Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (АЛ)"
Автор книги: Большая Советская Энциклопедия
Жанр:
Энциклопедии
сообщить о нарушении
Текущая страница: 7 (всего у книги 44 страниц)
axn + a1xn-1 + ... +an = a (x -x1 )(x -x2 ) ... (x -xn ),
причём многочлен допускает лишь одно единственное разложение на множители такого вида.
Таким образом, уравнение n- й степени имеет n « корней». В частных случаях может оказаться, что некоторые из множителей равны, т. е. некоторые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше n. Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример приведём найденное еще Декартом «правило знаков»: уравнение имеет не больше положительных корней, чем число перемен знака в ряду его коэффициентов (а если меньше, то на чётное число). Например, в рассмотренном выше уравнении x5 – 4x – 2 = 0 одна перемена знака (первый коэффициент – положительный, остальные – отрицательные). Значит, не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положительный корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается Штурма правилом . Очень важно, что y уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем а + bi корнем того же уравнения всегда будет и a – bi. Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если некоторое алгебраическое уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комплексные), у которых действительная часть отрицательна, и это заставило искать условия, при которых корни уравнения обладают этим свойством (см. Рауса – Гурвица проблема ).
Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с n неизвестными:
a11x1 +...+a1nxn = b1 ,
a21x1 +...+a2nxn = b2 ,
...............................
am1x1 +...+amnxn = bm .
Здесь x1 ..., xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что значки при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем уравнений 1-й степени определяется не только тем, что они – простейшие. На практике (например, для отыскания поправок в астрономических вычислениях, при оценке погрешности в приближённых вычислениях н т. д.) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов aik и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n ) строить т. н. определители , при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы , стали предметом самостоятельного изучения, т. к. обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений и теория матриц в настоящее время стали частями важной отрасли науки – линейной алгебры .
(По материалам статьи А.Г. Куроша и О. Ю. Шмидта из 2-го изд. БСЭ).
Современное состояние алгебры
Сфера приложений математики расширяется с течением времени, и темп этого расширения возрастает. Если в 18 в. математика стала основой механики и астрономии, то уже в 19 в. она стала необходимой для различных областей физики, а ныне математические методы проникают даже в такие, казалось бы далекие от математики области знания, как биология, лингвистика, социология и т.д. Каждая новая область приложений влечёт создание новых глав внутри самой математики. Эта тенденция привела к возникновению значительного числа отдельных математических дисциплин, различающихся по областям исследования (теория функций комплексного переменного, теория вероятностей, теория уравнений математической физики и т. д.; более новые – теория информации, теория автоматического управления и т. д.). Несмотря на такую дифференциацию, математика остаётся единой наукой. Это единство сохраняется благодаря развитию и совершенствованию ряда общих, объединяющих идей и точек зрения. Тенденция к объединению лежит в существе математики как науки, пользующейся методом абстракции и, кроме того, часто стимулируется тем, что при исследовании задач, возникающих в различных областях знания, приходится пользоваться одним и тем же математическим аппаратом.
Современная А., понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Эту роль А. разделяет с топологией , в которой изучаются наиболее общие свойства непрерывных протяжённостей. А. и топология оказались, несмотря на различие объектов исследования, настолько связанными, что между ними трудно провести чёткую границу. Для современной А. характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Попытаемся объяснить на простом примере, как это происходит. Всем известна формула (a + b )2 = а2 + 2аb + b2 . Её выводом является цепочка равенств: (а + b )2 = (a + b )(а + b ) = (a + b )a + (а + b ) b = (a2 + ba ) + (ab + b2 ) = a2 + (ba + ab )+ b2 = a2 + 2ab + b2 . Для обоснования мы дважды пользуемся законом дистрибутивности :. с (а + b ) = ca + cb (роль с играет а + b ) и (a + b ) с = ac + bc (роль с играют а и b ), закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец используется закон коммутативности :ba = ab . Что представляют собой объекты, закодированные буквами а и b , остаётся безразличным; важно, чтобы они принадлежали системе объектов, в которой определены две операции – сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Поэтому формула останется верной, если а и b обозначают векторы на плоскости или в пространстве, сложение принимается сперва как векторное сложение, потом как сложение чисел, умножение – как скалярное умножение векторов. Вместо а и b можно подставить коммутирующие матрицы (т. е. такие, что ab = ba , что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и т. д.
Свойства операций над математическими объектами в разных ситуациях иногда оказываются совершенно различными, иногда одинаковыми, несмотря на различие объектов. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятию множества, наделённого алгебраической структурой, или алгебраической системы. Потребности развития науки вызвали к жизни целый ряд содержательных алгебраических систем: группы , линейные пространства , поля , кольца и т.д. Предметом современной А. в основном является исследование сложившихся алгебраических систем, а также исследование свойств алгебраических систем вообще, на основе ещё более общих понятий (Q-алгебры, модели). Кроме этого направления, носящего название общей А., изучаются применения алгебраических методов к др. разделам математики за её пределами (топология, функциональный анализ, теория чисел, алгебраическая геометрия, вычислительная математика, теоретическая физика, кристаллография и т. д.).
Наиболее важными алгебраическими системами с одной операцией являются группы. Операция в группе ассоциативна [т. е. верно (a*b ) *с = а* (b*с ) при любых а , b , с из группы; звёздочкой * обозначена операция, которая в разных ситуациях может иметь разные названия] и однозначно обратима, т.е. для любых а и b из группы найдутся единственные х , у , такие, что а*х = b , у*а = b . Примерами групп могут служить: совокупность всех целых чисел относительно сложения, совокупность всех рациональных (целых и дробных) положительных чисел относительно умножения. В этих примерах операция (сложение в первом, умножение во втором) перестановочна. Такие группы называют абелевыми. Совокупности движений, совмещающих данную фигуру или тело с собой, образуют группу, если в качестве операции взять последовательное осуществление двух движений. Такие группы (группы симметрии фигуры) могут быть неабелевыми. Движения, совмещающие с собой атомную решётку кристалла, образуют т. н. федоровские группы, играющие основную роль в кристаллографии и через нее в физике твёрдого тела. Группы могут быть конечными (группы симметрии куба) и бесконечными (группы целых чисел по сложению), дискретными (тот же пример) и непрерывными (группа вращений сферы). Теория групп стала разветвленной, богатой содержанием математической теорией, имеющей обширную область приложений. Не менее богатой приложениями является линейная А., изучающая линейные пространства. Под этим названием понимаются алгебраические системы с двумя операциями – сложением и умножением на числа (действительные или комплексные). Относительно сложения объекты (называемые векторами) образуют абелеву группу, операция умножения удовлетворяет естественным требованиям:
а (х + у ) = ax + ау , (а + b ) х = ax + bx , 1×x = х , a (bx ) = ab (x );
здесь а и b обозначают числа, х и у – векторы. Множества векторов (в обычном понимании) на плоскости и в пространстве образуют линейные пространства в смысле данного определения. Однако задачи, стоящие перед математикой, заставляют рассматривать многомерные и даже бесконечномерные линейные пространства. Последние (их элементами чаще всего являются функции) составляют предмет изучения функционального анализа . Идеи и методы линейной А. применяются в большинстве разделов математики, начиная с аналитической геометрии и теории систем линейных уравнений. Теория матриц и определителей составляет вычислительный аппарат линейной А.
О других алгебраических системах, указанных выше, см. соответствующие статьи и литературу при них.
Д. К.Фаддеев.
Лит.: История алгебры . Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966.
Классики науки . Декарт P., Геометрия, пер. с латин., М. – Л., 1938; Ньютон И., Всеобщая арифметика, или книга об арифметических синтезе и анализе, пер. с лат., М., 1948; Эйлер Л., Универсальная арифметика, пер. с нем., т. 1 – 2, СПБ. 1768 – 69; Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. 4 – Сочинения по алгебре, М. – Л., 1948: Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М. – Л., 1936.
Университетские курсы. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968: Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 3 изд., М. , 1966: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М. – Л., 1948.
Монографии по общим вопросам алгебры. Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1 – 2, М. – Л., 1947; Бурбаки Н., Алгебра, пер. с франц., [гл. 1 – 9], М., 1962 – 66; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, М., 1962.
Монографии по специальным разделам алгебры. Шмидт О., Абстрактная теория групп, 2 изд., М. – Л., 1933; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 2 изд., М., 1954; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 – 2, М. – Л., 1934 – 37; Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947.
Алгебра логики
А'лгебра ло'гики, раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. А. л. возникла в середине 19 в. в трудах Дж. Буля и развивалась затем в работах Ч. Пирса , П. С. Порецкого , Б. Рассела , Д. Гильберта и др. Создание А. л. представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.), поглотившей часть первоначального предмета А. л., и дальнейшим развитием математической логики (последняя четверть 19 в. – 1-я половина 20 в.) предмет А. л. значительно изменился. Основным предметом А. л. стали высказывания . Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Примеры высказываний: «кит – животное», «все углы – прямые» и т. п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе – ложным. Употребляемые в обычной речи логические связки «и», «или», «если..., то...», «эквивалентно», частица «не» и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания. Так, из высказываний «х > 2», «х £ 3» при помощи связки «и» можно получить высказывание «x>2 и х £ 3», при помощи связки «или» – высказывание «x>2 или х £ 3», при помощи связки «если..., то...» – высказывание «если x > 2, то х £ 3» и т. д. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.
Связки. Формулы. В А. л. для обозначения истинности вводится символ и для обозначения ложности – символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0. Связки «и», «или», «если..., то...», «эквивалентно» обозначаются соответственно знаками & (конъюнкция), Ú (дизъюнкция), ® (импликация), ~ (эквивалентность); для отрицания вводится знак - (чёрточка сверху). Наряду с индивидуальными высказываниями, примеры которых приводились выше, в А. л. используются также т. н. переменные высказывания, т. е. такие переменные, значениями которых могут быть любые наперёд заданные индивидуальные высказывания. Далее индуктивно вводится понятие формулы, являющееся формализацией понятия «сложного» высказывания; через А, В, С,... обозначаются индивидуальные, а через X, Y, Z ,... – переменные высказывания. Каждая из этих букв называются формулой. Если знаком * обозначить любую из перечисленных выше связок, а Á и Â суть формулы, то (Á* Â) и 
суть формулы. Пример формулы:
Связки и частица «не» рассматриваются в А. л. как операции над величинами, принимающими значения 0 и 1, и результатом применения этих операций также являются числа 0 или 1. Конъюнкция X&Y равна 1 тогда и только тогда (т. и т. т.), когда и Х и Y равны 1; дизъюнкция XÚY равна 0 т. и т. т., когда и Х и Y равны 0; импликация Х®Y равна 0 т. и т. т., когда Х равно 1, а Y равно 0; эквивалентность Х~У равна 1 т. и т. т., когда значения Х и Y совпадают; отрицание 
равно 1 т. и т. т., когда Х равно 0. Введённые операции позволяют каждой формуле при заданных значениях входящих в неё высказываний приписать одно из двух значений 0 или 1. Тем самым каждая формула может одновременно рассматриваться как некоторый способ задания или реализации т. н. функций А. л., т. е. таких функций, на наборах нулей и в качестве значений 0 или 1. Для задания функций А. л. иногда используются таблицы, содержащие все наборы значений переменных и значения функций на этих наборах. Так, например, сводная таблица, задающая функции `
, X&Y, XÚY, X®Y и X~Y имеет вид:
| XY |  | X&Y | X/Y | X®У | Х~Y |
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 01 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 10 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Аналогично устроены таблицы для произвольных функций А. л. Это – т. н. табличный способ задания функций А. л. Сами же таблицы иногда называют истинностными таблицами.
Для преобразований формул в равные формулы важную роль в А. л. играют следующие равенства:
(1) X&Y = Y&X, XÚY = YÚX (закон коммутативности);
(2) (X&Y)&Z = X&(Y&Z), (XÚY)ÚZ = XÚ(YÚZ) (закон ассоциативности);
(3) X&(XÚY) = X, XÚ (Х&У) = X (закон поглощения);
(4) X& (YÚZ) = (X&Y)Ú(X&Z) (закон дистрибутивности);
(5) X&
= 0 (закон противоречия);
(6) XÚ
= 1 (закон исключенного третьего);
(7) Х®Y ==
ÚY, Х~Y = (X&Y)Ú(
&
).
Эти равенства, устанавливаемые, например, с помощью истинностных таблиц, позволяют уже без помощи таблиц получать др. равенства. Методом получения последних являются т. н. тождественные преобразования, которые меняют, вообще говоря, выражение, но не функцию, реализуемую этим выражением. Например, при помощи законов поглощения получается закон идемпотентности ХÚХ = X. Упомянутые равенства в ряде случаев позволяют существенно упростить запись формул освобождением от «лишних скобок». Так, соотношения (1) и (2) дают возможность вместо формул (...(Á1 &Á2 )&...)& Ás и (...(Â1 ÚÂ2 )Ú...)Ú Âs использовать более компактную запись Á1 &Á2 &...&Ás и Â1 ÚÂ2 Ú...Âs Первое из этих выражений называется конъюнкцией сомножителей Á1 ,..., Ás , а второе – дизъюнкцией слагаемых Â1 ,..., Âs . Равенства (5), (6), (7) показывают также, что константы 0 и 1, импликацию и эквивалентность, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Более того, всякая функция А. л. может быть реализована формулой, записываемой с помощью символов
Нормальные формы. Множество всех формул, в построении которых участвуют переменные высказывания, некоторые из символов &, Ú,®, ~ , - и констант 0 и 1, называются языком над данными символами и константами. Равенства (1) – (7) показывают, что для всякой формулы в языке над &, Ú,®, ~ , - ,0, 1 найдётся равная ей формула в языке над &, Ú,- ,0, 1, например
Особую роль в последнем языке играет класс формул, которые могут быть записаны в виде Á1 ÚÁ2 Ú...ÚÁs , 0 или 1, где s ³1, и каждое Ái – либо переменное высказывание, либо его отрицание, либо конъюнкция таковых, при этом каждое Ái не содержит одинаковых сомножителей и не содержит сомножителей вида Х и 
одновременно и все Ái – попарно различны. Здесь скобки опускаются, т. к. предполагается, что операция конъюнкции связывает «сильнее», чем дизъюнкция, т. е. при вычислении по заданным значениям переменных следует сначала вычислить значения Ái .Эти выражения называются дизъюнктивными нормальными формами (днф). Каждую формулу Á, реализующую функцию, отличную от константы, в языке над &, Ú, ®, ~ , - , 0, 1 при помощи равенств (1) – (7) можно привести к равной ей днф, содержащей все переменные формулы Á и любое число других переменных, причем каждое Á в этой днф содержит одни и те же переменные. Такая днф называется совершенной днф формулы Á. Возможность приведения к совершенной днф лежит в основе алгоритма, устанавливающего равенство или неравенство двух наперёд заданных формул.
Важную роль в А. л. и её приложениях играет т. н. сокращённая днф. Днф называется сокращённой, если выполнены следующие условия: 1) в ней нет таких пар слагаемых Ái и Áj , что всякий сомножитель из Ái имеется и в ÁI ; 2) для всяких двух таких слагаемых Ái и Ái ,из которых один содержит сомножителем некоторое переменное, а другой – отрицание этого переменного (при условии, что в данной паре слагаемых нет другого переменного, для которого это же имеет место), имеется (в этой же днф) слагаемое Ái , равное конъюнкции остальных сомножителей этих двух слагаемых. Всякая днф при помощи равенства (1) – (7) может быть приведена к равной ей сокращённой днф. Например, сокращённой днф для формулы ((X ~ (Y®Z)) ® (X&Z)) является
Кроме днф, употребляются также конъюнктивные нормальные формы (кнф). Так называют выражения, которые можно получить из днф путём замены в них знаков Ú на &, а & на Ú. Например, из днф
получается кнф
Операция (или функция) f называется двойственной для операции y, если таблица, задающая f получается из таблицы, задающей y, путём замены в ней всюду 0 на 1 и 1 на 0 (включая замену значений функций). Например, конъюнкция и дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константы 1 и 0 двойственны друг другу и т. д. Преобразованием формул, при котором знаки всех операций в выражении заменяются на знаки двойственных им операций, константа 0 заменяется на 1, а 1 – на 0, называются преобразованием двойственности. Если верно равенство Á = Â и Á* двойственно Á, а Â* двойственно Â, то верно Á* = Â*, называемое двойственным предыдущему. Это т. н. принцип двойственности. Примерами двойственных равенств являются пары законов (1), (2), (3); равенство (5) двойственно равенству (6), каждая кнф двойственна некоторой днф. Совершенная кнф и сокращённая кнф определяются как такие кнф, что двойственные им выражения являются соответственно совершенной днф и сокращённой днф.
Следствия. Гипотезы. Минимизация. Совершенные и сокращённые днф и кнф используются для решения задачи обзора всех гипотез и всех следствий заданной формулы. Под гипотезой формулы Á понимается такая формула Â, что (®Á) = 1, а под следствием формулы Á – такая формула Â, что (Á®Â) = 1. Гипотеза формулы Á называется простой, если она есть конъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из её сомножителей перестаёт быть гипотезой формулы Á. Аналогично, следствие формулы называется простым, если оно есть дизъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из её слагаемых перестаёт быть следствием формулы Á. Решение задачи обзора гипотез и следствий основано на указании алгоритма, строящего все простые гипотезы и следствия для заданной формулы и в получении из них при помощи законов (2) – (7) всех остальных гипотез и следствий.
Сокращённая днф имеет важные приложения. Следует отметить прежде всего задачу минимизации функций А. л., являющуюся частью т. н. задачи синтеза управляющих систем. Минимизация функций А. л. состоит в построении такой днф для заданной функции А. л., которая реализует эту функцию и имеет наименьшее суммарное число сомножителей в своих слагаемых, т. е. имеет минимальную «сложность». Такие днф называются минимальными. Каждая минимальная днф для заданной отличной от константы функции А. л. получается из сокращённой днф любой формулы, реализующей эту функцию, выбрасыванием некоторых слагаемых Ái , из этой сокращённой днф.
Языки. Интерпретации. В языке над &, Ú, ®, ~, 0, 1, + , где знак + интерпретируется как сложение по модулю два, устанавливаются следующие соотношения:
Эти равенства позволяют переводить формулы в языке над &, Ú, ®, ~, - , 0, 1 в равные им формулы в языке над &,+, 1 и обратно. Тождественные преобразования в последнем языке осуществляются при помощи равенств, установленных для конъюнкции и дополнительных:
(11) Х +Y=Y+ X;
(12) (Х+Y) + Z = Х+(Y + Z);
(13) Х&(Y + Z) = X&Y + X&Z;
(14) Х&Х = Х, X + (Y + Y) = X, X&1 = X,
здесь по-прежнему считается, что конъюнкция связывает «сильнее», чем знак +. Этих равенств достаточно для того, чтобы из них при помощи тождественных преобразований, так же как и при рассмотрении языка над &, Ú, ®, ~, - , 0, 1, можно было вывести любое верное равенство в языке над &, +, 1. Выражение в этом языке называется приведённым полиномом (п.п.), если оно либо имеет вид Á1 +Á2 + ... Ás , где каждое Ái есть или 1, или переменное, или конъюнкция различных переменных без отрицаний, Ái ¹Áj при i¹ j и s³1, либо равно 1 + 1. Например, выражение XYZ + XY+1 является п. п. Всякую формулу А. л. можно привести к п. п.
Кроме рассмотренных языков, существуют и др. языки, равносильные им (два языка называются равносильными, если при помощи некоторых правил преобразования каждая формула одного из этих языков переводится в некоторую равную ей формулу в другом языке и обратно). В основу такого языка достаточно положить любую систему операций (и констант), обладающую тем свойством, что через операции (и константы) этой системы можно представить всякую функцию А. л. Такие системы называются функционально полными. Примерами полных систем являются
и т. п. Существует алгоритм , который по произвольной конечной системе функций А. л. устанавливает её полноту или неполноту. Рассматриваются и такие языки, в основе которых лежат системы операций, не являющихся функционально полными, и таких языков бесконечно много. Среди них имеется бесконечно много попарно неравносильных языков (в смысле отсутствия переводимости при помощи тождественных преобразований с одного языка на другой). Однако для всякого языка, построенного на основе тех или иных операций А. л., существует такая конечная система равенств этого языка, что всякое равенство этого языка выводимо при помощи тождественных преобразований из равенств этой системы. Такая система равенств называется дедуктивно полной системой равенств (п. с. р.) языка.
Рассматривая тот или иной из упомянутых выше языков вместе с некоторой п. с. р. этого языка, иногда отвлекаются от табличного задания операций, лежащих в основе этого языка, и от того, что значениями его переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации языка, состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значениями переменных) и системы операций над объектами этого множества, удовлетворяющих равенствам из п. с. р. этого языка. Так, язык над &, Ú, - , 0, 1 в результате такого шага превращается в язык т. н. булевой алгебры, язык над &, +, 1 превращается в язык т. н. булевого кольца (с единицей), язык над &, Ú в язык дистрибутивной структуры и т. п.
А. л. развивается главным образом под влиянием задач, встающих в области её приложений. Из них самую важную роль играют приложения А. л. в теории электрических схем. Для описания последних в некоторых случаях приходится отказываться от пользования лишь обычной двузначной А. л. и рассматривать те или иные её многозначные обобщения (см. Многозначная логика ).
Лит.: Гильберт Д. и Аккерман Б., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959.
В. Б. Кудрявцев.
