Текст книги "Логика и аргументация: Учебное пособие для вузов."
Автор книги: Георгий Рузавин
Жанр:
Философия
сообщить о нарушении
Текущая страница: 9 (всего у книги 24 страниц)
Основываясь на исчислении высказываний, можно теперь лучше понять не только механизм непосредственных дедуктивных умозаключений, но и упростить обращение с ними. Такие умозаключения состоят всего из одной посылки, и поэтому вывод из нее получить весьма просто.
В качестве первого шага рассмотрим отношения между суждениями, которые могут быть представлены как вершины логического квадрата (рис. 8). Обозначим буквой А общеутвердительные суждения (начальная буква греч. Слова affirmo – утверждать), общеотрицательные суждения обозначим буквой Е (первая гласная буква в слове (nego – отрицать), буквой О обозначим частноотрицательные суждения (вторая гласная в слове (nego) и буквой I– частноутвердительные суждения (вторая гласная в слове affirmo). Пользуясь таким квадратом, можно установить различные логические отношения между перечисленными суждениями и выводить частные суждения из общих. Соответственно этому между общими и частными суждениями устанавливается отношение подчинения, которое изображается вертикальными сторонами квадрата. Общеутвердительное и общеотрицательное суждения связаны отношением контрарности (противности), которое изображается верхней горизонтальной стороной квадрата. Каждое из этих общих суждений может быть получено путем логического отрицания другого. Частноотрицательное и частноутвердительное суждение связаны отношением субконтрарности, которое представлено нижней горизонтальной стороной квадрата. Диагонали логического квадрата связывают общеутвердительное суждение с частноотрицательным и общеотрицательное с частноутвердительным суждением.
Обратимся теперь к рассмотрению непосредственных дедуктивных умозаключений традиционной логики.
Превращение является непосредственным выводом, в котором заключение получается путем изменения качества посылки. Если посылка – утвердительное суждение, то в результате превращения оно становится отрицательным суждением. Отрицательное суждение, наоборот, превращается в утвердительное. Например, суждение "Все металлы – проводники электричества" превращается в отрицательное "Ни один металл не является неэлектропроводным". В нашем примере общеутвердительное суждение становится общеотрицательным, что можно представить схемой:
Все А есть В.
________________________
Ни одно А не есть не-В.
Подобным же образом частноутвердительное суждение превращается в частноотрицательное по схеме:
Некоторые В есть С.
Некоторые В не есть не – С.
Аналогично происходит превращение общеотрицательных суждений в общеутвердительные и частноотрицательных – в частноотрицательные, как видно из следующих схем:
Ни одно А не есть В.
_______________________
Все А есть не-В.
Некоторые В не есть С.
________________________
Некоторые В есть не-С.
Как нетрудно заметить, умозаключения во всех этих случаях основываются на законе двойного отрицания и взаимосвязи между кванторами "все" и "некоторые", о которых речь пойдет в следующей главе. Здесь же заметим, что двойное отрицание оставляет качество суждения неизменным. В языковом выражении суждения одно из отрицаний становится отрицанием предиката, поэтому для проверки правильности превращения утвердительного суждения в отрицательное достаточно представить их в символической форме.
Обращение представляет собой такой вид непосредственного умозаключения, в котором вывод получается путем перестановки предиката посылки на место субъекта, а субъекта – на место предиката. При этом в общем случае происходит уточнение количества суждений. Так, суждение «Все кролики – млекопитающие» обращается в суждение «Некоторые млекопитающие – кролики», поскольку класс млекопитающих гораздо больше подкласса кроликов. Этот вывод мы получаем на основе знания содержания высказываний. Но можно абстрагироваться от этого содержания, заметив, что предикат в таких умозаключениях является распределенным, и потому составляет лишь часть объема субъекта:
Все S есть Р.
____________________
Некоторые Р есть S.
Другой вид обращения, называемый иногда "чистым", происходит тогда, когда объемы субъекта и предиката совпадают. С такими случаями мы встречаемся при определении понятий. Так, в суждении "квадрат есть равносторонний прямоугольник" объемы субъекта и предиката одинаковы, так как объемы определяемого и определяющего понятий должны быть соразмерными (см. гл.2).
Противопоставление предикату – такой вид непосредственного умозаключения, в котором субъектом вывода служит понятие, противоречащее предикату. Например, суждению «Все параллельные на плоскости не пересекаются» противопоставляется суждение «Все непараллельные линии пересекаются». Такой вид умозаключения, как мы уже знаем, можно представить в виде контрапозиции условных высказываний:
(S → P) (¬Р ↔ → ¬S).
Как видно из сказанного выше, некоторые виды непосредственных умозаключений традиционной логики, такие, как контрапозиция, превращение, легко переводятся на символический язык исчисления высказываний. Но уже операция обращения, когда приходится анализировать структуру связи между субъектом и предикатом и вводить кванторы общности и существования, не допускает перевода на простой язык исчисления высказываний, в котором высказывания рассматриваются как единое целое и анализируются лишь с точки зрения их истинности и ложности. В связи с этим и возникает необходимость исследования логической структуры суждений как атрибутивных, так и реляционных, характеризующих отношения между предметами. Одновременно с этим для количественной характеристики суждений должны быть введены кванторы общности и существования.
Тем не менее представление суждений в виде высказываний, лишенных внутренней структуры и оцениваемых в целом как истинные и ложные, играет существенную роль в построении самой логики. Во-первых, некоторые простейшие виды рассуждений или умозаключений можно свести к исчислению, опирающемуся только на оценку истинностного значения высказываний. Во– вторых, такой подход является весьма полезным с методической точки зрения, ибо опираясь на него, можно по аналогии строить более сложное исчисление предикатов, в котором учитывается внутренняя логическая структура суждений. В-третьих, исчисление высказываний при таком подходе можно рассматривать, с одной стороны, как исходную базу для построения исчисления предикатов, а с другой – как частный случай исчисления предикатов. Наконец, в-четвертых, новое исчисление предикатов охватывает не только классическую логику с субъектно-предикатной структурой суждений, но позднее возникшую логику отношений.
Проверьте себя
1. Какие из перечисленных ниже предложений выражают суждения?
1) Кто сегодня дежурный.
2) Иванов – дежурный.
3) Сперва подумай, а потом отвечай.
4) Можно ли правильно ответить, не подготовившись к занятию?
5) Человека узнают не по речам, а по делам.
2. Определите качество и количество следующих суждений.
1) Один в поле не воин.
2) Кит не рыба.
3) Ромб – равносторонний параллелограмм.
4) Три девицы под окном пряли поздно вечерком.
5) Большинство студентов своевременно сдают зачеты.
6) Несколько дней он был болен.
3. Какие из следующих выражений будут функциями-высказываниями:
1) х – адвокат.
2) х + 5 = 12.
3) х >3.
4) 7 >5.
5) х – брат Миши; Георгий брат Миши.
6) Точка В лежит между точками А и С.
7) Точка Х находится левее точки А.
8) Кто-то вошел в дом; х причина у.
9) Утечка газа – причина взрыва.
4. Переведите следующие предложения на символический язык, обозначив каждое простое суждение буквой, а сложное суждение – формулой. Определите, какие из полученных формул выражают конъюнкцию, а какие дизъюнкцию.
1) "Долго ль мне гулять на свете то в коляске, то верхом, то в кибитке, то в карете, то в телеге, то пешком" (А. С. Пушкин).
2) "Однажды лебедь, рак и щука вести с поклажей воз взялись" (А. И. Крылов)
3) Знание и ремесло человека красят.
4) "Вот оно что, петушок красный гребешок, – сказал осел, – эх, ступай-ка ты лучше с нами, мы идем в Бремен, – хуже смерти все равно ничего не найдешь; голос у тебя хороший, и если мы примемся вместе с тобой за музыку, то дело пойдет на лад" (Братья Гримм).
5. Почему конъюнкцию опровергнуть легче, чем дизъюнкцию? Обоснуйте свой ответ и приведите примеры.
6. Переведите условные предложения на символический язык.
1) "Еще бы ты более навострился, когда бы у него немножко поучился" (И. А. Крылов).
2) "Заяц, ежели его бить, спички может зажигать" (А. Чехов).
3) Назвался груздем – полезай в кузов.
4) Диаметр делит круг пополам.
5) Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
7. С помощью таблиц истинности определите истинностное значение следующих формул:
1) (А Λ В) → В;
2) ¬(Л v 5);
3) (А → В) v В; А v (¬5 Λ В).
8. Являются ли эквивалентными следующие формулы:
1) (х → у) и (¬у → ¬х); ¬(х v у) и (¬х Λ ¬у);
2) (х → у) и (у → х; ¬х и (¬(¬х).
9. С помощью таблиц истинности проверьте, являются ли тавтологиями следующие формулы:
1) (А v В) → А;
2) (А → В) → (¬A v B);
3) (А Λ В) → (В Λ А); А v А; А v В.
10. Является ли конъюнкция (А → В) Λ (А Λ ¬В) противоречием?
11. Чем отличаются фактуальные высказывания от тавтологий и противоречий? Определите, какие из формул являются тавтологиями, противоречиями и фактуальными (эмпирическими) суждениями?
1) А → А; (А v В);
2) А v ¬B;
3) (А → В) → (В Λ ¬А);
4) (А В) (В → А);
5) А Λ А.
12. Как определить, следует ли формула исчисления высказываний В из формулы А1 Приведите примеры.
13. Проверьте правильность вывода в следующих формулах:
1)
2) 
3) 
14. Если возможно, то сделайте обращение следующих суждений
1) Все кошки – млекопитающие.
2) Все прямоугольники – четырехугольники.
3) Все квадраты – равносторонние прямоугольники.
4) Некоторые студенты не изучают логику.
5) Некоторые студенты – спортсмены.
15. Какое различие существует между обращением таких суждений?
1) Все треугольники – геометрические фигуры.
2) Все равносторонние треугольники равноугольны.
16. С помощью логического квадрата установите отношение между следующими простыми суждениями:
1) Все студенты изучают логику.
2) Некоторые студенты не изучают логику.
3) Все люди эгоистичны.
4) Ни один человек не эгоист.
5) Не все люди пишут грамотно.
6) Не все люди знают логику.
7) Некоторые из них знают логику.
17. Чем отличается логическая структура суждения от грамматической структуры предложения? Приведите пример распространенного повествовательного предложения и выделите в нем субъект, предикат и связку.
18. Определите вид модальности в следующих суждениях:
1) Возможно, что существует разумная жизнь во Вселенной.
2) Вероятность снегопада летом весьма мала.
3) Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4) Сегодня солнечный день.
5) Вы должны пойти на лекцию.
6) Мы обязаны сдавать зачеты.
7) Достоверно известно, что его там не было.
8) Никогда не нарушайте правила движения.
19. Чем отличается грамматическая условная связь импликации в логике?
20. Определите, какую смысловую связь выражают следующие условные предложения:
1) Если идет ток по проводнику, то он нагреется.
2) Если диаметр перпендикулярен к хорде, то он делит ее пополам.
3) Если число делится на 2, то оно не простое.
4) Если вы не знаете логики, то вам трудно будет обнаружить ошибку в рассуждении.
21. Чем отличаются с логической точки зрения связь причины и следствия (действия); основания и следствия? Приведите примеры.
22. Что необходимо сделать, чтобы перевести предложения естественного языка на язык логики? Является ли такой перевод адекватным?
23. Как можно построить аксиоматическую теорию для исчисления высказывания?
24. Какие преимущества процесс логического вывода и доказательства имеет перед табличным способом определения истинностного значения сложных высказываний?
4 ГЛАВА. Логика предикатов
В исчислении высказываний мы рассматривали отношения между высказываниями, не входя в анализ логической структуры отдельных высказываний. Правда, для первоначального знакомства с ними и их классификациями нам пришлось говорить о субъектно-предикатной структуре суждений традиционной логики, а при их делении на общие и частные упомянуть о кванторах общности и существования. Но все эти понятия никак не использовались в исчислении высказываний, где последние берутся как нечто единое, нерасчлененное целое. Нередко поэтому отдельные высказывания рассматриваются как логические атомы, образующие посредством логических операций – отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции – сложные высказывания, или молекулы.
Теперь наступило время перейти к более глубокому анализу высказываний, связанному с изучением их внутренней логической структуры. Уже традиционная логика в своем учении о силлогизмах опиралась на субъектно-предикатную структуру суждений и учитывала их количественную характеристику с помощью таких слов, как "все", "любой", "каждый", "никакой", "некоторые" и т.п.
Как отмечалось в гл. 1, современная логика отличается от традиционной как по глубине и точности исследования, так и по широте применения своих методов. Если традиционная логика ограничивалась логическим анализом отношений между предметами и их свойствами, то современная логика анализирует различные отношения между самими предметами. В результате логика свойств выступает хотя и как важный, но частный случай логики отношений. Тем не менее и с исторической и с практической точек зрения представляется целесообразным обсудить в этой главе элементы теории силлогизмов, во-первых, потому, что такие умозаключения широко используются в повседневных и даже научных рассуждениях, во-вторых, потому, что читатель может сравнить традиционный подход с современным и убедиться в значительной эффективности и точности последнего.
4.1. Свойства, отношения и предикатыСвойства вещей реального мира представляют собой результат взаимодействия их с другими вещами, ибо без этого они не могли бы проявиться и мы не были бы в состоянии судить о них. В самом деле, мы говорим, например, что алмаз является самым твердым минералом, а графит – мягким потому, что они различаются по свойству твердости и пластичности.
В традиционной логике свойство отображается в суждении предикатом, а вещь, которой принадлежит это свойство, – субъектом. Следует, однако, различать субъект и предикат в грамматике и логике, подобно тому как мы различаем предложение и суждение (высказывание) Суждения, имеющие субъектно-предикатную структуру, отображают часто встречающиеся в действительном мири связи между вещами, событиями и явлениями, с одной стороны, и их свойствами и признаками, с другой. Именно эти связи и стали предметом изучения традиционной логики. Хотя различные виды отношений, такие, как "больше", "меньше", "выше", "ниже", "дальше", "ближе" и т.п., не говоря уже об отношениях родства встречаются часто, но традиционная логика либо совершенно не интересовалась логическим анализом отношений, либо пыталась свести их к субъектно-предикатной структуре.
Впервые изучением логики отношений занялись математики, и ее основоположником считается английский математик и логик О. де Морган. Интерес к данной логике со стороны математиков вовсе не случаен, поскольку именно в этой науке встречаются самые разнообразные отношения (равенства, неравенства, подобия, между, включения, конгруэнтности, параллельности и т.д.). Такие отношения представлены в формулировке аксиом различных математических дисциплин, и поэтому для доказательства теорем необходимы точные определения тех логических операций, которые можно производить над отношениями.
С логической точки зрения отношения можно рассматривать как обобщение обычного предиката традиционной логики, выражающего свойства предметов. Если этот предикат характеризует один-единственный предмет или, как мы будем говорить в дальнейшем, объект, то в логике отношений он определяет отношение между разными объектами. Так, когда мы говорим, что число 5 больше, чем 3, то тем самым устанавливаем между ними отношение "больше" по величине.
Отношение между двумя объектами называют бинарным, (двучленным), между тремя – тернарным и т.д. Объекты, которые заполняют эти места, характеризуют соответствующий предикат.
Символически это представляется так:
Р (x1 , x2 ,..., хn ),
где Р обозначает предикат, a x1 , x2 ,..., хn – соответствующие объекты. Если n = 0, тогда предикат будет нерасчлененным высказыванием, которое рассматривалось в предыдущей главе, при n = 1 предикат представляет свойство, при n = 2 – бинарное отношение, при n = 3 – тернарное отношение и т.д.
С логико-математической точки зрения предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию. В отличие от математических функций, где аргументами служат числа и другие математические объекты, в пропозициональной функции аргументами являются только высказывания. Если такой предикат выражает свойство, например "быть студентом", то, подставив вместо аргумента х фамилии разных лиц, мы получим различные высказывания, истинные и ложные, т.е., если Иванов действительно студент, то он будет удовлетворять функции Р(х), где Р обозначает свойство "быть студентом". Аналогично, если Ч(х) обозначает свойство "быть четным числом", то число 4 удовлетворяет этой функции, а число 5 – нет. Обратите внимание, что в этом случае вместо обычных чисел аргументами служат высказывания о числах.
Предикат Р(х,у) является пропозициональной функцией от двух аргументов и выражает бинарное отношение между двумя объектами, например "Москва южнее, чем С.-Петербург". В данном случае предикат Р обозначает отношение "быть южнее". Если вместо "Москвы" взять "Мурманск", то получится ложное высказывание. Отсюда становится ясно, что предикат или пропозициональная функция сами по себе не являются высказываниями, и потому не могут считаться ни истинными _ни ложными. Они становятся истинными или ложными высказываниями после того, как вместо их аргументов подставляются конкретные высказывания. Такой функциональный подход к предикатам дает возможность обращаться с ними как со специальными видами функций, аргументами которых являются не математические, а логические объекты, а именно высказывания.
Объектами же рассуждений могут быть самые разнообразные предметы как реального, так и идеального мира, события, явления, процессы. Предикаты, которые их характеризуют, в принципе позволяют выделить класс (или множество) этих объектов. Такой класс в логике называют универсумом рассуждения. Например, универсумом рассуждений в арифметике является множество чисел, в химии– различные химические элементы, простые и сложные вещества, в которые они входят, в биологии – живые организмы, в социальных науках– группы, коллективы, классы людей и соответствующие общественные структуры. Логика не изучает и не определяет универсумы конкретных видов рассуждений. Это составляет задачу конкретных наук. Поэтому в логическом анализе такие универсумы предполагаются заданными.
Существует два принципиально отличных способа задания универсума рассуждения, первый из которых состоит в систематическом перечислении всех тех объектов, которые составляют класс объектов, характеризуемых данным свойством или отношением. Очевидно, что такой универсум должен быть конечным множеством. Однако в научном познании приходится иметь дело не только с конечными, но и бесконечными множествами объектов. Например, в математике уже натуральный ряд чисел является бесконечным множеством, поскольку к любому, сколь угодно большому натуральному числу можно прибавить единицу и тем самым неограниченно продолжать этот процесс. При формулировании научных законов также часто приходится обращаться к бесконечному множеству объектов. Так, в законе всемирного тяготения Ньютона утверждается, что два любых тела притягиваются друг к другу с гравитационной силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При этом предполагается, что количество таких тел во Вселенной бесконечно много. Очевидно, что поскольку бесконечное множество нельзя задать с помощью конечного списка его элементов, то приходится для этого обращаться к некоторому общему правилу или закону образования его элементов. Например, зная, что четными называются числа, делящиеся на 2, всегда можно определить, является ли рассматриваемое число четным или нечетным.
Таким образом, для определения универсума рассуждений требуется ответить на вопрос, принадлежит ли данный объект множеству, представляющему универсум или нет.
Хотя в принципе, если свойство или отношение сформулированы достаточно ясно и четко, установить универсум можно, но на практике сделать это бывает трудно из-за неопределенности критериев разграничения множеств объектов. Порой бывает, например, нелегко ответить на вопрос, принадлежит ли данный объект к множеству растений или животных, металлов или металлоидов, устойчивых или неустойчивых систем, когда заходит речь о переходных, промежуточных явлениях.
Но в большинстве случаев при наличии предиката, выражающего свойство или отношение, можно всегда установить его универсум, или, как предпочитают говорить математики, область значений переменных пропозициональной функции, которую называют областью определения функции. Если эта область точно не установлена, то пропозициональная функция при подстановке на место аргументов конкретных объектов превращается в бессмысленную фразу, а не осмысленное высказывание – истинное или ложное. Нередко бывает так, что функция оказывается неопределенной в некоторой области значений. Например, в математике говорят, что уравнение х2 + 1=0 не определено в области действительных чисел, ибо имеет мнимый корень. Чтобы гарантировать точность рассуждений, в математике и логике ясно и однозначно определяют ту предметную область, к которой относятся переменные пропозициональных функций или предикатов.
В простейшем исчислении предикатов, которое называют также узким или исчислением предикатов первой ступени, в качестве значения переменных будут рассматриваться индивиды или объекты. Но можно в качестве значений переменных брать также предикаты, связанные кванторами. Такое исчисление называют исчислением предикатов второй ступени. Дальнейшие обобщения приводят к исчислениями предикатов высших ступеней.
Так же, как и в исчислении высказываний, мы будет предполагать, что высказывание Р(х,у), получаемое при любой паре значений из области ее значений, может быть либо истинным, либо ложным. Другими словами, в исчислении предикатов, как и в исчислении высказываний, выполняется закон исключенного третьего. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, сама процедура получения значения истинности сложного высказывания, состоящего из элементарных высказываний, значительно усложняется: ведь в таком случае с ним приходится соотносить не один, а пару, тройку или вообще n-ку объектов из области значений переменных.
