Текст книги "Приключения Мистера Томпкинса"

Автор книги: Георгий Гамов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 13 страниц)

Одно из лучших экспериментальных подтверждений правильности представления о квантах света, а также о приписываемых им энергии и импульсе было получено в работе американского физика Артура Комптона. Исследуя столкновение квантов света и электронов, Комптон показал, что электроны, приведенные в движение под действием луча света, ведут себя точно так же, как если бы столкнулись с частицей, обладающей энергией и импульсом, задаваемыми формулами (1) и (2). Как показали эксперименты Комптона, сами кванты претерпевают после столкновения с электронами некоторые изменения (изменяется их частота) в полном согласии с предсказанием теории.

В настоящее время мы вправе утверждать, что в части, касающейся взаимодействия с веществом, квантовые свойства излучения надлежит считать твердо установленным экспериментальным фактом.

Дальнейшее развитие квантовых идей связано с именем знаменитого датского физика Нильса Бора, который в 1913 г. впервые высказал идею о том, что внутреннее движение любой механической системы может обладать только дискретным набором допустимых значений энергии и движение может изменять свое состояние только конечными шагами, причем при каждом из таких переходов излучается лишь определенное количество энергии. Математические правила, определяющие возможные состояния механических систем, более сложные, чем в случае излучения, и мы не будем приводить их здесь. Упомянем лишь о том, что, как и в случае квантов света, импульс определяется длиной волны света, поэтому в механической системе импульс любой движущейся частицы связан с геометрическими размерами той области пространства, в которой она заключена, и составляет величину порядка

, (3)

где l – линейные размеры области, в которой происходит движение. Из-за чрезвычайно малого значения квантовой постоянной квантовые явления становятся существенными только для движений, происходящих в очень малых областях пространства, например внутри атомов и молекул, и играют важную роль в наших знаниях о внутреннем строении вещества.

Одно из наиболее прямых доказательств существования последовательности дискретных состояний этих крохотных механических систем было получено в экспериментах Джеймса Франка и Густава Герца. Бомбардируя атомы электронами различной энергии, эти физики заметили, что определенные изменения в состоянии атома происходят, только когда энергия налетающих электронов достигала определенных дискретных значений. Если энергия электронов была ниже определенного предела, то соударения вообще никак не сказывались на состоянии атома, так как энергия, переносимая каждым электроном, была недостаточна для того, чтобы поднять атом с первого квантового состояния во второе.

Резюмируя, можно сказать, что к концу описанной мной первой, предварительной стадии развития квантовой теории была достигнута не модификация фундаментальных понятий и принципов классической физики, а более или менее искусственное ограничение весьма загадочными квантовыми условиями, выбирающими из непрерывного множества классически возможных движений дискретное подмножество «разрешенных», или «допустимых», движений. Однако если мы глубже вникнем в связь между законами классической механики и квантовыми условиями, налагаемыми нашим обобщенным опытом, то обнаружим, что теория, получаемая при объединении классической механики с квантовыми условиями, страдает логической непоследовательностью и что эмпирические квантовые ограничения делают бессмысленными те фундаментальные понятия, на которых основана классическая механика. Действительно, основное представление классической механики относительно движения заключается в том, что любая движущаяся частица занимает в любой данный момент времени определенное положение в пространстве и обладает определенной скоростью, характеризующей временные изменения в положении частицы на траектории.

Такие фундаментальные понятия, как положение, скорость и траектория, на которые опирается все величественное здание классической механики, построены (как и все другие наши понятия) на наблюдении явлений в окружающем мире и, подобно классическим понятиям пространства и времени, должны быть существенно модифицированы, когда наш опыт вторгается в новые, не исследованные ранее, области.

Если я спрошу кого-нибудь, почему он (или она) верит, что любая движущаяся частица занимает в любой данный момент определенное положение, описывает во время движения определенную линию, то в ответ мой собеседник скорее всего скажет: «Потому, что я вижу все это именно так, когда наблюдаю за движением». Проанализируем такой метод образования классического понятия траектории и попытаемся выяснить, действительно ли он приводит к определенному результату. Для этого представим себе мысленно физика, оснащенного всевозможной чувствительнейшей аппаратурой и пытающегося проследить движение маленького материального тела, брошенного со стены лаборатории. Наш физик решает производить наблюдения, глядя, как движется тело, и использует для этого небольшой, но очень точный теодолит. Разумеется, чтобы увидеть движущееся тело, физику необходимо освещать его. Зная, что свет оказывает давление на освещаемое тело и поэтому возмущает движение тела, физик решает освещать тело короткими вспышками только в те моменты, когда он производит наблюдения. В первом эксперименте физик намеревается наблюдать только десять положений тела на траектории и выбирает источник, дающий вспышки света, настолько слабый, что интегральный эффект светового давления в течение десяти последовательных сеансов наблюдения лежит в пределах требуемой точности эксперимента. Таким образом, освещая падающее тело десятью вспышками, наш физик получает в пределах требуемой точности десять точек на траектории.

Затем он хочет повторить эксперимент и получить сто точек. Физик знает, что сто последовательных вспышек слишком сильно возмутят движение и, готовясь ко второй серии наблюдений, выбирает фонарь, дающий в десять раз менее интенсивное освещение. Для третьей серии наблюдений, готовясь получить тысячу точек на траектории, физик выбирает фонарь, дающий в сто раз менее интенсивное освещение, чем источник света, который был использован в первой серии наблюдений.

Продолжая в том же духе и постоянно уменьшая интенсивность освещения, даваемого источником, физик может получить на траектории столько точек, сколько сочтет нужным, не увеличивая экспериментальную ошибку выше установленного с самого начала предела. Описанная мной сильно идеализированная, но принципиально вполне осуществимая процедура представляет собой строго логический способ, позволяющий построить движение по траектории, «глядя на движущееся тело», и, как вы видите, в рамках классической физики такое построение вполне возможно.

Попытаемся теперь выяснить, что произойдет, если мы введем квантовые ограничения и учтем, что действие любого излучения может передаваться только в форме квантов света. Мы видели, что наблюдатель постоянно уменьшал количество света, падающего на движущееся тело, и теперь нам следует ожидать, что, дойдя до одного кванта, наш физик не сможет продолжать в том же духе и дальше. От движущегося тела будет отражаться либо весь квант света целиком, либо ничего, и в последнем случае наблюдение становится невозможным. Мы знаем, что в результате столкновения с квантом света длина волны света уменьшается и наш наблюдатель, также зная об этом, заведомо попытается использовать для своих наблюдений свет со все увеличивающейся длиной волны, чтобы компенсировать число наблюдений. Но тут его подстерегает другая трудность.

Хорошо известно, что при использовании света определенной длины волны невозможно различить детали, размеры которых меньше длины волны: нельзя нарисовать персидскую миниатюру малярной кистью! Но используя все более длинные волны, наш физик испортит оценку положения каждой точки и вскоре достигнет той стадии, когда каждая оценка будет содержать погрешность, или неопределенность, величина которой сравнима с размерами всей его лаборатории и превышает их. Тем самым наш наблюдатель будет вынужден в конце концов пойти на компромисс между большим числом наблюдаемых точек и неопределенностью в оценке положения каждой точки и не сможет получить точную траекторию – в виде линии в математическом смысле в отличие от своих классических коллег. В лучшем случае квантовый наблюдатель получит весьма широкую размазанную полосу, и если он попытается построить понятие траектории, опираясь на свой опыт, то оно будет сильно отличаться от классического понятия траектории.

Предложенный выше метод построения траектории был оптическим, а теперь мы можем испробовать другую возможность и воспользоваться механическим методом. Для этого наш экспериментатор может построить какой-нибудь миниатюрный механический прибор, например, колокольчики на пружинах, который будет регистрировать прохождение материальных тел, если тело проходит достаточно близко. Большое число таких «колокольчиков» он развешивает в той области пространства, где ожидается прохождение движущегося тела, и «звон колокольчиков» будет указывать траекторию, описываемую телом. В классической физике «колокольчики» можно сделать сколь угодно малыми и чувствительными. В предельном случае бесконечно большого числа бесконечно маленьких колокольчиков понятие траектории и в этом случае может быть построено с любой требуемой точностью. Однако, как и в предыдущем случае, квантовые ограничения на механические системы портят все дело. Если «колокольчики» слишком малы, то величина импульса, которую они смогут забрать у движущегося тела, согласно формуле (3), будет слишком большой и движение окажется сильно возмущенным даже после того, как тело заденет один-единственный колокольчик. Если же колокольчики велики, то неопределенность в положении каждого будет очень большой. В этом случае построенная в результате наблюдения окончательная траектория, как и в предыдущем случае, окажется широкой полосой!

Боюсь, что все эти рассуждения об экспериментаторе, желающем наблюдать траекторию, покажутся вам слишком специальными и вы будете склонны думать, что если используемые средства не позволяют нашему наблюдателю оценить траекторию, то желаемый результат удастся получить с помощью какого-нибудь другого более сложного устройства. Однако я должен вам напомнить, что мы рассматривали не конкретный эксперимент, выполненный в какой-то физической лаборатории, а некую идеализацию самого главного вопроса физического измерения. Поскольку любое существующее в нашем мире действие можно отнести либо к числу действий поля излучения, либо к чисто механическим, любая сколь угодно сложная схема измерения непременно сводится к элементам, описываемых теми двумя методами, о которых я уже упоминал раньше – оптическом и механическом, и в конечном итоге приводит к тому же результату. А поскольку идеальный «измерительный прибор» может вместить весь физический мир, мы в конце концов приходим к выводу, что в мире, где действуют квантовые законы, нет ни точного положения, ни траектории, имеющей строго определенную форму линии.

Но вернемся теперь снова к нашему экспериментатору и попытаемся облечь в математическую форму ограничения, вытекающие из квантовых условий. Мы уже видели, что в обоих методах – оптическом и механическом – всегда существует конфликт между оценкой положения и возмущением скорости движущегося объекта. В оптическом методе столкновение с квантом света (в силу закона сохранения импульса, действующего в классической механике) порождает неопределенность в импульсе частицы, сравнимую с импульсом самого кванта света. Таким образом, используя формулу (2), запишем для неопределенности импульса частицы

(4)

Памятуя о том, что неопределенность положения частицы определяется длиной волны ((дельта)q = лямбда), получаем

(5)

В механическом методе импульс становится неопределенным на величину, передаваемую «колокольчиком». Используя нашу формулу (3) и помня о том, что в этом случае неопределенность положения определяется размерами колокольчика ((дельта)q = l), мы приходим к той же окончательной формуле, что и в предыдущем случае. Соотношение (5), впервые выведенное немецким физиком Вернером Гейзенбергом, описывает фундаментальную неопределенность, следующую из квантовой теории: чем точнее определено положение, тем неопределеннее скорость, и наоборот.

Так как импульс есть произведение массы движущейся частицы и ее скорости, мы можем записать, что

(6)

Для тел, с которыми нам обычно приходится иметь дело, неопределенность (6) до смешного мала. Так, в случае легкой пылинки с массой 0,0000001 г и положение, и скорость могут быть измерены с точностью 0,00000001 %! Однако в случае электрона (с массой 10^-27 г) произведение (дельта)u * (дельта)q достигает величины порядка 100. Внутри атома скорость электрона необходимо определять по крайней мере в пределах +-10^8 см/с, в противном случае электрон окажется вне атома. Это дает для положения электрона неопределенность 10^8 см, т. е. неопределенность, совпадающую с полными размерами атома. Таким образом, «орбита» электрона в атоме расплывается до такой степени, что «толщина» траектории становится равной ее «радиусу» – электрон оказывается одновременно всюду вокруг ядра.

На протяжении последних двадцати минут я пытался нарисовать вам картину разрушительных последствий нашей критики классических представлений о движении. Изящные и четко определенные классические понятия оказываются вдребезги разбитыми и уступают место тому, что я назвал бы бесформенной размазней. Естественно, вы можете спросить меня, как физики собираются описывать какие-нибудь явления, если квантовый мир буквально захлестывают волны океана неопределенности. Ответ состоит в том, что до сих пор нам удалось лишь разрушить классические понятия, но мы еще не пришли к точной формулировке новых понятий.

Займемся этим теперь. Ясно, что мы не можем, вообще говоря, определить положение материальной частицы с помощью материальной точки, а траекторию ее движения – с помощью математической линии, поскольку в квантовом мире все объекты расплываются. Нам необходимо обратиться к другим методам описания, дающим, так сказать, «плотность размазни» в различных точках пространства. Математически это означает, что мы используем непрерывные функции (такие как, например, в гидромеханике), а физически требует, чтобы при описании квантового мира мы употребляли такие обороты речи, как «этот объект в основном находится здесь, частично там и даже вон там» или «эта монета на 75% находится в моем кармане и на 25% – в вашем». Я понимаю, что такие утверждения кажутся вам дикими, но в нашей повседневной жизни из-за малости квантовой постоянной в них нет надобности. Но если вы вознамеритесь изучать атомную физику, то я настоятельно рекомендую вам предварительно привыкнуть к такого рода выражениям.

Считаю своим долгом предостеречь вас от ошибочного представления о том, будто функция, описывающая «плотность пребывания» объекта в различных точках пространства, обладает физической реальностью в нашем обычном трехмерном пространстве. Действительно, если мы описываем поведение, например, двух частиц, то нам необходимо ответить на вопрос, находится ли одна частица в одном месте и, одновременно, вторая частица в другом месте. Для этого нам необходима функция шести переменных (координат двух частиц), которую невозможно «локализовать» в трехмерном пространстве. Для описания более сложных систем нам понадобились бы функции еще большего числа переменных. В этом смысле «квантово-механическая функция» аналогична «потенциальной функции», или «потенциалу», системы частиц в классической механике или «энтропии» системы в статистической механике: она только описывает движение и позволяет нам предсказывать результат любого конкретного движения при данных условиях. Физическая реальность остается за частицами, движение которых мы описываем.

Функция, которая описывает, какая «доля» частицы или системы частиц присутствует в различных местах пространства, требует специального математического обозначения. Следуя Эрвину Шредингеру, который первым написал уравнение, определяющее поведение такой функции, ее стали обозначать

.

Я не стану сейчас вдаваться в детали математического вывода фундаментального уравнения Шредингера. Хочу лишь обратить ваше внимание на требования, которые привели к его выводу. Самое важное из этих требований весьма необычно: уравнение должно быть записано в таком виде, чтобы функция, описывающая движение материальных частиц, обладала всеми свойствами волны.

На необходимость наделить движение материальных частиц волновыми свойствами впервые указал французский физик Луи де Бройль на основе своих теоретических исследований строения атома. В последующие годы волновые свойства движения материальных частиц были надежно подтверждены многочисленными экспериментами, продемонстрировавшими такие явления, как дифракция пучка электронов при прохождении через малое отверстие и интерференционные явления, происходящие даже с такими сравнительно большими и сложными частицами, как молекулы.

Экспериментально установленные волновые свойства материальных частиц были совершенно непонятны с точки зрения классических представлений о движении, и де Бройль был вынужден принять весьма необычную (чтобы не сказать неестественную) точку зрения: по де Бройлю, все частицы «сопровождаются» определенными волнами, которые, так сказать, «направляют» их движения.

Но как только мы отказываемся от классических понятий и переходим к описанию движения с помощью непрерывных функций, требование о волновом характере становится гораздо более понятным. Оно просто утверждает, что распространение нашей

—функции аналогично (например) нераспространению тепла сквозь стенку, нагреваемую с одной стороны, а распространению сквозь ту же самую стенку механической деформации (звука). Математически это означает, что мы ищем уравнение определенного (а не ограниченного) вида. Это фундаментальное условие вместе с дополнительным требованием, чтобы наши уравнения, если их применять к частицам большой массы, переходили в уравнения классической механики, поскольку квантовые эффекты для таких частиц становятся пренебрежимо слабыми, практически сводят проблему вывода уравнения к чисто математическому упражнению.

Если вас интересует, как выглядит окончательный ответ – фундаментальное уравнение Шредингера, то я могу выписать его. Вот оно:

(7)

Здесь U означает потенциал сил, действующих на нашу частицу (с массой m), и порождает определенное решение задачи о движении частицы при любом заданном распределении силы. «Волновое уравнение Шредингера» (так принято называть выведенное Шредингером фундаментальное уравнение) позволило физикам в последующие сорок лет его существования построить наиболее полную и логически непротиворечивую картину явлений, происходящих в мире атомов.

Некоторые из вас, должно быть, удивляются, почему я до сих пор ни разу не употребил слово «матрица», которое часто приходится слышать в связи с квантовой теорией. Должен признаться, что лично я питаю сильную неприязнь к матрицам и предпочитаю обходиться без них. Но чтобы не оставлять вас в абсолютном неведении относительно этого математического аппарата квантовой теории, я скажу о матрицах несколько слов. Как вы уже знаете, движение частицы или сложной механической системы всегда можно описать с помощью некоторых непрерывных волновых функций. Эти функции часто бывают очень сложными и представимы в виде набора из некоторого числа более простых колебаний (так называемых «собственных функций») подобно тому, как сложный звук можно составить из некоторого числа простых гармонических тонов. Сложное движение можно описывать, задавая амплитуды его различных компонент. Поскольку число компонент (обертонов) бесконечно, мы выписываем бесконечную таблицу амплитуд вида

(8)

Над такими таблицами можно производить математические операции по сравнительно простым правилам. Каждая такая таблица и называется «матрицей», и некоторые физики вместо того, чтобы иметь дело непосредственно с волновыми функциями, предпочитают оперировать с матрицами. Такая «матричная механика», как ее иногда называют, представляет собой не более чем математическую модификацию обычной «волновой механики». В наших лекциях, посвященных главным образом принципиальным вопросам, было бы излишне входить в эти проблемы более подробно.

Очень жаль, что недостаток времени не позволяет мне рассказать вам о дальнейшем прогрессе квантовой теории в связи с теорией относительности. Эта глава в развитии квантовой теории, связанная главным образом с работами британского физика Поля Адриена Мориса Дирака, приводит ко многим интереснейшим проблемам и стала основой некоторых чрезвычайно важных экспериментальных открытий. Возможно, когда-нибудь в другой раз я еще вернусь к этим проблемам, а пока я должен остановиться. Надеюсь, что прочитанная мной серия лекций позволила вам составить более ясное представление о современной концепции физического мира и пробудила в вас интерес к дальнейшим научным занятиям.