Текст книги "Революция в физике"

Автор книги: Луи де Бройль

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 20 страниц)

5. Состояния с отрицательной энергией. Положительный электрон

Уравнения теории Дирака проявляют особые свойства, допуская решения, соответствующие состояниям частицы, энергия которой может быть отрицательной. Электрон в одном из этих состояний должен обладать довольно странными свойствами. Чтобы увеличить его скорость, у него нужно отнять энергию. И, наоборот, чтобы его остановить, нужно сообщить ему некоторую энергию. В эксперименте электрон никогда не вел себя так странно. Поэтому вполне законно было считать, что состояния с отрицательной энергией, существование которых допускает теория Дирака, в действительности в природе не реализуются. Можно было бы сказать, что в этом смысле теория дает слишком много, по крайней мере на первый взгляд.

То, что уравнения Дирака допускают возможность существования состояний с отрицательной энергией, это, несомненно, результат их релятивистского характера. Действительно, даже в релятивистской динамике электрона, развитой Эйнштейном в рамках специальной теории относительности, обнаруживается возможность движения с отрицательной энергией. Однако в то время в динамике Эйнштейна трудность была не очень серьезной, ибо она, как и все предыдущие теории, предполагала, что все физические процессы непрерывны. А так как собственная масса электрона конечна, то он всегда обладает конечной внутренней энергией в соответствии с релятивистским принципом эквивалентности массы и энергии. Поскольку эта внутренняя энергия не может исчезать, то мы не можем непрерывным образом перейти от состояния с положительной к состоянию с отрицательной энергией. Таким образом, предположение о непрерывности физических процессов полностью исключает такого рода переход.

Следовательно, достаточно предположить, что в начальный момент времени все электроны находятся в состояниях с положительной энергией, чтобы увидеть, что состояние всегда остается таким же. Трудность становится гораздо более серьезной в механике Дирака, ибо это механика квантовая, допускающая существование дискретных переходов в физических явлениях. Можно легко видеть, что переходы между состояниями с положительной и отрицательной энергией не только возможны, но и должны происходить довольно часто. Клейн привел интересный пример того, как электрон с положительной энергией, попав в область, где действует быстро меняющееся поле, может покинуть эту область в состоянии с отрицательной энергией. Следовательно, то, что экспериментально электрон с отрицательной энергией ни разу не был обнаружен, оказывалось очень опасно для теории Дирака.

Чтобы обойти эту трудность, Дирак выдвинул очень остроумную идею. Заметив, что согласно принципу Паули, о котором мы поговорим в следующей главе, в одном состоянии не может находиться более одного электрона, он предположил, что в нормальном состоянии окружающего мира все состояния с отрицательной энергией заняты электронами. Отсюда следует, что плотность электронов с отрицательной энергией везде одинакова. Дирак выдвинул предположение, что эту однородную плотность наблюдать невозможно. В то же время электронов существует больше, чем необходимо для заполнения всех состояний с отрицательной энергией.

Этот избыток и представляют собой электроны с положительной энергией, их-то мы и можем наблюдать в наших экспериментах. В исключительных случаях электрон с отрицательной энергией может под действием внешней силы перейти в состояние с положительной энергией. При этом мгновенно появляется наблюдаемый электрон и в то же время образуется дырка, пустое место, в распределении электронов с отрицательной энергией. Дирак показал, что такая дырка может наблюдаться экспериментально и должна вести себя подобно частице с массой, равной массе электрона и равным ему, но противоположным по знаку зарядом. Мы будем воспринимать его как антиэлектрон, положительный электрон. Эта неожиданно образовавшаяся дырка не может долго существовать. Она будет заполнена электроном с положительной энергией, который испытает спонтанный переход в пустое состояние с отрицательной энергией, сопровождающийся излучением. Итак, Дирак объяснил не наблюдаемость состояний с отрицательной энергией и в то же время предсказал возможность, пусть редкого и эфемерного существования, положительных электронов.

Несомненно, гипотеза Дирака была очень проста, однако на первый взгляд она казалось несколько искусственной. Возможно, что большое число физиков оставалось бы настроенными в этом отношении несколько скептически, если бы эксперимент немедленно не доказал существования положительных электронов, характерные свойства которых только что предсказал Дирак.

Действительно, в 1932 г. сначала тонкие эксперименты Андерсона, а затем и Блэкетта и Оккиалини обнаружили, что при распаде атомов под действием космических лучей появляются частицы, которые ведут себя в точности как положительные электроны. Хотя абсолютно строго еще и нельзя было утверждать, что масса новых частиц равна массе электрона, а их электрический заряд равен и противоположен по знаку заряду электрона, последующие эксперименты делали это совпадение все более вероятным. Далее, оказалось, что положительные электроны имеют тенденцию быстро исчезать (аннигилировать), приходя в соприкосновение с веществом, причем аннигиляция сопровождается излучением. Эксперименты Тибо и Жолио-Кюри, казалось, не оставили в этом вопросе никакого сомнения.

Исключительные обстоятельства, при которых появляются положительные электроны и их способность к аннигиляции, сокращающая время их существования, – это как раз и есть те свойства, которые предвидел Дирак. Таким образом, ситуация оказалась обратной: существование решений уравнений Дирака с отрицательной энергией не только не ставит их под сомнение, но, наоборот, показывает, что эти уравнения предсказали существование и описали свойства положительных электронов.

Тем не менее мы должны признать, что дираковские представления о дырках приводят к серьезным трудностям, касающимся электромагнитных свойств вакуума. Вполне вероятно, что теория Дирака будет преобразована и установит большую симметрию между электронами обоих типов, в результате чего идея о дырках вместе со связанными с ней трудностями будет отброшена. В то же время несомненно, что экспериментальное открытие положительных электронов (ныне носящих название позитронов) представляет собой новое и замечательное подтверждение идей, лежащих в основе механики Дирака. Симметрия между обоими типами электронов, которая устанавливается в результате более тщательного исследования некоторых аналитических особенностей уравнений Дирака, представляет большой интерес и несомненно ей предстоит сыграть важную роль в дальнейшем развитии физических теорий.

Глава XII. Волновая механика систем и принцип Паули

1. Волновая механика систем частиц

До сих пор мы рассматривали новую механику только для случая, когда в заданном силовом поле движется одна частица. Иногда мы предполагали, что тот или иной принцип справедлив и для системы; а поскольку физика предполагает существенно дискретный характер элементарных физических представлений, он справедлив и для группы частиц. Теперь необходимо уточнить, как выглядит эта волновая механика систем частиц.

Отметим с самого начала, что настоящую систему образуют только взаимодействующие друг с другом частицы: невзаимодействующие частицы можно рассматривать независимо друг от друга, и мы снова приходим к случаю одной частицы. Это замечание, конечно, справедливо как в старой, так и в новой механике.

Напомним теперь, как классическая механика решает проблему движения системы взаимодействующих частиц. Для каждой из этих частиц выписываются основные уравнения Ньютона, выражающие пропорциональность между ускорением материальной точки и действующей на нее силой. Поскольку предполагаем, что между частицами имеется взаимодействие, т е. сила, действующая на каждую частицу, зависит от положения всех остальных частиц, то полученные таким образом уравнения образуют систему дифференциальных уравнений. Если их выписать в явном виде в прямоугольных декартовых координатах, то число этих уравнений будет равно утроенному числу частиц, ибо каждая частица имеет три координаты.

Решение этой системы уравнений, если оно возможно, дает выражение для каждой координаты как функции времени, т е. позволяет проследить положение и движение каждой частицы с течением времени. Кроме того, из всех решений этих уравнений нужно взять только то решение, которое полностью определено, если заданы положения и скорости частиц в начальный момент времени, иными словами, если задано начальное положение и состояние движения системы. Так, оказывается, что в классической динамике систем выполняется механический детерминизм.

Не вдаваясь слишком глубоко в описание классической механики систем, мы только напомним, что уравнения движения можно во многих случаях привести к хорошо известным уравнениям Лагранжа и Гамильтона. Однако благодаря более абстрактной форме указанных уравнений движения полезно рассмотреть новое геометрическое представление этой системы. Вместо того чтобы рассматривать систему в физическом пространстве трех измерений и говорить о положении каждой ее частицы в каждый момент времени, мы можем связать координаты всех частиц и мысленно сконструировать тем самым абстрактное пространство, число измерений которого втрое превышает число частиц (причем это число измерений можно уменьшить, если существуют соотношения, ограничивающие свободу движения частиц). В этом абстрактном пространстве, носящем название конфигурационного пространства, каждое состояние системы представлено в виде точки, координаты которой равны координатам частиц системы. Эволюция системы с течением времени будет, таким образом, описываться перемещением этой изображающей точки в конфигурационном пространстве. Вся задача механики состоит в этом случае в вычислении траектории и скорости изображающей точки. Группу уравнений классической динамики можно рассматривать как уравнения движения этой точки. Итак, мы свели изучение движения множества точек в физическом трехмерном пространстве к исследованию поведения единственной точки в абстрактном конфигурационном пространстве. Механический детерминизм при этом просто выражается словами, что движение изображающей точки полностью определено, если известны ее начальное положение и скорость в конфигурационном пространстве.

Использование конфигурационного пространства становится обязательным, когда хотят применить к динамике систем теорему Якоби. Говоря языком физики, сущность этой теоремы заключается в разбиении возможных движений рассматриваемой системы на группы таким образом, чтобы в каждой группе совокупность всевозможных траекторий движения соответствовала лучам распространяющихся волн. Очевидно, что если все движущиеся частицы описывать в физическом пространстве, то такого соответствия установить невозможно просто из-за обилия траекторий. С другой стороны, его легко установить, если рассматривать конфигурационное пространство, ибо в нем каждому движению соответствует единственная траектория изображающей точки. Следовательно, в этом случае теория Якоби позволяет нам классифицировать возможные движения системы, т е. возможные движения изображающей точки в конфигурационном пространстве, таким образом, что траектории изображающей точки, принадлежащие одному классу, представляют в последнем лучи волн, распространяющихся в смысле геометрической оптики. Уравнение Якоби, зависящее от координат всех частиц системы, т е. от всех координат конфигурационного пространства, будет уравнением геометрической оптики для распространения этих волн в рассматриваемом многомерном пространстве. Принцип наименьшего действия оказывается в этом случае эквивалентным принципу Ферма.

Поскольку теория Якоби и принцип наименьшего действия открывают самый легкий путь для перехода от старой механики к волновой, можно было ожидать, что дальнейшее развитие волновой механики будет происходить с применением представления о конфигурационном пространстве. Именно так это и произошло. Обобщая процедуру, разработанную для уравнения распространения волны одной частицы, Шредингер сумел записать в конфигурационном пространстве уравнение распространения для «КСИ»-функции, связанной с системой. Это уравнение построено таким образом, что если выполняется приближение геометрической оптики, то получается вновь уравнение Якоби.

Однако здесь «КСИ»-функция зависит не только от времени, но и от координат всех частиц системы, и ее изменение происходит в конфигурационном пространстве. Таким образом, здесь еще больше проявляется символический характер «КСИ»-волны, чем в случае одной частицы. Могло бы даже показаться странным, что движение системы нельзя рассмотреть в трехмерном пространстве, ибо, чтобы это сделать, мы обязательно должны начать с представления об абстрактном конфигурационном пространстве. Ведь в классической механике использование конфигурационного пространства часто оказывается полезным, но совершенно необязательным: все частицы системы всегда можно описать в физическом пространстве.

Автор этой книги в течение долгого времени ощущал некоторое беспокойство по поводу обязательного применения конфигурационного пространства в квантовой механике: даже сегодня он надеется, что, когда мы сможем заменить наши современные представления о физическом пространстве, о частицах и т д. представлениями, лучше соответствующими действительности, законы волновой механики систем будут выражены в менее искусственной форме. В случае систем, содержащих частицы одинаковой природы, можно избежать обязательного использования абстрактного пространства конфигураций, применив метод вторичного квантования, Этот метод основан на том, что при любых эволюциях такой системы полное число частиц должно оставаться неизменным.

Так или иначе, в настоящее время волновая механика систем формулируется в терминах волн в конфигурационном пространстве, и мы увидим, что ее методы увенчались успехом. Квантование системы заключается в исследовании того, для каких значений полной энергии системы (равной частоте «КСИ»-волны, умноженной на h) существуют в конфигурационном пространстве стационарные «КСИ»-волны, т е. в поисках собственных значений уравнений распространения. Далее, для этих квантованных систем находятся дискретные спектры собственных значений, которым соответствуют собственные функции, образующие полный набор и т д. Таким образом, производится непосредственное обобщение физического объяснения волновой механики.

Интенсивность «КСИ»-волны дает в каждой точке конфигурационного пространства вероятность того, что эксперимент, обнаруживающий частицы системы в данных точках, позволит приписать системе конфигурацию, соответствующую данной точке. Аналогично, парциальная интенсивность компонент спектрального разложения волновой функции по собственным функциям энергии дает вероятности того, что точное измерение энергии даст то или иное собственное значение гамильтониана. Короче говоря, сюда непосредственно переносятся все принципы вероятностной интерпретации. Следует также попутно отметить, что здесь можно определить понятие центра тяжести и что некоторые классические теоремы механики, такие, как теорема Кенига, имеют свои аналоги в волновой механике.

Волновая механика систем, развитая в работах Шредингера, не является релятивистской. Это волновое обобщение ньютоновой, а не эйнштейновой механики систем по той причине, что релятивистская механика систем никогда не будет окончательно создана. Эта неспособность релятивистской механики строго описать движение систем обусловлена несколькими причинами, в частности тем, что теория относительности существенно отвергает все мгновенные воздействия на расстоянии. Релятивистская волновая механика Дирака применима только к изолированным частицам, помещенным в заданное силовое поле: ее обобщение на случай систем представляет собой сложную проблему, далекую еще от окончательного решения.

В п. 4 еще будет идти речь о нескольких замечательных приложениях волновой механики систем. Однако, прежде чем сделать это, мы должны рассмотреть один важный случай, где ярко проявляются некоторые специфические свойства новой механики: случай систем, содержащих частицы одинаковой природы.

2. Системы, состоящие из частиц одинаковой природы. Принцип Паули

Вопрос, который мы собираемся обсудить, всецело связан с важной и совершенно новой идеей, возникающей в квантовой теории в связи с введением в статистическую механику кванта действия.

В атомной физике раньше всегда предполагали, что две частицы одинаковой природы, например два электрона, тождественны. Однако эту тождественность нельзя считать абсолютной, не позволяющей, хотя бы мысленно, различить две частицы одинаковой природы. Так, например, при статистических расчетах два состояния одной и той же системы, в которых лишь переставлены две частицы одинаковой природы, считаются различными. Следовательно, если представить себе систему, образованную электронами, то коллективное состояние системы, в котором первый электрон находится в состоянии a, а второй – в состоянии b, считается отличным от коллективного состояния системы, когда первый электрон находится в состоянии b, а второй – в состоянии a. При этом индивидуальные состояния остальных электронов остаются в обоих случаях одинаковыми. Развитие квантовой статистики привело к полному отрицанию возможности различить две частицы одинаковой природы внутри одной системы. Квантовая статистика считает, что два состояния системы, отличающиеся друг от друга только перестановкой двух частиц одинаковой природы, тождественны и неразличимы.

Перестановка частиц одинаковой природы приводит в квантовой механике систем к очень важным последствиям. Рассмотрим систему, состоящую из частиц одинаковой природы. Пусть «КСИ» – одна из возможных волновых функций системы. Согласно определению, эта волновая функция называется симметричной по отношению к двум частицам, если при перестановке координат двух частиц выражение для «КСИ»-функции не меняется. Наоборот, она называется антисимметричной по отношению к двум частицам, если перестановка координат двух частиц меняет лишь знак «КСИ»-функции. Важно отметить, что в общем случае «КСИ»-функция не будет ни симметричной, ни антисимметричной. Однако взаимозаменяемость частиц одинаковой природы позволяет нам доказать следующую важную теорему: если система состоит из частиц одинаковой природы, то всегда существуют волновые функции, одни симметричные, другие антисимметричные по отношению ко всем парам частиц одинаковой природы.

Будем называть состояние, волновая функция которого симметрична, симметричным состоянием системы, а состояние, волновая функция которого антисимметрична, – антисимметричным состоянием системы. Тот факт, что потенциал взаимодействия симметрично зависит от координат каждой пары частиц, позволяет нам доказать теорему, не менее важную, чем первая: невозможно осуществить переход системы из симметричного состояния в антисимметричное и обратно.

Иными словами, невозможны никакие иные комбинации, в смысле Ритца, кроме как между состояниями одинаковой природы. Отсюда следует, что симметричные состояния, с одной стороны, и антисимметричные, с другой, образуют два совершенно отдельных ансамбля, между которыми невозможны никакие переходы. Таким образом, волновая механика допускает принцип, который утверждает, что для частиц определенного сорта существуют в природе лишь симметричные или лишь антисимметричные состояния, поскольку если в начальный момент времени существовали только состояния одного типа, то они навсегда и останутся такими. Этот принцип не является следствием волновой механики, допускающей любые состояния, однако он ей и не противоречит. Теперь мы должны пояснить, как Паули пришел к предположению о существовании этого принципа по крайней мере для электронов.

При изучении строения атома мы отмечали, что существует насыщение энергетических уровней, и подчеркивали фундаментальную важность этого явления, так как именно оно определяет эволюцию структуры атома в периодической системе элементов и все различия в химических, оптических и магнитных свойствах этих элементов. Мы также говорили о том, что порядок последовательного заполнения уровней при добавлении новых электронов был установлен эмпирически: он задается правилом Стонера, которое вначале теоретически не было подтверждено.

Благодаря правилу Стонера стало известно максимальное число электронов, которое может находиться на каждом энергетическом уровне атома. Пытаясь объяснить эти факты, Паули выдвинул замечательную идею о расщеплении уровней, происходящем в результате того, что два электрона не могут находиться в строго тождественных квантовых состояниях, т е. описываться одними и теми же квантовыми числами. Иными словами, наличие электрона в одном квантовом состоянии запрещает появление в том же состоянии еще одного электрона. Отсюда название принцип запрета, данное этому новому физическому постулату. На языке волновой механики принцип Паули выражается следующим образом: электроны могут находиться только в антисимметричных состояниях.Мы видели, что такое утверждение не противоречит принципам новой механики. Чтобы показать, что обе приведенные формулировки принципа запрета действительно совпадают, предположим, что система содержит два электрона в одном и том же индивидуальном состоянии. Но в соответствии со второй формулировкой это предположение означает, что волновая функция антисимметрична по отношению к этой паре электронов, она должна, следовательно, менять знак при перестановке этих электронов местами. Однако, так как индивидуальные состояния электронов тождественны, то такая перестановка не должна менять волновую функцию.

Итак, поскольку волновая функция одновременно и меняет и не меняет знак при перестановке электронов, то она должна быть равна нулю. На языке волновой механики это означает, что такого состояния не существует. Таким образом, два электрона не могут находиться в одном и том же индивидуальном состоянии и мы видим, что вторая формулировка приводит нас к первой. Легко доказать также и обратное.

Принцип Паули можно, следовательно, выразить в волновой механике аналитически, записав волновые функции систем, содержащих электроны, в антисимметричной форме по отношению к электронным парам. Однако, применяя этот принцип на деле, следует помнить, что электрон обладает спином. Поэтому его индивидуальное состояние является функцией не только его координат, но также и значения его спина. Волновые функции, допускаемые принципом Паули, антисимметричны по отношению ко всем пространственным координатам и спину.

Огромная важность принципа Паули заключается в том, что он дал возможность объяснить насыщение уровней. Он позволил прямым путем получить правило Стонера. Достаточно учесть, что несколько различных состояний, т е. состояний, соответствующих различным комбинациям квантовых чисел, обладают одинаковой энергией и, следовательно, относятся к одному энергетическому уровню. Таким образом, достаточно подсчитать для каждого энергетического уровня, сколько ему соответствует различных квантовых состояний, и мы узнаем, согласно принципу Паули, максимальное число электронов на этом уровне, ибо оно достигает максимума, когда заполнено каждое квантовое состояние. Из этого подсчета и вытекает правило Стонера. Принцип Паули имеет фундаментальное назначение при построении волновой механики систем. В частности, он приводит к статистике Ферми – Дирака для электронов.

Для электронов единственно возможными оказываются антисимметричные состояния. Возникает вопрос, а как обстоит дело с другими элементарными и неэлементарными частицами микромира? Применим ли принцип Паули также и к ним? Или, наоборот, для них возможны лишь симметричные состояния? Или, наконец, допустимы и те и Другие? По-видимому, эта последняя альтернатива никогда не реализуется: в Природе осуществляются только симметричные или антисимметричные состояния.

Первый случай – это случай электронов, а также некоторых атомных ядер: в одном квантовом состоянии не может быть больше одного электрона, и они всегда подчиняются, как мы видели, статистике Ферми – Дирака.

Второй случай охватывает фотоны, «альфа»-частицы и остальные атомные ядра. При этом нет никаких препятствий для накопления любого числа частиц в одном квантовом состоянии, ибо симметричная функция не меняется при перемене местами двух частиц одной природы: поэтому в этом случае частицы подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. Для фотонов она изображается формулой Планка. Вообще оказывается, что частицы, спин которых нечетный в единицах h/4»пи», подчиняются принципу Паули и статистике Ферми – Дирака. Частицы же, спин которых равен нулю или четный в единицах h/4»пи», подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. Это очень важное правило. Вопросы спина и статистики играют большую роль в исследовании полосатых спектров, а также в изучении строения атомного ядра.

Принцип Паули выражает весьма специфическое свойство электронов и других частиц, которые ему подчиняются. Действительно, на сегодняшний день почти невозможно понять, каким образом две тождественные частицы взаимно запрещают друг другу занять одно и то же состояние. Этот тип взаимодействия совершенно отличается от взаимодействий в классической физике. Его физическая природа пока нам совершенно неизвестна. По-видимому, это одна из самых важных задач и к тому же самых трудных, которую предстоит решить физикам-теоретикам будущего, чтобы выяснить физические истоки принципа запрета.

Чтобы показать, насколько далеко мы ушли от старых представлений, рассмотрим случай газа из частиц одинаковой природы, подчиняющихся принципу Паули, например электронного газа. Согласно принципу запрета, никакие два электрона этого газа не могут находиться в одном и том же состоянии прямолинейного равномерного движения, ибо здесь состояния прямолинейного равномерного движения квантованы. С. классической точки зрения это означало бы, что частица, расположенная в некоторой точке сосуда, содержащего газ, будет мешать любой другой частице газа иметь Такое же состояние. Это совершенно парадоксально, так как сосуд с газом можно взять сколь угодно большим и, следовательно, расстояние между частицами может быть сколь угодно велико. Однако этот парадокс тесно связан с соотношениями неопределенности Гейзенберга и исчезает, если принять их во внимание. Действительно, прямолинейное и равномерное движение частиц соответствует вполне определенной энергии этих частиц.

Таким образом, соотношения неопределенности запрещают говорить одновременно о положении и состоянии движения двух частиц. Сам факт, что мы говорим о том, что энергетические состояния частиц вполне определены, не позволяет нам больше говорить о расстоянии между ними, ибо они при этом никак не локализованы. Этот пример показывает, что физическую интерпретацию принципа запрета нужно обязательно проводить целиком вне рамок классических представлений.