Текст книги "В погоне за красотой"

Автор книги: Вольдемар Смилга

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 15 страниц)

Ей-богу, этот анонимный писака неплохо действовал. Вполне в стиле и традициях своего принципала Фаддея Булгарина, отчаянного и лихого «гангстера пера». Но слишком перебирать нельзя. Необходимо проявить видимость научного подхода. Нельзя допускать, чтобы у читателя появились сомнения в решающий момент боя. Операция начинается с несколько рискованного признания. Но опытный боец, видимо, уверен в себе.

«Во-вторых, новая Геометрия, как я уже помянул о том выше, написана так, что никто из читавших ее почти ничего не понял. Желая покороче познакомить вас с нею, я собирал в одну точку все мое внимание, приковывая его к каждому периоду и каждому слову, и даже к каждой букве, и при всем том так мало успел прояснить мрак, кругом облегающий это сочинение, что едва в состоянии рассказать вам то, о чем в нем говорится, не говоря ни слова о том, что говорится…»

Это лишь кажущееся отступление. Но необходимо немедленно предупредить естественный вопрос: «Если не понял, чего же берешься судить?» Нет! Он-то сам все понял, он лишь сделал маневр, чтобы показать своим соратникам-читателям, как безнадежно, уродливо все построение врага. И подчеркнуть свою объективность. Глядите! «Угодно вам прочесть в подлиннике?» И далее идет большая цитата из мемуара Лобачевского. Автор знает, что это точный военный маневр.

Не говоря уж о том, что мемуар написан очень сложно и тяжело, чтобы понять идеи Лобачевского, необходима еще для того времени высочайшая математическая культура, пристальное и непредвзятое внимание. К тому ж по любой цитате невозможно судить о научной работе. А отдельный отрывок, да еще после такой психологической подготовки, может совершенно обескуражить. И это точный ход для завоевания победы. А теперь можно заканчивать операцию. Еще небольшое усилие.

«Но, извините, я не могу выписать до слова то, что ниже излагается, потому что уже и так много выписал; а рассказать в коротких словах не умею, ибо отсюда-то и начинается самое непонятное. Кажется, что после нескольких определений, с таким же искусством и с такою же точностью составленных, как и предыдущие, автор говорит что-то о треугольниках, о зависимости в них углов от сторон, чем главным образом и отличается его геометрия от нашей, потом предлагает новую теорию параллельных, которая, по собственному его признанию, находится или нет в природе, никто доказать не в состоянии; наконец, следует рассмотрение того, каким образом в этой воображаемой геометрии определяется величина кривых линий, площадей, кривых поверхностей и объемов тел, – и все это, еще раз повторяю, написано так, что ничего и понять невозможно…»

Забавно, что хотя заглавия теорем Лобачевского аноним усвоил, но понять, что геометрия Лобачевского «отличается от нашей» только теорией параллельных, оказался уже не в состоянии. Впрочем, к чему понимать? Противник уже разбит, отступает в панике, и надо лишь закрепить успех.

«…Хвала г. Лобачевскому, принявшему на себя труд объяснить, с одной стороны, наглость и бесстыдство ложных новоизобретателей, а с другой стороны, простодушное невежество почитателей их новоизобретений. Но, сознавая всю цену сочинения г. Лобачевского, я не могу, однако же, не попенять ему за то, что он, не дав своей книге надлежащего заглавия, заставил нас долго думать понапрасну. Почему бы вместо заглавия «О началах геометрии» не написать, например, сатира на геометрию, карикатура на геометрию или что-нибудь подобное? Тогда бы всякий с первого взгляда видел бы, что это за книга, и автор избежал бы множества невыгодных для него толков и суждений. Хорошо, что мне удалось проникнуть в настоящую цель, с которой написана эта книга, а то бог знает что бы об ней и об ее авторе думали. Теперь же я думаю и даже уверен, что почтенный автор почтет себя весьма мне обязанным за то, что я показал истинную точку зрения, с которой должно смотреть на его сочинение…»

Пасквиль этот более или менее подробно цитируют в каждой биографии Лобачевского. Но, возмущаясь, сетуя и всячески понося автора, обычно забывают главное: памфлет действительно впечатляет. Меня совершенно не интересует автор (либо авторы), теоретически можно допустить, что он искренне боролся за чистоту науки.

Но можно понять и какова была реакция окружающих и чего стоила Лобачевскому эта статья.

После таких отзывов люди стреляются, заболевают, бросают работу навсегда.

На фоне этого памфлета письмо Гаусса к Бояи выглядит посланием нежного, любящего, заботливого отца. Тауринус – еще одна «жертва» Гаусса – сжег свою работу только потому, что Гаусс, обидевшись, прекратил переписку.

Внешне эта история как будто не коснулась Лобачевского. Он реагировал даже как-то поразительно вяло. Были сделаны кой-какие интерпелляции, поместил он через год в записках университета очень спокойный и сдержанный ответ. Послал также поразительно сдержанный ответ в «Сын Отечества». Фаддей, конечно, ответ не напечатал. Не напечатал. А Лобачевский особо настаивать не стал. И все.

Ошибочно было бы думать, что он вообще не был человек действия.

Вся его жизнь, его беспрерывное девятнадцатилетнее ректорство доказывают обратное. Но в данном случае он, видимо, считал ниже своего достоинства ввязываться в дискуссию. Вообще он удивительно мало заботился о популяризации своих идей. И это некоторый психологический ребус, потому что в остальном он был весьма практический человек.

А возможность заткнуть рот недругам, заткнуть раз и навсегда у него была.

В 1840 году он издал одну из своих работ на немецком языке.

А уже в 1842 году по представлению самого Гаусса его избирают членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества.

Гаусс, прочитав работу Лобачевского, очень им увлекся. Увлекся, правда, в своей манере. Восхищенные отзывы в письмах к друзьям; очень резкие отзывы по поводу некоей рецензии теперь уже в немецком журнале на работу Лобачевского. По смыслу рецензия эта не отличалась от памфлета в «Сыне Отечества», и Гаусс весьма сурово охарактеризовал рецензента. Наконец, в письмах к русским корреспондентам он непрестанно интересуется Лобачевским, просит даже передать ему привет.

Но ни слова в печати, ни единого письма к самому Лобачевскому, кроме сугубо официальной переписки в связи с избранием. Собирался он, правда, написать и попросить оттиски его трудов. Собирался! Но не написал.

Ну хорошо, у Гаусса были свои соображения. Но чем объяснить молчание Лобачевского?

После избрания его членом-корреспондентом ему, конечно, абсолютно ясно: Гаусс прочитал и одобрил его работу. И безусловно, это признание было крайне важно, крайне радостно для него. Казалось бы, самое естественное – самому послать Гауссу свои работы или уж по крайней мере написать письмо с просьбой дать оценку его идей.

Я уж не говорю о том, что, получи Лобачевский такое письмо, не только казанская профессура, но и вся Академия наук немедленно открестилась бы от своих прежних нападок и радостно признала бы Лобачевского крупнейшим математиком России.

Допустим, он был совершенно равнодушен к мнению окружающих, хотя допустить это трудно. Но самому-то ему должна быть интересна детальная оценка его работы Гауссом.

Такого письма Гауссу он не написал до конца жизни.

Что было причиной? Скромность? Гордость? Боязнь показаться навязчивым? Не знаю.

Быть может, глубоко скрытая обида на Гаусса? Мог ведь он написать члену-корреспонденту Геттингенского общества несколько теплых слов по поводу его исследований? Быть может…

Никакой сколько-нибудь удовлетворительной версии у меня нет. И единственно, что можно сказать: эта загадочная история показывает, насколько сложным, нестандартным человеком был Лобачевский. Потому что с ноября 1842 года он, бесспорно, должен понимать: признание его на родине как математика может прийти в тот момент, когда он этого захочет. Он не пишет. Когда речь идет о деле его жизни, он как-то целомудренно сдержан. Математик Лобачевский совсем другой человек, чем ректор Лобачевский. Здесь он непрактичный, замкнутый, философски спокойный человек.

Он очень напряженно работает все эти годы, он пытается найти строгое доказательство непротиворечивости.

Своим чередом идут служба и семейная жизнь. Свои радости, свои невзгоды. Характер у супруги оказался довольно серьезный. Сцены – а попросту говоря, скандалы – не столь редкий гость в доме. Он воспринимает все в лучших традициях стоиков. «Эх, матушка Варвара Алексеевна…» – и скрывается в свою крепость – в кабинет. Либо молчит и покуривает трубку.

Детей в семье много. К дочерям он как будто порядком безразличен, но сыновей любит, любит ревнивой, суровой, придирчивой любовью. Особенно первенца Алексея. Способного, очень напоминающего его самого в молодости.

Административной работы все время тьма. И он великолепно ведет университет. Ведет в сложную пору того времени. Правительство и государь довольны.

Высочайшие его императорского величества благоволения за отлично-усердную службу все более украшают формулярный список ныне уже его превосходительства действительного статского советника.

Где-то впереди уже начинает светить чин тайного.

Несколько расстроены денежные дела, но он еще не стар, еще полон сил.

Интриги и кляузы коллег присутствуют непременно. Но это обычно. Это в порядке вещей. Он стал суров, молчалив, педантично размерен. Но и это довольно обычно с приближением старости. Обычно все. Обычны и его привычки. Его превосходительство – хлебосол, более того – знаток кулинарии.

Порой он поигрывает в преферанс в клубе.

Чаще для отдыха переводит с греческого и латыни.

Он любит свой университет, и студенты любят его. Работа очень занимает его.

Все как у всех в России. Брат Алексей пьет горькую. Родич жены – игрок, просадил очень крупную сумму его денег. Сыновья выросли. Они уже студенты. Любимец старший радует. Второй огорчает. Он явственно не математик. Очень явственно.

Что он думает? Чем живет? Что дает ему силы непрестанно исследовать свою Геометрию? Как он смог через всю жизнь, через все заботы и мелочи пронести свою Геометрию, как не превратился в ординарного действительного статского? Как находил в себе волю, что поддерживало его? Что думал он, запираясь в своем кабинете? О чем мечтал? И на что надеялся?

Никто и никогда не ответит на все это.

И мне кажется, Н. И. Лобачевский, быть может, самый загадочный человек в истории мировой науки.

Благополучный в общем и уважаемый чиновник; он же «выживающий из ума чудак», «известный казанский сумасшедший», по мнению многих и весьма культурных людей той эпохи.

Конечно, его истинная жизнь начиналась за дверями его кабинета. Конечно. Но что держало его, какой сгусток воли, какая сила его вела? Что им руководило – любовь, ненависть, надежда, высокомерие или просто многолетняя привычка, привычка, ставшая инстинктом, – я не берусь сказать.

И боюсь, никто уже не скажет это. Потому что все богатство архивных материалов ничего не добавит нам о той второй и главной его жизни, что начиналась за дверями его кабинета, когда он оставался наедине со своими выкладками. Лишь одно, быть может, чуть открывает нам его.

В 1853 году умер его любимец Алексей. И за несколько месяцев Николай Иванович Лобачевский превратился в дряблого, больного старика. Он начал слепнуть, и болезнь прогрессировала быстро и неуклонно.

Ему осталось жизни три года; по заведенному порядку он еще пытался сохранить привычный уклад, пытался еще что-то делать по службе, но жизнь уже ушла.

И, вспоминая, как заставлял он сына штудировать математику, как, обычно сдержанный и спокойный, криком и простыми словами поносил его, когда тот бездельничал; как величаво радостно появлялся на мгновение в дверях его комнаты, где сын праздновал с друзьями удачный экзамен: «Продолжайте, господа, не буду вам мешать», – вспоминая все, я думаю, этого замкнутого, сурового человека поддерживала одна лишь романтическая мечта: сын продолжит его Геометрию.

И смерть сына означала и его собственную смерть. А беда никогда не приходит одна. И эти последние три года одна за другой приходят беды к Лобачевскому.

Но, вероятно, он уж не слишком видит их. Все уже кончено. И единственное, что еще осталось, – его Геометрия.

Слепой, он закончил диктовать последний свой труд, когда почти уже не оставалось дней его.

Глава 9
Неевклидова геометрия. Иллюстрации

Сейчас мы чуть-чуть заглянем в некий музей «курьезов». Курьезов лишь потому, что наша интуиция, воспитанная на евклидовой геометрии, все время противится восприятию геометрии Лобачевского.

Для того чтобы наши чувства высказались за полное теоретическое равноправие обеих геометрий, необходимо очень основательно и долго изучать геометрию Лобачевского.

И тогда то, что на первый поверхностный взгляд представлялось нелепым и парадоксальным, начинает светиться спокойной, холодной красотой логики и истины.

Между прочим, коль скоро все время говорится о красоте, можно заметить, что полностью аналогичные вещи часто бывают и в искусстве.

Те самые картины импрессионистов, которые сейчас, видимо, восхищают подавляющее большинство зрителей, у посетителей художественных салонов конца прошлого столетия вызывали насмешливый хохот. Реакция той же природы, что отношение современников к работам Лобачевского. Вообще надо заметить, что, к великому сожалению, не слишком сложная мысль «прежде чем судить, постарайся понять» – еще до сих пор откровение для многих.

Клочки искаженной, исковерканной информации, случайно залетевшие в сознание, слишком часто принимаются за достаточное основание для авторитетных суждений. Неважно – благожелательных или уничтожающих. Кстати, геометрии Лобачевского в этом смысле забавным образом не повезло еще один раз.

Еще много лет назад в статьях некоего весьма уважаемого писателя мне встретилась фраза: «Лобачевский доказал, что линии, параллельные у Евклида, пересекаются в бесконечности». Затем в связи с этим шли какие-то вполне умные, широкие и обобщающие рассуждения. Не помню уже о чем. Чуть ли не о том же, о чем пишу сейчас я.

По только что отмеченной склонности к поверхностным суждениям я решил, что этот автор вообще ничего не слышал о геометрии Лобачевского. Но эта же самая фраза столь настойчиво повторялась в статьях и книгах других литераторов, что в один прекрасный день меня озарило. Речь идет о параллельных в смысле Лобачевского… «А то, что эти линии совсем не «евклидовы параллельные», мы увидим полстраницей позже. Между ними такое же примерно соотношение, как между пилотом в средневековье (штурман корабля) и пилотом в современном понимании. Единый термин, используемый для обозначения разных понятий, породил эту чехарду в представлениях далеких от математики людей. Быть может, очень строгого суда они и не заслуживают, но уж и поощрения, бесспорно, тоже.

Чтобы закончить притчу, я могу сообщить, что потом отыскался и видимый первоисточник «литературного варианта геометрии Лобачевского».

Оказывается, грешен сам Федор Михайлович Достоевский. А писал он вещи весьма примечательные. В «Братьях Карамазовых» Иван Федорович, объясняя Алеше свое морально-философское кредо, в частности, говорит:

«Но вот что, однако, надо отметить: если бог действительно есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он ее по евклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже из замечательнейших, которые сомневаются, чтобы вся вселенная или, еще обширнее – все бытие было создано лишь по евклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые по Евклиду ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могу понять, то где же про бога понять. Я смиренно сознаюсь, что у меня нет никаких способностей разрешать подобные вопросы, у меня ум евклидовский, земной, а потому где нам решать, что не от мира сего».

Я не думаю отождествлять здесь самого Достоевского и Ивана Карамазова, и сейчас можно вообще отбросить обсуждение проблемы бытия божия. Но о геометрии-то пишет сам Достоевский. Это его представления. И то, что написано великолепно, показывает, как неглубокая, поверхностная интуиция поверхностного дилетанта невольно возводится в абсолют. Во всей фразе, если разбирать строго, нет буквально ни одной верной мысли. Это тем интереснее, что великолепный, чисто аналитический ум автора тоже чувствуется в каждом слове.

Далее Иван Федорович доводит свое интеллектуальное чудачество по поводу геометрии до логического предела, распространяя его даже на физику:

«Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму».

Надеюсь, понятно, что по этому отрывку я не собираюсь делать какие-либо малейшие выводы о творчестве Достоевского вообще. И надо иметь в виду, что геометрия Ивана Карамазова совсем не интересует. Для него это лишь случайный пример – иллюстрация его идей.

Но для нас это иллюстрация и искаженного представления о науке, и легкомысленных рассуждений о непонятных вещах, и довольно-таки явного обскурантизма Ивана Карамазова.

Впрочем, можно оправдать самого Достоевского по крайней мере в том смысле, что фактической ошибки он-то, быть может, и не допускал.

Имена геометров не названы, и потому можно надеяться, что Иван пересказывал представления римановой либо проективной геометрии.

Но поскольку, с одной стороны, слова «неевклидова геометрия» ассоциируются с именем Лобачевского, а с другой – все культурные литераторы, безусловно, внимательно читали Достоевского, то слова Ивана в дальнейшем неизменно экстраполировались к Лобачевскому.

Все эти литературно-психологические изыскания, помимо общих идей дидактически-назидательного характера, возможно, полезны тем, что на таких примерах становится понятней интеллектуальная смелость Бояи и Лобачевского.

А теперь, успокоив душу, вернемся в наш музей.

Естественно, мы ограничимся лишь несколькими теоремами и совсем не будем говорить о стереометрии. Поэтому дальше нигде не будем оговариваться, что все это происходит в одной плоскости.

Сначала, конечно, постулат Бояи – Лобачевского – антагонист «евклидова пятого».

«Через данную точку к данной прямой, кроме «евклидовой параллельной», можно провести по крайней мере еще одну прямую, не встречающую данную».

Отсюда немедленно следует, что можно провести и бесконечное число таких прямых.

Посмотрим на чертеж. Из точки А опущен перпендикуляр на прямую I. Евклидова параллельная – прямая ЕП – естественно, перпендикулярна этому перпендикуляру.

Пунктиром обозначена непересекающаяся с I прямая Лобачевского (ПЛ).

Из соображений симметрии (перегнуть чертеж вдоль перпендикуляра AB!) ясно, что будет существовать другая, точно такая же прямая. Она также обозначена пунктиром. Далее ясно, что любая из бесконечного числа прямых, проведенных через точку А внутри угла между прямыми ЕП и ПЛ, тоже не пересекает прямую I. Итак: «Через данную точку можно провести бесконечное число прямых, не встречающих данную».

Но, естественно, можно провести и бесконечное число прямых, встречающих данную. Их можно провести в любую сколь угодно удаленную от основания точку прямой. Действительно, возьмем любую точку В′ и соединим ее с A прямой. Это всегда можно сделать благодаря известной аксиоме.

Вот и получена прямая, проходящая через А и В′.

Но ввиду непрерывности пучка прямых должна быть граничная прямая, разделяющая оба класса.

Это либо последняя прямая («пересекающая») «встречающая» прямую BB″, либо первая «невстречающая». Легко видеть, что последней «пересекающей» быть не может. Действительно, предположим, что она существует. Пусть, например, это прямая AB′ на нашем чертеже. Но тогда, взяв точку В″ за точкой В′ и соединив ее с точкой А, получим новую прямую, лежащую за В′ и встречающую (пересекающую) прямую I.

Следовательно, граничная прямая – первая не встречающая прямую I.

Естественно, таких прямых две – для каждого направления своя. Внутри угла, образованного этими прямыми, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих прямую I, в том числе среди них будет и параллель Евклида.

Вот эти крайние невстречающие прямые Лобачевский назвал параллельными.

Как видите, они не имеют никакого отношения к параллельной в смысле Евклида.

И о них с некоторой натяжкой можно сказать, что они как бы пересекают данную прямую BB″ в бесконечно удаленных точках.

Правда, в этой фразе совершенно неясно, что такое «бесконечно удаленная точка», так что лучше ее вообще не произносить.

В терминах Лобачевского все прямые внутри угла «расходятся» с прямой I.

Итак, по отношению к данной прямой есть три типа прямых, которые можно провести через любую точку.

1. Сходящиеся (пересекающие); число их бесконечно.

2. Параллельные. Их две. Про каждую еще говорят: параллельная II параллельна прямой I в сторону BB′; параллельная III параллельна I в сторону B′B. Смысл этих слов понятен из чертежа.

3. Расходящиеся прямые. Это все бесконечное скопище линий внутри пучка. В частности, и «евклидова параллель».

Пока были термины.

Посмотрим теперь теоремы.

Для «параллельных» Лобачевский доказал, что они неограниченно приближаются к данной прямой (никогда не пересекая ее) и неограниченно удаляются в другую сторону.

Этот результат еще не столь странен.

Но вот следующий уже поражает.

Две расходящиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, который и есть кратчайшее расстояние между ними. По обе стороны от перпендикуляра они неограниченно удаляются. Естественно, это справедливо и для частного случая «евклидовых параллелей».

Таким образом, перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой II к прямой I, во-первых, больше взаимного перпендикуляра AB, а во-вторых, с прямой II не составляет уже прямой угол.

Это действительно странно. Но доказывается безукоризненно.

Соответственно геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, оказывается кривой линией.

Все это самые первые шаги.

Далее Лобачевский вводит новое и очень важное понятие угла параллельности.

Это острый угол между прямой, параллельной I и проведенной через точку A, и перпендикуляром AB, опущенным из этой точки на прямую I. То есть угол параллельности – CAB. По Евклиду, он, естественно, всегда равен ^π/₂.

Сразу можно увидеть, что этот угол зависит от расстояния от точки A до прямой I, причем уменьшается с ростом расстояния.

Действительно, возьмем на продолжении перпендикуляра AB точку A′ и проведем из этой точки «евклидову параллель» к прямой AC. Она пересечет перпендикуляр AB под тем же углом, что и прямая AC.

<DA′B = <CAB.

Но мы знаем, что из точки A′ можно еще провести прямую A′C′, параллельную AC в смысле Лобачевского.

И угол C′A′B, очевидно, меньше, чем угол DA′B.

Очевидно, что если прямая A′C′ не пересекает AC, то тем более она не пересечет прямую I. Она либо расходится с ней, либо параллельна. (Начиная с этого момента, я перестаю оговаривать: «в смысле определения Лобачевского». Всюду дальше в этой главе мы будем придерживаться его геометрии и его определений.)

На самом деле Лобачевский доказал теорему:

«Если две прямые параллельны третьей в одну сторону, то они параллельны между собой в ту же сторону». Так что угол CA′B есть угол параллельности к прямой I в точке A′.

Угол параллельности есть функция расстояния до прямой. Лобачевский обозначил эту функцию Π(x); x – здесь расстояние – то есть отрезок AB.

Мы убедились уже, что эта функция убывает с ростом x. Лобачевский исследовал, как она ведет себя с уменьшением расстояния x, и показал, что угол параллельности Π(x) неограниченно стремится при этом к прямому углу. Учено это выглядит так: . Но если вспомнить, что прямой угол параллельности соответствует геометрии Евклида, то ясно, что на малых расстояниях геометрия Лобачевского практически неотличима от геометрии Евклида.

Это-то ясно. Неясно покуда, что означают слова «малые расстояния».

Слова «малый» или «большой» приобретают смысл, только если указано по сравнению с чем. Без этого они лишены всякого содержания. Очевидно, должна существовать какая-то длина – некий эталон, с которым можно сравнивать все остальное.

Каким же образом этот эталон появляется? И здесь снова уместно вспомнить Лежандра. В своих исследованиях он также обнаружил, что угол параллельности зависит от расстояния. Собственно, для этого достаточно (как мы уже упоминали) чуть-чуть проанализировать его доказательство относительно суммы углов треугольника. И то, что появляется такая зависимость, казалось Лежандру столь нелепым, что одно время он и объявлял это желанным абсурдом, доказывающим пятый постулат. Рассуждал Лежандр очень остроумно, скорее как физик, чем как математик.

По сути, он использовал очень сильный метод качественного анализа физических задач – метод размеренности. Чуть модернизованно схема его рассуждений выглядит так.

Мы видим, что угол параллельности есть функция единственного отрезка – расстояния до прямой. Никакие другие линейные размеры в задачу не входят. Запишем: φ = Π(x).

А теперь посмотрим, что мы написали. Любой угол φ – величина безразмерная. (В радианной мере угол – это отношение дуги единичной окружности к радиусу.)

Слева у нас безразмерная величина. Какой бы масштаб измерения ни был выбран – сантиметры, метры, дюймы, она останется неизменной.

Справа же функция от размерного аргумента. Неважно, какой она имеет вид. Важно, что какой бы ни была, ее численные значения будут изменяться при изменении масштаба. Если, скажем Π(x) = 1/x², то при x = 1 м, Π(x) = 1 м^–2.

Но при выборе за единицу масштаба 1 см

Π(x) = 1/100² см² = 10^–4 см^–2.

Очевидно, мы пришли к нелепости. Зависимость, предложенная нами, невозможна. Следовательно, пятый постулат доказан.

Все рассуждение абсолютно верно. Кроме вывода. Вывод же должен быть другим. Из тех же соображений размерности ясно, что в нашей формуле справа в аргументе функции должна стоять безразмерная величина. Уравнение должно быть таким:

φ = Π(^x/_k),

где k – какой-то неизвестный нам пока отрезок. Но возникает вопрос: откуда его взять, этот отрезок k? Ведь весь анализ показывает, что угол параллельности φ зависит только от единственного расстояния – расстояния точки до прямой.

Нам остается лишь один выход. Надо допустить, что в новой геометрии существует как бы заранее самой природой заданный постоянный масштаб.

Существует некая постоянная длина, определяющая все остальные длины.

Это странно, но совсем не абсурдно. Например, в двумерной евклидовой геометрии сферы такая выделенная длина есть. Это радиус сферической поверхности.

И, используя для геодезических съемок Марса формулы обычной евклидовой сферической геометрии, мы должны будем помнить, что некоторые «постоянные» в наших земных таблицах существенно изменятся.

Лобачевский не был смущен кажущимся парадоксам и ввел постоянный отрезок k и нашел уравнение для угла параллельности. Оно столь просто, что можно его привести:

ctg¹/₂φ = e^x/k;

где e – основание натуральных логарифмов.

Из этого уравнения сразу видно, что когда ^x/_k → 0, то:

ctg¹/₂φ ≈ e⁰ = 1 или ¹/₂φ ≈ ^π/₄ и φ ≈ ^π/₂.

Когда φ = 90°, с высокой степенью точности выполняется геометрия Евклида.

Но ^x/_k близко к нулю, когда x <<k.

Теперь наши слова о малых отрезках, сказанные чуть раньше, получили точный смысл.

Если расстояние от точки, через которую мы к данной прямой проводим параллельную, много меньше постоянного отрезка k – приближенно выполняется геометрия Евклида.

В предельном случае, когда k = ∞, геометрия Евклида выполняется всегда и совершенно точно.

Естественно, первый вопрос, возникший у Лобачевского, был: как найти отрезок k?

И здесь оказывается, что его геометрия в определенном смысле «лучше» евклидовой.

Никакие теоретические рассуждения не помогут определить k. Он тó, что у физиков называется «константа теории». Найти его можно только опытным путем, только призывая на помощь конкретные физические измерения.

Угол параллельности, конечно, не измерить непосредственно, но можно, например, измерить сумму углов треугольника. «Дефект суммы» у данного треугольника зависит от значения k.

Как помните, и Лобачевский и Гаусс стимулировали подобные измерения, но ничего не выяснили.

Вообще сам Лобачевский никогда не утверждал, что именно его геометрия описывает мир. Напротив, он склонялся к мысли, что в нашем мире осуществляется геометрия Евклида.

Но это не так важно. Замечательно, что с самых первых шагов новая геометрия теснейшим образом связана с физикой, что ее немыслимо оторвать от эксперимента.

Естественно, что это непосредственно наталкивает мышление на важнейший вопрос о связи геометрии вообще с реальным миром. О возможности различных геометрий этого мира.

Вопрос, который, как мы уже говорили, не то что не предлагался, но вообще представлялся пустым и нелепым математикам в течение двух с лишним тысяч лет.

Волей-неволей появление неевклидовой геометрии возрождает проблему эксперимента. Действительно ли нам так совершенно известно, что «господь бог создал землю по законам евклидовой геометрии», как это полагал Иван Карамазов?

Это всегда очень красиво, когда абстрактные формулы вдруг наталкивают на совершенно неожиданные идеи, идеи, о которых и не подозревал автор при выводе этих формул.

Все эти выводы так пленительно изящны, что можно понять Бояи и Лобачевского, поверивших в логическую безупречность своей системы.

Причем сейчас мы обсудили лишь один из выводов самой первой работы Лобачевского – доклада в 1826 году.

Свою схему он сразу развил значительно глубже, а остальные результаты были не менее красивы. Однако в математике вопросы веры не являются решающими.

Гарантии, что где-то в дальнейшем не встретится логическое противоречие, не было.

И все остальные годы Лобачевский настойчиво пытается найти это доказательство.

Он стремится строго показать: его система безупречна. И по пути он разрабатывает самые разные, самые неожиданные следствия своей геометрии, все более и более углубляется в ее дебри.

Здесь он, вне всяких сомнений, выше своих соперников. Ни Бояи, ни Гаусс не прошли того пути, что проделал он.

Доказательства он не нашел. Хотя и был довольно близок к основной идее.

Но с чисто человеческой стороны его настойчивый, неизменный, подчиненный единственной цели труд вызывает чувство восхищения.