Текст книги "Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии"

Автор книги: Жуан Гомес

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 7 страниц)

Глава 4
Становление неевклидовой геометрии

Самой первой неевклидовой геометрией была гиперболическая геометрия, которая возникла путем замены пятого постулата Евклида следующим утверждением:

«Через точку Р вне данной прямой проходит более одной прямой, параллельной данной».

Этим утверждением Лобачевский и Бойяи решили проблему постулата о параллельных прямых, и поэтому они являются основоположниками первой неевклидовой геометрии. Они оба считаются авторами гиперболической геометрии, хотя они даже не слышали друг о друге и совершили открытие независимо друг от друга.

Тому было несколько причин. Лобачевский писал только на русском языке, и его работы стали широко известны лишь через много лет после его смерти. Однако в настоящее время гиперболическая геометрия чаще всего ассоциируется именно с ним, а не с Бойяи, его коллегой из Венгрии.

Николай Лобачевский: русская душа гиперболической геометрии

23 февраля 1826 г. бывший учитель Николай Лобачевский поразил научное сообщество своей теорией о параллельных прямых на конференции, состоявшейся на физико-математическом факультете Казанского университета. Его первые результаты были опубликованы в 1829 г. в журнале Казанского университета. В 1835 г. он опубликовал работу целиком под названием «Новые начала геометрии», где утверждал:

«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден, и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 г.»

Николай Лобачевский

История гиперболической геометрии является историей первопроходцев и полна несправедливостей, а слава и почести пришли к ним слишком поздно. Нечто похожее часто происходит в истории науки на протяжении веков: два гения, опередившие время, независимо друг от друга получают одни и те же результаты примерно в одно и то же время.

Лобачевский происходил из бедной семьи государственных служащих. Родившись в Нижнем Новгороде, он большую часть жизни провел в Казани, ведя аскетичный образ жизни и полностью посвятив себя математике. Молодой Николай смог получить образование благодаря государственной стипендии и оказался удачной инвестицией царской России.

В 1814 г. он получил место преподавателя в Казанском университете, а через два года стал экстраординарным профессором. Он также отвечал за библиотеку и астрономическую обсерваторию.

В 1827 г. Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Он занимал этот пост в течение 19 лет, которые стали периодом процветания университета.

Лобачевский провел фундаментальные реформы и всячески поддерживал научные исследования. Парадоксально, но его блестящие результаты в работе над пятым постулатом привели к его увольнению. Согласно одной из мрачных легенд в истории математики, в 1846 г. Лобачевский был уволен ведущим математиком того времени Михаилом Остроградским, который не мог принять того, что Лобачевский бросил вызов самому Евклиду.

Здоровье Лобачевского начало быстро ухудшаться, и в конечном итоге он потерял зрение. Ему пришлось диктовать многие из своих работ, в том числе свой последний труд «Пангеометрия» (1855). Умирая в Казани 24 февраля 1856 г., он понятия не имел о том, насколько была важна его работа для дальнейшего развития математики. Его научное наследие включает такие работы, как «О началах геометрии» (1829), «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836) и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1834–1838). В 1840 г. Лобачевский опубликовал небольшую книгу в 60 страниц, озаглавленную «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Эта короткая работа широко разошлась в научных кругах того времени, но, несмотря на это, математическое сообщество было не готово принять заключенные в ней идеи.

В «Геометрических исследованиях» Лобачевский с большой ясностью объясняет, как работает неевклидова геометрия:

«Все прямые линии, выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия одного и другого класса этих линий называется параллельной заданной линии».

Его знаменитую формулировку альтернативной версии пятого постулата Евклида мы уже упоминали:

«Существуют две линии, параллельные данной прямой линии, которые проходят через данную точку вне данной прямой».

Исходя из этих предпосылок, Лобачевский вывел множество тригонометрических тождеств, лежащих в основе так называемой гиперболической тригонометрии.

Янош Бойяи: математик и кавалерист

Для венгра Яноша Бойяи (1802–1860) математика была лишь хобби, так как по профессии он был кавалерийский офицер. С его интеллектуальными способностями эта профессия, возможно, казалась ему довольно скучной. Наряду с увлечением математикой Янош виртуозно играл на скрипке, выступал в Вене, был также талантливым лингвистом, говорил на девяти языках, включая китайский и тибетский.

Блестящий ум он унаследовал от отца, Фаркаша Бойяи, который тоже был математиком и обучил сына исчислению бесконечно малых и аналитической механике, когда тому было всего 13 лет.

* * *

ЗАПОЗДАЛОЕ ПРИЗНАНИЕ

Только в 1945 г. в знак признания вклада Бойяи в математику румынский университет имени Бабеша был переименован в университет Бабеша – Бойяи. В 2002 г. отмечалось 200-летие со дня рождения великого математика. В Будапеште прошли различные мероприятия, посвященные памяти Бойяи, наиболее значительным из которых была международная конференция по гиперболической геометрии. Также к 100-летию со дня смерти Яноша были выпущены почтовые марки (см. рис. справа) и юбилейные монеты достоинством в 3000 форинтов с изображением гиперболических диаграмм из «Аппендикса».

* * *

Военная карьера молодого Яноша началась с поступления в королевский военно-инженерный колледж в Вене, после чего он в течение 11 лет служил в армии в инженерных войсках. Это может показаться сюжетом из романа XIX века, но, по общему мнению, Янош был лучшим фехтовальщиком и танцором в императорской австрийской армии. В 1833 г. он заболел лихорадкой и был вынужден оставить военную службу.

Хотя Янош Бойяи за всю жизнь опубликовал лишь одну работу по математике, после его смерти было обнаружено более 20000 рукописных страниц, которые в настоящее время хранятся в библиотеке имени Телеки и Бойяи в городе Тыргу-Муреш.

Для Яноша задача о параллельных прямых стала навязчивой идеей. Он опубликовал свои результаты в приложении к одной из работ отца, Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae Introducenti («Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики»). В настоящее время это приложение известно просто как «Аппендикс». Как и Лобачевскому, Бойяи потребовалось лишь несколько страниц (а именно 24), чтобы изложить свои геометрические идеи. Прочитав сочинение, Гаусс написал в письме к Фаркашу Бойяи: «Этот юный геометр Бойяи – гений высшего класса».

Вклад Гаусса

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), математический авторитет не только прошлых времен, но и современности, оказал существенное влияние на работу Бойяи. Еще Кант неявно предсказывал возможность существования других геометрий, но Гаусс, возможно, был первым человеком, который воспринимал геометрию не так, как Евклид, оставив подтверждение своих идей на бумаге. В одной из записных книжек он пишет:

«Я убежден, что отказ от постулата о параллелях не приводит к противоречию, хотя это правда, что получаемые результаты кажутся парадоксальными».

Портрет Карла Фридриха Гаусса работы художника Кристиана Альбрехта Йенсена.

В течение почти 40 лет Гаусс работал над постулатом о параллелях, никому не показывая своих результатов и держа их в строжайшем секрете. Наиболее важными документами, свидетельствующими о его исследованиях, является переписка с семьей Бойяи и комментарии в его записных книжках.

Нет ничего удивительного в дружбе Гаусса и семьи Бойяи. Гаусс был вундеркиндом, тоже ставшим образованным интеллектуалом. Он в очень раннем возрасте начал заниматься математикой, астрономией и физикой – именно в этих областях он достиг наивысших результатов. В возрасте семи лет он пошел в школу, где поражал учителей своими способностями выполнять сложные вычисления.

Учась в Коллегиуме Каролинум в Брауншвейге, Гаусс самостоятельно открыл астрономический закон, известный как правило Тициуса – Боде, а также несколько алгебраических теорем, таких как бином Ньютона. В 1795 г. он поступил в Гёттингенский университет, где изучал математику и получил докторскую степень в возрасте 22 лет.

* * *

ГАУСС, ЮНЫЙ ГЕНИЙ

Легендарные таланты Гаусса говорят о том, что он был типичным гением. Еще ребенком он делал открытия, которые с трудом могли понять взрослые. В возрасте десяти лет он открыл формулу для суммы арифметической прогрессии, быстро сложив первые сто натуральных чисел. Как ему это удалось? Он применил особый трюк, совершенно удивительный для ребенка его возраста.

Он понял, что сумма первого члена с последним, второго с предпоследним и так далее, является постоянной:

1, 2, 3, 4, …, 97, 98, 99, 100

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = … = 101.

Сто чисел образуют 50 пар, так что для решения достаточно найти произведение 101 x 50 = 5050. Гаусс вывел формулу, выражающую сумму первых n членов арифметической прогрессии, S_n, где а₁ обозначает первый член, а а_n – последний:

* * *

Талант Гаусса проявился во многих областях математики: в статистике, теории чисел, геометрии… Он был также научным руководителем докторской диссертации Римана, о чем мы подробнее расскажем позже. В возрасте 30 лет, в 1807 г., он руководил обсерваторией Гёттингена, в которой шесть лет изучал магнетизм. Он внес также существенный вклад в физику. В конце его академической карьеры в 1849 г. он уже был известен как «принц математики».

Переписка между Гауссом и Бойяи

Гаусс был близким другом Фаркаша Бойяи, отца Яноша, и в своей переписке они не раз обсуждали пятый постулат. Гаусс сам работал над этой проблемой, но очень осторожно, о чем говорит то, что он так и не опубликовал свои результаты. Фаркаш также пытался доказать пятый постулат, но безуспешно. На основании собственного опыта и переписки с Гауссом Фаркаш посоветовал сыну не тратить «ни одного часа на эту задачу». Янош так и поступил: он потратил на эту работу не один час, а целых два года! В 1832 г. Фаркаш Бойяи написал своему другу Гауссу и выразил озабоченность по поводу одержимости сына. В том же письме он попросил совета, как убедить Яноша оставить эти исследования. Гаусс ответил, что он сам получил аналогичные результаты, которые решил не разглашать. Он не мог оценить работу Яноша или убедить его остановиться, о чем ясно написал в одном из писем:

«Если я скажу, что не могу оценить эту работу, вы, несомненно, будете удивлены. Но дело обстоит вот как. Оценить эту работу – все равно что оценить себя. Потому что все содержание работы вашего сына и результаты, к которым он пришел, практически совпадают с моими собственными размышлениями на эту тему за последние 30–35 лет. Я действительно поражен…»

Когда Янош с головой погрузился в работу над пятым постулатом Евклида, Фаркаш написал сыну тревожное предупреждение:

«Молю тебя, не делай попыток одолеть теорию параллельных линий. Ты затратишь на это все свое время, а теоремы останутся недоказанными. В этом беспросветном мраке могут утонуть тысячи таких гигантов, как Ньютон. Этот вопрос никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не достигнет ничего совершенного, даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни…»

Несмотря на трагический тон этого письма, Янош так и не внял предупреждениям отца и вскоре убедился, что пятый постулат не только недоказуем, но и к тому же не зависит от других постулатов. Этот результат стал основой альтернативной, но непротиворечивой геометрической теории.

Совместные достижения Лобачевского и Бойяи

Лобачевский и Бойяи заложили основы неевклидовой геометрии и неевклидовой тригонометрии. Они показали, что сумма углов треугольника меньше 180°, а также что не все треугольники имеют одинаковую сумму углов. Чем больше площадь треугольника, тем меньше сумма его углов. Таким образом, не существует подобных треугольников, то есть не существует треугольников одинаковой формы, но разного размера. В этой геометрии если два треугольника имеют конгруэнтные углы (одинакового размера), то и сами треугольники конгруэнтны, то есть они совпадают при наложении друг на друга. Не существует там и прямоугольников в евклидовом смысле: если три угла четырехугольника прямые (90°), то четвертый угол должен быть меньше. Потому что когда прямоугольник делится на две части, сумма углов каждого треугольника должна быть меньше 180°.

Несмотря на похожие результаты, задачи Лобачевского и Бойяи были различными. Янош Бойяи особенно интересовался разделением различных теорем и результатов на те, которые зависят от пятого постулата Евклида, и на те, которые не зависят от него. Николай Лобачевский был более радикален и совсем отказался от пятого постулата, предложив вместо него другой: через точку вне прямой проходит более одной параллельной линии.

* * *

КАК ВЫГЛЯДИТ НЕЕВКЛИДОВ ТРЕУГОЛЬНИК

Рисунок справа дает представление о том, как в гиперболической геометрии выглядит неевклидов треугольник АВС, полученный из прямоугольника. Мы видим, что сумма углов А, В и С действительно меньше 180°.

* * *

Основные модели гиперболической геометрии

Моделью евклидовой геометрии является обычная плоскость с обычными понятиями точки и прямой линии. Модели, описанные ниже, помогут нам лучше представить и понять гиперболическую геометрию, а также эллиптическую геометрию, о которой мы расскажем позже.

Первая модель гиперболической геометрии строится на особой поверхности. Чтобы представить себе такую поверхность, мы должны представить человека, который катит магазинную тележку, или ребенка, который тянет игрушку на веревочке.

Когда ребенок движется по прямой линии и тянет за собой небольшую сумку на колесиках, траекторией ее движения является кривая линия, приближающаяся к траектории движения ребенка. Эта линия называется трактрисой.

Представьте себе человека, который тянет за собой какой-то предмет, и они оба движутся с одинаковой скоростью. В то время как траектория человека является прямой линией, траектория предмета представляет собой кривую линию, постепенно приближающуюся к траектории человека. Этот вид траектории иногда называют «собачьей кривой». В математических терминах это звучит более сложно: говорят, что кривая асимптотически приближается к прямой линии.

Эта кривая также называется трактрисой. Такую траекторию описывает объект, который находился на фиксированном расстоянии и двигался, приближаясь к прямой линии. Это показано на следующем графике:

Здесь точка А движется по прямой линии в направлении, указанном стрелкой, и тянет за собой точку Р. Траектория точки Р называется трактрисой.

Представим теперь, что эта кривая вращается вокруг прямой, образуя поверхность, называемую псевдосферой. Эта поверхность и является моделью гиперболической геометрии. Другими словами, фигуры, изображенные на псевдосфере (например, параллельные линии и треугольники) будут вести себя согласно законам неевклидовой геометрии, не приводя к каким-либо противоречиям.

Аксиомы геометрии Лобачевского следуют из свойств точек и прямых на этой поверхности.

Лобачевский предложил альтернативу пятому постулату: через точку Р вне прямой l можно провести бесконечное число прямых линий, не пересекающихся с прямой l. На этой поверхности параллельные линии не всегда являются эквидистантами – принципиальная разница с евклидовой геометрией – и сумма углов А, В и С меньше 180°.

Прямые линии на этой поверхности являются кратчайшими линиями между точками на ней. Такие линии называются геодезическими. Обратите внимание, что с точки зрения евклидовой геометрии, отказаться от которой очень трудно для неподготовленного ума, эти прямые линии оказываются кривыми. На рисунке ниже изображены несколько параллельных линий с точки зрения геометрии Лобачевского. Они изображены на поверхности псевдосферы.

* * *

РЕАЛЬНОСТЬ УДИВИТЕЛЬНЕЙ АБСТРАКЦИИ

В реальном мире тоже можно легко найти модели гиперболических поверхностей. Не стоит далеко ходить, достаточно рассмотреть в качестве гиперболической поверхности седло для верховой езды. Сумма углов любого треугольника, нарисованного на такой поверхности, составляет менее 180°, и параллельные линии здесь не находятся друг от друга на фиксированном расстоянии, а постепенно расходятся.

* * *

Такую поверхность можно увидеть в любом доме. В обычной спальне можно провести небольшой эксперимент, чтобы понаблюдать, как в гиперболическом мире движутся различные предметы. Нам потребуется кровать с ровной поверхностью, как на евклидовой плоскости. На нее мы поставим подвижный объект (см. рисунок ниже). Рядом с ним положим тяжелый предмет, так чтобы постель прогнулась. Мы теперь видим, что поверхность уже не является плоской, она искривилась. Из-за этой кривизны подвижный объект будет скользить к тяжелому предмету. Поверхность постели вокруг тяжелого предмета похожа на гиперболическую поверхность.

* * *

ДРУГАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДРУГОЙ МИР

Раструб трубы представляет собой хорошую модель гиперболической поверхности. Можно ли на этой поверхности двигаться по прямой линии? Представьте себе, что два неевклидовых жителя трубы идут по направлению к раструбу. Внешний наблюдатель увидит, что их пути постепенно расходятся. Однако, жители гиперболического мира будут продолжать двигаться по строго параллельным линиям. Хотя для ученых эта воображаемая ситуация может показаться легкомысленной, реалии гиперболического мира оказываются увлекательной идеей для научной фантастики. О гиперболических мирах было написано множество романов, включая «Опрокинутый мир» Кристофера Приста.

* * *

Такая гиперболическая модель была предложена Альбертом Эйнштейном при определении пространства-времени. Вселенная Эйнштейна четырехмерная, так как она содержит три пространственных координаты и четвертую координату – время (позже мы расскажем об этом подробнее). Человек не может воспринимать четырехмерную вселенную, поэтому трудно перенести модель с предметами на кровати (это лишь трехмерные объекты) в четырехмерное пространство. Однако мы можем представить, что произойдет. Как и в других областях математики, людям приходится полагаться на воображение и ум.

В 1870 г. немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) представил еще одну модель гиперболической геометрии на плоскости, а затем обобщил ее для пространства. В своей модели Клейн рассмотрел обычный евклидов круг и предложил новые определения точки, прямой, параллельной линии и так далее. Он назвал внутренность круга плоскостью, точки определил как обычные точки внутри круга, за исключением лежащих на окружности, и прямыми линиями назвал хорды круга, но не включающие концов, то есть без точек на окружности. (Напомним, что хордой круга называется отрезок, концы которого лежат на окружности.) Кроме того, параллельными прямыми он называл хорды с одним общим концом. Пересекающимися линиями назывались те, что пересекаются внутри круга, а если линии пересекаются вне круга, то они назывались непересекающимися.

В этой модели, то есть когда плоскостью является только внутренность круга, а хорды являются прямыми линиями, мы видим, что прямые r, s и l проходят через точку вне прямой l и не пересекаются с прямой l в неевклидовом смысле, так как они не пересекаются с прямой l внутри круга. Таким образом, в этой модели через точку вне прямой можно провести бесконечное число линий, не пересекающихся с данной прямой.

Клейн показал, что геометрия в его круге эквивалентна гиперболической геометрии, то есть его геометрия удовлетворяет всем аксиомам Евклида, кроме пятого постулата, и сохраняет все результаты гиперболической геометрии.

* * *

ПРЕДЕЛ – КРУГ IV

Этот рисунок Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972) имеет альтернативное название «Ад и рай». На нем ангелы и демоны изображены в виде мозаики, так что пространство между фигурами одного вида образует фигуры другого вида. Еще один замечательный факт: фигуры становятся все меньше и меньше по мере приближения к краю круга, как будто уходят в бесконечность. Эшер создал этот рисунок, чтобы изобразить поверхность, невозможную в двух измерениях. Свойства этого пространства знакомят нас с неевклидовой гиперболической геометрией.

* * *

Риман и эллиптическая геометрия

Вскоре после того как Лобачевский и Бойяи построили новую геометрию, появилась другая неевклидова геометрия. Ее создал известный немецкий математик Бернхард Риман, который заменил пятый постулат Евклида другой аксиомой:

«Через точку Р, не лежащую на данной прямой l, не проходит ни одной прямой, параллельной данной».

Бернхард Риман (1826–1866) родился в Ганновере и уже в юном возрасте был математически одаренным ребенком. В 16 лет, учась в Люнебургской гимназии, он проявил большие математические способности, и директор школы разрешал мальчику брать из своей личной библиотеки книги по математике. В 1846 г. Риман поступил в Гёттингенский университет, где изучал теологию по совету своего отца. Однако, в конце концов он перешел на философский факультет, где также преподавалась математика. Его учителями были такие светила, как Мориц Штерн и сам Гаусс.

В 1847 г. Риман перешел в Берлинский университет, где преподавали Штайнер, Якоби, Дирихле и Эйзенштейн. Затем он вернулся в Гёттинген и получил докторскую степень по философии под руководством Гаусса. В 1854 г. Риман начал преподавать в университете и прочитал лекции по основам новой геометрии, но эти лекции были опубликованы лишь через два года после его смерти. Риман был избран членом Берлинской академии наук, но в конце концов был вынужден уехать из Германии для лечения от туберкулеза.

Он закончил свои дни в Италии.

Однажды, когда Риман учился у Гаусса в Гёттингенском университете, профессору нужно было выбрать одного студента в качестве представителя группы. Он придумал следующий метод отбора: «Каждый из вас предложит три темы. Руководство факультета выберет одну из них, и этот студент выступит с трехчасовым докладом по этой теме». Риман решил прокомментировать книгу Лобачевского «Новые начала геометрии». В своем предложении он написал знаменитые слова:

«Евклид утверждал, что через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей линию, Лобачевский писал, что параллельных ей линий можно провести сколько угодно, а я говорю, что нельзя провести ни одной».

Бернхард Риман

* * *

СФЕРИЧЕСКИЙ МИР РИМАНА

С обычным воздушным шариком можно провести интересный эксперимент, который поможет лучше понять геометрию Римана. На плоском ненадутом воздушном шарике нарисуйте отрезок прямой линии и измерьте его длину. Рядом с ним нарисуйте треугольник. Если теперь шарик надуть, то рисунки на его поверхности трансформируются. Как выглядят теперь отрезок и треугольник? Остался ли отрезок прямым? Равна ли сумма углов в треугольнике 180°?

На надутом воздушном шарике прямая превращается в кривую, называемую геодезической линией, которая является большим кругом на сфере. Риман не мог провести этот простой, но наглядный эксперимент. В его время воздушные шарики еще не были изобретены.

* * *

Там же Риман добавляет:

«Следовательно, бесконечной прямой не существует, потому что в конце концов она стала бы кривой, и не существует совершенно плоской поверхности, потому что при продолжении она должна следовать кривизне Вселенной. Но так как плоскость будет искривляться во всех направлениях, искривленная плоскость оказывается сферической. Единственная геометрия, которая действительно существует, является сферической».

Эта спонтанная презентация содержала самую суть будущей геометрии Римана, которая отличается и от евклидовой, и от геометрии Лобачевского. В геометрии Римана нет прямых линий, а сумма углов треугольника больше 180°. Поверхность сферы является лучшей моделью для геометрии Римана. Сфера является частным случаем эллипсоида, удлиненной сферы. В этой модели прямые, как и в гиперболической геометрии, называются геодезическими линиями и являются большими окружностями, то есть такими окружностями, которые делят сферу на два равных полушария.

Все геодезические линии пересекаются, а треугольник АВС содержит два прямых угла, так что сумма его углов больше 180° (см. рисунок на предыдущей странице). В этой геометрии чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов, и подобными являются только конгруэнтные треугольники, то есть те, которые совпадают при наложении друг на друга. Таким образом, поверхность сферы является моделью эллиптической геометрии. Как видно на предыдущей странице, сумма углов треугольника на такой поверхности больше 180°.

Риман не только построил эллиптическую геометрию, он также использовал алгебраические выражения (дифференциальные уравнения) для вычисления минимальных расстояний. Ему также удалось посчитать кривизну любого трехмерного пространства. Кроме того, его вычисления могут быть применены для многомерных пространств. Его результаты позже использовал Альберт Эйнштейн при работе над теорией относительности.

Похожие, но разные

Первыми математиками, которые разделили все геометрии на три типа, были Феликс Клейн и основатель современной британской школы чистой математики Артур Кэли (1821–1895). Выделив гиперболическую и эллиптическую геометрии, они описали евклидову геометрию как параболическую. О причинах этого мы расскажем позже.

Неевклидовы геометрии не затмили их знаменитую предшественницу. Конечно, они все отличаются, но и сходств между ними достаточно много. В евклидовой геометрии две прямые пересекаются в точке, то же самое происходит в геометрии Лобачевского. У Римана две прямые (большие окружности) всегда пересекаются в точке и в ее антиподе с другой стороны сферы.

У Евклида через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Лобачевский утверждал, что таких прямых по крайней мере две. По словам Римана, таких прямых вообще не бывает.

У Евклида параллельные прямые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, у Лобачевского это не так. Что касается суммы углов треугольника, у Евклида она всегда 180°, у Лобачевского – меньше 180°, а у Римана – больше 180°.

Если взять точку на прямой линии, то у Евклида и Лобачевского линия будет разделена на две части, но у Римана это не так. У Евклида два треугольника с одинаковыми углами подобны, а у Лобачевского и Римана такие треугольники конгруэнтны.

В следующей таблице приведены основные различия этих геометрий:

Евклидова геометрия может быть построена на плоскости, гиперболическая геометрия – на поверхности псевдосферы, а эллиптическая – на поверхности сферы.

Эти модели наглядно показывают интерпретацию пятого постулата в каждой геометрии, что изображено на следующих рисунках вместе с соответствующими проекциями. Обратите также внимание на то, как выглядят прямоугольники в каждой геометрии.

В евклидовом прямоугольнике все углы по 90°, в геометрии Лобачевского углы «прямоугольника» меньше 90°, а в эллиптической геометрии – больше 90°.

На евклидовой плоскости только одна прямая параллельна l. На псевдосфере бесконечное число прямых, проходящих через Р и лежащих между прямыми l₁ и l₂, не пересекаются с прямой l. На сферической поверхности через точку Р не проходит ни одной линии, параллельной l. Прямая l пересекает любую другую, проходящую через точку Р.

* * *

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОСТИ

На всех глобусах Земли изображены меридианы. Все эти линии, перпендикулярные экватору, пересекаются в двух точках, в полюсах сферы. Кроме того, меридианы являются конечными линиями. Тот же эффект можно наблюдать вдоль длинной прямой дороги: кажется, что параллельные линии встречаются на горизонте. Даже евклидова реальность предполагает существование других геометрий.

С другой стороны, если мы представим себя на поверхности шара и нарисуем там треугольник, чему будет равна сумма его внутренних углов? А если мы представим себя на внутренней поверхности шара, чему тогда будет равна сумма внутренних углов треугольника? А теперь представьте себе огромный воздушный шар, бесконечно большой, на поверхности которого живут крошечные, бесконечно малые существа. В их мире, кривая поверхность будет казаться плоской, то есть, евклидовой.

* * *

Муравьиные бега

Воображаемые муравьиные бега являются очень удобным способом ясно и наглядно смоделировать три типа геометрии и проиллюстрировать их сходства и различия.

Представьте себе двух муравьев, участвующих в бегах. Они начинают бежать примерно одновременно, и в принципе они бегут параллельно друг другу. Муравьи всегда бегут вперед, не поворачивая налево или направо, но их прямолинейная траектория будет выглядеть по-разному в зависимости от типа геометрии, используемой для описания поверхности.

Если два муравья бегут по идеально ровной поверхности – евклидовой плоскости, – их пути не будут ни сходиться, ни расходиться, а будут оставаться на равном расстоянии друг от друга.

Если муравьи бегут по искривленной поверхности, их пути либо сходятся, либо расходятся, поскольку являются прямыми линиями на данной поверхности. Как показано на следующем рисунке, если поверхность имеет сферическую форму, муравьи в конечном итоге встретятся, потому что пространство, в котором они движутся, не просто кривое, но и вогнутое. Если поверхность гиперболическая, муравьи постепенно разойдутся, потому что это пространство выпуклое.

Чтобы оставаться на одинаковом расстоянии друг от друга в сферическом или гиперболическом мире, его жителям придется постоянно корректировать свои пути, двигаться не по параллельным линиям и вообще отказаться от постулата о параллелях. Действительно, если такой мир существует, понятие параллельных линий там будет сильно отличаться от евклидова. Таким образом, важно понимать, что жители сферического или гиперболического мира даже не замечают, что их пути сходятся или расходятся, потому что приборы для измерения расстояния в их мире также другие. Они бы могли что-то заметить, если бы имели измерительное оборудование из евклидова мира.