Текст книги "Логика и аргументация: Учебное пособие для вузов."
Автор книги: Георгий Рузавин
Жанр:
Философия
сообщить о нарушении
Текущая страница: 10 (всего у книги 24 страниц)
Существенное отличие логики предикатов от логики высказываний заключается также в том, что первая вводит количественную характеристику высказываний или, как говорят в логике, квантифицирует их. Уже в традиционной логике суждения классифицировались не только по качеству, но и по количеству, т.е. общие суждения отличались от частных и единичных. Но никакой теории о связи между ними не было. Современная логика рассматривает количественные характеристики высказываний в специальной теории квантификации, которая составляет неотъемлемую часть исчисления предикатов.
Для квантификации (количественной характеристики) высказываний эта теория вводит два основных квантора: квантор общности, который мы будем обозначать символом (х), и квантор существования, обозначаемый символом (Ех). Они ставятся непосредственно перед высказываниями или формулами, к которым относятся. В том случае, когда кванторы имеют более широкую область действия, перед соответствующей формулой ставятся скобки.
Квантор общности показывает, что предикат, обозначенный определенным символом, принадлежит всем объектам данного класса или универсума рассуждения.
Так, суждение: «Все материальные тела обладают массой» можно перевести на символический язык так:
(х) М (х),
где х – обозначает материальное тело:
М – массу;
(х) – квантор общности.
Аналогично этому утверждение о существовании экстрасенсорных явлений можно выразить через квантор существования:
(Ех) Э (х),
где через х обозначены явления:
Э – присущее таким явлениям свойство экстрасенсорности;
(Ex) – квантор существования.
С помощью квантора общности можно выражать эмпирические и теоретические законы, обобщения о связи между явлениями, универсальные гипотезы и другие общие высказывания. Например, закон теплового расширения тел символически можно представить в виде формулы:
(х) (Т(х) → P(х)),
где (х) – квантор общности;
Т(х) – температура тела;
Р(х) – его расширение;
→ знак импликации.
Квантор существования относится только к определенной части объектов из данного универсума рассуждений. Поэтому, например, он используется для символической записи статистических законов, которые утверждают, что свойство или отношение относится только для характеристики определенной части изучаемых объектов.
Введение кванторов дает возможность прежде всего превращать предикаты в определенные высказывания. Предикаты сами по себе не являются ни истинными, ни ложными. Они становятся таковыми, если вместо переменных либо подставляются конкретные высказывания, либо, если они связываются кванторами, квантифицируются. На этом основании вводится разделение переменных на связанные и свободные.
Связанными называются переменные, подпадающие под действие знаков кванторов общности или существования. Например, формулы (х) А (х) и (х) (Р (х) → Q(x)) содержат переменную х. В первой формуле квантор общности стоит непосредственно перед предикатом А(х), вовторой – квантор распространяет свое действие на переменные, входящие в предыдущий и последующий члены импликации. Аналогично этому квантор существования может относиться как к отдельному предикату, так и к их комбинации, образованной с помощью логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и др.
Свободная переменная не подпадает под действие знаков кванторов, поэтому она характеризует предикат или пропозициональную функцию, а не высказывание.
С помощью комбинации кванторов можно выразить на символическом языке логики достаточно сложные предложения естественного языка. При этом высказывания, где речь идет о существовании объектов, удовлетворяющих определенному условию, вводятся с помощью квантора существования. Например, утверждение о существовании радиоактивных элементов записывается с помощью формулы:
(Ex) R(x),
где R обозначает свойство радиоактивности.
Утверждение, что существует опасность для курящего заболеть раком, можно выразить так: (Ех) (К(х) → P(x)), где К обозначает свойство "быть курящим", а Р – "заболеть раком". С известными оговорками то же самое можно было выразить» посредством квантора общности: (х) (К(х) → Р(х)). Но утверждение, что всякий курящий может заболеть раком, было бы некорректным, и поэтому его лучше всего записать с помощью квантора существования, а не общности.
Квантор общности используется для высказываний, в которых утверждается, что определенному предикату А удовлетворяет любой объект из области его значений. В науке, как уже говорилось, квантор общности используется для выражения утверждений универсального характера, которые словесно представляются с помощью таких фраз, как "для всякого", "каждый", "всякий", "любой" и т.п. Путем отрицания квантора общности можно выразить общеотрицательные высказывания, которые в естественном языке вводятся словами "никакой", "ни один", "никто" и т.п.
Разумеется, при переводе на символический язык утверждений естественного языка встречаются определенные трудности, но при этом достигается необходимая точность и однозначность выражения мысли. Нельзя, однако, думать, что формальный язык богаче естественного языка, на котором выражаются не просто смысл, но и разные его оттенки. Речь поэтому может идти только о более точном представлении выражений естественного языка как универсального средства выражения мыслей и обмена ими в процессе общения.
Чаще всего кванторы общности и существования встречаются вместе. Например, чтобы выразить символически утверждение: "Для каждого действительного числа х существует такое число у, что х будет меньше у", обозначим предикат "быть меньше" символом <, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.
Из самого определения кванторов общности и существования непосредственно следует, что между ними существует определенная связь, которую обычно выражают с помощью следующих законов.
1. Законы перестановки кванторов:
(х) (у) А ~ (у) (х) А;
(Ех) (Еу) А ~ (Еу) (Ех) А;
(Ех) (у) А ~ (у) (Ех) А;
2. Законы отрицания кванторов:
¬ (х) А ~ (Ех) ¬ А;
¬ (Ех) А ~ (х) ¬ А ;
3. Законы взаимовыразимости кванторов:
(х) А ~ ¬ (Ех) ¬ А;
(Ех) А ~ ¬ (х) ¬ А.
Здесь всюду А обозначает любую формулу объектного (предметного) языка. Смысл отрицания кванторов очевиден: если неверно, что для любого х имеет место А, тогда существуют такие х, для которых А не имеет места. Отсюда также следует, что если: любому х присуще А, тогда не существует такого х, которому было бы присуще не-А, что символически представлено в первом законе взаимовыразимости.
4.3. Исчисление предикатовПостроение исчисления предикатов осуществляется, с одной стороны, аналогично построению исчисления высказываний, а с другой – качественно отличается от него.
Сходство и даже связь между обоими исчислениями заключается, во-первых, в том, что значение, которое принимает пропозициональная функция (предикат) из универсума рассуждения, при соответствующих аргументах может быть либо истинным, либо ложным. Во-вторых, все логические связки (операторы), которые рассматривались в предыдущей главе – отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация – используются и в исчислении предикатов. Следовательно, для определения истинностного значения пропозициональной функции таблица истинности, с которой мы знакомы, может применяться в принципе и здесь, однако на практике такой способ оказывается крайне громоздким и неэффективным.
Прежде всего в исчислении предикатов используются кванторы. Кроме того, для определения истинности пропозициональной функции необходимо установить определенное соответствие между функцией и теми независимыми переменными (аргументами), которые составляют область ее определения (универсум рассуждения). Например, если универсум для отношения х < у составляет множество пар целых положительных чисел, то для определения значения истинности этого отношения необходимо установить соответствие (функцию) между любой парой чисел х и у из универсума и отношением х < у. Очевидно, что при х = 2 и у = 3 высказывание, полученное путем подстановки этих чисел в формулу, будет истинным, а при х=5 и у=3– ложным.
Функция, которая соотносит независимым переменным из ее универсума соответствующее значение истинности или ложности, называют логической, интерпретационной или семантической.
В общем случае, если предикат Р зависит от п индивидных (предметных) переменных, т.е. Р (x1, х2,..., xn), то каждой n-ке переменных из универсума семантическая функция будут соотносить значение «истина» или «ложь». Если n=0, мы получим отдельное, нерасчлененное высказывание (законы исчисления таких высказываний рассматривались в предыдущей главе). Следовательно, исчисление высказываний может быть получено в качестве частного случая исчисления предикатов, а тем самым устанавливается связь между ними. При n = 1, т.е. Р(х), предикат является свойством, при n = 2, 3, 4 получаем бинарные, тернарные и тому подобные отношения.
Поскольку в исчислении предикатов применяются кванторы, при определении истинностного значения пропозициональной функции необходимо установить процедуру для вычисления формул вида:
(х) А и (Ех) А,
где А, как обычно, обозначает любую формулу предметного языка.
Их значения мы сможем вычислить лишь тогда, когда сумеем соотнести некоторую семантическую функцию с в формуле А. Другими словами, когда при произвольном выборе элемента х из универсума – причем свободно входящего в формулу А – сможем приписать А в качестве ее значения семантическую функцию с. Тогда будем считать, что формула (х) А будет истинна, если приписанная ей семантическая функция будет всегда принимать значение истины. В противном случае (х) А будет ложно. Аналогично этому (Ех) А будет истинно, если среди значений его семантической функции найдется по крайней мере одно истинное утверждение. В противном случае оно будет считаться ложным.
Опираясь на эти определения, мы можем теперь вычислить таблицу истинности для произвольной формулы, например, формулы, универсум которой состоит всего из двух объектов: 1 и 2.
Чтобы вычислить истинностные значения, например, формулы
Р(у) v (х) (Р(х) → Q).
необходимо учесть определенное распределение, состоящее из семантической функции для Р(х), значения истинности подформулы Q и значения для свободной переменной у. В связи с этим на входах таблицы истинности для рассматриваемой формулы будут три величины. Но предварительно следует выписать список четырех (22) распределений значений истины семантической функции одной переменной для универсума |1, 2| (табл. 12).
Основываясь на этом распределении, можно вычислить таблицу истинности для рассматриваемой функции (табл.13).
Этот пример показывает, что построение таблицы истинности для исчисления предикатов составляет несравненно более трудную задачу, чем построение таблицы для исчисления высказываний. В самом деле, если универсум рассуждения будет состоять из 10 элементов, то для этого придется построить 210 = 1024 семантические функции только для одной независимой переменной, а число строк в таблице в огромной степени возрастает по мере усложнения формул. В нашем примере речь шла только о двух объектах универсума рассуждений, а формула была крайне проста. Поэтому к таблицам истинности в исчислении предикатов обращаются главным образом для иллюстраций, используя для этого весьма простые формулы с крайне ограниченным универсумом рассуждений.
Тем не менее аналогия с исчислением высказываний оказывается весьма полезной для объяснения таких понятий, как общезначимая (или тождественно истинная) формула исчисления предикатов и логическое следование в этом исчислении. Формула А считается общезначимой в исчислении предикатов, если при всяком выборе универсума рассуждений (области ее значений) столбец ее значений в таблице будет состоять только из истин. Если универсум будет фиксирован, то формула называется общезначимой только в этом универсуме.
Поскольку проверка формулы на общезначимость, как мы видели, представляет собой крайне трудную задачу, то выход часто ищут в противоположной операции: в установлении необщезначимости формулы. Для этого в принципе достаточно найти такую единственную строку в таблице, где формула принимает ложное значение. В приведенном выше примере (см. табл.13) этими строками являются 8 и 11.
В некоторых случаях поиск необщезначимой формулы может быть ускорен, если воспользоваться сокращенными способами, основанными на определениях логических операций дизъюнкции, конъюнкции и импликации. Например, если нам было бы известно, что один из дизъюнктивных членов рассматриваемой формулы был бы истинен, тогда истинной была бы вся формула. Если же ложным оказался один член конъюнкции, то вся формула окажется ложной.
4.4. Логическое следованиеЧтобы установить, следует ли логически формула В исчисления предикатов из множества формул A1, А2,..., Am (m > 1), необходимо, как и в исчислении высказываний, построить соответствующую таблицу истинности и убедиться в том что формула В будет иметь истинное значение во всех тех строках, где A1, А2,..., Am одновременно являются истинными, и это условие выполняется во всех универсумах рассуждения. Такое условие играет существенную роль, ибо одна формула будет логически следовать из другой (или других) в одном универсуме, но не следовать в ином универсуме.
Символически это определение можно представить в следующей форме:
A1 ,A2, ,Am | = B
где знак | = обозначает следование.
В приведенном выше определении логического следования свободные переменные рассматриваются как обозначающие некоторые элементы из универсума рассуждения. Поэтому в течение всего рассуждения они, так же, как и предикаты, должны оставаться фиксированными. При другом определении переменные могут быть различными в разных формулах. Чтобы яснее представлять различия между двумя подходами к определению логического следования, обратимся к языку алгебры, в котором, как известно, различают, с одной стороны, уравнения (или условные равенства), а с другой – тождества (или тождественные равенства). В то время как уравнению удовлетворяют только определенные значения переменной, называемые его корнями, тождество выполняется при любых значениях переменной. Именно поэтому уравнения считаются условными равенствами. Действительно, например, в уравнении х2 + 2х – 3 = 0 левая часть равняется правой только при значениях х = 1 и х = -3, а в тождестве (х + 1)2 = х2 + 2х + 1 вместо переменной можно подставлять любые числа.
Соответственно этому будем говорить, что для переменных в уравнениях дается условная интерпретация, а в тождествах – интерпретация всеобщности. При условной интерпретации переменной х в определенном допущении А(х) – куда х входит свободно – любое следствие, полученное из него, должно относиться к тому же самому элементу из универсума А(х). Иными словами, переменная х в этом случае фиксирована, так как представляет то же самое число в процессе рассуждения. При тождественной интерпретации значения переменных могут изменяться. Отсюда становится ясным, что приведенное выше определение для логического следования в исчислении предикатов соответствует условной интерпретации свободных переменных, входящих в допущения A1, А2,..., An. Чтобы сформулировать другое определение следования, необходимо опираться на интерпретацию всеобщности для всех переменных. Для этого необходимо, во– первых, связать все допущения А1, А2, ..., Am кванторами общности, а во-вторых, построить таблицы истинности, как и в первом определении.
4.5. Выводимость и доказуемостьПриведенные выше понятия общезначимой формулы логического следования в конечном итоге опираются на построение таблицы истинности. Но проверка с помощью таблиц оказывается, как мы видели, и крайне громоздким, и весьма неэффективным средством. Такой способ проверки целесообразно использовать для выявления общезначимых формул и логического следования в исчислении высказываний, где с помощью таблицы истинности мы можем всегда ответить на вопрос, является ли данная формула общезначимой или законом логики в этом исчислении, а также следует ли формула В из формул A1, А2,..., Аm. Когда существует определенная процедура, посредством которой можно за конечное число шагов разрешить определенный вопрос, тогда в логике и математике говорят, что для ответа на него существует алгоритм или эффективная процедура. Мы можем, например, сказать, что для сложения, умножения, деления и других хорошо известных математических действий существуют определенные алгоритмы. То же самое относится и к исчислению высказываний, где с помощью таблицы истинности всегда можно в конечном итоге ответить на вопрос, является ли данная формула законом исчисления или нет, либо следует ли рассматриваемая формула из другой или других формул.
В исчислении предикатов мы встречаемся с принципиальными трудностями, поскольку не можем проверить неограниченное количество интерпретаций, которые соответствуют заданной формуле из ее универсума рассуждений. Вот почему становится необходимым обратиться к другому способу проверки, основанному на выводе формул по точно установленным правилам. Такая необходимость связана с тем, что для исчисления предикатов не существует алгоритмической процедуры, с помощью которой можно было бы установить, является ли произвольная формула исчисления общезначимой, а также следует ли в ней одна формула из другой. Таким образом, здесь мы не можем так просто разрешить эти вопросы, как в исчислении высказываний. В связи с этим логика предикатов не имеет разрешающей процедуры или алгоритма, которые можно было бы применить к любой формуле исчисления, и решить поставленный вопрос чисто механически.
Однако это не означает, что такой ответ нельзя найти для конкретных формул. Мы уже убедились, что в ряде частных случаев, построив таблицу истинности для соответствующей формулы, можно определить, является ли она общезначимой или законом логики в исчислении предикатов. То же самое следует сказать о процессе вывода одних формул из других по соответствующим правилам исчисления. Отсюда становится ясным, что процесс вывода следствий в логике предикатов носит творческий характер, поскольку он требует догадки и интуиции. Другими словами, отсутствие алгоритма вовсе не исключает возможности поиска решения отдельных задач, для которых не существует общего метода решения. Творческий характер мышления проявляется именно при решении нестандартных проблем. Там, где есть алгоритмы, задачу можно программировать и использовать для ее решения компьютер, т.е., проще говоря, заменить рассуждение вычислением. Напротив, там, где нет разрешающей процедуры, или алгоритма, приходится строить догадки и гипотезы, проверять их и отбрасывать негодные, вновь и вновь пробовать и проверять, чтобы найти требуемое решение. В целях облегчения такого поиска существуют определенные эвристические методы, которые хотя и не гарантируют безошибочно верного результата, но могут в значительной мере приблизить к его достижению.
Одним из таких методов в исчислении предикатов является способ построения аналитических, или, точнее, аналитико-семантических таблиц. Этот метод основывается, во-первых, на рассуждении от противного, т.е. сначала допускается, что рассматриваемая формула является необщезначимой, или данная формула логически не следует из других. Затем доказывают, что такое допущение приводит к противоречию, и поэтому оно опровергается. Во-вторых, для такого рассуждения строится аналитическая таблица, каждая строка которой содержит определенный список формул. В первой строке таблицы записывается антитезис, означающий, либо отрицание общезначимой формулы А, либо некоторого следствия, т.е. допускается истинность его посылок A1, А2,..., An и ложность заключения (– В). Переход от одной строки таблицы к другой связан с преобразованием формул с помощью определенных правил редукции, опирающихся на семантический анализ смысла таких логических связок, как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, а также кванторов общности и существования. В-третьих, таблица считается замкнутой, если в некоторой ее строке в каждом списке формул встречается определенная формула С вместе с ее отрицанием —C. Полученное противоречие свидетельствует о том, что принятое допущение необоснованно и, следовательно, доказывает либо общезначимость исходной формулы A, либо правильность следствия В из посылок A1, A2,..., Аm, т.е. A1, А2,..., Аm | = В. Если же аналитическая таблица остается незамкнутой, то нельзя однозначно решить вопрос об общезначимости формулы А или логического следствия A1, А2,..., Аm | = В. Ведь подобный результат мог бы свидетельствовать не только о необщезначимости формулы и неправильности логического следствия, но и о том, что нам не удалось найти комбинацию формул, которая привела бы к замыканию таблицы.
Решающая роль при построении аналитической таблицы принадлежит правилам редукции, с помощью которых происходит переход от формул на строке n таблицы к следующей строке n + 1.
Правило конъюнкции (∧). Допустим, что на одной строке таблицы мы имеем список формул: Г, А ∧ В, Δ, где Г – последовательность формул, предшествующих конъюнкции, а д – последовательность формул, следующая за ней. Поскольку из истинности конъюнкции можно сделать вывод об истинности каждого ее члена, то всюду, где она встречается, вместо истинной конъюнкции можно переходить к ее членам. В результате можно перейти от некоторой строки n к строке n + 1, оставляя при этом остальные списки неизменными:
Правило дизъюнкции (∨) разрешает перейти от строки, в которой встречается она, к другой, где вместо дизъюнкции встречаются два списка, в одном из которых находится один дизъюнктивный член, во втором – другой:
Это правило основывается на том, что дизъюнкция является истинной, если по крайней мере один из ее членов истинен, а поэтому при переходе от одной строки к другой мы получаем два списка, отделенных вертикальной чертой, в одном из которых встречается один член, во втором – другой.
Правило импликации (→) разрешает переходить от строки, где она встречается, к другой, в которой встречаются два списка формул, в одной из них содержится отрицание антецедента, в другой – консеквент импликации:
Действительно, импликация будет истинна, если ложен ее антецедент или истинен консеквент, что и представлено в заключении вывода.
Правило отрицания конъюнкции разрешает в заключении переходить к отрицанию конъюнктивных членов, поскольку отрицание конъюнкции означает отрицание этих членов.
Г, ¬ (А ∧В)
Г, ¬ А, Δ ¬ Г, ¬ В, Δ
Правило отрицания дизъюнкции разрешает в заключении переходить от отрицания дизъюнкции к отрицательным членам дизъюнкции, ибо дизъюнкция является ложной только тогда, когда ложны все члены дизъюнкции:
Г, ¬ ( А ∨ В ), Δ
Г, ¬ А, ¬ В, Δ
Правило отрицания импликации разрешает в заключении переходить от отрицания импликации к утверждению ее антецедента и отрицанию консеквента, так как импликация оказывается ложной только тогда, когда антецедент истинен, а консеквент ложен:
Г, ¬ (А → В), Δ
Г, А, ¬ В, Δ
Двойное отрицание в одной строке может быть заменено утверждением в другой:
Г, ¬ ¬ А, Δ
Г, А, Δ
Квантор существования, который стоит перед формулой А, указывает на наличие объекта, удовлетворяющего
А. Назовем этот объект константой к. Очевидно, что А(к) будет истинно, ибо к удовлетворяет условию А:
Г, (Е х ) А , Δ
Г, А, (к), Δ
Квантор общности, встречающийся перед формулой, свидетельствует о том, что формула (х) А истинна тогда и только тогда, когда каждый индивид из универсума рассуждения удовлетворяет условию А, Тогда истинной оказывается любая формула вида А (т), получающаяся путем замены всех свободных вхождений переменной на любой замкнутый терм:
Г, (х) А, Δ
Г, (х) А, А(т), Δ
Формула с квантором общности (х) А сохраняется для того, чтобы в дальнейшем можно было применить его к другим термам.
Более строгий подход к доказательству формул достигается с помощью аксиоматического построения исчисления предикатов. Для доказательства формул логики, как и для доказательства теорем геометрии, необходимо указать некоторые исходные формулы, которые принимаются в качестве аксиом. В принципе в качестве аксиом могут быть взяты любые тождественно истинные или общезначимые формулы, которые играют роль законов логики. Но обычно при выборе аксиом руководствуются разного рода дополнительными требованиями: простоты получаемой формальной системы, минимального числа аксиом, их интуитивной очевидности и т.п. Чтобы вывести из исходных формул новые формулы, т.е. доказать последние как теоремы логики, необходимо ясно и точно перечислить также правила вывода или доказательства. К их числу относится правило заключения по схеме modus ponens: из двух формул А и А → В следует новая формула В. Кроме того, для получения новых формул используются различные правила подстановки. Например, свободная предметная переменная может быть заменена другой предметной переменной, если эта замена проводится одновременно на всех местах, где встречается свободная переменная. То же самое относится к переменной, обозначающей высказывание.
В качестве аксиом исчисления предикатов берутся, во-первых, аксиомы исчисления высказываний, во-вторых, к ним присоединяют две аксиомы, относящиеся к использованию кванторов общности и существования:
1) x v x → x;
2) х → (х v у);
3) (х v у) → (у v х);
4) (х → у) → [z v х → z v у].
К аксиомам, регулирующим использование кванторов, относятся:
5) (х) А (х) → А (у);
6) В (у) → (Ех) B (х).
Первая из них постулирует: если предикат А выполняется для всех х, то он выполняется также для какого-либо у. Вторая утверждает, что если предикат В, выполняется для какого-либо у, то существует х, для которого выполняется В.
Располагая аксиомами и правилами вывода формул из аксиом, можно доказывать различные формулы исчисления высказываний и предикатов. Таким образом, исчисление высказываний автоматически включается в состав исчисления предикатов. Поэтому вместо обращения к таблицам истинности можно получать общезначимые (или тождественно истинные) формулы с помощью аксиоматического метода. Такой метод используется для строгого построения логических исчислений и для формализации рассуждений.
