Текст книги "Нестандартные задачи по математике в 3 классе"

Автор книги: Герман Левитас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 4 страниц)

Левитас Г.Г
Нестандартные задачи на уроках математики в третьем классе

К учителю

Известно, что решение текстовых задач представляет собой большие трудности для учащихся. Известно и то, что самый первый этап – анализ текста задачи – особенно труден. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требованиях.

Текст задачи – это рассказ о некоторых жизненных фактах:

«Маша пробежала 100 м, а навстречу ей…»,

«Ученики первого класса купили 12 гвоздик, а ученики второго…»,

«Мастер сделал за смену 20 деталей, а его ученик…».

В тексте важно все: и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть этих деталей опускается. Но мы именно и учим умению абстрагироваться от некоторых свойств и использовать другие.

Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат и важное условие общего развития ученика. И заниматься развитием этого умения нужно не только на уроках математики, но и на уроках чтения и изобразительного искусства: некоторые задачи – хорошие темы для рисунков; и любая задача – хорошая тема для пересказа. А если в классе есть уроки театра, то некоторые математические задачи можно инсценировать. Разумеется, все эти приемы: пересказ, рисунок, инсценировка – могут иметь место и на самих уроках математики. Итак, работа над текстами математических задач – важный элемент общего развития ребенка, элемент развивающего обучения.

Но достаточно ли для этого тех задач, которые имеются в ныне действующих учебниках и решение которых входит в обязательный минимум? Нет, недостаточно. В обязательный минимум входит умение решать задачи определенных типов:

· о числе элементов некоторого множества;

· о движении, его скорости, пути и времени;

· о цене и стоимости;

· о работе, ее времени, объеме и производительности труда.

Указанные четыре темы являются стандартными. Считается, что умение решать задачи на эти темы может научить решать задачи вообще. К сожалению, это не так. Хорошие ученики, умеющие решить практически любую задачу из учебника на перечисленные темы, часто бывают не в состоянии понять условие задачи на другую тему.

Выход заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо тематикой текстовых задач, а решать и нестандартные задачи, то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения. Ведь не ограничиваем мы сюжеты рассказов на уроках чтения!

Нестандартные задачи нужно решать в классе ежедневно. Их можно найти в учебниках математики для 5–6 классов и в журналах «Начальная школа», «Математика в школе» и даже «Квант».

Чтобы облегчить поиск таких задач для решения на уроках в третьем классе, мы предлагаем эту книжку. Она – продолжение логичных книжек для первого и второго классов. Число задач в ней таково, что можно выбрать из них задачи для каждого урока: по одной урок. Задачи решаются дома. Но очень часто нужно разбирать их и в классе. Среди предлагаемых задач есть такие, которые сильные ученики решают моментально. Тем не менее нужно требовать и от сильных учеников достаточной аргументации, так как на легких задачах человек учится способам рассуждения, которые понадобятся при решении трудных задач. Нужно воспитывать в детях любовь к красоте логичных суждений и добиваться от сильных учеников подробных и понятных для других детей рассуждений.

Среди задач есть совершенно однотипные в математическом отношении. Если дети увидят это, – замечательно. Учитель может и сам показывать это. Однако, недопустимо говорить: решаем эту задачу, как ту, и ответ будет такой же. Дело в том, что, во-первых, не все учащиеся способны к таким аналогиям. А во-вторых, в нестандартных задачах фабула не менее важна, чем математическое содержание. Поэтому лучше подчеркивать связи между задачами со сходной фабулой.

Не все задачи нужно обязательно решать (их здесь больше, чем оков математики в учебном году). Возможно, Вам захочется поменять порядок следования задач. Это делать тем легче, что в этой книге каждая задача выступает сама по себе. Видимой системы задач здесь нет.

ЗАДАЧИ

1 – 10

Задача 1. 1 февраля 1999 г. был понедельник. Каким днем недели было 1 марта 1999 г.?

Задачи на эту тему актуальны в переживаемом нами начале века и тысячелетия. Их несколько в этой книжке (№№ 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121 и 141). Все они решаются подсчетом остатка от деления некоторого числа дней на число дней в неделе – на 7. В данной задаче нужно выяснить:

1) сколько дней прошло с 1 февраля 1999 г. до 1 марта 1999 г. (так как 1999 г. был невисокосным, то в феврале было 28 дней);

2) каким днем является день «понедельник + 28 дней» (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то «понедельник + 28 дней» – снова понедельник).

Ответ: 1 марта 1999 г был понедельник.

Полезно составить календарь на февраль 1999 г. Из него станет ясно, что ответ получен правильный.

Задача 2. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – 1,2 или 3?

На первое место можно поставить любую из трех данных цифр. На второе – тоже любую из этих трех цифр. Значит, первые два места могут быть заняты девятью способами: 11_, 12_, 13__, 21_, 22___, 23_,31 32_, 33_. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из тех же трех цифр. Значит, все число можно записать 27 разными способами, от 111 до 333.

Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из трех цифр, второй – любая из трех цифр, третьей – любая из трех цифр; значит, всего таких чисел 3 · 3 · 3 = 27.

Ответ: 27 чисел.

Задача 3. Петя нашел один гриб, Коля – два, а Паша – три. Мама дала им 18 орехов и велела разделить их по заслугам. Сколько орехов получил каждый?

Паша собрал ровно половину всех грибов, поэтому ему полагается половина всех орехов – девять. Из остальных девяти орехов Коля должен получить в два раза больше Пети, так как он собрал вдвое больше грибов. Значит, Петя должен получить три ореха, а Коля шесть.

Ответ: Петя – 3, Коля – 6, Паша – 9.

Задача 4. За сколько вопросов можно узнать день рождения человека, если он на каждый вопрос отвечает «да» или «нет» (и всегда правдив)?

Один из 12 месяцев можно узнать за 4 вопроса (так как 12 > 8 и 12 < 16). Вопросы могут быть такими:

1) Родились ли Вы в первом полугодии?

2) Родились ли Вы в первом квартале полугодия?

3) Родились ли Вы в первом месяце квартала?

4) (Задается, если на третий вопрос получен ответ «нет») Родились ли Вы во втором месяце квартала?

Число в данном месяце определяется за 5 вопросов (так как в месяце больше 16 дней и не больше 32). Эти вопросы могут быть такими:

1) Родились ли Вы с 1 по 16 число?

2) Родились ли Вы в первые 8 из тех 16 дней, которые определены предыдущим ответом?

3) Родились ли Вы в первые 4 из тех 8 дней, которые определены предыдущим ответом?

4) Родились ли Вы в первые 2 из тех 4 дней, которые определены предыдущим ответом?

5) Родились ли Вы в первый из тех 2 дней, которые определены предыдущим ответом?

Нужно проиграть эти вопросы для разных случаев.

Ответ: 9 вопросов.

Задача 5. Среди трех монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко тяжелее настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как одним взвешиванием установить, какая монета фальшивая?

Сравниваем две монеты; если они уравновесятся, то фальшивая монета – третья, если одна из монет окажется тяжелее, то она – фальшивая.

Задача 6. Перерисуй по клеткам отрезок АВ

Задача 7. Третьеклассник Валера выполнял заданный на дом пример, когда началась его любимая передача. Его младшая сестренка Даша, любившая больше математику, чем мультики, подошла к столу и увидела такую запись в Валериной тетрадке:

Даша не знала таблицу умножения, но умела складывать любые числа и была сообразительной девочкой. Поэтому она сумела закончить пример, так что Валера даже сказал ей спасибо. Как Даша смогла это сделать?

Результаты умножения числа 952 на 3 и на 4 уже известны. Осталось умножить 952 на 7. Это можно сделать, сложив имеющиеся произведения, так как 7 = 3 + 4. Затем можно сообразить, куда вписать полученный результат, и произвести окончательное сложение.

Ответ:

Задача 8. Попытайся понять, как составлена эта последовательность: 720, 360, 120, 30. Напиши еще два ее члена.

Решение получается в результате обсуждения способов получения 360 из 720 и так далее. 360 можно получить из 720 вычитанием или делением. Вычитание числа 360 не приводит к получению третьего числа. Деление на 2 – приводит. Следующее число получается делением числа 360 на 3, т. е. 360 : 3 = 120. Число 30 получается делением числа 120 на 4.

Ответ: Каждое число, начиная со второго, равно предыдущему числу, деленному на 2, потом на 3, потом на 4. Два следующих члена 6 и 1.

Задача 9. Отец старше сына на 30 лет. Сохранится ли это соотношение на будущий год?

На будущий год отец станет на 1 год старше, и сын станет на 1 год старше. Поэтому разность между их возрастами не изменится. Можно подойти к решению и немного иначе, сказав, что отцу в момент рождения сына было 30 лет, и этот факт не меняется с годами.

Ответ: Да.

Задача 10. Илья стоит в хороводе. 5-й слева от Ильи тот же, что и 6-й справа. Сколько людей в хороводе?

Решение видно из рисунка:

Между Ильей и пятым слева (назовем его Жорой) 4 человека. Между Ильей и шестым справа (а это тот же Жора) 5 человек. Итого в хороводе Илья, Жора и еще 4 + 5 = 9 человек.

Ответ: 11.

11 – 20

Задача 11. В гараже стоят 750 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колес, а легковые по 4 колеса. Сколько каких автомобилей в гараже, если колес всего 3024?

1) Сколько было бы колес, если бы все автомобили были легковыми?

4 · 750 = 3000.

2) Сколько колес имеется потому, что среди автомобилей есть грузовые?

3024 – 3000 = 24.

3) На сколько колес больше у грузового автомобиля, чем у легкового?

6 – 4= 2.

4) Сколько автомобилей – грузовые?

24 : 2 = 12.

5) Сколько автомобилей – легковые?

750 – 12 = 738.

Решение полезно проверить:

1) Сколько колес у 738 легковых автомобилей?

4 · 738 = 2952.

2) Сколько колес у 12 грузовых автомобилей?

6 · 12 = 72.

2) Сколько всего колес?

2952 + 72 = 3024.

Ответ: 738 легковых и 12 грузовых.

Задача 12. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – нечетные и никакие цифры не повторяются внутри одного числа?

На первое место можно поставить любую из пяти нечетных цифр. На второе – любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты двадцатью способами: 13_, 15_, 17_, 19_; 31_,35_, 37_, 39_; 51_, 53_, 57_, 59_; 71_ 73_, 75_, 79_; 91_, 93_, 95_, 97_.

В любом из этих случаев третье место можно занять любой из трех оставшихся цифр. Например, в случае 13_ третье место можно занять цифрами 5, 7 или 9. Значит, всего чисел получится 60. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из пяти цифр, второй – любая из четырех оставшихся цифр, третьей – любая из трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 5 · 4 · 3 = 60.

Ответ: 60 чисел.

Задача 13. Путь, который прошли туристы за понедельник, изображается на карте отрезком в 3 см, а путь, пройденный во вторник, – отрезком в 15 мм. В какой день они прошли больше и во сколько раз?

Отрезок в 15 мм в два раза меньше, чем отрезок в 3 см. Поэтому во вторник туристы прошли меньше, чем в понедельник, и притом в два раза.

Ответ: В понедельник пройден путь в два раза больший, чем во вторник.

Задача 14. Человек отвечает на вопросы только «да» или «нет» и имеет право один раз ответить неправду. После нескольких вопросов его спросили: «Ты уже соврал?», и он ответил «Нет». Остается ли за ним право соврать при ответе на следующие вопросы?

Он не мог соврать, потому что это была бы вторая ложь. Поэтому право соврать один раз за ним остается.

Ответ: Да.

Задача 15. Постоялец гостиницы, не имея денег, договорился с хозяином, что будет расплачиваться, отдавая ему каждый день одно из семи звеньев своей золотой цепочки. И они, поразмыслив, смогли устроить так, что у хозяина каждый день прибавлялось по одному звену цепи. Как они это сделали?

Чтобы в первый день отдать одно кольцо, придется его отпилить. Но это можно сделать так, чтобы от цепи отделилось еще одно кольцо или еще два кольца для расплаты за следующий день. Более выгоден второй вариант.

Ответ: Если распилить одно только третье кольцо, то можно расплачиваться за каждый день. В первый день отдать распиленное кольцо, во второй забрать его и отдать два отпиленных кольца, в третий день добавить к ним распиленное кольцо, в четвертый день забрать все обратно и отдать четыре кольца и т. д.

Задача 16. Перерисуй по клеткам отрезок АВ:

Задача 17. Какой цифрой оканчивается выражение 2974 · 5698–4325 · 1748?

Первое произведение оканчивается на 2, второе на 0, значит, разность оканчивается на 2.

Ответ: 2.

Задача 18. Гном разложил свои сокровища в 3 сундука разного цвета, стоящие у стены: в один – драгоценные камни, в другой – золотые монеты, в третий – магические книги. Он помнит, что красный сундук находится правее, чем камни, и что книги – правее красного сундука. В каком сундуке лежат книги, если зеленый сундук стоит левее синего?

По условию, сундук с камнями левее красного, а сундук с книгами правее красного. Значит, красный сундук стоит посередине и в нем лежат золотые монеты:

Так как зеленый и синий сундук – крайние и зеленый стоит левее синего, то зеленый – крайний слева, а синий – крайний справа:

Вспоминая, что камни левее, а книги правее красного сундука, приходим к выводу, что камни лежат в зеленом, а книги – в синем сундуке.

Ответ: В синем.

Задача 19. Из 15 котят 8 рыжих и 7 пушистых, и других нет. Есть ли среди этих котят хоть один рыжий и пушистый одновременно?

Нарисуем два круга. Левый пусть обозначает рыжих котят, а правый – пушистых котят. Возможны разные варианты рисунка. На первом имеются котята, рыжие и пушистые одновременно. На втором таких котят нет.

Если бы правильным был первый рисунок, то тогда рыжих не пушистых котят было бы меньше восьми на то число, сколько котят находится в общей части кругов (на нашем рисунке таких котят х), пушистых не рыжих было бы меньше семи на то же число (у нас на х). Значит, всего котят было бы меньше 15. А на втором рисунке их как раз 15. Значит, правильный – второй рисунок.

Ответ: Нет.

Задача 20. Однажды древнеримский полководец Юлий Цезарь послал тайное письмо, в котором каждая буква была заменена третьей от нее по алфавиту, расположенному кольцом. Расположи этим способом русский алфавит и зашифруй шифром Цезаря фразу «ВЕК ЖИВИ, ВЕК УЧИСЬ».

Решение понятно из рисунка:

Ответ: ЕЗН ЙЛЗЛ, ЕЗН ЦЪЛФЯ.

21 – 30

Задача 21. 1 февраля 1996 г. был четверг. Каким днем недели было 1 марта 1996 г.?

В данной задаче нужно выяснить:

сколько дней прошло с 1 февраля 1996 г. до 1 марта 1996 г. (так как 1996 г. был високосным, то в феврале было 29 дней);

каким днем является день «четверг + 29 дней» (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то «четверг + 28 дней» – снова четверг, а «четверг + 29 дней» – пятница).

Ответ: 1 марта 1996 г. была пятница.

Полезно составить календарь на февраль 1996 г. Из него станет ясно, что ответ получен правильный.

Задача 22. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – четные и никакие цифры не повторяются?

На первое место можно поставить любую из четырех четных цифр (трехзначное число не может начинаться нулем). На второе место можно поставить любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты шестнадцатью способами: 20_, 24_, 26_, 28_; 40__, 42_, 46_, 48; 60__, 62__, 64_, 68_; 80_, 82_, 84_, 86_. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из трех оставшихся цифр. Например, в случае 20_ третье место можно занять цифрами 4, 6 или 8. Значит, всего чисел получится 48. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй – любая из четырех оставшихся цифр, третьей – любая из трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 4 · 4 · 3 = 48.

Ответ: 48 чисел.

Задача 23. Масштаб карты равен 1: 300000. Сколько километров в 1 см этой карты?

В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:300000, значит, в 1 см карты содержится 300000 см, то есть 3 км. Рабочее правило: убрать пять нулей.

Ответ: 3 км.

Задача 24. Три брата пришли на постоялый двор, заказали пельмени и улеглись спать. Когда старший брат проснулся, он увидел на столе пельмени, пересчитал их и съел свою долю. После этого он снова уснул. Проснулся средний брат, пересчитал пельмени на столе и съел одну треть, не зная, что старший брат уже поел. После этого средний брат тоже уснул. Наконец, проснулся младший брат. Он съел третью часть имевшихся на столе пельменей. После этого он разбудил старшего и среднего братьев и предложил им съесть оставшиеся 24 пельменя. Как должны братья разделить эти пельмени между собой?

Составим таблицу и будем ее заполнять.

Младший брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 24 пельменя осталось. Значит, он съел 12 пельменей, и перед ним было 36 пельменей:

Средний брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 36 пельменей осталось. Значит, он съел 18 пельменей, и перед ним было 54 пельменя:

Старший брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 54 пельменя осталось. Значит, он съел 27 пельменей, и перед ним был 81 пельмень:

Итак, всего был 81 пельмень, а значит, каждому полагалось по 81 : 3 = 27 пельменей. Старший брат уже съел все полагавшиеся ему пельмени, средний съел 18 и еще 9 ему полагается, а остальные 15 пельменей полагаются младшему брату.

Ответ: Старшему – 0, среднему – 9, младшему – 15.

Задача 25. Среди трех монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко легче настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как одним взвешиванием установить, какая монета фальшивая?

Смотри задачу 5.

Задача 26. Имеется пакет емкостью 600 г и салфетка. Как отмерить в мешок ровно 1 кг чая из ящика, содержащего 1 кг 100 г чая?

1) Отсыпать из ящика в пакет 600 г чая.

2) Пересыпать его из пакета в мешок.

3) Оставшиеся 500 г высыпать из ящика в пакет.

4) Накрыть чай в пакете салфеткой и поверх нее насыпать (до края) 100 г чая из мешка.

5) Пересыпать 100 г с салфетки в ящик.

6) Остальные 500 г высыпать в мешок. Все эти этапы представлены на следующей схеме.

Задача 27. Какой цифрой оканчивается выражение 8977 · 3249 + 387387 : 819 – 851 · 243?

Первое произведение оканчивается на 3, частное – на 3, второе произведение – на 3. Окончательный результат оканчивается на 3.

Ответ: 3.

Задача 28. Составь магический квадрат 5 х 5, в котором каждое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз, но не повторяется ни в каком столбце и ни в какой строке.

Для этого в каждой строке и в каждом столбце должны находиться все числа от 1 до 5.

Ответ: Например, так:

Задача 29. 4 человека стоят у лифта 5-этажного дома. Все они живут на разных этажах, от второго до пятого. Лифтер хочет доехать до одного какого-нибудь этажа, а там пусть идут пешком. Спуститься на один этаж – неудовольствие, подняться на один этаж – двойное неудовольствие. На каком этаже надо остановить лифт, чтобы сумма неудовольствий была наименьшей?

Прежде чем решать эту задачу, надо хорошо понять ее необычные условия. Для этого полезно разобрать, что получится, если лифт остановится, например, на четвертом этаже. Тогда без неудовольствий окажется жилец 4 этажа. Жилец 5 этажа получит двойное неудовольствие, так как ему придется подняться на один этаж (с 4 на 5). Жилец 3 этажа получит одно неудовольствие, жилец 2 этажа – два неудовольствия. Впрочем, еще лучше, если жилец 2 этажа поднимется пешком с 1 этажа на 2: неудовольствий столько же, а лифт не так загружен. Итого, если лифт остановится на 4 этаже, получится 2 + 1 + 2 = 5 неудовольствий. Чтобы выяснить, какое решение самое экономное, составим таблицу.

Ответ: На четвертом этаже.

Задача 30. Найди сумму всех чисел от 1 до 100. Великий немецкий математик Карл Гаусс решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте.

Надо находить суммы пар чисел, одинаково удаленных от концов ряда. Они равны между собой: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Таких пар, а значит, таких сумм будет 100: 2 = 50. Значит, общая сумма равна 101 · 50 = 5050.

Ответ: 5050.