Текст книги "Предчувствия и свершения. Книга 1. Великие ошибки"

Автор книги: Ирина Радунская

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 19 страниц)

Вряд ли следует понимать эти слова, как иногда делается, в том смысле, что Архимед пренебрегал своими изобретениями и считал их недостойными. Для этого нет никаких оснований. Если молодой Архимед стыдился признаться в своём пристрастии к технике, то зрелый Архимед видел в механике важнейшую область практической науки. И он заставил современников уважать его достижения. Ведь он занимался очень нужными механизмами, необходимыми для выполнения важных или тяжёлых работ, оборонительными машинами для защиты своего родного города от римлян. Архимед никогда, насколько нам известно, не занимался созданием механических игрушек, деятельностью, столь распространённой начиная от глубокой древности.

Почему же Архимед не описал ни одного из своих механизмов? Действительно ли он «не пожелал»? Или были тому иные причины? Никто из окружающих не знал, что за гениальными изобретениями, которые, казалось, созданы с лёгкостью волшебника, скрывается титаническая работа и трагедия бессилия. Самому Архимеду были недостаточны его наитие, его магия – он хотел не внезапных, необъяснимых озарений, а надёжных правил для создания новых машин. Он мечтал, чтобы механика стала такой же чёткой наукой, как геометрия, чтобы в ней не было тайны, чтобы всякую машину можно было заранее рассчитать, как рассчитывает геометр параметры треугольников и других фигур.

Архимед поставил перед собой задачу придать «низкой» науке – механике – ту же строгость и завершённость, которую придал геометрии Евклид.

Образцом Архимед избирает «Начала». А объектами, на которых он хочет провести свои первые попытки теоретического построения механизмов, берёт рычаг и балку. Это простейшие механизмы, но далеко не простые. И в этом Архимед скоро убедился.

Он начал с рычага.

Рычаг был известен человеку в глубочайшей древности. Это чудесная машина, позволяющая малой силой поднимать большой груз. Рычаг составляет основу весов, роль которых от доисторических времён до наших дней не нуждается в комментариях. Ещё за несколько десятилетий до Архимеда чудо рычага объясняли столь же непознаваемыми свойствами круга:

«… Нет ничего парадоксального в том, что круг – первопричина всех удивительных явлений. В самом деле – всё то, что наблюдается в рычаге, приводится к весам, а всё, что вообще относится к механическому движению, сводится к рычагу».

Эта цитата взята из сочинения «Механические проблемы», ранее приписывавшегося Аристотелю. Однако анализ показывает его позднейшее происхождение. Но Архимеда, воспитанного с юности в принципах Аристотеля и впитавшего в себя уважение к безупречной строгости «Начал», не могла удовлетворить ни эта мистическая болтовня о таинственной силе круга, ни рассуждения самого Аристотеля: «Для равновесия необходимо, чтобы на вес, приложенный в конце каждого плеча, действовала одна и та же сила» («О небе») или «Скорость меньшего тела так относится к скорости большего, как большее к меньшему» (там же). Из этих высказываний, а ничего более определённого у Аристотеля нет, можно заключить о том, что он знал принцип рычага, но понимал в этом случае под термином «сила» то, что мы сейчас называем «моментом», то есть произведение силы на длину плеча. Он, по-видимому, представлял себе и роль импульса при движении рычага, но не сумел описать этого в духе своих собственных требований к научному изложению.

А Архимед сумел.

Он создаёт теорию рычага, удовлетворяющую всем требованиям аристотелевой логики и построенную аналогично «Началам». Мы узнаём об этом из первой части первой из дошедших до нас книг Архимеда «О равновесии плоских тел».

Книга начинается с формулировки ряда постулатов, взятых непосредственно из опыта. Они столь же безупречны, как постулаты Евклида, и сохраняют силу до наших дней. Приведём для примера первый из них:

«Равные веса, находящиеся на равных расстояниях от точки опоры, находятся в равновесии, а равные веса, находящиеся на неравных расстояниях, не находятся в равновесии, но перевес происходит в сторону того веса, который находится на большем расстоянии».

Следует отметить, что Архимед в этом труде пользуется понятием центра тяжести, нигде не давая ему определения. Исходя из других работ Архимеда, где он, используя готовые результаты, всегда указывает их автора, а если автор не указан, то это его собственный ранний результат, можно считать, что определение центра тяжести дано в утраченной книге «О рычагах». Об этом прямо сказано в книге Архимеда «О квадратуре параболы». В других источниках упоминаются ещё два не дошедших до нас сочинения Архимеда – «О равновесии» и «О призмах и цилиндрах».

Возможно, что в первом из них Архимед рассматривал проблему центра тяжести, являющуюся основой учения о равновесии.

Вслед за формулировкой постулатов Архимед в строгом стиле Евклида доказывает ряд теорем, заключающих в себе начальные положения статики – нового, созданного им раздела механики. При доказательствах он применяет традиционные методы, неуязвимые для возможных критиков.

Архимед публикует свой труд. Значит, он им удовлетворён.

Он переходит к следующему объекту – балке. Но балка оказывается слишком сложным элементом для анализа,

и эта задача решена Архимедом не безупречно. Рычаг был первой и единственной полной победой на пути создания науки, которая сегодня входит во все программы технических вузов под названием «теория механизмов и машин».

Даже её простейшая часть – статика была труднодоступной античному учёному, а динамика – наука о движении – в то время ещё не существовала. Архимеду не удаётся создать теорию механизмов и машин. Но он не сомневается в возможности реализовать своё намерение. Он уверен в том, что механика может стать и станет полноценно аргументированной наукой. Решение задачи о рычаге – лишь первый шаг. Законы рычага столь надёжно обоснованы геометрически, что Архимед решается сделать следующий шаг – создаёт на этой основе новый, непривычный для современников, но весьма продуктивный метод решения геометрических задач. Перечитайте первый постулат о работе рычага. При некотором воображении эта сбалансированная система – грузы, подвешенные к двум плечам рычага, – представляет как бы материализованные треугольники. Они равновелики, если плечи и грузы одинаковы, их можно изменять, изменяя плечи и грузы. Основываясь на полученных и доказанных им законах рычага и связав их со свойствами треугольников, Архимед разрабатывает метод определения площадей и объёмов самых разных фигур, сводя их к ряду треугольников, сходных с теми, что дают при работе рычаги.

По существу, Архимед связал между собой два мира: механику – мир, движущийся в пространстве, и геометрию – застывший на бумаге. Он почувствовал их глубокое внутреннее единство, понял, что одни и те же законы гармонии превращают скопище разных деталей в механизм, а скопище точек и линий – в определённую геометрическую фигуру.

Такое мироощущение открывало небывалые возможности для созидания «второй природы» – техники! Это было замечательной находкой Архимеда.

Но продвинуться дальше в математическом обосновании механики он не смог. Мы понимаем, что это было не по силам ни ему, ни многим поколениям учёных, вплоть до Галилея. Динамика Аристотеля висела на учёных тяжким грузом, который невозможно преодолеть лишь при помощи логики и математики. Для создания динамики нужно было осознать необходимость постановки физических экспериментов и возвыситься до абстрагирования. До умения пренебрегать вторичным во имя понимания главного.

Одна ласточка не делает весны. Гениальный труд Архимеда, с которым мы только что познакомились, не вывел механику из разряда низших наук.

Теперь мы знаем ответ на вопрос, почему Архимед не описал ни одну из своих замечательных чудо-машин, несомненно, желал это сделать, но не смог. Не смог создать теорию своих машин, а публикация одних описаний считалась недостойной настоящего учёного. Архимеду пришлось довольствоваться тем, что его механизмы распространились до пределов эллинистического мира, а военные машины помогли в течение трёх лет отражать от стен Сиракуз превосходящие силы римлян.

Окольным путем

Прошло более двух тысячелетий после гибели Архимеда от меча римского завоевателя. Грабежи и пожары уничтожили всё написанное им и переписанное его современниками. Неудивительно, что в имеющихся текстах встречаются существенные разночтения.

Самый древний пергамент, воспроизводящий одно из величайших произведений Архимеда – «Эфод», найден и прочтен последним. На пергаменте греческий текст, написанный, по-видимому, в X веке, был смыт невежественным монахом, который переписал на него какой-то богословский трактат. Однако сложные современные методы позволили прочитать на этом пергаменте не только изложенные по-гречески труды Архимеда, известные до того лишь в латинских переводах XII века, но и «Эфод», особенно ценный сегодня тем, что он приоткрыл нам ещё одну из сторон личности Архимеда, которую его современники и последователи, как видно, хотели скрыть… Об этом – речь дальше.

… Перед гением Архимеда преклоняемся не только мы, далёкие потомки. Ему платили дань уважения современники. Он достиг таких высот в механике и математике, что, несмотря на низкое происхождение, на зависть коллег, его достижения – невероятные, не объяснимые уровнем знаний его времени – внушали почтение и даже страх. Он ошеломил современников своими удивительными находками в геометрии. Это Архимед нашёл, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга; поверхность шарового сегмента равна площади круга, радиус которого – прямая, соединяющая вершину сегмента с одной из точек окружности круга, служащего основанием сегмента; цилиндр, основание которого равно большому кругу шара, а высота диаметру шара, сам по объёму в полтора раза больше этого шара, а его поверхность (включая площади верхнего и нижнего оснований) в полтора раза больше поверхности шара. «Разумеется, – пишет Архимед Досифею, – эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам; ни один из них не заметил даже, что эти тела соизмеримы между собой… Каждый, кто понимает в этом деле, может проверить правильность моих открытий».

Но кто бы ни пробовал это проверить – ничего не получалось. Решить задачу не мог никто. А свой метод решения Архимед не открывал – держал его в тайне.

Архимед поддерживал переписку со многими учёными и, по обычаю того времени, посылал им для доказательства свои новые теоремы. Тогда, как и много позже, в XVII–XVIII веках, учёные знакомили друг друга с условиями доказанных ими теорем, прежде чем опубликовать доказательство для общего сведения. Это считалось данью уважения к равному или старшему; и лишь молодым математикам было принято посылать новые теоремы вместе с доказательством. Свои теоремы Архимед отправлял Эратосфену, Конону, этим наиболее серьёзным учёным того времени, но, судя по различным источникам, ни Конон, ни Эратосфен не смогли повторить открытий Архимеда, не сумели справиться с теми задачами, которые решил он.

«Я посылал тебе мои открытия, чтобы ты сам попытался найти их доказательства, – писал он Эратосфену – Ты этого не сделал. Я, конечно, могу теперь без дальнейших рассуждений прислать мои решения, но от этого большой пользы не будет. Ты – серьёзный учёный и философ,

и хороший математик, поэтому не обижайся за правду».

Обижался ли Эратосфен? Попробуйте представить себя на его месте…

Наверное, математики жестоко завидовали Архимеду и удивлялись его всё новым и новым потрясающим, необъяснимым победам.

Его работы, безупречные с точки зрения традиционной математики того времени, ошеломляли читателя как чудо, сияние которого ослепляет, а истоки остаются тёмными.

Вот что писал Плутарх:

«Во всей геометрии нельзя найти более трудных и серьёзных задач, которые были бы притом изложены в более простой и наглядной форме, чем это сделано в сочинениях Архимеда. Одни видят в этом доказательства его таланта. По мнению других, то, что кажется каждому сделанным без усилий, было сделано упорным трудом. Самому не найти иной раз доказательств для решения задачи, но стоит обратиться к сочинениям Архимеда, и тотчас же приходишь к убеждению, что мог бы решить её сам, так ровна и коротка дорога, которой он ведёт к доказательствам».

Весьма примечательный отзыв! Видно, что он написан человеком, владеющим античной математикой. Но не математиком, пытающимся самостоятельно находить неизвестные ему решения задач.

У Плутарха даже не возникает вопроса о том, как находить сами решения. Это область профессиональных математиков, сфера гения, в которую даже наиболее образованный эллин не отваживался вступить. Плутарх явно довольствуется доказательством справедливости решения, полученного готовым.

Вопреки мнению Плутарха, для профессионального математика труды Архимеда вовсе не представлялись столь ясными. Наоборот.

Сложность задач, рассматриваемых Архимедом, казалась непреодолимой. Даже зная решение, трудно доказать его справедливость – так сложны и хитроумны необходимые построения и силлогизмы.

Архимед зачастую опускал часть выкладок, которые считал второстепенными. Опираясь на свои или чужие результаты, он обычно не даёт точных ссылок, указывая лишь: «как это было доказано в «Началах» (то есть Евклидом) или «как это было доказано ранее» (то есть им самим), полагая, что читатель досконально знает как «Начала», так и его собственные работы и обладает достаточной квалификацией, чтобы отыскать в них нужное.

В то время математики не баловали коллег ясностью изложения. Математический обычай тех времён заключался в том, что автор теоремы, открывший, скажем, истину, что 2x2 = 4, вовсе не обязан был доказывать это равенство. Он должен был доказать, что 2x2 не может быть ни больше, ни меньше четырёх. Если он сумеет убедить слушателей или читателей, что иное решение ведёт к абсурду, он выполнил свою задачу.

Приведение к абсурду – таков традиционный метод математиков в течение многих столетий.

Мы не будем здесь обсуждать все стороны этого метода. Отметим лишь одну положительную – он требовал безупречной логики и одну отрицательную – такой способ доказательства не обнаруживал хода решения задачи, а значит, не служил школой мысли, не мог помочь в решении других задач.

Архимед, боясь нарушить эту традицию и прослыть вольнодумцем, поступал как все: скрывал ход своих решений, а доказательства оформлял в стиле приведения к абсурду.

Лукавство или мужество?

О том, сколько недоразумений рождалось в результате такой двусмысленной, лживой практики, принятой у древних математиков, можно только догадываться. Наверно, не один из них увязал в этом болоте. Не избежал этой участи и Архимед. Но, запутавшись, он не смирился, он восстал!

Вот как это случилось.

В одном из своих писем Конону Архимед в числе прочих теорем поставил перед ним две, о которых он думал, что доказал их. Впоследствии Архимед установил, что доказательства ошибочны. Во второй части сочинения «О шаре и цилиндре» он приводит правильные решения теорем. Но до этого в предисловии к книге «О раковинообразных линиях», составленном, как и в остальных трудах этого цикла, в виде письма к Досифею, он пишет:

«Архимед желает здравствовать Досифею… Я перечислю здесь по порядку все теоремы, предложенные мною Конону, а особенно две из них, которые привели меня к неправильному выводу: пусть это будет устрашающим примером того, как люди, утверждающие, будто они умеют доказать всё то, что они предлагают решить другим, но не прилагающие собственных решений этих вопросов, в конце концов принуждены убедиться, что они брались доказать то, что доказать невозможно». Он намекает на безграничную возможность ошибок, связанную с громоздким многословием метода абсурда.

Далее, перечисляя свои теоремы, он в соответствующем месте указывает: «Следующая теорема была неверной, а именно вот что…» и «Не верна также и последняя предложенная мною для доказательства теорема…» В этом же тексте Архимед указывает, где он в своей книге «О шаре и цилиндре» дал правильные доказательства этих теорем.

Неполнота дошедших до нас текстов сочинений

Архимеда, их трудность, увеличивающаяся наличием разночтений между различными рукописными экземплярами, привела к тому, что в литературе существует иная точка зрения на две неверные задачи Архимеда, о которых говорилось выше.

Некоторые считают, что Архимед сознательно включил в число задач, посланных им Конону и, возможно, другим математикам, две неверные, чтобы, как сказано в одном из вариантов текста, «тех, которые утверждают, что они всё открыли, и не приводят никаких доказательств открытого, можно было бы уличить и заставить согласиться с тем, что они открыли невозможное».

У нас нет данных для того, чтобы предпочесть одну из этих точек зрения. Впрочем, это и не входит в нашу задачу.

Итак, Архимед демонстрирует независимость, принципиальность, мужество.

Подобная публичная самокритика была совершенно не принята в античной науке, да и в наши дни она встречается отнюдь не часто.

Архимед отважился на это.

Так почему же он не отваживался обнародовать свой математический метод, которым пользовался столь успешно? Почему не делился им с коллегами, не передавал ученикам, скрывал его?

В чем тайна признания?

Только в труде «Квадратура параболы» Архимед чуть приоткрыл читателю свой метод решения математических задач с помощью теории рычага. Но в последующих трудах он уже не допускает даже намёка на путь решения. Как видно, он встретился с возражениями или неодобрением. Словом, что-то произошло. Теперь он поражает нововведениями, не объясняя и не оправдывая их. Так было, например, с четырьмя леммами, на которых Архимед построил свой труд «О коноидах и сфероидах». Он пишет в предисловии, обращенном к Досифею:

«В этой книге я посылаю тебе доказательства теорем, которых недоставало в книгах, посланных к тебе до сих пор. Кроме того, я шлю тебе доказательства некоторых теорем, найденных позже, ибо, несмотря на ряд повторных попыток, прежде мне приходилось отказаться от их доказательства – со столь большими трудностями это было связано. Поэтому-то я не опубликовал этих доказательств вместе с другими. Но позже, когда я засел за них с ещё большим усердием, мне удалось разрешить то, что до сих пор представляло для меня непреодолимые трудности».

Необычность этой ситуации заключается в том, что Архимед строит книгу на якобы бесспорном фундаменте. Ведь лемма – это вспомогательное положение, в отличие от теоремы даваемое без доказательства потому, что оно «очевидно». Лемму и доказывать-то не нужно. И о своих леммах Архимед тоже говорит: «Доказательства всех этих предложений очевидны». Но по своей сути они были далеко не очевидны. И о них никто никогда не слышал.

Их не знал Евклид или другой античный автор. Иначе Архимед, неизменно приводящий ссылки на предшественников, несомненно, указал бы на это.

Из всего сказанного можно сделать лишь один вывод: Архимед пришёл к этим леммам собственным, скрываемым им путем и поэтому был уверен в их справедливости. Но сочинение, в котором он получил свои леммы, он почему-то не опубликовал.

Конечно, такое предположение не основано на дошедших до нас трудах Архимеда. Но биограф Архимеда Гераклид, о котором мы уже упоминали, сообщает, что Аполлония из Перги, знаменитого автора «Конических сечений», обвиняли в плагиате. Гераклид пишет, что Аполлоний якобы присвоил себе неопубликованный труд Архимеда. Такая версия продержалась два тысячелетия и дошла до нас. Вероятно, Архимед работал над коническими сечениями, но не опубликовал своего труда, ибо ни один античный автор на него не ссылается. Не ссылается на него и сам Архимед в дошедших до нас работах. Лишь упомянутые выше леммы позволяют предположить, что этот труд остался неизвестным именно из-за того, что Архимед не хотел сообщать о пути, которым он пришёл к этим леммам.

Такой вывод напрашивается и после знакомства с другими математическими трудами Архимеда.

Учитель Ньютона, профессор Барроу – один из виднейших математиков XVII века, знаток творчества Архимеда, – уверенно утверждает: «Архимед умышленно скрывал метод своих решений».

Но Барроу не знал об одном труде Архимеда, обнаруженном лишь в начале нашего века. Здесь Архимед, в форме послания Эратосфену, изложил свой долго скрываемый метод. Древние авторы, например Герои, упоминая об этом письме, так и назвали его «Эфод» – «Метод». Если раньше у Архимеда были основания скрываться, то что же толкнуло его на признание? Этот шаг был результатом потрясения, которое он испытал, обнаружив одну старую рукопись.

Потрясение

Разыскивая книги по механике, которая продолжала интересовать Архимеда, он наткнулся на труды атомистов. И среди них – на Демокрита.

Архимед искал в них не философские идеи, а сведения о механизмах, возраст которых, как он знал, исчислялся веками. Но, помимо этого, он обнаружил у Демокрита неизвестные ему доказательства теорем о конусе и пирамиде, которые ранее приписывали Евдоксу.

Архимед, конечно, знал формально безупречные, построенные на силлогизмах доказательства Евдокса. Но, как он теперь обнаружил, Демокрит задолго до Евдокса доказал эти теоремы, разрезав мысленно конус и пирамиду на тонкие листки и соединив их между собой. И другие теоремы о площадях и объёмах геометрических фигур атомисты решали, суммируя результаты от деления этих фигур на малые элементы, уподобляемые ими неделимым атомам или амерам. Имея дело с прямой линией, математики-атомисты представляли её как сумму точек-амер. Площадь составляли из прямых-амер. Объём – из площадей-амер.

Сложное из простого – мировоззрение современных материалистов – было также принципом древних материалистов. И то, что сложные фигуры они разрезали на простые, было логичным: их было легче анализировать, сопоставлять, измерять. А потом оставалось проинтегрировать, или, говоря упрощённо, сложить результаты. Такие методы были, конечно, нагляднее и проще витиеватых рассуждений, положенных в основу метода приведения к абсурду.

Для Архимеда эта находка была подобна

Аристотель в своём сочинении «О небе» писал: «Постулируя неделимые тела, Демокрит и Левкипп должны впасть в противоречие с основами математики… Самое маленькое отступление от истины в дальнейшем ходе рассуждения увеличивается в десятки тысяч раз… Введение самой маленькой величины расшатывает великие основы математики».

Амеры, к которым атомисты сводили геометрические построения, казались не в меру строгим философам горой на пути землемера.

Эта точка зрения была даже облечена в форму принципа, определяющего математическое мировоззрение античности: «Все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых».

Архимед же нарушал этот принцип, пользуясь запрещённым методом разделения сложных фигур на элементарные. Вот почему Архимед не пропагандировал свой метод. Вот почему после нескольких робких попыток заявить о нём он замолчал. Понимая огромную мощь этого метода, он втайне пользовался им. Однако при публикации облекал полученные результаты в форму общепринятых доказательств.

И вот теперь Архимед увидел, что он не одинок. Что такой мудрец, как Демокрит, при помощи «самых маленьких величин» – амер получал поистине чудесные результаты!

Архимед понял всю глубину заблуждения Платона: ведь тот знал метод Демокрита («Что касается отношений линий и площадей, то разве мы, эллины, не думаем, что их возможно измерять один другим?») и отказался от него («… но это никак и никаким образом невозможно…»)!

Не близорукость ли это?! Не деспотизм?!

Пусть методы Демокрита не строги, но они плодотворны. Архимед убедился в этом на примере собственных работ. Он не будет больше молчать. Он не должен далее таить свой метод. О нём нужно сообщить хотя бы математикам. И Архимед пишет «Послание к Эратосфену о механических теоремах» – «Эфод».

После традиционной фразы «Архимед Эратосфену желает благоденствовать!» он излагает программу книги: «Я уже посылал тебе найденные мною теоремы, предоставив найти их доказательства… В книге мы опишем, что было обнаружено нами при помощи механики… в конце же книги напишем геометрические доказательства тех теорем».

Цель ясна – на примерах показать мощь механических методов, а затем доказать их справедливость и законность, подтвердив верность полученных результатов при помощи безупречных традиционных геометрических методов.

Это намерение – не просто шаг от одного метода к другому. Это был бунт против традиции.

Бунт Архимеда

Протест Архимеда не ограничивается чисто математическими проблемами. Он впервые поднимает принципиальный методологический вопрос – о роли методов в развитии математики. Теперь, когда он получил опору в трудах древнего мудреца, когда он перестал чувствовать себя одиноким, он хочет доказать полезность своих методов. Он не только не стыдится их огласить, как это было раньше, а стремится подчеркнуть их возможности.

Дадим же слово Архимеду, пусть оно и покажется читателю несколько тяжеловесным. Он пишет Эратосфену:

«Зная, что ты являешься учёным человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счёл нужным написать тебе и в этой же самой книге изложить некоторый метод, при помощи которого ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода ещё не является доказательством. Однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная.

… Поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нём, а с другой – поскольку я убеждён, что он может принести математике немалую пользу. Я полагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам ещё не приходили в голову».

Архимед не случайно пишет Эратосфену. Этот учёный, несмотря на свою ортодоксальность, иногда отваживался вопреки Платону пользоваться при геометрических построениях не только циркулем и линейкой. Он сам придумывал инструменты и механизмы для вычерчивания кривых линий. Эратосфен отвергал мнение Платона о том, что математика должна подымать нас ввысь, а не низводить к бренному миру. Он не придавал значения словам Платона: «При таких решениях пропадает и гибнет благо геометрии, возвращающейся назад к чувственным вещам…» Эратосфен знал, что благодаря таким настроениям учение о пространственных фигурах, о пересечениях конических тел плоскостями долго игнорировалось математиками и даже не вошло в «Начала» Евклида. Ведь при помощи циркуля и линейки такие построения проводить невозможно.

Теперь мы знаем, что циркуль и линейка позволяют справиться лишь с решением задач, сводящихся к уравнениям первой и второй степени. А пересечения объёмных фигур (плоскостей с цилиндрами, конусами и шарами) приводят к задачам, сводящимся к уравнениям третьей и более высоких степеней.

Понимая это, Эратосфен придумал ряд приборов, позволявших решать такие трудные задачи. Значит, он отступал от традиций и лучше других мог понять новые идеи Архимеда.

Не здесь излагать глубокое математическое содержание «Эфода». Следует лишь ещё раз подчеркнуть, что это единственное известное нам сочинение Архимеда, где он нашёл в себе смелость бросить вызов аристотелевской традиции и открыто стать на защиту своего мощного метода.

Но «Эфод» был неизвестен современникам и остался скрытым от потомков дольше других дошедших до нас произведений Архимеда.

Вряд ли это сочинение осталось за пределами внимания коллег Архимеда и ускользало от последующих поколений учёных около двух тысяч лет случайно. Не случайным является и то, что «Эфод» – последнее из дошедших до нас математических сочинений Архимеда.

Весьма возможно, что перипатетики сознательно уничтожили труды Архимеда, которые грозили подорвать традиции Аристотеля.

А вот обнаружена была единственная копия «Эфода» совершенно случайно.

Приват-доцент Петербургского университета Попандопуло Керамевс в 1906 году нашёл латинскую рукопись духовного содержания, написанную на пергаменте, с которого был смыт первоначальный греческий текст. Он сумел прочесть часть этого текста и опубликовал его, не придав ему особого значения. Известный датский филолог Гейберг, знаток трудов Архимеда, сразу понял ценность находки. Восстановив при помощи фотографических методов смытый текст, Гейберг сделал величайшее открытие. Это был греческий текст трактата Архимеда «О плавающих телах», известного ранее только в латинском переводе. Здесь же был и «Эфод», считавшийся утраченным.

В «Эфоде» упоминаются труды Архимеда «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» и «О равновесии». Значит, он был написан после них.

… Так мы узнали, что в своих ранних математических сочинениях Архимед пользовался методами, заимствованными из его работ по механике, что впоследствии он избегал упоминать о том, как он получал свои результаты, ограничиваясь доказательством их справедливости в духе общепринятых геометрических методов. Более того, теперь стало несомненным, что Архимед не публиковал большей части своих работ в области механики, ибо не мог придать им традиционной геометрической строгости.

Трагизм всей творческой жизни Архимеда стал нам понятен только после титанической работы Гейберга, восстановившего текст «Эфода». Из него мы узнали, что Архимед всё же не мог допустить, чтобы мощный метод, приведший его к ряду открытий, остался неизвестным из-за того, что он не соответствует духу Аристотеля. Здесь, в единственном из известных нам сочинений, Архимед решительно выступает в защиту своего открытия.

… Архимед смело и доблестно защищал родной город. Но он долго не отваживался открыто восстать против авторитета Аристотеля. Решая свои задачи, он отвергал аристотелевы догмы. Шёл вперёд вопреки им. Но в публикациях стремился скрыть это. Лишь в одном известном нам сочинении – в «Эфоде» – Архимед ясно изложил свою точку зрения на творческие возможности современной ему математики. Возвысил то, что другие считали низким.