало», а «расстояние» между заведомо независимыми династиями было «велико». Причем требуется, чтобы эти «малые» и «большие» значения существенно отличались бы друг от друга, например, чтобы они были отделены одним или несколькими порядками.

Оказывается, такая мера близости, то есть «расстояние между династиями», действительно существует. К описанию такого коэффициента с(а, b) мы сейчас и перейдем.

Итак, мы построили в пространстве R¹⁵ некоторое множество династий D. Были смоделированы две наиболее типичные ошибки, делавшиеся летописцами. Каждая династия из множества D была подвергнута возмущениям типов (1) и (2). При этом каждая точка из D размножилась в несколько точек, что привело к увеличению множества. Получившееся множество мы обозначали через vir(D). Оказалось, что множество vir(D) состоит примерно из 15 × 10¹¹ точек.

Будем считать «династический вектор а» случайным вектором в R^k, пробегающим множество vir(D). Тогда по множеству vir(D) мы можем построить функцию z плотности вероятностей. Для этого все пространство R¹⁵ было разбито на стандартные кубы достаточно малого размера так, чтобы ни одна точка из множества vir(D) не попала на границу какого-либо куба. Если x – внутренняя точка куба, то, положим:

Ясно, что для точки x, лежащей на границе какого-либо куба, можно считать, что z(x) = 0. Функция z(x) достигает максимума в области, где сосредоточено особенно много династий из множества vir(D), и падает до нуля там, где точек из множества vir(D) нет, рис. 19. Тем самым график функции z(x) наглядно показывает, как именно распределено множество виртуальных династий vir(D) по пространству R^k. Другими словами, где это множество «густое», «плотное», а где оно разрежено.

Рис. 19. Функция плотности, показывающая распределение точек множества vir(D).

Пусть теперь нам заданы две династии:

а = (a₁, …, a_k) и b = (b₁, …, b_k),

и мы хотим оценить, насколько они близки или далеки. Построим k-мерный параллелепипед P'(A, В) с центром в точке а, имеющий в качестве диагонали вектор а – b, рис. 20. Если спроектировать параллелепипед P'(a, b) на i-ю координатную ось, то получится отрезок с концами

[a_i – |a_i – b_i|, a_i + |a_i – b_i|].

Рис. 20. Параллелепипеды Р'(а, b) и Р(а, b).

В качестве предварительного коэффициента с'(а, b) мы возьмем число:

Ясно, что число с'(а, b) является интегралом функции плотности z(x) по параллелепипеду P'(а, b).

Смысл предварительного коэффициента с'(а, b) ясен. Династии, то есть векторы из vir(D), попавшие в параллелепипед P'(а, b), естественно назвать «похожими» на династии a и b. В самом деле, каждая из таких династий удалена от династии а не более, чем от династии а удалена династия b. Следовательно, в качестве меры близости двух династий а и b, мы берем долю династий, «похожих» на а и b в множестве всех династий vir(D).

Однако такой коэффициент с'(а, b) пока недостаточно хорош, поскольку он никак не учитывает то обстоятельство, что летописцы определяли длительность правлений царей с какой-то ошибкой, причем обычно тем большей, чем дольше длительность правления. Другими словами, нам нужно учесть ошибку летописцев (3), обсужденную выше.

Перейдем к моделированию ошибки (3). Пусть T – это длительность правления. Ясно, что длительность правления можно рассматривать как случайную величину, определенную на «множестве всех царей». Обозначим через g(T) число царей, правивших T лет. В работе [884] автор настоящей книги экспериментально вычислил эту гистограмму частот g(T) (плотность распределения указанной случайной величины) на основе данных, приведенных в хронологических таблицах Ж. Блера [76]. Положим h(T) = 1/g(T) и назовем h(T) функцией ошибок летописцев. Ошибка h(T) в определении длительности T тем больше, чем с меньшей вероятностью случайная величина – то есть длительность правления – принимает значение T. Другими словами, небольшие, «короткие» длительности правлений царей лучше поддаются вычислению летописцев. Здесь хронист ошибается незначительно. Напротив, большие длительности правлений царей, встречающиеся довольно редко, летописец обычно вычисляет с существенной ошибкой. Чем больше длительность правления, тем большую ошибку он может совершить.

Функция ошибок h(T) для указанной плотности вероятностей случайной величины (длительности правления) была определена экспериментально [884], с. 115. Разобьем отрезок [0,100] целочисленной оси T на десять отрезков одинаковой длины, а именно:

[0, 9], [10, 19], [20, 29], [30, 39], [90, 99].

Тогда оказывается, что

h(T) = 2, если T изменяется от 0 до 19,

h(T) = 3, если T изменяется от 20 до 29,

h(T) = 5([T/10] – 1), если T изменяется от 30 до 100.

Здесь через [s] обозначена целая часть числа s, рис. 21.

Рис. 21. Экспериментально вычисленная «функция ошибок летописцев».

Учтем теперь ошибки летописцев при построении «окрестности» точки а. Для этого расширим параллелепипед P'(а, b) до большего параллелепипеда P(а, b), центром которого по-прежнему является точка а, и ортогональными проекциями на координатные оси являются отрезки с концами

[a_i – |a_i – b_i| – h(a_i), а_i + |а_i – b_i| + h(a_i)].

Ясно, что параллелепипед P'(а, b) целиком лежит внутри большого параллелепипеда P(а, b), см. 20. Диагональю этого большого параллелепипеда является вектор а – b + h(а), где вектор h(а) выглядит так:

h(а) = (h(а₁), …, h(a_k)).

Его можно назвать ВЕКТОРОМ ОШИБОК ЛЕТОПИСЦЕВ.

Итак, мы смоделировали все три основные ошибки, делавшиеся летописцами при подсчете ими длительностей правлений царей. В качестве окончательного коэффициента с(а, b), измеряющего близость или удаленность друг от друга двух династий а и b, мы возьмем следующее число:

Ясно, что число с(а, b) является интегралом функции плотности z(x) по параллелепипеду P(а, b). На рис. 22 число с(а, b) условно изображается объемом призмы, имеющей в качестве основания параллелепипед P(а, b) и ограниченной сверху графиком функции z. Число с(а, b) можно, при желании, интерпретировать как вероятность того, что случайный «династический вектор», распределенный в пространстве R^k с функцией плотности z, оказался на расстоянии от точки а, не превышающем расстояния между точками а и b, с учетом ошибки h(а). Другими словами, случайный «династический» вектор, распределенный с функцией плотности, попал в окрестность P(а, b) точки а, имеющую «радиус» а – b + h(а).

Рис. 22. Представление коэффициента с(а, b) в биде объема «примы», то есть интеграла от функции z(x) по параллелепипеду Р(а, b).

Из предыдущего видно, что роль династий а и b при подсчете коэффициента с(а, b) неодинакова. Династия а была помещена в центр параллелепипеда P(а, b), а династия b определяла его диагональ. Конечно, можно было «уравнять в правах» династии а и b, поступив по аналогии с предыдущим коэффициентом p(X, Y). То есть можно поменять клестами династии а и b, вычислить коэффициент с(b, а), а затем взять среднее арифметическое чисел с(а, b) и с(b, а). Мы этого не делали по двум причинам. Во-первых, показали конкретные эксперименты, замена коэффициента с(а, b) на его «симметризацию» фактически не меняет получающихся результатов. Во-вторых, в некоторых случаях династии a и b действительно могут быть неравноправными в том смысле, что одна из них может быть оригиналом, а вторая – всего лишь ее дубликатом, фантомным отражением. В этом случае естественно помещать в центр параллелепипеда династию а, претендующую на роль оригинала, а «фантомное отражение» b рассматривать как «возмущение» династии а. Возникающие различия между коэффициентами с(а, b) и с(b, а) хотя и невелики, но могут послужить полезным материалом для дальнейших, более тонких исследований, которых мы пока не проводили.