Текст книги "Истории давние и недавние"

Автор книги: Владимир Арнольд

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 8 страниц)

Бразильские путешествия

В Рио-де-Жанейро я проводил большую часть времени у моря – чаще на Ипанеме, чем на Копакабане, а иногда и ещё на каком-нибудь пляже шириной в полкилометра и длиной километров в двадцать, которых в окрестностях немало. Обычно я уходил из отеля в плавках, с ключом от комнаты, привязанным на шее, подобно крестику. Иногда переплывал на какой-нибудь остров в паре километров от берега. Вылезти на скалистый берег было трудно из-за того, что эта вертикальная стена была вся покрыта морскими ежами с очень острыми и легко обламывающимися внутри моих ног дюймовыми иголками, а высота волн была никак не меньше пяти метров у этой десятиметровой скалы. Но я всё же ухитрялся вылезти и находил на острове массу интересного и даже вкусного (с риском для жизни).

Вдоль берега часто идет шоссе с напряжённым движением, и жители подолгу ждут возможности перейти его. Они не ругаются, как сделали бы наши, а – в ожидании – танцуют, не успев познакомиться и почти без одежд.

Меня предупреждали, что после шести вечера, когда почти мгновенно наступает темнота, быть на берегу опасно, но я, хотя и не заходил в бедняцкие фавеллы, где следует держать оружие наготове, оказывался иной раз на тёмном берегу в неположенное время (скажем, когда шёл на фестиваль ламбады в соответствующий клуб).

Однажды в темноте на меня напала группа подростков лет пятнадцати – не помню, было их трое или пятеро, но меньше десятка. Они спросили у меня, который час – хотели же они добыть себе мои часы. Когда я осознал их намерения, то сразу позабыл все инструкции («всегда имей наготове столько-то денег и откупайся по первому требованию, а то убьют»). Подкорка немедленно выдала удививший меня самого поток чисто русского языка, воспроизвести который здесь невозможно. Кроме того, в руке у меня была сумка с тысячедолларовой видеокамерой, довольно тяжелой, но не заметной нападающим. Размахнувшись ею, я быстро уложил одного из подростков на песок у своих ног (надеюсь, не изуродовав его серьёзно, так как камера осталась неповреждённой), ещё один, испугавшись, убежал с криками (видимо, он хотел найти полицейского, но ближе километра никого не было), а остальных мне удалось быстро разогнать, размахивая своим смертоносным оружием.

Фестиваль ламбады оказался очень интересным, хотя и утомительным – он продолжался с вечера до утра в огромном зале, тесно набитом и студентами, и экспертами постарше. Некоторые пары были замечательными балетными мастерами, и устроители должны были испросить у них дозволения разрешить мне видеосъемку. Разрешение было быстро получено, жаль только, что видеопленки у меня было меньше, чем хотелось бы, и что многие замечательные части празднества происходили в почти полной темноте.

По Бразилии я путешествовал примерно месяц и повидал много замечательного: леса вдоль Амазонки и «рыбу-быка» (подводную корову, пасущуюся снизу на плывущих по Амазонке в виде островов лугах), города Ресифи и Форталезу, Ауро-Прето и Белем, Белу Оризонте и старые французские колонии на океане…

Граница Бразилии определяется давним решением Папы Римского, поделившего Новый Свет между Испанией и Португалией при помощи меридиана, к западу от которого всё испанское», а к востоку – «португальское». Это означало делёж Атлантического побережья, а вглубь страны и те, и другие двигались на запад по параллелям. Из-за этого северная и южная границы Бразилии (объединяющей всё португальское) выходят на побережье в точках одного меридиана.

В отличие от испанских колоний, превратившихся во многие независимые государства, португальские колонии вскоре стали единой Бразильской Империей, выбрав императором сына португальского короля. Позже эта империя спасала королей Португалии от больших неприятностей – как революционных, так и вызванных наполеоновской агрессией.

Лейбниц как предтеча Бурбаки

Лейбниц считал дедуктивные умозаключения убедительным доказательством существования Бога. Ибо наблюдение частных случаев, по его мнению, не может привести нас к общим идеям. И, если мы всё же их постигаем, то только путем самонаблюдения – наблюдая не внешний мир и явления природы, а следя за тем, как работает наш мозг, куда все эти универсальные принципы, из которых все частные случаи выводятся, были, по мнению Лейбница, изначально вложены Создателем. «Ибо, – говорит он в письме королеве Софии-Шарлотте, которую он хотел таким способом защитить от влияния «безбожника Ньютона», – к этим универсальным законам можно привести даже ребёнка, умело задавая ему, по образцу Сократа, нужные вопросы».

Интересно, что проклятия по адресу индуктивного метода раздавались и позже, например Абель писал в письме Ханстину в 1826 году о «несчастном методе выводить общее из частного». Ханстин был соперником Абеля в глазах Университета в Осло: Абель просил 200 талеров, так как был очень беден (французы утверждали даже, будто он возвращался из Парижа в Осло по льду пешком), а Ханстин получил 9500 талеров для организации экспедиции в Сибирь с целью поисков четвёртого (!) магнитного полюса.

Прикладная наука вытесняла фундаментальную уже тогда: Абель заметил, что в Париже математики интересуются только астрономией, теорией теплоты, оптикой и теорией упругости, исключая разве одного Коши, сохранившего интерес к чистой математике, но совершенно свихнувшегося. Лагранж (в основном, в Берлине) занимался математикой, по его словам, только потому, что отец не оставил ему достаточного наследства. Работу Абеля дали на отзыв Коши, и он её потерял. Лейбниц думал, что d(uv) = dudvи что кривая пересекает свою окружность кривизны с кратностью 4.

В одном французском физическом журнале («Fusion», 2001, № 84) я прочитал недавно, что вся слава Ньютона – якобы дутая и похищенная у Лейбница, да вдобавок и создана она французом Аруэтом (более известным под своим псевдонимом «Вольтер»).

Аруэт, пишут французы, учился в Париже в лицее Людовика Великого, где его учитель, иезуит, воспитал в нём крайний антисемитизм, который и был основой вольтеровского атеизма и антихристианских настроений (ведь Иисус был еврей!). Ради борьбы с христианством Вольтер решил лишить главного его учёного поборника, Лейбница, авторитета математика, и даже поехал ради этого в Берлин, где, споря с королём Фридрихом, пытался развенчать Лейбница. Но это не удалось. Тогда Вольтер поехал в Лондон к Ньютону, чтобы оспорить приоритет Лейбница. Но он опоздал на несколько недель – Ньютон умер, и только его племянница, Катерина Бартон, рассказала Вольтеру о яблоках, при помощи которых ему и удалось создать культ Ньютона.

В споре с Вольтером король Фридрих проявил свою учёность, сказав:

– На каждом континенте есть обезьяны, кроме лишь Европы, где вместо них – французы!

Вольтер возражал:

– Нет, французы – это помесь тигра с обезьяной.

Брат Марата, Будри, в своём курсе литературы в лицее Царского Села, рассказал эту историю, и одноклассники Пушкина закричали:

– Помесь тигра с обезьяной – это же Пушкин!

С тех пор в Лицее у него было прозвище «француз».

Происхождение математики: путь из Египта в Грецию

Мы сейчас склонны недооценивать познания древних, в особенности догреческих учёных. Теорема Пифагора была известна древним вавилонянам за тысячу (а то и больше) лет до него, вместе с целочисленными треугольниками типа (3,4,5). Древнеегипетский учёный Тот изобрёл числа (натуральный ряд), алфавит (фонетический, взамен иероглифов), геометрию (землемерие), игру в шашки, музыковедение. Пифагор перевёз в Грецию геометрию, Евдокс – арифметику, Орфей – музыку, Платон – философию. Всё это было у египетских жрецов засекречено, как и радиус земного шара, который они знали с ошибкой порядка процента (греки позже считали радиус вдвое большим – по ошибке). Из-за этого Колумба не хотели пускать – дескать, до Индии воды не хватит.

Мотивировка при преподавании математики в Израиле

В трудах израильской конференции по школьному образованию я прочёл (по-английски, хотя большая часть «трудов» была на иврите) директивный обзор, показавшийся мне своеобразным вариантом советских педагогических сочинений (не знаю, был ли автор приезжим из России педагогом).

Главная идея состояла в том, что никакие европейские или американские методы, идеи и принципы в израильских условиях не пригодны. Дело в том, – писал автор, – что европейцы стремятся воспитывать человеческую личность, а американцы – давать практически пригодные знания и навыки. В израильских же условиях главная цель иная: надо воспитать настоящего еврея, и будь он развитой личностью или мастером по компьютерам – толку от такого образования нет, если он не будет воспитан, как настоящий еврей. Именно эту цель, а не обучение таблице умножения, должны преследовать уроки математики, что касается географии или истории, то здесь всякому ясна специфика еврейского подхода.

Дальше в докладе предлагался пример из математики. В американском задачнике была такая «практически полезная» задача: отец подарил сыну на день рождения 100 долларов, а велосипед стоит 500.

Деньги сын кладёт в банк из расчета 5 % годовых. Спрашивается, через сколько времени выросших денег хватит на велосипед?

Американские педагоги считают, что американский подросток условием такой задачи достаточно мотивирован, чтобы начать понимать нужную математику. Но у нас в Израиле, – говорит автор доклада, – такая мотивировка не действует. Чтобы сделать эту задачу доступной израильскому школьнику, нужно лишь слегка изменить условие: эти сто долларов нужно ему реально дать.

«Технион», находящийся в Хайфе, присудил мне очень почётную научную премию. Вручение этой премии – большой праздник, на который приехало множество выпускников и друзей Техниона, в особенности из США (где работал второй лауреат, ранее много поработавший в Москве генетик).

За несколько минут до вручения премии ко мне подошёл декан математического факультета и, смущаясь, задал мне вопрос.

– К нам поступил сигнал, – сказал он, – что вы – антисемит. Это правда?

Пришлось рассказать ему о своих трудностях в Москве.

Участвуя впоследствии в различных международных организациях, я убедился, что многие на вид вполне респектабельные математики принципиально всегда голосуют против еврейских кандидатов столь же охотно, как и против русских (которым нередко принадлежат результаты, за которые награждают других – это случается даже с Нобелевскими премиями по физике, химии, биологии, с премией Техниона и др.). Американцы поддерживали недавно научную конференцию, от участников которой требовалось не иметь в паспортах израильской визы. Израильское консульство в Москве отказало в визе моей жене, заявив что у них и так хватает русских проституток. Впрочем, позже их консульство в Лондоне визу всё же выдало, и в Израиле с нами обращались очень хорошо.

Борьба с иностранцами и с их языками

Однажды заходит ко мне в офис моего Университета в Париже страшный на вид гражданин с длинными чёрными усами и говорит:

– Вы напрасно послали сегодня электронное письмо, не следовало.

– В чем дело? – спрашиваю я.

Отвечает:

– Я из Отдела безопасности, а вы – иностранец. Мы обязаны читать все получаемые и отправляемые вами письма. Именно поэтому вы получаете всю свою корреспонденцию уже распечатанной. В данном случае вы получили от NN письмо, которое он попросил вас разослать своим коллегам, и вы так и сделали. А вот этого-то вы делать и не должны были. Впредь остерегитесь!

Видимо, больше ко мне претензий уже не было, во всяком случае мне о них не сообщали. В данном случае, если мне не изменяет память, речь шла о возмущении французов проектами новых законов, направленных на прекращение общения с заграницей. Какой-то профессор другого университета организовывал демонстрацию протеста и хотел, чтобы об этом знали профессора и даже студенты всех университетов: он публиковал объявления и в газетах, и в электронной почте.

Один из законов (который в конце концов так и не приняли) предусматривал большие штрафы за использование иностранных слов (например, «week-end») в рекламе. Помню возражения против слова «ниша», которое мне казалось французским. Но, оказывается, «англосаксы» (традиционное наименование «врагов», соответствующее нашему «космополиты»), заимствовав это французское слово, стали употреблять его в выражениях вроде «экологическая ниша» – и вот в этом-то смысле оно должно было рассматриваться как иностранное и должно было обкладываться налогом.

Видимо, всё же, в конечном счёте я не на таком уж плохом счету: французское Министерство науки, образования и технологии пригласило меня участвовать в работе их недавно созданной Комиссии по Защите Наследства Французской Науки от иностранцев.

«Наша Манчжурия»

В гостях у одного кембриджского (Англия) математика я чуть не подрался всерьёз с японским профессором-биологом. В это время наш Президент собирался съездить в Японию, договориться о передаче южных Курильских островов. Но в газете в этот день появились сведения, что визит не состоится по каким-го техническим причинам.

Желая быть любезным, я сказал японскому профессору:

– Сегодня ли, завтра ли – во всяком случае этот вопрос будет в конце концов решен: хорошие отношения с Японией для нас жизненно важны.

Но японец стал чрезвычайно агрессивным:

– Никогда! – вскричал он. – Япония никогда не простит России, что вы отняли у нас нашу Манчжурию.

Дальнейшая дискуссия (которую вели уже американцы и англичане, а не я) показала, что представления нашего оппонента и об истории, и о географии весьма сомнительные. Главное, что его возмущало, было то, что, по его словам, Россия проиграла войну Японии и просто использовала испуг, произведенный американской атомной бомбой, чтобы захватить себе Манчжурию (Китай он вообще не признавал).

Случалось мне видеть и немцев, проводивших свою восточную границу в Заволжье, но они никогда не были так самоуверенно агрессивны. Когда немецкий ребёнок в Бонне, барахтаясь в луже лежа на спине, кричал матери: «Ich bin Auslanden», [8]8
  «Я – иностранец!» (нем.).


[Закрыть]она краснела и старалась заглушить политически некорректного сына.

Старушка, приехавшая из деревни, спрашивала на вокзале в Дюссельдорфе:

– Где у вас тут улица Адольфа Гитлера?

Жители разъяснили ей, что у них такой улицы нет, а есть улица графа Адольфа (у нас это был бы Юрий Долгорукий: граф Адольф – средневековый основатель Дюссельдорфа). Старушка выразила своё удовлетворение словами:

– Он это заслужил!

Из истории французской экономики

Долгое время основу французской экономики составляли свиньи: маленького поросёнка с полосатой, как у бурундука, спиной («марка-сана») приносили из лесу, убив там мать, выкармливали дома (даже грудью), потом он делался «рыжим зверем» и его отпускали в лес, где он становился «чёрным зверем», а к трём годам – «раго». Потом на «четырёхлетку» уже можно было охотиться – позже он «кабан», потом «старик» и, наконец, одиночка, «солитер», который бросает семью и никого не подпускает.

Однажды (2 октября 1131 года) в Париже на улице Сен-Жан молодой французский принц Филипп, возвращаясь вечером верхом от девушки, наткнулся на выскочившую из какого-то двора свинью. Конь упал, принц сломал шею и вскоре умер. Тогда король запретил держать в Париже свиней.

Но монахи монастыря Святого Антония запротестовали: когда Святой Антоний был в пустыне, он жил там не один, а со своим любимым поросёнком, поэтому, дескать, нашему монастырю без свиней нельзя.

И король издал поправку, разрешив держать свиней даже не только в монастыре Святого Антония, но и во всём его районе. Это правило сохранилось надолго и Антониевская слобода сделалась раем для трудящихся, которым никто не платил барщины и которым была нужна свинина для еды.

Сегодня здесь в каждом доме на улице Сент-Антуан мебельная фабрика и магазин по продаже мебели (последовательно: в стиле Людовика XIII, Людовика XIV и т. д.).

Рамануджан и Харди

Харди (1877–1947) в Кембридже написал свои лучшие работы. Обычно он делал их с Литлвудом, живя в одном (Тринити) колледже (где до сих пор хвалятся их активным участием в выборе для винного погреба порто, украшающего их обеды и праздники). Они встречались за трапезами трижды в день, за «высоким столом», где обедал Ньютон.

Но правила Тринити строго запрещают разговаривать за едой о своей науке и вообще о предметах, более серьёзных, чем погода: ведь даже при разговоре о левостороннем движении возникает риск спора, нарушающего пищеварение. Потому senior fellows (»старшие товарищи») обязаны при первом же разногласии провозгласить примиряющую формулу: «So we all agree that we disagree» («Итак, мы все согласны, что у нас есть разногласия») – и тогда спор прекратится.

Впрочем, обязанностей у senior fellows много. Например, огромный квадратный двор колледжа, засаженный вековым газоном, имеет четыре асфальтовые дорожки к фонтану в центре. На этом газоне стоят объявления: «Keep off the grass, unless accompanied by a senior fellow» («Не ходите по траве, исключая сопровождение старшего товарища»).

Однажды я пытался пересечь двор по этим дорожкам, но мастер колледжа (сэр Майкл Атья) силой спихнул меня на газон и заставил идти по диагонали: «Во-первых, ты сам senior fellow, а во-вторых, ты идёшь с начальником колледжа!».

Из других объявлений замечательно запрещение входить в колледж с велосипедами и собаками. Говорят, что раньше запрет был на лошадей и собак. Байрон, будучи студентом (в холле Тринити-колледжа висит прекрасный его портрет тех времён) был очень недоволен этим запретом и, в конце концов, поселил в своей келье колледжа медведя. На возражения начальства он заявил, что это – новый ученик, а вовсе не собака и не лошадь: он куда умнее большинства студентов. Традиция велит уважать правила.

Итак, Харди и Литлвуд никогда не говорили между собой о математике. Зато каждый из них писал весь день, а вечером отправлял написанное другому (через сторожей колледжа, дежуривших у входа и разносивших ежедневно почту, что продолжается и сейчас).

После многократного путешествия текста туда и обратно он превращался в очередную замечательную совместную статью, происхождение которой иначе было бы трудно объяснить, учитывая разницу характеров и стилей обоих авторов. Стиль Литлвуда ясен из его замечательных воспоминаний «Математическая смесь».

Литлвуд был альпинистом, использовавшим сложность готической архитектуры Кембриджа для скалолазания. А в математике он был прямым наследником Ньютона и Пуанкаре, подрабатывая даже и работами по артиллерийской баллистике. Я был поражён, обнаружив его оценки длительности сохранения адиабатического инварианта в гамильтоновой системе (предшествовавшие и моему доказательству вечного сохранения этого инварианта, и знаменитым экспоненциальным оценкам Нехорошева в теории КАМ). Быть может, ещё поразительнее то, что «теория хаоса» в динамических системах, включая «подкову Смейла», уже была разработана и опубликована Литлвудом (и Литлвудом с Картрайт, которая мне об этом и сообщила) задолго до Смейла, Синая, Алексеева и Аносова.

Харди же, ничего в динамических системах и в артиллерии не понимал: он был «сверхчистым» снобом, гордившимся больше всего успехами в теории чисел, которую он, вслед за Гауссом, называл «королевой математики» (объясняя сходство теории чисел с королевой полной бесполезностью обеих). Похвалить при Харди какое-либо математическое достижение за его внематематические приложения означало полностью себя скомпрометировать в его глазах.

И вот, однажды Харди получил удивительное письмо из Мадраса с неожиданными математическими утверждениями, которые он не смог ни доказать, ни опровергнуть. Подумав некоторое время о том, гений ли автор или неудачник, Харди в конце концов пригласил его в Кембридж, где они затем несколько лет работали столь же оригинально и успешно, как с Литлвудом, с этим молодым индусом – Рамануджаном (бронзовый бюст которого украшает теперь Тата Институт фундаментальных исследований в Бомбее).

Результаты Рамануджана (1887–1920) оказались действительно гениальными, хотя путь, по которому он до них дошёл, и сегодня остаётся достаточно таинственным, тем более, что математическое образование Рамануджана оставляло желать лучшего.

Вероятно, Рамануджан часто опирался на эксперимент – на скрываемые им большие вычисления (компьютеров тогда не было). Но всего через несколько лет ещё молодой Рамануджан умер, оставшись навсегда самым славным именем в математике Индии.

Когда я жил в Кембридже в качестве senior fellow того же ньютоновского Тринити-колледжа, мои индийские коллеги, жившие там же, рассказали мне малоизвестные подробности жизни Рамануджана.

Однажды Рамануджана навестил в Тринити индусский физик Чандрасекар, приехавший из Америки. Комната друга показалась ему холодной, но Рамануджан объяснил ему, что по-настоящему он мёрзнет только по ночам – ведь в Кембридже бывают даже заморозки! Гость отправился осматривать условия в спальне, и тут выяснил, что Рамануджан спал на одеялах, не подозревая, что ими нужно укрываться (в Мадрасе этого не делают). Именно поэтому он так и мёрз, поэтому и заболел (кажется, сначала воспалением лёгких, а потом чахоткой) – эта болезнь и свела его в могилу совсем ещё молодым.

В этой истории, я думаю, виноват более всего снобизм Харди и его бурбакистская бесчеловечность, которые не позволили ему навестить своего больного ученика, жившего в одном с ним доме, и вовремя дать ему элементарные практические советы. Однако индийские коллеги, рассказавшие мне эту историю, и тактично избегая обсуждения английских нравов, связывали причину смерти Рамануджана с индийскими обычаями, по которым его жена осталась в Мадрасе, а не поехала с ним: ведь она должна была заботиться там о своей свекрови, матери Рамануджана – эта обязанность важнее, чем забота о муже!

С тех пор индусские студенты в Кембридже передают друг другу, как надо расстилать постель, и больше уже не замерзают. Странно, правда, что, несмотря на эти одеяла, вклад Рамануджана в математику остался непревзойдённым: его имя стоит рядом с именами Абеля и Галуа.

Один из самых знаменитых результатов Рамануджана связывает не вычислимые по отдельности (даже через числа πи е) слагаемые

удивительной формулой для их суммы:

Вот пример удивительных открытий Рамануджана – его теоремы о делимости чисел разбиений.

Для любого натурального числа nобозначим через р(n)число различных разбиений числа и на натуральные слагаемые. Например, р(3) = = 3, как это показывают три разбиения (других нет):

3 = 3, 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 1 +1.

Числа разбиений при n = 1, 2, 3…. образуют последовательность

р(n)= 1, 2,3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176….

которая много изучалась, начиная с Эйлера, связавшего её с теорией степенных рядов и градуированных колец в своём «Введении в анализ».

Рост этой последовательности при больших и описывается асимптотической формулой Харди-Рамануджана-Радемахера

Согласно майору британской артиллерии МакМагону,

р(200) = 3 972 999 029 388.

(Это число можно вычислить по дающему большую точность приближению в правой части формулы.)

В этой формуле всё удивительно: в левой части стоит целое число чисто комбинаторного происхождения, задающее, сколькими способами можно разбить nна слагаемые.

В правой части стоит комбинация квадратного корня и экспоненциальной функции, в которой вдобавок участвуют иррациональные числа: π= 3,14… (задающее отношение длины окружности к её диаметру) и число Непера е = 2,718… (являющееся основой всего математического анализа).

То, что левая часть с большой точностью вычисляется по такой формуле, – совершенно удивительное открытие, где ярко проявляется фундаментальное единство всех частей математической науки: алгебры, геометрии, анализа, комбинаторики, теории вероятностей и техники приближенных вычислений.

Открытия Рамануджана делимости чисел разбиений состоят, например, в следующем:

числа р(5 n+ 4) [это 5, 30, 135…] делятся на 5.

Математика – экспериментальная наука, и свои открытия Рамануджан сделал, экспериментируя с приведённой выше последовательностью.

Восхищаясь гением Рамануджана, я всё же больше люблю чем-то более близких мне Абеля и Литлвуда. Доказательство Абеля неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени 5 и выше я в 1963 году перевёл на топологический язык теории римановых поверхностей и групп монодромий накрытий – это доказательство я рассказал тогда московским школьникам, и один из них впоследствии издал это доказательство в виде книжки (В.Б. Алексеев. «Теорема Абеля в задачах и решениях» – М.: Наука, 1976). Поэтому в 2001 году один талантливый польский математик (долго обучавшийся в Москве) опубликовал по-английски своё «новое топологическое доказательство теоремы Абеля» в журнале «Топологические методы в нелинейном анализе».