Текст книги "Нестандартные задачи по математике в 4 классе"

Автор книги: Г. Левитас

Соавторы: Герман Левитас
сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 5 страниц)

141 – 150

Задача 141. 7,5 м ткани стоят 200 руб. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?

Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 7,5. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

7,5 м 200 руб.

4,5 м х руб.

Теперь пропорция рождается автоматически.

Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

1) Сколько стоят 22,5 м? 200 · 3 = 600 (руб.).

2) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 5 = 120 (руб.).

Ответ: 120 руб.

Задача 142. В ящике находится 20 носков черного цвета и 10 носков синего цвета. Все носки одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть носков, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных носков?

Можно случайно вытянуть первый носок одного цвета, а второй – другого, так что два вытянутых носка могут не образовать пары. Но уже третий носок будет в пару с одним из двух первых.

Ответ: Не более трех.

Задача 143. Десяток яиц стоит 16 руб. 52 коп. Сколько стоят 15 таких яиц?

Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит одно яйцо, придется делить 1652 коп. на 10. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

10 яиц 1652 коп.

15 яиц х коп.

Теперь пропорция рождается автоматически.

Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

1) Сколько стоят 30 яиц?

2) Сколько стоят 15 яиц?

Возможно и иное решение, так как 15 яиц = 10 яиц + 5 яиц, 5 яиц стоят 8 руб. 26 коп.

Ответ: 24 руб. 78 коп.

Задача 144. В ящике находится 10 пар черных перчаток и 5 пар синих одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть перчаток, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных перчаток?

Можно случайно вытянуть первые десять черных перчаток с левой (или правой) руки, а потом еще 5 синих перчаток с одной руки, так что никакие две из этих 15 перчаток могут не образовать пары. Но уже шестнадцатая перчатка будет в пару с одной из пятнадцати первых.

Ответ: Не более шестнадцати.

Задача 145. Коля поймал за 5 дней 512 мух. Каждый день он отлавливал столько мух, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал он за каждый из этих дней?

За последний день он поймал столько мух, сколько в первые 4 дня, то есть половину всех мух. В четвертый день – половину мух, пойманных за 4 дня. И так далее.

Ответ: В пятый день 256, в четвертый 128, в третий 64, во второй 32, в первый 32.

Задача 146. Брошены два игральных кубика. Какая сумма очков на их верхних гранях наиболее вероятна?

Возможны суммы от 2 до 12. В таблице показано, как могут получаться эти суммы:

Как видно, наибольшим числом способов получается сумма 7 – шестью способами. Это и есть наиболее вероятный результат бросания кубиков. Я не советую учителю пускаться в объяснения о том, что такое вероятность. Пусть дети просто услышат это слово в данном конкретном случае.

Ответ: 7.

Задача 147. Разгадай ребус:

Так как Е + Е оканчивается на Е, то Е = 0. Очевидно, что А может равняться только 1. Поэтому В > 4. Притом В – число четное, так что В равно 6 или 8. Если В = 6, то имеем:

С равно либо 3, либо 8. Легко проверить, что ни одно из этих значений С не подходит.

Остается В = 8:

Теперь для С остается выбор: С = 4 или С = 9. Проверка показывает, что подходит только первый вариант. Далее все просто.

Ответ: 8740 + 8740 = 17480

Задача 148. Составь не меньше 10 разных сумм из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в эту сумму два раза.

Самое маленькое значение такой суммы 3 (это 1 + 2), а самое большое 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, так что задача имеет решение.

Ответ: Это, например, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5, 4 + 5, 1 + 4 + 5, 2 + 4 + 5, 3 + 4 + 5.

Задача 149.Фразу «ълр егсащз з пёф шин дфпыыл зссз» расшифруй кодом Виженера с помощью шифра «вега».

Ответ: «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Задача 150. Составь не меньше 10 разных произведений из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в это произведение два раза.

Ответ: 1 · 2, 1 · 3, 1 · 4, 1 · 5, 2 · 5, 3 · 5, 4 · 5, 2 · 4 · 5, 3 · 4 · 5, 2 · 3 · 4 · 5.

151 – 160

Задача 151. Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу. Скорость первого поезда 36 км/ч, скорость второго 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 6 секунд. Какова длина каждого поезда?

Если бы первый поезд стоял на месте, то пассажир второго поезда ехал бы мимо него со скоростью 45 км/ч. А так как первый поезд ехал навстречу со скоростью 36 км/ч, то пассажир второго поезда ехал мимо него со скоростью 36 + 45 = 81 (км/ч). Следовательно, путь длиной в поезд он проделал со скоростью 81 км/ч за 6 секунд, то есть за 1 /600 часа. Умножив это время на скорость, мы получим ответ.

Ответ: 135 м.

Задача 152. Разгадай ребус:

Для решения удобно переписать ребус так:

Сразу видно, что С = 1 и что D = 0:

Значит, А = 5:

Теперь все ясно.

Ответ: 10761 – 5610 = 5151.

Задача 153. Задача Л. Эйлера. Крестьянка принесла на рынок некоторое число яиц. Первому покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол-яйца; второму – половину того, что у нее осталось, и еще пол-яйца; третьему – половину нового остатка и еще пол-яйца; четвертому – половину того, что осталось, и еще пол-яйца. После этого у нее ничего не осталось. Сколько яиц было у нее вначале?

Если задача не получается, ее надо рисовать:

Что было у крестьянки перед встречей с четвертым покупателем?

Что-то, половина чего была продана, после чего осталось пол-яйца. Но, значит, пол-яйца были второй половиной того, что у нее было. Значит, перед встречей с четвертым покупателем у крестьянки было одно яйцо. Нарисуем его в виде одной клетки.

Перед встречей с третьим покупателем у нее было это яйцо и те пол-яйца, которые она продала третьему, и все это составляло половину того, что она имела. Значит, пририсуем пол-яйца и удвоим полученное – эти три яйца были у крестьянки перед встречей с третьим покупателем.

Аналогично, пририсовав к трем яйцам пол-яйца и удвоив полученное, будем иметь семь яиц, имевшиеся у нее перед встречей со вторым покупателем

Проделав еще раз эту операцию, узнаем, сколько было у нее яиц в самом начале.

Ответ: 15 яиц.

Заметим, что полученный ответ следует проверить:

1-му покупателю, продано 15 : 2 + 0,5 = 8 яиц, после чего осталось 7 яиц,

2-му покупателю продано 7 : 2 + 0,5 = 4 яйца, после чего осталось 3 яйца,

3-му покупателю продано 3 : 2 + 0,5 = 2 яйца, после чего осталось 1 яйцо,

4-му покупателю продано 1 : 2 + 0,5 = 1 яйцо, после чего не осталось ничего.

Задача 154. Алеша, Боря, Витя и Гена сыграли между собой по одной партии в шахматы. Первые три мальчика все партии между собой сыграли вничью. Как распределились между ними места в этом соревновании, если Боря занял более высокое место, чем Витя, но менее высокое, чем Алеша?

Решение. Это задача со специфическим сюжетом – о турнире. Конечно, можно решить ее устно: результаты Алеши, Бори и Гены различны из-за того, что они по-разному сыграли с Геной. Значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сыграл с Геной вничью, а Витя проиграл Гене. После этого уже можно подсчитать, сколько очков набрал каждый и определить их порядок в итоге соревнования. Однако, ясно, что результаты надо как-то записывать. И очень полезно показать, как делается это в спортивных соревнованиях: познакомить детей со способом записи турнира в виде турнирной таблицы. Для наших четырех шахматистов турнирная таблица выглядит так:

В течение турнира таблица заполняется. Если, например, Гена выиграл у Бори, то это отмечается в таблице так:

А то, что Алеша с Борей сыграли вничью, отмечается в таблице так:

В предпоследнем столбце записывают, сколько очков набрал каждый. В последнем записывают, какое место занял каждый участник. Запишем условия задачи в нашу таблицу:

Теперь учтем, что Алеша набрал всего очков больше, чем Боря, а Боря больше, чем Витя. Это произошло потому, что они по-разному сыграли с Геной. Так как существует всего три возможности: выиграть партию, сыграть в ничью или проиграть, то, значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сыграл с ним в ничью, а Витя проиграл. Занесем эти данные в таблицу и подсчитаем очки и места:

Ответ: Первое место занял Алеша, второе и третье поделили Боря и Гена, четвертое место занял Витя

Задача 155. Имеется много жетонов стоимостью 3 рубля и два жетона по 5 рублей. Можно ли из этих жетонов составить любую сумму, большую 7 рублей?

Сумму в 8 рублей составляем как 3 + 5, в 9 – как 3 + 3 + 3, в 10 – как 5 + 5. Прибавляя к этим суммам нужное число трехрублевых жетонов, мы получим любую сумму, большую 10. Например, чтобы получить сумму 121, сообразим, что 121 при делении на 3 дает такой же остаток, как 10, а значит, 121 можно получить, прибавив к 5 + 5 нужное число 3-рублевых жетонов. Число этих жетонов определяем так: (121 – 10): 3 = 37.

Ответ: Да.

Задача 156. Разгадай ребус:

Так как ХА · У = ХА, то У = 1. Так как X – Д = X, то Д = 0. Имеем:

Так как А · А оканчивается на А, причем А не равно 1, то А = 5 или А = 6. Если А = 5, то

Э = 6:

Перебором всех возможных значений X в равенстве Х5 · 5 = 1X5 получаем, что X = 2. А после этого определяем, что М = 3. А = 6 легко опровергается проверкой.

Ответ: 3125 : 25 = 125.

Задача 157. Задача Л.Н. Толстого. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Если задача не получается, ее надо рисовать:

Нарисуем два луга, один вдвое больше другого. Разделим большой луг на две части. Первая часть – это работа всей артели в первые полдня. Вторая часть – работа половины артели во вторую половину дня. Значит, первая часть большого луга вдвое больше второй.

Малый луг тоже разделим на две части. Первая часть малого луга равна второй части большого луга, так как ее выкосила такая же группа косцов за то же время. Значит, первая часть малого луга равна 1/3 большого луга. Вторая часть малого луга равна 1/2 – 1/3 = 1/6 большого луга.

Вторую часть малого луга косил один косец целый день. Значит, большой луг один косец косил бы 6 дней. Значит, две трети большого луга один косец косил бы 4 дня. А так как вся бригада косила две трети большого луга полдня, то бригада состояла из 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

Задача 158. Поезд прошел мост длиной 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью?

Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает с моста последний вагон. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проезжает расстояние, равное длине поезда. Определим сначала скорость поезда. Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту.

Ответ: 1200 м.

Задача 159. Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?

Паровоз продвинулся за 30 секунд на 750 м. Разделив этот путь на время движения – на 30 секунд, получим скорость.

Ответ: 25 м/сек.

Задача 160. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший 2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гордеев. Известно, что Андреев с Гордеевым сыграли вничью. Установите результаты остальных пяти партий.

Запишем условия задачи в турнирную таблицу.

Попробуем определить, сколько очков могли набрать участники этого турнира. Каждая партия приносит одно очко играющим: либо это очко получает тот, кто выиграл (а проигравший получает 0), либо это очко делится поровну между участниками встречи, как это произошло в партии Андреева и Гордеева. Итак, всего участники турнира набрали столько очков, сколько произошло партий в этом турнире.

Каждый участник сыграл по три партии, а так как партии игрались в один круг, то всего партий было 6. Это можно понять из рассмотрения таблицы. В ней 12 свободных клеток (по 3 у каждого игрока), и после каждой партии заполняются 2 клетки. Значит, партий 6. Вывод: всего участники набрали 6 очков.

Как же могли распределиться эти очки между ними? Мы можем это понять из условий задачи – из таблицы. Андреев мог набрать не больше З2 очков, так как сыграл вничью с Гордеевым. Гордеев набрал не меньше очка, так как сыграл вничью с Андреевым. Но тогда очки у участников, занявших места между Андреевым и Гордеевым, могут быть от 1 до 3. Минимально это могут быть следующие результаты:

Гордеев – 12 очка, Власов – 1 очко, Борисов – 1. 12 очка, Андреев – 2 очка. Однако, в этом случае общее число очков равно 5, а должно быть 6. Поэтому нужно распределить между участниками недостающее очко.

Попробуем дать еще пол-очка Гордееву. Тогда у него будет 1 очко, у Власова – не меньше 1. 12, у Борисова – не меньше 2, у Андреева – не меньше 2. 12 очков. То есть общее число очков будет не меньше 7. Вывод: у Гордеева только 12 очка, что можно отметить в турнирной таблице:

Попробуем, оставив 12 очка у Гордеева, дать лишние пол-очка Власову. Тогда у него будет 1. 12 очка, у Борисова – не меньше 2, у Андреева – не меньше 2. 12 очков. То есть общее число очков будет не менее 6. 12 очков, что превышает сумму в 6 очков. Вывод: у Гордеева 12 очка, у Власова 1 очко.

Попробуем увеличить на пол-очка результат Борисова. Тогда возможно такое распределение результатов: у Гордеева 12 очка, у Власова 1 очко, у Борисова 2 очка и у Андреева 2. 12 очка. Впрочем, можно не увеличивать число очков у Борисова, а дать лишнее очко Андрееву. Получим: у Гордеева 12 очка, у Власова 1 очко, у Борисова 1. 12 очка и у Андреева 3 очка. Однако, последний вариант невозможен, так как из ранее заполненной таблицы ясно, что у Борисова не меньше 2 очков. Остается первый вариант:

Тогда автоматически заполняются результаты Борисова и Андреева:

Ответ: Андреев выиграл остальные две партии, Борисов выиграл у Власова и Гордеева, Власов выиграл у Гордеева.

161 – 170

Задача 161. Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, если сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота?

За полный оборот большого колеса через точку сцепления А пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота – 40 · 32 = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает 1280 : 16 оборотов.

Ответ: 80 оборотов.

Задача 162. Поезд длиной 750 м шел по мосту 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 1 км?

Паровоз продвинулся за 2 минуты на 1750 м. Разделив этот путь на время движения, получим скорость.

Ответ: 875 м/мин.

Задача 163. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какое число пропущено?

(385 – __ + 8) · (__: 385 + 9).

В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 385, а во второй скобке – не меньше 385.

Ответ: 385.

Задача 164. Коля ездит из дома в школу на трамвае. От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на № 2. Почему это возможно?

Это может быть, если разрыв между прибытием трамваев на остановку не одинаков.

Например, представим себе такое расписание

При таком расписании Коля будет чаще попадать на трамвай № 1.

Задача 165. Поезд длиной 750 м обгоняет поезд длиной 1 км за 10 мин. Какова скорость короткого поезда, если скорость длинного 60 км/час?

За 10 минут произошло следующее. Паровоз короткого поезда проехал мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проехал мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проехал суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов, затем разделить ее на время (на 10 минут), а затем к полученной скорости прибавить скорость второго поезда.

Ответ: 70500 м/ч или 70,5 км/ч.

Задача 166. У Васи по математике вдвое больше пятерок, чем четверок. Сколько у него четверок и пятерок, если всего их 9?

Ответ: 3 четверки и 6 пятерок.

Задача 167. Поезд длиной 750 м проходит мимо такого же встречного поезда за 1 мин. Какова скорость первого поезда, если скорость второго 60 км/час?

За 1 минуту происходит следующее. Паровоз первого поезда проезжает мимо второго поезда, а затем весь первый поезд проезжает мимо паровоза второго поезда, то есть паровоз первого поезда проезжает суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов (1500 м), затем разделить ее на время (на 1 минуту), а затем от полученной скорости 1500 м/мин отнять скорость второго поезда (60 км/час, или 1000 м/мин).

Ответ: 500 м/мин.

Задача 168. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какое число пропущено?

(742 :__ + 17) · (__ – 742 + 6).

В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 742, а во второй скобке – не меньше 742.

Ответ: 742.

Задача 169. На острове живут правдивые и лжецы. Как одним вопросом у первого встреченного островитянина узнать, ведет ли данная дорога в город?

Ответ: Вопрос: «Что бы Вы мне ответили, если бы я спросил Вас, ведет ли эта дорога в город?»

Задача 170. В турнире играли 6 шахматистов, по одной партии каждый с каждым. Андреев набрал 4 очка и занял 1 место, Бунин занял 2 место, Воронов и Гусев разделили 3–4 место, Дымов занял 5 место, а Егоров, занявший 6-е место, выиграл у Гусева. 5 партий турнира закончились вничью, причем Бунин сыграл вничью только один раз. Восстановить результаты всех партий.

Это задача с длинным решением. Ее можно предложить лишь немногим школьникам. Тем не менее некоторым из них она может оказаться интересной. Построим турнирную таблицу:

Всего в турнире сыграно 6 · 5 : 2 = 15 партий, значит, всеми игроками набрано 15 очков. Так как Андреев, занявший 1 место, имеет 4 очка, то остальные игроки могли набрать следующее число очков:

Бунин не более 3,5, Воронов и Гусев не более, чем по 3, Дымов не более 2,5, Егоров не более 2. Но именно такого числа очков они набрать не могли, так как 4 + 3,5 + 3 + 3 + 2,5 + 2 = 18, что на 3 очка больше, чем было. Займемся Егоровым. Мог ли он, кроме выигрыша у Гусева, набрать еще хоть пол-очка? Если это так, то у него не менее 1,5 очков, у Дымова не менее 2, у Гусева и Воронова не менее, чем по 2,5, у Бунина не менее 3, и в сумме – не менее 15,5 очков, что невозможно. Итак, Егоров все остальные партии проиграл:

Теперь займемся Буниным. Известно, что он сыграл только одну партию вничью, то есть набрал не целое число очков: либо 3,5, либо 2,5 (не 1,5, так как тогда он сосед Егорова). Если Бунин набрал 2,5 очка, то Воронов и Гусев набрали по 2 очка, а Дымов 1,5 очка. В сумме получается 12 очков, что недостаточно. Значит, Бунин набрал 3,5 очка:

Заметим теперь, что сумма очков – число целое, а так как Воронов и Гусев вместе набрали целое число очков (у них поровну), то Дымов набрал не целое число очков. Это может быть либо 1,5, либо 2,5 очка. Если 1,5, то Воронов и Гусев набрали по 2,5 очка. А если у Дымова 2,5 очка, то Воронову и Гусеву остается одно очко на двоих, что невозможно. Итак, имеем:

Осталось понять, как закончились партии. Обратим внимание на то, что, по условию, Бунин сыграл вничью только один раз, а из таблицы теперь видно, что и Дымов сыграл вничью только один раз, а остальные партии проиграл. Кроме того, известно, что вничью окончилось 5 партий в турнире. Если Бунин сыграл вничью с Дымовым, то остальных ничейных партий четыре. Рассмотрим этот случай.

Воронов сыграл еще раз вничью, а остальные партии проиграл. Он не мог сыграть вничью с Буниным, так как Бунин сыграл вничью всего одну партию. Значит, Бунину Воронов проиграл:

Осталось установить результаты пяти партий, из которых 4 – ничьи, и только одна результативная. Ясно, что это – выигрыш Андреева, так как если бы он ни одной партии больше не выиграл, то не набрал бы 4 очка. Итак, все партии, в которых не участвует Андреев, – ничейные:

Теперь ясно все. Заполняем результаты Бунина, Воронова и Гусева.