Текст книги "Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики"

Автор книги: Борис Бирюков

Соавторы: В. Тростников
сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 14 страниц)

В остальных двух дизъюнктивных формулах исследуемого выражения тоже «присутствует» закон исключенного третьего, поэтому каждая из них также тождественно-истинна. Итак, B нашей трехчленной конъюнкции каждый член оказывается тождественно-истинным. Вспомнив табличное задание операции конъюнкции (легко распространяемое на конъюнктивные формулы с произвольным числом членов), мы приходим к заключению, что наша результирующая формула тождественно-истинна. Но, в силу транзитивности отношения равенства, исходная формула равна результирующей, значит, и она тождественно-истинна.

Чтобы у читателя не создалось впечатления, что аналитические методы обязательно приводят к столь пространным выкладкам, мы решим эту же задачу другим способом. Предварительно заметим, что равенство вида

((~а V β) &(γ V а)) = (~а V β) &(γ V α) & (γ V β)) (*)

является верным равенством, каковы бы ни были формы α, β и γ этом можно убедиться, производя его табличную проверку; равенство (*) можно вывести и непосредственно из наших постулатов – осуществить это преобразование мы предоставляем читателю).

Возьмем конъюнкцию наших посылок и исключим из нее знаки → : ((А1 → ~А2) & (A3 → А1)) = ((~А1 V ~А2) & (~A3 V A1)). Но в силу (*): ((~A1 V ~A2) & (~А3 V A1)) = ((A1 V ~A2) & (~A3 V A1) & (~A3 V ~A2))

(здесь роль α играет формула A1 роль β – формула ~A2 роль γ – формула ~A3)– Но очевидно, что из конъюнктивной формулы, сколько бы членов она ни имела, следует каждый ее член (так как не может быть, чтобы конъюнктивная формула была истинна, а какой-либо ее член – нет). Значит, если конъюнкция наших посылок истинна, истинна и формула (~A3 V ~A2) (поскольку она есть один из членов трехчленной конъюнкции, равной конъюнкции посылок). Значит, (~A3 V ~A2) есть следствие из посылок. Но в силу определения (~A3 V ~A2) = (A3 → ~A2)– Задача решена.

Тождественно-истинные высказывания служат для выражения логически правильных форм рассуждений. Для иллюстрации этого положения приведем решение задачи восходящей к немецкому логику и математику Э. Шредеру – одному из продолжателей алгебро-логической линии исследований, начало которой было положено Булем^[19]. «Один химик, имея в виду построить на этом дальнейшие заключения, выдвинул утверждение: «Соли, которые не окрашены, суть соли, которые не являются органическими телами, или суть органические тела, которые не окрашены». Другой химик с этим не согласился. Кто был прав?»

В рассуждении первого химика можно выделить следующие элементарные высказывания (суждения): «Нечто есть соль», «Нечто есть органическое тело» и «Нечто окрашено». Все рассуждение можно представить в виде следующего сложного условного суждения: «Если нечто есть соль и (это нечто) не окрашено, то (это нечто) есть соль и не есть органическое тело или есть органическое тело и не окрашено». Заменив элементарные высказывания соответственно переменными А1 A2 и A3, а вместо логических союзов «и», «или» и «если..., то» употребив знаки &, V и →, мы можем представить логическую форму этого сложного высказывания следующим выражением: ((А1 & ~A3) → ((A1 & ~A2) V (А2 & ~A3))). Для решения спора между двумя химиками надо определить, представляет ли оно тождественно-истинное высказывание.

Проведал соответствующие преобразования, на этот раз без объяснений (мы предоставляем читателю самостоятельно определить те схемы аксиом нашего исчисления, которым мы пользуемся на каждом шаге).

В полученной на последнем шаге двучленной конъюнкции в каждом члене (представляющем собой дизъюнкцию пропозициональных переменных или их отрицаний) имеется 5 обязательно какая-то переменная и ее отрицание. Следовательно, оба члена конъюнктивной формы тождественно-истинны и, значит, тождественно-истинна и она сама. Итак, рассуждение первого химика было логически правильным, а его оппонент допустил ошибку.

Обратим теперь внимание на то, что в обеих рассмотренных интерпретациях фигурировали множества элементов, являющихся областями значений пропозициональных переменных; именно на этих множествах получали определение операции ~, &, V, свойства которых были ранее установлены равенствами 1—17 из пункта IV, и в этих же множествах находились элементы – результаты применений операций (последнее свойство называется замкнутостью множества относительно данных операций). Тем самым эти множества составляют то, что называется булевыми алгебрами. Булева алгебра—это любое множеством объектов, для которых определены одна одночленная (одноместная, унарная) операция (~) и две двучленных (двуместных, бинарных) операции (&, V) причем множество М замкнуто относительно этих операций; в нем имеются объекты, соответствующие константам 0 и 1 рассмотренного нами исчисления (нуль и единица булевой алгебры); одночленная операция, которую мы назвали отрицанием, подчиняется закону снятия двойного отрицания, а двучленные операции, которые мы назвали конъюнкцией и дизъюнкцией, обе коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны одна относительно другой, подчиняются законам поглощения и, вместе с отрицанием, законам Де Моргана, а также законам, в которых фигурируют 0 и 1 (законы 14—17) (ср. с. 55)^[20]. В первой из наших интерпретаций булевой алгеброй является множество из двух элементов – 0 и 1, во второй – множество истинностных значений (впрочем, можно считать, что булевой алгеброй здесь было множество высказываний^[21]. понимаемых, однако, так, что высказывания, имеющие одно и то же истинностное значение, не различаются)^[22]; как мы убедимся ниже, имеются и другие интерпретации булевой алгебры.

Формальный аппарат, изложенный в пп. I—IV (пункт V, как говорят, не расширяет его возможностей), можно понимать как теорию абстрактной булевой алгебры – булевой алгебры как любого множества объектов (носителя), взятого вместе с семейством операций. определенных на этом множестве, которое удовлетворяет всем требованиям данного аппарата, причем как теорию в узком смысле: как некоторое исчисление (равенств). Такую теорию следует отличать от теории булевых алгебр в широком смысле, в которой исследуются свойства приведенного формального аппарата (и аналогичных ему построений) и его интерпретации, формализации булевых алгебр средствами тех или иных логических систем, обобщения понятия булевой алгебры и т. д.

В логике исчислением обычно называют систему правил порождения объектов, допускающих осмысление (интерпретацию), и позволяющую выделять среди осмысленных объектов такие, которые в интерпретациях оказываются в каком-либо разумном смысле истинными суждениями. В рассмотренном нами исчислении объекты возникают в два этапа:

на первом с помощью пп. I и II порождаются формулы (и —с помощью п. V —их сокращения),

на втором (п. III) из формул строятся равенства. Далее среди возникших таким образом объектов происходит отбор тех из них, которые в интерпретациях оказываются верными, отбор равенств^[23], истолковываемых как суждения о свойствах элементов соответствующей булевой алгебры, выраженные в терминах ~, & и V. Этот отбор задается постулатами (п. IV); он основан на процедуре порождения верных равенств посредстве м правил вывода [b], исходя из равенств, представляющих собой аксиомы (согласно списку схем аксиом [а]).

Проиллюстрируем механизм подобного порождения на приведенном выше (с. 64) примере доказательства равенства

Шаг (1) состоял в следующем. Было взято равенство (A1 → ~A2) = (~A1 V ~A2), верное по определению (п. V), и к нему применено правило вывода —замена равным [b] следующим образом: в ((A1 → ~A2) & (A3 → A1)) →

(A3 → ~A2) часть (A1 → ~A2) была заменена на формулу (~A1 V ~A2), в результате чего получилось верное равенство:

Здесь роль α, фигурирующей в формулировке правила замены равным, играло выражение (A1 → ~A2)» роль β – формула (~A1 V ~A2), роль Ф[а]—выражение ((А1 → A2) & (A3 → A1)) → ( A3 → ~A2). роль Ф[β] – выражение ((~A1 V ~A2) & (A3 → A1)) → (A3→ ~A2). На шагах (2) и (3) в последнем выражении была произведена аналогичная замена импликативных выражений равными им (в силу определения п. V) дизъюнктивными формулами. Читатель может самостоятельно проследить, как применялось правило замены (и правила, выражающие симметричность и транзитивность равенства) на всех шагах доказательства, приведенного на с. 64—65. Заметим, что на некоторых шагах правило замены использовалось несколько раз.

Вернемся, однако, к логической интерпретации. Как мы говорили, операциям ~, &, V соответствуют отрицание, конъюнкция и (слабая, неразделительная) дизъюнкция – соединительно-разделительный союз «или». Как мы увидим ниже, при интерпретации яа классах эти операции истолковываются как взятие дополнения к классу, пересечение и объединение двух произвольных классов. В исчислении, которое разработал сам Дж. Буль и которое истолковывалось им прежде всего как теория классов (ср. ниже третью интерпретацию), использовалась не операция объединения классов, а так называемая симметрическая разность (объединение двух классов с исключением их общей части), а в случае интерпретации на высказываниях – строгая дизъюнкция, то есть операция, соответствующая союзу «или» в разделительном смысле (в разговорном языке передаваемом оборотом «или..., или», «либо..., либо»); если обозначить операцию строгой дизъюнкции знаком Û то запись (а Û β) означает, что это строго-дизъюнктивное высказывание (форма высказывания) истинно тогда, и только тогда, когда один член дизъюнкции, безразлично какой, истинен, а другой ложен. Если в перечне схем аксиом [а] изложенного нами исчисления заменить знак V всюду, где он встречается, знаком Û, то некоторые равенства станут неверными (например, «проваливаются» оба закона Де Моргана).

Это означает, что у самого Буля булевой алгебры не было. Она появляется, конечно, не в виде абстрактной алгебраической системы, а в виде содержательных интерпретаций на классах и высказываниях – лишь у Ст. Джевонса (см. выше. гл. 2). Но от Буля ведет свое начало тип алгебраических систем, переменные которых могут пониматься как двоичные переменные и формулы которых принимают только одно из тех же самых двух значений (поэтому эти переменные и формулы сейчас нередко называют булевыми). К системам такого рода принадлежит и булева алгебра. В этом смысле Буль действительно стоит у ее истоков, что и оправдывает ее название^[24].

Теоретико-множественная интерпретация (на классах)

Введем в рассмотрение некоторую область предметов – универсальный класс V (ср. гл. 2). Будем рассматривать всевозможные классы (множества), состоящие из предметов универсума V, то есть его подмножества. Введем также пустой класс Л. На подмножествах множества V, включая и сами V и Л, обычным образом определим операции взятия дополнения к произвольному классу Л, пересечения двух произвольных классов A и B и их объединения (см. примечание 15 на с. 47). Истолкуем пропозициональные переменные булевой алгебры как переменные, значениями которых являются классы; операции ~, &, V будем понимать соответственно как ', ∩, ∪ и следовательно, формулы ~α, (α & β), (α V β) как формулы логики классов α', (α ∩ β) и (α ∪ β), а 1 и 0 – как V и Л. В соответствии с определением V это приведет к истолкованию выражений вида (α → β) и (α ≡ β) как совпадающих по смыслу с формулами вида (α' ∪ β) и ((α' ∪ β) ∩ (α ∪ β'))– Тогда формулы рассмотренного нами исчисления обратятся в формы классов^[25], так как при всякой подстановке каких-то значений вместо всех переменных– данной формулы мы будем получать некий класс. Равенства α = β, где– α и β – формы классов, обращается в истинное высказывание, если при данной подстановке значений на места всех переменных, имеющихся в а и β, формы а и β переходят в точности в один и тот же класс^[26]. Если это имеет место при любой подстановке такого рода, равенство считается верным.

Нетрудно проверить, что все 17 схем аксиом [а] при данной интерпретации оказываются верными равенствами. Возьмем, например, равенство 13. При интерпретации оно приобретает вид (а')' = а, что очевидно верно, какой бы класс ни взять в качестве а: дополнение к дополнению к данному классу совпадает с данным классом (это ясно видно из рис. 2, где класс A представлен кругом, универсальный класс – квадратом, в который помещен круг. а дополнение к классу A заштриховано). Ясно также, что пересечение любого класса A с универсальным классом есть класс Л (схема аксиом 14), и тот же результат дает его объединение с пустым классом (схема аксиом 15) и т. д.^[27].

Формулы, которые при логической интерпретации оказываются тождественно-истинными формами высказываний, при данной интерпретации задают универсальный класс (аналогичное соответствие имеется между тождественно-ложными формами и классовыми формами, задающими пустой класс).

Данная интерпретация является теоретико-множественной в том смысле, что в ней используются операции над классами (множествами), однако ее можно считать и логической интерпретацией (правда, иного рода, чем интерпретация на высказываниях), поскольку множества можно считать объемами понятий (как мы увидим в дальнейшем, логика и теория множеств – при классической установке в математике и логике, о которой речь впереди, находятся между собой в органической связи).

Техническая интерпретация (на контактных схемах)

Одним из видов электрических схем, рассматриваемых в теории электрических цепей и автоматических устройств, являются схемы, состоящие из соединенных проводниками контактов выключателей. Контакты могут быть двух родов —замыкающими и размыкающими. Замыкающий контакт в нерабочем состоянии размыкает электрическую цепь, а в рабочем состоянии – замыкает; размыкающий контакт нерабочем состоянии замыкает цепь, а в рабочем – размыкает (рис. 3). Таким образом, с электрической точки зрения каждый контакт может быть в двух состояниях – проводимости (п) и непроводимости (н).

Срабатывание контакта (то есть переход в рабочее состояние) зависит от внешнего воздействия на выключатель (реле), который им управляет. Один и тот же выключатель может управлять многими контактами – замыкающими и размыкающими. Очевидно, что прохождение тока по схеме, состоящей из контактов, соединенных проводами, зависит от их состояния, которое, в свою очередь, определяется воздействиями на управляющие ими выключатели.

Рис. 3.

Схематическое изображение замыкающего (а) и размыкающего (б) контактов.

Будем истолковывать пропозициональные переменные как замыкающие контакты, управляемые соответствующими выключателями. Примем, что каждому вхождению данной переменной в формулу соответствует какой-то замыкающий контакт, управляемый выключателем, сопоставляемым с данной переменной. Например, в формуле (**) (А1 & ~(А2 V А1)) имеется два вхождения переменной A1, которые означают различные замыкающие контакты, управляемые, однако, одним и тем же выключателем. В качестве значений пропозициональной переменной примем два возможных состояния соответствующего ей замыкающего контакта. Под отрицанием переменной будем понимать размыкающий контакт, управляемый тем же выключателем, который «заведует» отрицаемой переменной. Очевидно, что если A и ~А – замыкающий и размыкающий контакты, управляемые (то есть одновременно переводимые в рабочее состояние) одним и тем же выключателем, то имеет место следующее: если один из них находится в состоянии проводимости, то другой – в состоянии непроводимости, и наоборот.

Истолкуем конъюнкцию как последовательное, а дизъюнкцию – как параллельное соединение контактов (и более общо, комплексов контактов, соединенных проводниками схем) (рис. 4). Это вполне естественно, так как при последовательном соединении контактов ток по цепи проходит лишь тогда, когда оба контакта находятся в состоянии проводимости, а при параллельном соединении для прохождения тока по цепи достаточно проводимости хотя бы одного из контактов.

Рис. 4.

Схемы последовательного и параллельного соединения двух контактов; схема a соответствует формуле (Ai & ~Aj), а схема б – формуле (Ai V ~Aj); i,j = 1, 2, 3,...

Импликацию и эквивалентно будем понимать подобно предыдущей интерпретации – как сокращение смысл которого расшифровывается с помощью знаков ~, & и V. Наша интерпретация не определяет, как понимать формулы (и как вычислять их значения в зависимости от значений, придаваемых их переменным), если в них имеется знак отрицания, действующий не на пропозициональную переменную, а на более сложную (под)формулу. Например, не ясно, как интерпретировать приведенную выше формулу (**). Поэтому условимся о следующем: всякая непосредственно не истолковываемая формула понимается как любая равная ей формула, в которой отрицания (если они есть) стоят только над переменными; значения непосредственно не истолковываемой формулы для любого распределения значений пропозициональных переменных совпадают со значением равной ей непосредственно истолковываемой формулы для тех же распределений значений. Так, формулу (**) можно понимать как формулу (А1 & (~A2 & ~A1), так как она равна формуле (**).

Теперь мы можем указать, что следует понимать под значением формулы – это либо проводимость, либо непроводимость соответствующей схемы, и определять ее значение для любого распределения значений входящих в нее – пропозициональных переменных, пользуясь таблицами, в которых вместо единиц стоят проводимости (п), а вместо нулей – непроводимости (н). При этом формулам, тождественно-равным единице, соответствуют всегда приводящие, а формулам, тождественно-равным нулю, – никогда не проводящие схемы. Очевидно, что верность равенства а = β в нашей интерпретации означает функциональную одинаковость схем, соответствующих формулам а и β – одинаковость их электрического состояния пои любых состояниях их контактов.

Рис. 5.

Схемное представление закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции. Как нетрудно убедиться, схемы а и б функционально одинаковы.

Всем семнадцати схемам аксиом в данной интерпретации соответствуют верные равенства, а правила вывода из верных равенств порождают верные равенства. Проверим» например, схему аксиом 5. Для этого по каждой из схем формул, составляющих левую и правую часть этого равенства, построим контактную схему (рис. 5). Составив таблицу проводимости обеих схем (см. табл. 11), убедимся в их функциональной одинаковости.

В силу данной интерпретации к исследованию контактных схем приложимым оказывается весь аппарат теории булевой алгебры. Становится возможным записывать схемы в виде аналитических выражений (формул), и по схемам определять соответствующие им формулы, упрощать схемы и т. п. Упрощение контактных схем, особенно решение задач их минимизации, то есть нахождения по данной схеме самой простой (содержащей наименьшее число контактов) функционально одинаковой с ней схемы» является весьма важным для автоматики.

Проиллюстрируем упрощение схемы с помощью изложенного нами аппарата. Дана схема, изображенная на Рис. 6, а.

По ней строится формула (А1 V (~A1&A2)) Упрощение этой формулы дает: (A1 V (~A1 & A2)) = (A1 V ~A1) & (A1 V А2)=(А1 V A2). Формуле (A1 V ~A2) соответствует более простая схема (рис. 6, б). Читателю предоставляется проверить функциональную одинаковость схем а и б, проследив их электрическое состояние при всех возможных состояниях их контактов^[28].

После того как мы ознакомились с четырьмя интерпретациями одной и той же абстрактной системы – теории булевой алгебры (в узком смысле), возникает вопрос, как относятся друг к другу эти интерпретации. Ответ на него состоит в том, что они подобны друг другу, имеют одинаковую структуру. В самом деле: каждой булевой (булевской) формуле, тождественно-равной единице, взаимно однозначно соответствует некоторая тождественно-истинная форма логики высказываний – в логической интерпретации; каждой тождественно-истинной форме – классовая форма, задающая универсальное множество, а этой последней – всегда проводящая схема.

Аналогичное соответствие имеется и между формулами, тождественно-равными нулю, тождественно-ложными формами высказываний, классовыми формами, задающими пустое множество, и никогда не проводящими схемами. Перечень подобных соответствий может быть продолжен, однако и сказанного достаточно, чтобы сделать важный вывод: проводя исследования в одной из этих систем, мы его результаты можем перенести на любую другую. В частности, изучение электрических схем, состоящих из контактов, можно заменить изучением булевых функций.

В этой важнейшей идее подобия (уточняемой с помощью понятия изоморфизма и его обобщений) различных систем и в конечном счете основанной на этой идее процессе моделирования – базируются кибернетические исследования, направленные на автоматизацию логических процедур. Но какой длинный путь должна была проделать наука, чтобы прийти к ясному пониманию этого!

рис. 6. Пример функционально одинаковых схем различной сложности; схема б проще схемы а, так как содержит меньше контактов.

4. ВЕЛИКАЯ ПЕРЕОЦЕНКА ЦЕННОСТЕЙ

Теоретическую математику иногда представляют себе как концентрированное воплощение отвлеченной мысли, не замутненной никакой утилитарной стороной дела, которую она оставляет прикладной математике и техническим дисциплинам. Такой взгляд на математику обнаруживается в высказываниях многих выдающихся ученых. «Чистая математика в ее современном виде может быть названа самым оригинальным созданием человеческого духа», сказал Альфред Уайтхед. «Математик, который не есть отчасти и поэт, никогда не будет настоящим математиком» – сказал Карл Вейерштрасс. «Математика – это единственная настоящая философия» – сказал лорд Кельвин^[1].

Как относиться к таким высказываниям? Математика, действительно, являясь ярчайшим подтверждением силы человеческого разума и неисчерпаемости человеческого воображения, в то же время может быть названа, если позволительно так выразиться, одним из самых деловых занятий: результаты математики говорят сами за себя, фирма с названием «математика» имеет мировую известность как фирма, дающая стопроцентную гарантию своей продукции. «Сделано математикой» – означает для всех «сделано на века». Поэтому математика не может позволить себе необоснованного риска заниматься выпуском изделий, которые могут вызвать сенсацию, а потом оказаться недоброкачественными. У нее есть собственная технология производства, оправданная двухтысячелетней практикой. Все это мы должны иметь в виду при рассмотрении вопроса о том, почему лейбницева идея автоматизации рассуждений с таким трудом пробивала себе дорогу: Лейбница отделяет от Буля полтора столетия, но ведь даже работы Буля и его школы были лишь деятельностью энтузиастов и не привлекали внимания современников.

Но мы знаем, что все упиралось в формализацию логики – необходимо было выработать символику и процедуры преобразований знаков, позволяющие эффективно проводить логический анализ. Лейбниц только собирался преодолеть этот барьер, но так и не осуществил своего намерения. Буль и его последователи расчистили многие препятствия, но они работали как одиночки, не увлекали за собой других математиков, не получили их поддержки. Даже труды Г. Фреге – этого титана логико-математической мысли, о вкладе которого в логику и основания математики мы скоро будем говорить появившиеся в конце прошлого века, не обратили на себя внимания.

А по своим потенциальным возможностям математика в середине XIX века уже в значительной мере созрела для того, чтобы приступить к уточнению программы Лейбница. Надо было только «навалиться всем миром», заострить на этой проблеме внимание, как когда-то оно было заострено на задаче о проведении касательной к данной линии, решая которую, Ньютон заложил основы дифференциального исчисления.

Но ничего подобного сделано не было. Ни одна академия не поставила проблему «искусственного мышления». Это выглядело бы в то время несерьезно. Даже «привязанные» отчасти к теории вероятностей и алгебраизованные по форме исследования Буля воспринимались как вещи, уводящие математику в сторону от основной дороги. Во второй половине XIX века центральными вопросами математики продолжали оставаться вопросы дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений, образующие область, которая известна как «математический анализ» или просто «анализ». Она возникла в результате открытий Ньютона и Лейбница и получила мощный импульс от их ближайших последователей, великих математиков XVIII и начала XIX в.—Эйлера, Лагранжа и Лапласа. Известно, что импульсы к созданию математического анализа были даны геометрическими и механическими задачами – такими, как вычисление площадей фигур (квадратур), длин кривых, моментов инерции, отыскание траекторий и т. п., решать которые прежними средствами было затруднительно или вообще невозможно.

Сразу же после своего появления анализ показал себя как исключительно мощный по своим возможностям инструмент. Это могущество метода так увлекло математиков, что они стали интенсивно расширять круг задач, решаемых анализом, и совершенствовать его формулы, способные, казалось, описывать и обсчитывать все на свете. Расширение сферы приложений анализа и увеличение его популярности заставляло наиболее вдумчивых математиков ставить задачу его обоснования, не зависящего от приложений геометрического или механического характера^[2]. Внутренняя логика развития этой дисциплины ставила вопрос о строгости ее методов – проблему, над которой в первой четверти XIX века работали Б. Больцано и О. Коши и которая занимала умы таких великих математиков, как К. Ф. Гаусс и Н. Г. Абель.

Специалисты того времени по-разному относились к работам по логическому усовершенствованию теоретической части анализа. Конечно, математики не сомневались, что методы анализа дают адекватные результаты, но некоторых из них особенно сильно беспокоило желание установить «согласованность» всей системы его утверждений, то есть его «логическую прочностью. Они считали, что непогрешимость анализа должна быть не такой вещью, в которую приходится верить и которая подтверждается лишь косвенно – безупречной работой аппарата, а такой, которую можно доказать рассуждением. Ответом на эту потребность явился ряд теорий действительного числа – Р. Дедикинда, К. Вейерштрасса и Г. Кантора.

Действительные числа — основной объект анализа, поэтому последний нельзя считать логически совершенным, пока не установлена полная ясность в отношении понятия действительного числа. Понятие натурального числа представлялось тогда вполне ясным. Из натуральных чисел легко получаются рациональные числа — дроби. Но иррациональные числа — главную составляющую действительных чисел – определить уже значительно труднее. К. Вейерштрасс (1815—1897) разработал теорию действительных чисел, из которой вытекало, что их можно определить как бесконечные десятичные дроби. Если такая дробь является периодической (например, 0,333...), она отождествляется с рациональным числом (в нашем примере это 1/3)^[3], если не периодической – то с числом иррациональным; таковы, скажем, известные числа π и е, отождествляемые соответственно с бесконечными непериодическими десятичными дробями 3,1415926546... и 2,7182818289...

В обоих случаях мы выписали по десять знаков после запятой, поставив затем многоточие; последнее ясно показывает, какую роль в данной теории играет бесконечность: она заложена в самих объектах, возникающих в теории. Вейерштрассовское действительное число – если оно иррационально – нельзя написать на бумаге: не хватит ни бумаги, ни человеческой жизни^[4].

Многие математики (Л. Кронекер и др.) видели в этом серьезный дефект теории Вейерштрасса, но, она все же прочно вошла в учебники анализа, ибо, как отметил Е. Т. Белл, «она работала»^[5].

Более интересной для нас является теория действительных чисел Дедекинда^[6]. Он придал иррациональным числам совершенно новый смысл, определив их как сечение в области рациональных чисел. Подход Дедекинда состоял в следующем.

Ясно, что любое множество можно разбить на два под множества таким образом, что объединение подмножеств будет совпадать со всем множеством и каждый элемент последнего попадет в одно и только одно из подмножеств. Такое разбиение со времен античности называют дихотомией (буквально: «сечение на две части»). Произведем дихотомию множества всех рациональных чисел так, что в результате получатся два непустых подмножества, находящихся в следующем отношении: каждое число какого-то одного из них меньше любого числа другого. Систему из таких двух подмножеств множества всех рациональных чисел Дедекинд назвал сечением в области рациональных чисел; первое из них образует левый класс, второе – правый класс сечения.

Приведем пример сечения. Левый класс – все отрицательные рациональные числа, правый класс – нуль и все положительные рациональные числа. Очевидно, что мы имеем здесь сечение в дедекиндовом смысле, так как каждое рациональное число войдет либо в первый, либо во второй класс (но не в оба сразу), ни один из классов не пуст, любое отрицательное число меньше нуля и каждого из положительных чисел.

Оказывается, над сечениями можно производить операции. Возьмем два каких-нибудь сечения, например следующие. В первом – его мы обозначим через С1 – левый класс (назовем его А1) образуют все рациональные числа, меньшие единицы, правый (В1) —не меньшие единицы. Во втором сечении (С2) левый класс (А2) образован всеми рациональными числами, меньшими двойки, а правый (В2) остальными рациональными числами. После этого зададим следующее разбиение множества всех рациональных чисел на два подмножества: к первому отнесем все числа, которые могут быть представлены суммой двух слагаемых – числа из множества А1 и числа из множества А2 ко второму – все числа, которые представимы в виде суммы числа из множества В1 и числа из множества В2. Будет ли это разбиение сечением?

Нетрудно видеть, что будет. Оба рассматриваемых подмножества не пусты; поскольку первое слагаемое одной суммы меньше первого слагаемого другой суммы и то же относится ко вторым слагаемым, то и первая сумма меньше второй суммы. Можно показать, что выполнено и требование того, чтобы каждое рациональное число обязательно попадало в какое-то одно, и только одно, из двух подмножеств. Итак, разбиение, построенное указанным способом по двум заданным сечениям, есть тоже сечение. Его называют суммой двух исходных сечений и обозначают С1 + С2. Очевидно, что подобным образом возможно построить сумму любых двух сечений. Аналогично можно получить произведение двух сечений С1 и С2: левый его класс составят произведения сомножителей, взятых из левых классов исходных сечений, а правый – взятых из правых классов (правда, здесь нужно сделать некоторые оговорки, связанные с тем, что произведение отрицательных чисел есть число положительное, но они достаточно просты и для нашего изложения несущественны). В приведенном выше примере сумма сечений оказывается сечением, левый класс которого состоит из рациональных чисел, меньших тройки, а произведение – сечением с левым классом, состоящим из чисел, меньших двойки. Но число 3 есть результат сложения, а число 2—результат умножения чисел 1 и 2. Вообще всегда, когда в каждом из исходных сечений есть либо наибольшее число левого класса, либо наименьшее число правого (пограничное число), сумма сечений также будет иметь пограничное число – сумму пограничных чисел исходных сечений; то же справедливо и в отношении произведения (его пограничное число будет произведением пограничных чисел исходных сечений). Иными словами, сложить или перемножить сечения в этом случае – значит сложить или перемножить их пограничные числа и взять Результата качестве пограничного числа.