Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ФУ)"

Функциональный анализ (математ.)

Функциона'льный ана'лиз, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.

  Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.

  1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.

  Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции – откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l₂ и L₂ (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l_p и L_p (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930—40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.

  В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы

А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;

Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;

Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.

  Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.

  2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространстваХ над полем комплексных чисел  (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ³ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

||lx || = |l| ||x ||, l Î  x , если ||x_n – x ||  0.

  В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение – обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

 , l, m Î  является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что  для x_m , x_n Î X, следует существование предела , также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

  Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в , норма ||x || = ; банахово пространство L_p (T ) всех суммируемых с р -й (p ³ 1) степенью функций на Т , норма ; банахово пространство l_p всех последовательностей таких, что , здесь   (множеству целых чисел), норма ||x || =(å|x_j |^p )^1/p ; в случае p = 2 пространства l₂ и L₂ (T ) гильбертовы, при этом, например, в L₂ (T ) скалярное произведение ; линейное топологическое пространство D (), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом x_n x, если x_n (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).

  Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l₂ : векторы e_j = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.

  С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F – линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор x_F , что x —x_F ^f для любого f Î F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса – последовательности векторов e_j , j Î , из Н таких, что ||e_j || = 1, e_j ^ e_k при j ¹ k , и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение

x = åx_j e_j (1)

где x_j = (x , e_j ), ||x || = å|x_j |² (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L₂ (0, 2p) и положить , j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) Î L₂ (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l₂ ' {xj} , j Î  гильбертовых пространств H_j – конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение  – образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x₁ ) к функциям многих переменных f (x₁ ,..., x_q ); проективный предел  банаховых пространств – здесь  (грубо говоря), если  для каждого a; индуктивный предел  банаховых пространств X₁ Ì X₂ Ì..., здесь , если все x_j , начиная с некоторого j , лежат в одном X_j0 , и в нём .  Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства – проективный предел гильбертовых пространств Н_a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h_b Ì Н_a , и это – т. н. вложение Гильберта – Шмидта [D () – пример ядерного пространства].

  Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x 0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства – действительное С (Т ), в нём считается x 0, если x (t ³)0 для всех t ÎT .

  3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y – линейные пространства; отображение A : X ® Y называется линейным, если для x , у Î X , l, m Î ,

где x₁ ,..., x_n и (Ax )₁ ,..., (Ax ) _n – координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L₂ (а , b ) в него же оператор

     (2)

(где K (t , s ) – ограниченная функция – ядро А ) – непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C¹ (a , b ) Ì L₂ (a , b ) оператор дифференцирования

     (3)

является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

  Непрерывный оператор A : X ® Y , где X , Y – банаховы пространства, характеризуется тем, что

,

поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов  (X , Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства , если  для каждого x Î X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что ||x || £ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X' , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна – Мильмана).

  Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l_p )¢, p > 1, состоит из функций вида åx_j e_j , где , . Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t и m на пространстве D () определён функционал . В случае m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом – при помощи интеграла, однако при m ³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D ())¢ называются обобщёнными функциями (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D () заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф' É Н É Ф, где Н – исходное гильбертово пространство, а Ф – линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например

Ф = W^l₂ (T ).

  Дифференциальный оператор D , фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L₂ [a , b ] из пространства C¹ [a , b ], снабженного нормой ,  Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.

  4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y , где С – некоторый оператор, у Î Y – заданный, а x Î Х – искомый векторы. Например, если Х = Y = L₂ (а , b ), С = Е – А , где А – оператор из (2), а Е – тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С – дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x – Ax = у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).

  В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А : Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора ) уравнения А j = lj при некотором l Î l_j x_j e_j ,     (4)

где l_j , – собственное значение, отвечающее e_j . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .

  Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t , s ) = K (s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L₂ [a , b ]

(Tx )(t ) = tx (t )    (5)

не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.

  Пусть Х – банахово пространство, А Î  – многочлен, то f (A ) =  (степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f (z ) – аналитическая функция, то так прямо понимать f (A ) уже не всегда возможно; в этом случае f (A ) определяется следующей формулой, если f (z ) аналитична в окрестности SpA, а Г – контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f (z ):

.     (6)

  При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z ) ® f (A ) – гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.

  Пусть Н – гильбертово пространство. Ограниченный оператор А : Н ® Н называется самосопряжённым, если (Ax , у ) = (x , Ау ) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Нn -мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А ; другими словами, имеют место разложения:

, ,     (7)

где P (l_j ) – оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А , отвечающие одному и тому же собственному значению l_j .

  Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н , только сами проекторы P (l_j ) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна ], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А . Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф' É Н É Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторовU – таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU расположен на окружности |z | = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.

  5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто – в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в ) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.

  Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения F , если Fx = x ). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление – т. н. точки ветвления (решений).

  При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.