Текст книги "Когда ты была рыбкой, головастиком - я..."

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 16 страниц)

Я уже отмечал, что компания «White Star» давала своим кораблям названия, оканчивающиеся на «-ик», а вот ее соперница, компания «Кунард», – на «-ия». В одном из писем Ричард Брэнхем предположил, что если бы «Титаник» строила «Кунард», то корабль получил бы имя «Титания». Кроме того, Брэнхем указывает на многочисленные совпадения, связывающие «Титан» и «Лузитанию». «Титан» утонул в апреле неуказанного года. «Лузитания», подбитая торпедами, пошла ко дну в мае 1915 года. Капитан «Титана» носил по воле автора фамилию Брайс. Старшего механика на «Лузитании» звали Арчи Брайс. Длина и ширина «Лузитании» оказались ближе к параметрам «Титана», чем размеры «Титаника». Брэнхем с затаенной иронией показывает, что Робертсон в своей повести с равным успехом мог предсказывать и гибель «Лузитании», и катастрофу «Титаника».

Один из самых трогательных рассказов о трагедии «Титаника» оставил Элберт Хаббард. Выдержки из него можно найти в биографии «Элберт Хаббард из Ист-Авроры [49]49
  ИСТ-АВРОРА – деревня в округе Эри, штат Нью-Йорк.


[Закрыть]» (1926), написанной Феликсом Шеем. Свой очерк Хаббард завершает так: «Одно можно сказать наверняка. Есть лишь два способа достойного ухода из жизни. Один – смерть от старости, другой – смерть от несчастного случая. Болезни неприличны. Самоубийство отвратительно. Но скончаться так, как мистер и миссис Исидор Страус, – это великолепно и благородно [50]50
  Супруги Страус, пожилая богатая пара, отказались сесть в спасательную шлюпку и погибли вместе с «Титаником».


[Закрыть]. Немногие удостаиваются такой чести. Они любили друг друга и были счастливы. Они не расставались при жизни, и их не разлучила смерть».

7 мая 1915 года Элберт Хаббард и его жена Элис утонули во время катастрофы «Лузитании».

Часть III
МАТЕМАТИКА

Глава9
Дракула готовит мартини

Эта глава открывается классической головоломкой; далее показано, как на ее основе проделать два таинственных карточных фокуса. В наше время существует обширнейшая литература по математическим (или «самосрабатывающим», как их называют фокусники) карточным трюкам. Если хотите побольше узнать о математической магии, хорошим введением в нее может стать моя книга «Математика, магия и мистика», выпущенная издательством «Dover» в мягкой обложке. Нижеследующий текст впервые вышел в «Isaac Azimov's Science Fiction Magazine» (сентябрь 1979).

– Время коктейлей, дорогая, – объявил граф Дракула своей супруге. – Тебе как обычно? – Да, милый, – подтвердила миссис Дракула. Граф извлек из бара одну бутылку, содержащую кварту водки, и другую, поменьше, содержащую пинту [51]51
  В Америке 1 кварта = 0,95 л, 1 пинта (для жидкостей) = 0,47 л, т. е. 1/2 кварты.


[Закрыть]«человеческой крови». Влив немного крови в водку, он как следует встряхнул бутылку, а затем перелил в точности такой же объем обратно в емкость с кровью. Таким образом, в большой бутылке снова оказалась кварта жидкости, а в маленькой – пинта.

Миссис Дракула сидела спиной к мужу, но, глядя в зеркало на стене гостиной, она видела, что он делает. Граф выполнял стандартную трансильванскую процедуру по приготовлению вампирического мартини.

Допустим, что при смешивании водки с кровью объем компонентов не меняется. Если провести вышеописанную операцию дважды, водки в пинте крови окажется больше, чем крови в кварте водки? или меньше? или их будет поровну?

Возможно, вам уже попадалась такая загадка, и речь в ней шла об одинаковых стаканах с вином и водой. Однако в нашем случае содержимое двух сосудов не столь сходно, к тому же нам не сообщают, какой объем жидкости переливают туда и обратно.

Ответ

Если вы попытаетесь решить эту задачку алгебраически, введя точные количества, то вы, скорее всего, запутаетесь. Между тем существует до смешного простое доказательство того, что количество крови в водке должно оказаться в точности равным количеству водки в крови.

Нам говорят, что в конце всех операций, как и в самом начале, большая бутылка содержала 1 кварту жидкости, а малая – 1 пинту. Рассмотрим большую бутылку. В ней не хватает некоторого количества водки, обозначим его как х.Но поскольку суммарный объем жидкости в ней по-прежнему равен 1 кварте, значит, недостающее количество замещено равным объемом крови – тем же х! Конечно, такое же рассуждение применимо и к маленькой бутылке. Если в ней не хватает количества крови, равного х, но суммарный объем по-прежнему составляет 1 пинту, то, следовательно, недостающую кровь замещает количество водки, равное х.Вообще-то совершенно не важно, сколько раз произвольные объемы жидкости переливают туда-сюда, главное, чтобы в результате одна бутылка содержала ровно кварту, а другая – ровно пинту. Даже размеры емкостей несущественны. Объем водки в крови просто обязан равняться объему крови в водке!

Сумеете ли вы придумать простенький карточный фокус, основанный на этом забавном принципе?

Выньте из колоды двадцать шесть черных карт и сложите их одной стопкой. Рядом положите, скажем, тринадцать красных. Повернитесь спиной и попросите кого-нибудь вынуть из черной стопки столько карт, сколько ему вздумается, а затем положить их в красную стопку и перетасовать. После этого он должен вынуть такое же количество карт из бывшей красной стопки, поместить их в черную и тоже перемешать.

Вы оборачиваетесь, с важным видом трете виски и объявляете, что благодаря ясновидению открыли: число красных карт среди черных в точности равно количеству черных карт среди красных.

Так будет всегда – по той же причине, что описана в разгадке истории с мартини. Если хотите, можете позволить зрителю объединить две стопки в одну, перетасовать и затем отложить двадцать шесть карт из нее в одну кучку, а тринадцать – в другую. Результат будет тем же, что и раньше.

А теперь предлагаю вам вернуться к первой части этого рассказа и перечитать ее. Какую вопиющую ошибку я допустил, описывая, как граф Дракула делает коктейли?

В моем описании сказано, что миссис Дракула видела мужа в зеркале. Но, как известно (или должно быть известно) каждому читателю, вампиры в зеркале не отражаются.

Постскриптум

Сотни математических карточных фокусов используют, по сути, тот же принцип. Вот хороший пример, можете испробовать его на приятелях.

Перед тем как показать трюк, разделите стандартную колоду из пятидесяти двух карт на две равные части. Переверните одну половину и перемешайте двадцать шесть карт, лежащих рубашкой вниз, с двадцатью шестью, лежащими рубашкой вверх. Приступая к фокусу, продемонстрируйте всем, что получившаяся колода представляет собой смесь карт, обращенных рубашкой вверх и вниз, но не говорите, сколько из них перевернуто. Пусть кто-нибудь перетасует колоду и под столом передаст ее вам. Через несколько мгновений вы достаете карты, держа по полколоды в каждой руке, и объявляете, что в каждой из этих половинок – одно и то же число карт, лежащих рубашкой вниз! Выяснится, что так оно и есть.

Секрет фокуса. Под столом быстро отсчитайте двадцать шесть карт. Переверните любую из двух полуколод, прежде чем выложить все карты на стол. Понимаете, каков здесь механизм? Перед тем как вы перевернули полуколоду, количество карт, лежащих рубашкой вниз в одной полуколоде, равно числу карт, лежащих рубашкой вверх, в другой. Переверните полуколоду – и те карты, что лежали рубашкой вниз, будут лежать рубашкой вверх (и наоборот). В результате в каждой полуколоде окажется равное число карт, повернутых рубашкой в одну сторону.

Глава10
Ряд Фибоначчи

Классический ряд Фибоначчи начинается так:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Каждый член последовательности (кроме первых двух) – сумма двух предыдущих. Обобщенный случай ряда Фибоначчи – последовательность, в начале которой могут стоять два любых целых числа.

Числам Фибоначчи посвящено необозримое количество литературы. Существует даже периодическое издание – «Fibonacci Quarterly» («Ежеквартальник Фибоначчи»). Хорошим введением в эту тему может стать книга Альфреда Позантье и Ингмара Лемана «Феноменальные числа Фибоначчи» (Амхерст, штат Нью-Йорк: «Prometheus», 2007).

Моя статья о некоторых малоизвестных свойствах чисел Фибоначчи вышла в «Journal of Recreational Mathematics» («Журнале развлекательной математики»)(№ 34, 2005–2006, с. 183–190).

Ряд Фибоначчи – слыхали? —

1 да 1 – в начале,

потом – 2, 3, 5, 8,

отложите вопросы,

веселье мы вам обещали!

Артур Бенджамин

Прошло почти два десятка лет со времени моего последнего интервью с доктором Матриксом, которое я взял у него на математической конференции в Лиссабоне. (Это интервью завершает подборку моих колонок из журнала «Scientific American», составившую книгу «Использование покрытий Пенроуза для разгадки шифров» [52]52
  M. Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (New York: vv. H. Freeman, 1989).


[Закрыть].) С тех пор я совершенно потерял след старого хрыча и его дочери Ивы, наполовину японки. Так что я с огромным удивлением и удовольствием повстречался с ним на конференции по теории чисел, проходившей в Стэнфордском университете. В программе значился его доклад «Некоторые малоизвестные факты о рядах Фибоначчи».

Ивы в Стэнфорде не было – теперь она уже не сопровождала отца в его вояжах, поскольку в 1991 году вышла замуж за одного японского фокусника. Ныне она живет в Токио вместе с мужем и двумя сыновьями-подростками – Ирвингом и Джошуа.

Сам доктор Матрикс заметно постарел. Волосы у него стали снежно-белыми, однако изумрудно-зеленые глаза сохранили всегдашнюю живость и пронзительность, а вышагивал он по-прежнему ровно и уверенно. Он передал мне текст своей лекции. Из нее, а также из наших дальнейших бесед я почерпнул необыкновенные сведения.

Пусть А, В, С, D – четыре любых последовательных члена обобщенного ряда Фибоначчи. Тогда произведение А и D даст одно число из пифагоровой тройки [53]53
  Т.е. тройки целых чисел х, у, z, удовлетворяющих соотношению x2 + у2 = z2.


[Закрыть], а удвоенное произведение В и С – другое число из той же тройки! Рассмотрим, к примеру, четыре первых члена простейшего ряда Фибоначчи – 1, 1, 2, 3. Подстановка этих чисел в наши формулы даст знакомые длины сторон прямоугольного пифагорова треугольника – 3, 4, 5. С помощью такой процедуры можно, разумеется, создать бесконечное количество пифагоровых троек, хотя, к сожалению, не всетакие триады.

Вот уравнение для четырех последовательных элементов ряда Фибоначчи:

(А × D) ²+ (2 × В × С) ²= (В ²+ С ²) ²

Это равенство легко доказать. Доктор Матрикс не дал ссылки на эту диковинку, однако я связался с редактором «Fibonacci Quarterly» и установил, что ее некогда опубликовал А. Хорадам в «American Mathematical Monthly» [54]54
  A. Horadam, «Fibonacci Number Triples», in American Mathematical Monthly 68:751–753, 1961.


[Закрыть].

В ходе своего выступления доктор Матрикс продемонстрировал на экране старый парадокс с изменением площади (рис. 1). Перед нами квадрат площадью 64 «квадратные единицы». Если переложить четыре его части так, чтобы те составили прямоугольник, площадь неожиданно вырастет до 65 единиц! А если куски вновь переложить, как показано на рис. 2, общая площадь съежится до 63!

Отметьте, что длины в этом классическом парадоксе – 3, 5, 8 и 13, а это четыре члена ряда Фибоначчи. У этой последовательности есть известное свойство: если возвести в квадрат ее элемент, имеющий номер n, полученная величина будет равна произведению предшествующего и последующего члена ряда ±1 (т. е. членов с номерами n–1 и n+1).

_Рис. 1

_{Рис. 2. Площадь = 63 кв. ед.}

В данном случае сторона квадрата – 8, площадь – 64. В ряду Фибоначчи 8 находится между 5 и 13. Следовательно, 5 и 13 автоматически становятся сторонами прямоугольника, площадь которого должна составлять 65: отсюда выигрыш в одну квадратную единицу.

Благодаря этому свойству нашего ряда мы можем построить квадрат со стороной, длина которой представляет любое число из этого ряда (больше 1), а затем разрезать фигуру в соотношении, определяемом двумя предшествующими членами ряда. Так, выбрав квадрат со стороной 13, можно разделить три из его сторон на сегменты с длинами 5 и 8, а затем провести линии разреза, как показано на рис. 3. Площадь этого квадрата – 169. Из его фрагментов можно сложить прямоугольник с длинами сторон 21 и 8, а площадь этого прямоугольника будет равна 168. Из-за своего рода «перекрывания», происходящего вдоль диагонали прямоугольника, здесь мы теряем, а не приобретаем одну квадратную единицу.

Потеря одной квадратной единицы происходит, если взять квадрат со стороной 5. И это подводит нас к забавному правилу. Каждый второй элемент ряда Фибоначчи, если принять его за длину стороны квадрата, создает «дополнительную площадь» вдоль диагонали прямоугольника и зримую прибавкуодной квадратной единицы. Все остальные элементы ряда (если их также брать через один) дают перекрываниечастей прямоугольника и потерюодной квадратной единицы. Чем дальше по ряду мы продвигаемся, тем менее заметна площадь такого перекрывания. И соответственно, чем ниже номера членов ряда, тем перекрывание виднее. Можно даже построить своего рода парадокс с квадратом, имеющим сторону всего в две единицы, но в таком случае полученный из него прямоугольник 3 на 1 потребует столь явного перекрывания, что пропадет весь эффект от парадокса.

_Рис. 3

По всей видимости, первую попытку обобщить этот парадокс квадрата и прямоугольника с помощью упомянутого ряда Фибоначчи предпринял В. Шлегель (см. его статью в «Zeitschrift fur Mathematik und Physik» [55]55
  V. Schlegel, Zeitschrift fur Mathematik und Physik 24:123, 1879.


[Закрыть]). Э.Б. Эскотт опубликовал похожий анализ в «Open Court» [56]56
  E.B. Escott, Open Court 21: 502, 1907.


[Закрыть], описав несколько иной метод разрезания квадрата. Льюис Кэрролл интересовался этим парадоксом и оставил ряд незавершенных заметок, где он приводит формулы для расчета других сторон фрагментов [57]57
  W. Weaver, «Lewis Caroll and a Geometrical Paradox», American Mathematical Monthly 45:234,1938.


[Закрыть].

Бесконечное количество других вариантов получим, если положим в основу этого парадокса другие ряды Фибоначчи. Так, квадраты, построенные на основе ряда 2, 4, 6, 10, 16, 26…, дают прибавку или потерю в 4 квадратные единицы. Величину этой прибавки-потери легко можно вычислить: это разность между квадратом любого элемента последовательности и произведением соседних с ним элементов. Ряд 3, 4, 7, 11, 18… дает прибавку или потерю в 5 квадратных единиц. Т. де Молидар [58]58
  T. de Moulidars, Grande Encyclopedic des Jeux, p. 459 (Paris, 1888).


[Закрыть]в своей «Grande Encyclopedie des Jeux» [59]59
  «Большая энциклопедия игр» (фр.).


[Закрыть]изображает квадрат, основанный на ряде 1, 4, 5, 9, 14… Длина стороны квадрата равна 9, a при превращении в прямоугольник он теряет и квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19… также дает потери и прибавки, равные 11. Однако в обоих случаях перекрывание («добавочная площадь») вдоль диагонали прямоугольника достаточно велико, и его можно заметить. Пусть А, В и С – три последовательных члена какого-нибудь ряда Фибоначчи, а X – потеря или прибавка площади. Тогда получим две следующие формулы:

А + В = С

В ²= АС ± X

Можно заменить X любой потерей или прибавкой, которую мы хотим получить, а вместо В подставить любую длину квадрата, которая нам нравится. Затем можно составить квадратные уравнения, а решив их, узнать два других элемента нашего ряда Фибоначчи, хотя, конечно, это не обязательно будут рациональные числа. Поэтому, к примеру, невозможно получить потери или прибавки в 2 или 3 квадратные единицы, деля квадрат на куски с рациональными длинами. Но если длины составят иррациональные числа, то, конечно, результата достичь удастся. Таким образом, ряд Фибоначчи √2, 2√2, 3√2, 5√2… даст прибавку или потерю, равную 2, а ряд √3, 2√3, 3√3, 5√3… даст прибавку или потерю в 3 квадратные единицы.

Доктор Матрикс великодушно сослался в своей лекции на главы 8 и 9 моей книги, вышедшей в мягкой обложке и называющейся «Математика, магия и мистика» (издательство «Dover») [60]60
  M. Gardner, Mathematics, Magic, and Mystery (New York: Dover, 1956).


[Закрыть]. Эти главы посвящены всевозможным удивительным геометрическим исчезновениям, в том числе таинственной пропаже лиц и людей! Там описано, в частности, блистательное открытие мага-любителя Пола Карри: путем простой перестановки кусков некой фигуры получается фигура, казалось бы, той же площади, но с большой дырой внутри!

Доктор завершил свой доклад кратким рассказом о числах трибоначчи.Ряд трибоначчи получают, всякий раз суммируя трипредыдущих члена: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81… В обобщенной последовательности Фибоначчи отношение соседних членов А и В (т. е. результат деления А на В) стремится к 0,618… – величине, обратной прославленному «золотому сечению». В последовательности трибоначчи такое отношение стремится к 0,543… Числа тетраначчиполучают путем суммирования четырех предшествующих элементов ряда. Разумеется, можно обобщить этот случай, приняв за nколичество суммируемых элементов. Тогда при стремлении nкбесконечности отношение соседних членов будет по мере увеличения их номеров стремиться к 0,5.

Как я позже узнал от Дональда Кнута, известного ученого-компьютерщика из Стэнфордского университета, подобные ряды впервые были предложены Нараяной Пандитой в 1356 году, в главе 13 его замечательной работы, написанной на санскрите и озаглавленной «Ганита каумуди» («Услады лотосовых вычислений») [61]61
  N. Pandita, Ganita Kaumudi (Lotus Delight of Calculation), p. 1356:


[Закрыть]. Кнут обсуждает ее и дает ссылки на другие работы в четвертом томе своего классического труда «Искусство компьютерного программирования» [62]62
  D. Knuth, Art of Computer Programming, vol. 4 (Reading, MA: Addison-Wesley, 2006).


[Закрыть]. Позже эту последовательность заново открыл» четырнадцатилетний Марк Фейнберг. Он написал об этом в «Fibonacci Quarterly» [63]63
  M. Feinberg, Fibonacci Quarterly, October 1963.


[Закрыть]. В 1967 году Марк, уже второкурсник Пенсильванского университета, разбился на мотоцикле.

Доктор Матрикс, когда мы обедали с ним и с Дональдом Кнутом, сообщил нам еще об одной неправдоподобной диковинке, не связанной с числами Фибоначчи. Расположите десять цифр в алфавитномпорядке, и они образуют случайное и весьма скучное с виду число 8 549 176 320. Разделите его на 5. Получится 1 709 835 264 – еще одно десятизначное число, где представлены все десять цифр! Разделите и его на 5. Получится 341 967 052,8 – третье число, где каждая из десяти цифр встречается по одному разу [64]64
  Разумеется, автор имеет в виду алфавит английского языка. Цифры выстраиваются по алфавиту согласно своим названиям: eight, five, four, nine, one, seven, six, three, two, zero. (Можно попробовать составить такое же число, руководствуясь более привычными нам названиями цифр: восемь, два, девять, ноль, один, пять, семь, три, четыре, шесть – 8 290 157 346. Но при делении его на 5 описанный эффект не наблюдается.)


[Закрыть]!

Теперь разделим это число на 4. Окажется, что вы снова вернулись к самому первому – «алфавитному» – числу, только в нем теперь появилась десятичная запятая. Понимаете, отчего это произошло? Дважды разделив на 5 и один раз на 4, вы тем самым разделили первое число на 100 [65]65
  Если обнаружите другие странные свойства числа 8 549 176 320, напишите мне о них через издательство «Hill and Wang». Вот еще одна особенность, на которую я набрел. Разделите наше алфавитное число на 2718 (первые цифры числа е), и вы получите число, начинающееся с 314 – первых цифр числа π! Я обнаружил также, что если 123 456 789 пять раз подряд разделить на 5, то каждый из полученных пяти результатов будет содержать все девять цифр с 1 до 9 включительно, а два результата будут содержать также и 0. (Прим. автора).


[Закрыть].

Я послал эту диковинку, обнаруженную доктором Матриксом, своему другу Оуэну О'Ши, который родом из ирландского города Cobh (произносится «Коув»). Он – автор недавно вышедших «Магических чисел Профессора» [66]66
  O. O'Shea, The Magic Numbers of the Professor (Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 2007).


[Закрыть]. В ответ Оуэн написал мне о множестве других удивительных свойств этого якобы «неинтересного» алфавитного числа. Например, оно раскладывается по степеням простых чисел как произведение 210, 33,5 и 61843. Это означает, что 8 549 176 320 без остатка делится на все числа от 1 до 9, исключая 7. Множитель 61 843 (тоже простое число) возникает довольно неожиданно.

О'Ши двумя способами делит число 8 549 176 320 по разрядам, получив следующее уравнение:

854 + 917 + 632 + 0 = 8 · 5 · 49 + (1 · 7 · 63) + 2 + 0

Каждая часть равна 2403.

Затем О'Ши составил число, воспользовавшись обратным алфавитным порядком, и получил 0 236 719 458. Представив разряды этого числа в виде слагаемых: 0 + 2367 + 19 + 4 + 5 + 8, – он снова пришел к сумме 2403.

Два американских математика, Джеймс Смоук и Томас Дж. Ослер, в своей книге «Волшебный трюк Фибоначчи» [67]67
  J. Smoak and T.J. Osier, «A Magic Trick from Fibonacci», College of Mathematics Journal 34: 58–60, January 2003.


[Закрыть]сообщают еще об одном удивительном фокусе. Возьмем дробь 100/89. В десятичном виде она равна 1,123 595 505 61… Первые пять цифр в ней – это первые пять чисел Фибоначчи [68]68
  Здесь и далее автор «по умолчанию» рассматривает простейший ряд Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8…


[Закрыть].

Добавьте два нуля в числитель и по девятке в начало и конец знаменателя, и у вас получится дробь 10000/9899, то есть

1,0102030508132134559046368…

Заметьте: первая единица, а затем девять следующих парцифр представляют собой десять первых чисел в ряду Фибоначчи!

Авторы приводят доказательство, что если такую процедуру повторять бесконечно, то можно получить всечисла Фибоначчи из этого ряда! Каждый следующий шаг увеличивает количество получаемых чисел Фибоначчи на пять. Таким образом, если представить дробь 1000000/998999 в десятичном виде и объединить составляющие ее цифры в триады, мы увидим, что перед нами первые пятнадцатьчисел Фибоначчи; следующий шаг даст нам первые двадцать пять элементов ряда, и так до бесконечности!

Этот забавный случай рассмотрен в упражнении G43 «Конкретной математики» Грэхема, Кнута и Паташника [69]69
  R. Graham, D. Knuth, and 0. Patashnik, «Exercise G43», Concrete Mathematics (Reading, MA: Addison-Wesley, 1994).


[Закрыть], заметивших, что данное явление впервые обнаружили Брук и Уолл (дается ссылка на их статью в «Fibonacci Quarterly») [70]70
  Brooke and Wall, The Fibonacci Quarterly 1: 80, 1963.


[Закрыть]. Кнут сообщил мне, что похожие дроби, такие как 1000000/989899 и 1000000000/898998999, сходным образом порождают числа трибоначчи!

Полагаю, мало кто из математиков догадывается, что ряд Фибоначчи может служить основой для арифметической записи. Каждое целое положительное число можно уникальным способом выразить как сумму некоторого набора чисел Фибоначчи, не следующих одно за другим. Знаете ли вы, что двенадцатое число Фибоначчи – квадрат двенадцати, 144? Это единственное число Фибоначчи, являющееся полным квадратом, если не считать 1. А «кубы Фибоначчи» – только 1 и 8. Другие забавные подробности см. в главе 13 моего «Математического цирка» [71]71
  M. Gardner, Mathematical Circus (New York: Knopf, 1979).


[Закрыть].

А существует ли простой способ проверить, принадлежит ли какое-нибудь число к ряду Фибоначчи? Да, такой способ есть. Целое положительное число n является числом Фибоначчи, если (и только если) 5n ²+ 4 или 5n ²– 4 представляет собой полный квадрат! Можете развлечься, проверяя какие-нибудь целые положительные числа на калькуляторе. 666 – число Фибоначчи? Нет! А 123? A 987?

И наконец – странное уравнение, объединяющее ряд Фибоначчи с последовательностью факториалов и дающее в пределе значение числа е. Подобно π, это трансцендентное число так и норовит появиться в самых неожиданных местах. Загадочную дробь мне прислал О'Ши, добавив, что нашел ее в Интернете.