Текст книги "Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики"

Автор книги: Борис Бирюков

Соавторы: В. Тростников
сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 14 страниц)

Придя к такой заманчивой идее, Луллий весь свой могучий темперамент обратил на ее осуществление и популяризацию. «Великое Искусство» вызвало длительную бурю и явилось предметом многовековых споров. При жизни его автора оно не получило распространения; постепенно, однако, возникла целая школа его последователей, и имя Луллия приобрело громкую известность. Луллиевы приборы делались из металла, ярко раскрашивались и разрисовывались художниками и производили, вероятно, немалое впечатление. Главной причиной их распространения (особенно широкого в XV—XVI вв.), по-видимому, был элемент мистики и тайны, окружавший их использование, приманка того же рода, что и спиритизм XIX века.

«Искусство» Луллия мало кого оставляло равнодушным. Доминиканский орден объявил это изобретение бредовой идеей сумасшедшего (правда, францисканцы относились к нему с симпатией); Ф. Рабле категорически осудил «искусство»^[2]; иронизировал над ним и Ф. Бэкон^[3]; сатиру Свифта мы привели выше. Но Дж. Кардано находился под влиянием Луллия, что отразилось в самом названии его математического труда («Великое искусство, или Об алгебраических правилах», 1545), а Дж. Бруно был увлеченным «луллистом». Пожалуй, значение Ars Magna в истории науки весомее всего подтверждается тем, что оно вдохновило молодого Лейбница на выдвижение проекта «универсального языка», с помощью которого все человеческое знание, включая мораль и философские истины, может получаться автоматически (Лейбниц прямо указывал на связь своих идей с замыслом Луллия).

С позиций современности Ars Magna была первой в истории попыткой использовать механическое устройство для облегчения логических действий, так что Луллий по всей справедливости мог бы претендовать на патент, удостоверяющий, что ему принадлежит «идея логической машины». В отношении же фактического осуществления этой идеи он ушел недалеко^[4]. Не будем говорить о том, что само предположение о наличии в каждой области знания небольшого числа исходных понятий и положений уже является слабым местом метода; дело также в том, что прибор Луллия не доводит механическую процедуру до конца, до построения умозаключения, а лишь поставляет человеку исходный материал (сочетание понятий) для выведения следствий путем размышления. Рассматривая прибор Луллия как вычислительную машину, мы могли бы сказать, что эта машина способна выполнять единственную операцию – перебор вариантов, окончательный же результат может быть получен только с участием человека. Если читателю покажется, что устройство с такими характеристиками не имеет никакой ценности, заметим, что гигантские современные ЭВМ тратят значительную часть своего времени как раз на перебор, и что использование ЭВМ как составной части вычислительной системы «машина – человек» имеет огромное значение (это видно хотя бы из того, что отечественная малая электронная вычислительная машина «МИР-2» специально сконструирована для процедур, и которых она принимает участие попеременно с математиком).

Хотя идея логической машины, впервые высказанная еще в XIII веке, с тех пор не умирала, долгое время из нее ничего теоретически ценного и практически полезного не получалось. Поэтому средневековые схоластические логики продолжали изучать и совершенствовать силлогистику Аристотеля, пользуясь средствами естественного языка, к которым присоединялись простейшие диаграммы и буквенные обозначения.

Следующая попытка вдохнуть в логику новую жизнь была грандиозной по масштабу проекта и гениальной по замыслу. Непосредственно она не была связана с какими-либо приборами или другими физическими устройствами, хотя несомненна ее преемственность с методом Луллия. Эта попытка тоже повисла в воздухе, поскольку смелая мысль ее создателя опережала реальные возможности существовавшей в то время математики. Но и в этом случае идея не погибла, а перешла в некое состояние анабиоза, чтобы в должный час произвести свое действие. Мы говорим о любимой идее Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716) – его «Универсальной характеристике».

Коль скоро мы коснулись некоторых сторон жизни Раймунда Луллия, то Лейбницу мы должны были бы отвести несколько страниц, если руководствоваться различием в их вкладе в мировую науку. Но о Лейбнице много написано и как об одном из создателей дифференциального и интегрального исчисления, и как о знаменитом философе, авторе теории монад – гипотетических бесконечно множественных первоэлементов мира, соединяющих в себе как материальное, так и духовное начало. Поэтому мы отметим лишь те черты великого ученого, которые начисто исключают предположение о его эмоциональной обедненности, могущее возникнуть у читателя после ознакомления с его программным тезисом.

Математика и логика составляли только небольшую долю тех предметов, в которых Лейбниц достиг вершин познания и успеха. Он был прославленным юристом, богословом, философом; он занимался историей, был придворным историографом, литератором и государственным деятелем; его занятия в каждой из этих сфер уже обеспечили бы ему сохранение имени в веках. Он был незаурядным организатором и, в частности, основал Берлинскую академию наук – впоследствии один из крупнейших научных Центров мира. Интересно, что Петр Первый неоднократно советовался с Лейбницем по вопросам образования и науки, в частности, обсуждал с ним план создания Санкт-Петербургской академии наук. Как и Луллий, Лейбниц съездил почти всю Европу, то выполняя поручения монархов, то гонимый своей неукротимой энергией и любознательностью.

Но как бы ни разрывался человек между многочисленными обязанностями и увлечениями, у него бывает главный замысел, иногда несколько смутный и призрачный, связанный с наибольшими надеждами, более всех Других дающий необходимое каждому ощущение осмысленности своей жизни и деятельности. Нет сомнения, что любимой мечтой Лейбница, которую он лелеял как самое драгоценное из всего, чем он занимался (в частности, как более драгоценное, чем дифференциалы и интегралы), была «Универсальная характеристика».

Приступая к описанию великого замысла Лейбница и к его оценке, авторы должны признаться, что отчетливо видят всю трудность, а может быть, и невыполнимость этой, задачи. Поскольку идея Лейбница на двести лет опередила эпоху и осталась в свое время не только не реализованной, но в значительной мере и не опубликованной^[5], сейчас уже нельзя установить ее аутентичное содержание и реконструировать оригинальный проект – ведь в полном виде он существовал лишь в голове Лейбница. Непонимание и непринятие современниками далеко идущей идеи, родившейся до срока, существенным образом повлияло на ее разъяснения, делавшиеся в конце XVII—начале XVIII века его комментаторами, а также на публичные высказывания самого Лейбница по этому вопросу, так как он был вынужден. считаться с реакцией неподготовленной аудитории^[6]. Короче, из-за нерелевантности идеи при первоначальном обнародовании (частичном и фрагментарном) она подвергалась неизбежным искажениям. Это – одна сторона трудностей. Вторая состоит в том, что сегодня, когда многообещающие перспективы, заложенные в проекте «искусственного интеллекта», стали очевидными, мы незаметно для себя можем приписать Лейбницу такую силу предвидения, которой он при всей своей гениальности, возможно, и не обладал. Поэтому мы изложим лишь фактическую часть, а в оценке вклада Лейбница в становление кибернетики призовем на помощь авторитеты.

Лейбниц потерял отца, когда был еще шестилетним мальчиком, но отец, профессор нравственной философии Лейпцигского университета, успел привить ему любовь к знанию. Пользуясь богатой библиотекой отца, молодой Готфрид изучил классические языки, историю, гуманитарные науки, философию. Но он штудировал также математику и аристотелеву логику. Эти последние занятия Лейбница и сыграли, видимо, главную роль в том, что уже в пятнадцатилетнем возрасте он начал вынашивать проект «универсальной характеристики» – средства, с помощью которого все человеческое познание должно было подвергнуться коренному преобразованию^[7].

Это средство, по мысли Лейбница, должно состоять из двух инструментов: искусственного языка науки (его-то собственно, он и называет characteristica universalis) и исчисления умозаключений (calculus rationator). Искусственный язык науки должен быть универсальным и совершенным в следующем смысле: он должен служить средством выражения любых мыслей, должен устранять барьеры разноязычной речи, способствуя тем самым распространению научных идей, а также должен стать орудием логического анализа любых проблем. Выражения естественного языка в универсальном языке науки должны быть заменены компактными, наглядными, хорошо обозримыми и однозначно понимаемыми знаками. Конечно, эта грандиозная замена не была фактически проведена Лейбницем, но у него был совершенно ясный план проведения ее в жизнь: нужно было свести все понятия к некоторым элементарным понятиям, образующим как бы алфавит, азбуку человеческих мыслей. Когда это удастся сделать, считал Лейбниц, станет возможным заменить обычные рассуждения оперированием со знаками. Правила такого оперирования должны быть даны во второй части «сверхнауки» – в исчислении умозаключений. Они должны однозначным образом определять последовательности выполнения действий над данными знаками и сами эти действия, так что при правильном их применении ни для каких разногласий не остается места. Эта сокровенная цель всего замысла Лейбница провозглашена им в широко известном тезисе: «Единственное средство улучшить наши умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же наглядными, как и у математиков, такими, что их ошибочность можно было бы увидеть глазами, и, если между людьми возникают разногласия, достаточно было бы только сказать «Вычислим!», чтобы без дальнейших околичностей стало ясно, кто прав»^[8].

Здесь необходимо сделать небольшое отступление, поскольку такое отважное заявление может в разных людях вызвать далеко не одинаковые чувства. Некоторые, мы полагаем, отнесутся к основному рационалистическому тезису Лейбница даже с негодованием, как относились многие еще недавно к утверждениям специалистов по кибернетике, что в будущем ЭВМ смогут взять на себя многие интеллектуальные функции, выполняемые пока только людьми. Откладывая серьезный разбор этого вопроса до того пункта в нашем изложении, когда он будет более подготовлен, заметим лишь, что и в математике, как это выяснилось в тридцатых годах, имеются проблемы, которые принципиально невозможно разрешить с помощью вычисления, и что, с другой стороны, «автоматизированную» процедуру логического или математического вывода нельзя считать тавтологичной, не приносящей новой информации, так что разница между «творчеством» и «вычислением» с позиций современного научного знания становится все менее определенной.

Но вернемся к предложению Лейбница. Существенно отметить, что он придавал важное значение представлению логических действий в виде действий над числами, то есть арифметизации логики. Ему принадлежат следующие слова: «Я заметил, что причина того, почему мы за пределами математики так легко ошибаемся, а геометры столь счастливы в своих умозаключениях, состоит лишь в том, что в геометрии и других частях абстрактной математики можно производить проверку или последовательные доказательства, сводя все к числам, причем делать это можно не только для заключительного предложения, но и в любой момент и на любом шаге, начиная с посылок»^[9].

Реализацией описанных идей Лейбница должны были стать разрабатывавшиеся им логические исчисления. В одних из исчислений понятиям, входившим в состав суждений, ставились в соответствие числа и задавались правила оперирования с этими числами, в других употреблялись буквенные обозначения. Возможно, Лейбниц интуитивно принимал «почти доказанную» сейчас гипотезу, что всякую строго и однозначно заданную процедуру (алгоритмическую процедуру), имеющую дело с любыми четко различимыми символами, можно свести к процедуре арифметической – имеющей дело с натуральными числами. Но уверенно «вкладывать» в него понимание эквивалентности вычисления в широком смысле и вычисления в узком смысле было бы рискованным.

Какое же место следует отвести Лейбницу в ряду создателей формализованной логики и кибернетики? Размах и глубина идеи могли бы оправдать претензии даже на первое место, но, как мы знаем, начинание осталось лишь начинанием, и это прискорбное обстоятельство снижает шансы Лейбница стать выше всех в мировой иерархии великих логиков, тем более что в неосуществленности плана повинна не только эпоха, но и разбросанность Лейбница, постоянная размена своего гения на мелочи. Вот как оценивает Лейбница человек, который больше других сделал для второго рождения его идей, Норберт Винер.

«Философия Лейбница, писал Н. Винер в своей «Кибернетике», концентрируется вокруг двух основных идеи, тесно связанных между собой: идеи универсальной символики и идеи логического исчисления.

Из этих двух идей возникли современный математический анализ и современная символическая логика. И как в арифметическом исчислении была заложена возможность развития его механизации от абака и арифмометра до современных сверхбыстрых вычислительных машин, так и в calculus rationator Лейбймца содержится в зародыше amchina rationatuix – думающая машина. Сам Лейбниц, подобно своему предшественнику Паскалю, интересовался созданием вычислительных машин в металле. Поэтому совсем не удивительно, что тот же самый умственный толчок, который привел к развитию математической логики, одновременно привел к гипотетической или действительной механизации процессов мышления»^[10].

В другой своей книге Н. Винер пишет о Лейбнице:

«Он интересовался... вычислением при помощи машин и автоматами. Мои взгляды очень далеки от философских взглядов Лейбница. Однако проблемы, которыми я занимаюсь, вполне определенно являются лейбницианскими. Счетные машины Лейбница были только одним из проявлений его интереса к языку вычислений, к логическому исчислению, в свою очередь представлявшему собой, на его взгляд, лишь конкретизацию его идеи о совершенном искусственном языке. Таким образом, даже в своей счетной машине Лейбниц отдавал предпочтение главным образом лингвистике и сообщению»^[11].

После того, что мы узнали о Лейбнице и его работах в области логики, нам нужно уточнить соотношение между «аналитическим» и «механическим» путями развития логики. Ведь остается не ясным, к какому из этих направлений склонялся Лейбниц, занимавшийся и проблемами логической символики, и задачей автоматизации рассуждения.

К соотношению этих двух компонентов одной и той же области исследования нам придется возвращаться еще не раз, поскольку, чем более ясной будет становиться для нас общая картина формирования современных логики и кибернетики, тем лучше и полнее мы будем понимать и указанное соотношение. Но уже теперь мы видим, что оба направления тесно связаны друг с другом. В самом деле, механизация рассуждения при использовании в качестве исходных элементов крупных единиц языка – например, основных положений какой-либо науки – не очень интересна: она дает мало преимуществ по сравнению с выведением следствий «в уме», так как приводит к небольшому числу тривиальных или легко определяемых утверждений. В лучшем случае она обеспечивает лишь определенную стимуляцию размышления – примерно такого типа, как стимуляция, создаваемая приборами Луллия. Гораздо перспективнее вовлечь в автоматизированный процесс переработки значительно более мелкие единицы языка – высказывания или составные части высказываний, подразделить их на типы, изучить свойства каждого типа и сформулировать правила переработки составных выражений, зависящие от типов и порядка расположения в них элементарных частей.

Дело в том, что люди, даже при самых простых рассуждениях (неважно, делаются они в уме или «проговариваются»), оперируют целыми вереницами высказываний, большинство из которых имеет сложный характер, создают разветвленные цепи и замкнутые циклы аргументации, не боятся повторений, обрывают тупиковые ветви аргументации, приводят рассуждение к абсурду или очевидности, после чего быстро «проигрывают» всю эту логическую симфонию в обратном порядке и оставляют в сознании правильные заключения, бракуя неправильные. Чтобы такую работу, хотя бы приблизительно, производила машина, нужно вложить в нее огромное количество мелких логических и языковых элементов, сообщить ей много правил и сложных процедур оперирования.

Поскольку машина может реагировать лишь на знаки (мы не имеем здесь в виду сложной проблемы распознавания зрительных образов машиной; знаки могут быть очень простыми – например, представлять собой набор штифтов, вставляемых в соответствующие отверстия), содержание слов и фраз ей недоступно. Поэтому для устройства сносно работающей логической машины необходима как минимум детально разработанная логическая символика, так сказать, «логический синтаксис», заключающийся в своде правил относительно того, какие сочетания символов могут встречаться вместе (и в каких комбинациях) и какие запрещены, а также «логическая грамматика» – свод правил, по которым одни комбинации (разрешенные) символов перерабатываются в другие комбинации.

Лейбниц, конечно, понимал это, хотя, наверняка, не представлял себе, сколь сложной является задача отвлечения от всего того, что стоит за рассуждениями людей, от философских или богословских постулатов, от внешней реальности, отражаемой в языке, как трудно позабыть обо всем этом, «разъять как труп» формальные логические структуры, с тем чтобы позже, детально изучив их различные допустимые виды, снова собрать воедино в сложном синтезе, в огромном искусственном механизме, способном в специфической форме воспроизводить и усиливать то, что делает человек с помощью мышления и естественного языка. Избежать этой кропотливой черновой работы было нельзя. Но ее начали делать по-настоящему лишь в XIX веке Джордж Буль и другие математики и логики, о которых речь пойдет в следующей главе. И в том же XIX веке была продолжена «механическая» линия развития логики, идущая от Луллия и Лейбница.

Мы познакомимся с одной из логических машин прошлого столетия – с машиной Джевонса. Она была основана на более детально разработанной формализованной логике, чем логические исчисления, которые строил Лейбниц. Это и не удивительно: Джевонс не только хорошо знал труды основоположника математической логики Буля (которые оценивал как «эпоху в человеческом мышлении») и другого известного математика того времени – Августа Де Моргана (1806—1871), но и сам разработал оригинальную систему алгебраического логического исчисления. Последнее и было положено в основу действия его машины.

Уильям Стенли Джевонс (1835—1882), профессор логики и политической экономии в Манчестере, а затем в Лондоне, построил свою машину в 1869 году. Ныне она хранится в Музее истории наук в Оксфорде. Ее демонстрация в свое время вызвала, по-видимому, большой интерес и явилась некоторого рода сенсацией; но она не производила, вероятно, того мистического впечатления, как когда-то прибор Луллия. Времена изменились, и хотя многие люди и в наши дни легко могут поверить в «летающие тарелки», все же престиж научного знания вырос существенно. Поэтому на устройство Джевонса смотрели как на Доказательство торжества точных наук и математики, а не как на таинственный «указатель истины».

Машина Джевонса вызвала интерес и в нашей стране: в конце XIX века у нас была опубликована статья с описанием машины^[12], а в последствии она была воспроизведена в России с некоторыми усовершенствованиями и публично демонстрировалась. Приведем объявление, помещенное в газете «Русские ведомости» от 16 апреля 1914 года:

«Мыслительная машина. В субботу, 19 апреля в большой аудитории Политехнического музея состоится публичная лекция проф. А. Н. Щукарева на тему «Познание и мышление». Во время лекции будет демонстрирована мыслительная машина, аппарат, который позволяет воспроизвести механически процесс человеческой мысли, то есть выводить заключения из поставленных посылок. Машина построена впервые математиком Джевонсом и усовершенствована автором лекции. Результаты ее операций получаются на экране в словесной форме»^[13].

Чтобы пояснить, какого рода логические рассуждения можно было «передать» машине Джевонса, расскажем о его логическом исчислении. Это исчисление было модификацией алгебры логики Дж. Буля, о вкладе которого в интересующую нас область речь пойдет в следующей главе.

Исчисление Джевонса представляло собой некоторую логику равенств, так как каждое высказывание записывалось в нем в виде равенства, то есть выражения вида А = В, где А и В могли быть сложными логическими выражениями. Преобразование равенств производилось по правилу замены равным, известному из школьной алгебры, так как на нем основаны тождественные преобразования алгебраических выражений.

Правило это (его Джевонс называл «принципом замещения») гласит: если верно, что А = В, и об А нечто утверждается (то есть A входит в состав какого-то сложного утверждения, признаваемого верным), то тоже самое должно утверждаться и о В. Как, разъясняет Джевонс, «то, что верно об одной вещи, будет верно и относительно другой, равнозначащей с первой»^[14].

Логика Джевонса была логикой классов; суждения в ней записывались как равенства и истолковывались как высказывания о классах (множествах) предметов. Смысл равенств был следующим:

(1) А = В – простое тождество: множества A и B совпадают. Например, «Равносторонние треугольники = равноугольные треугольники», то есть «Все равносторонние треугольники равноугольны».

(2) A = АВ – частичное тождество: класс A совпадает с пересечением классов А и В^[15].

Например, «Млекопитающие = млекопитающие позвоночные», чему в обычной речи соответствует «Все млекопитающие суть позвоночные».

(3) АВ = АС – ограниченное тождество: тождество B и C ограничено сферой вещей, которые суть A. Например, «Материальное вещество = материальное тяготеющее вещество».

(4) A = АВ' – выражает отрицательное суждение «Ни одно A не есть В». Например, «Элемент = то, что не может быть разложено». Здесь В' – класс, дополняющий B до «класса всех вещей» – универсального класса V.

(5) A = АВ ∪ АС – формула так называемого разделительного (дизъюнктивного) суждения «A суть B или C» («Красный металл есть медь или золото»).

(6) РА = РАВ – формула частного суждения «Некоторые A являются В» («Некоторые металлы имеют меньшую плотность, чем вода»). Здесь β – знак «неопределенного количества»; РА означает какую-то (неопределенную, но фиксированную) часть класса A.

В процессе дедукции в теории Джевонса используются законы тождества, противоречия и исключенного третьего. Закон тождества, в наиболее общей формулировке утверждающий требование неизменности понятий и суждений в процессе рассуждения, передается формулой A = A, где A —любое множество. Закон противоречия, запрещающий признание истинным высказывания и его отрицания, записывается, по Джевонсу, как AA' = Λ (результат пересечения произвольного класса A со своим дополнением есть пустой класс; здесь Λ – знак пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента). Закон исключенного третьего, утверждающий, что если дано высказывание и его отрицание, то по крайней мере оно из них верно (верность того и другого запрещается законом противоречия), Джевонс записывает в виде разделительного суждения A = АВ ∪ АВ'. Эту запись можно иллюстрировать суждением «Вода бывает соленая или пресная (то есть несоленая)» («Вода = соленая вода или пресная вода»). Очевидно, это суждение истинно.

Приведем примеры логических выводов в исчислении Джевонса:

1. Дана посылка A = АВ (например, «Все металлы – элементы», то есть «Все металлы = металлы, являющиеся элементами»); покажем, что из нее выводится суждение AС = ABC («Все жидкие металлы – жидкие элементы»). Возьмем суждение АС = AC, верное по закону тождества.

Поскольку в посылке об A утверждается, что этот класс равен AB, мы можем, пользуясь «принципом замещения», заменить в данном суждении второе вхождение A на AB. и результате получится требуемое заключение.

2. Из B = ВС' и A = АВ следует A = ABC', а отсюда (по действующему в системе Джевонса правилу, позволяющему зачеркнуть в последней формуле букву В) получается A = AС'. Это – модус аристотелевского силлогизма Celarent: «Ни одно B не есть С, все A суть B; значит, ни одно A не есть С».

3. Из посылки «Все A суть B» следует заключение «Ни одно не-B не есть A». В самом деле, из A=AB, присоединяя суждение B' = B'A ∪ B'A'; (по закону исключенного третьего), получает B' = B'AB ∪ B'A'; использование комутативности операции пересечения дает B' = ABB' ∪ A'B'. Поскольку BB' = Λ ( по закону противоречия) и AΛ = Λ (пересечение любого множества с пустым множеством пусто), оказывается, что ABB' = Λ, откуда (в силу того, что Λ ∪ A'B' = A'B') вытекает формула B' = A'B', выражающая рассматриваемое заключение.

Очерченное логическое исчисление и было положено Джевонсом в основу работы его машины. Последняя представляла собой механическое устройство с клавиатурой {и поэтому получила название «логического пианино»). Ее работа основывалась на той идее, что всякое высказывание-посылку можно рассматривать как исключение альтернативных-вариантов; получение заключения из системы посылок состоит в отборе незабракованных альтернатив и в их компактном представлении, удобном для понимания.

Пусть даны три класса A, В и С. Мы можем ввести в рассмотрение класс A, а можем рассматривать дополнение к нему, то есть класс А'; в первом случае мы можем ввести в рассмотрение класс В и взять его пересечение с A, а можем взягь класс В' и т. д. Делая тоже самое для С, мы получим альтернатива (они носят название конституэнт): AВС, AВС', AВ'С, AВ'С',A'ВС, A'ВС', A'В'С, A'В'С'. Если соединить, все конституэнты знаком ∪ то мы получим формулу, выражающую универсальный класс: AВС ∪ ABC' ∪ AB'C ∪ AB'C' ∪ A'BC ∪ A'BC' ∪ A'B'C ∪ A'B'C' = V^[16]. теперь пусть нам даны посылки из приведенного выше примера 2 (модус Celarent): В = ВС' и A = AВ. Их можно записать в другом виде: ВС = Λ (поскольку, если ни одно В не есть С, то пересечение классов В и С пусто) и AB' = Λ (так как если все A суть В, то пересечение A с дополнением к В не может быть не пустым).

Это означает, что альтернативы AВС и A'ВС обращаются в пустой класс в силу первой посылки (поскольку пересечение любого класса с пустым классом дает пустой класс), а альтернативы АВ'С и AВ'С'– в силу второй посылки. Таким образом, мы получаем: (*) AВС' ∪ A'ВС' ∪ A'В'С ∪ A'В'С' = V. Теперь очевидно, что AС должно быть пустым классом (что и будет означать A = AС', то есть «Ни одно A не есть С») – ведь конституэнты AВС и А В'С, объединение которых совпадает с AС, отсутствуют в выражении (*) (поскольку, как мы видели, они «бракуются» нашими посылками).

Набор на клавиатуре машины Джевонса посылок этого умозаключения (клавиатура содержит клавиши для четырех переменных и их отрицаний) приводит к тому, что на ее выходном табло получается заключение. Но на этой машине можно решать и задачи другого рода: представлять логическое выражение в виде набора конституэнт; проверять равносильность выражений; упрощать логические формулы; устанавливать, какие утверждения о данном классе можно выразить в терминах некоторых других классов; определять гипотезы, из которых следует данное выражение; проверять правильность силлогизмов и т. д.

Машина Джевонса не освобождала, однако, логический вывод от участия «человеческой» логики: результат, который выдавала машина, нуждался в переформулировке. Кроме того, машина была логически маломощна, и хотя используя одновременно две машины, можно было решать более сложные задачи, тем не менее возможности придуманных Джевонсом процедур были весьма ограниченными. Главное ограничение состояло в том, что небогатой была сама логическая теория, лежавшая в их основе. Дальнейшее развитие автоматизации логических процедур, как мы увидим, оказалось существенно связанным с развитием самой логики.

3. ОБРЕТЕНИЕ ПИСЬМЕННОСТИ

Математизация логики ведет свое начало от работ Дж. Буля и А. Де Моргана, в которых логика обрела свой алфавит, свою орфографию и свою грамматику. С этого момента она перестала зависеть от породившего ее естественного языка и получила собственные, адекватные своим особенностям, средства выражения. Для логики началась эпоха письменности – ее конструкции стало возможным наносить на бумагу в виде компактных сочетаний символов, в виде формул, и открылась возможность перерабатывать эти сочетания символов по четко определенным правилам.

Как и изобретение письменности для естественного языка, это знаменовало революцию в развитии. Фактически была осуществлена первая часть мечты Лейбница, и хотя до реализации его главной цели – создания «автоматического рассуждения» – оставался еще огромный путь, одна из главных предпосылок достижения этой цели (в той мере, в которой она вообще достижима) была налицо.

Имя Джорджа Буля (1815—1864) в последнее время стало известно даже людям, далеким от математики и логики. Понятие «булевой алгебры» уже знакомо многим нематематикам и нелогикам, а понятие «булевской переменной» вошло в обиход программистов, операторов и всех, кто пользуется ЭВМ. В этом состоит залог бессмертия имени Буля, поскольку кибернетика будет входить в нашу жизнь все шире (точно так же, когда единицу тока назвали ампером, имени великого французского физика навсегда суждено было войти в языки всех народов – вскоре наступил век электричества). Однако при жизни – да и долго после смерти – профессор математики из ирландского города Корка Джордж Буль, автор основополагающих для математической логики трудов «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли» (1854)^[1] не считался человеком, внесшим большой вклад в науку, и его имя было известно лишь узким специалистам.

Такое непризнание заслуг Буля объясняется очень просто: тема, которой он занимался, стояла в стороне от главной линии развития тогдашней математики.

Историк математики Е. Т. Белл в книге «Творцы математики» объясняет оригинальность работ Буля отчасти объективными причинами – тем, что Буль был «островной» математик, жил и работал в Англии, которая благодаря своему изолированному от континентальной Европы расположению не была особенно подвержена господствовавшей математической «моде». Дальше он пишет следующее: «Фактом является то, что британские математики часто спокойно шли своим собственным путем, занимаясь лишь вещами, интересовавшими их лично, – как может интересовать, скажем, игра в крикет, доставляющая удовольствие, – и, получая от этих занятий полное удовлетворение, свысока смотрели на тех, кто во всю силу своих научных легких оповещает мир о сделанных открытиях. В свое время, в эпоху идолопоклонства перед ньютоновским анализом, эта независимость дорого обошлась британской школе, но теперь, при ретроспективной оценке ее достижений, мы видим, что она внесла гораздо больший вклад в математику, чем это случилось бы, если бы она рабски копировала континентальную науку»^[2]. Эти слова, возможно, раскрывают причины самостоятельности научных поисков Буля. Его оторванность от континентальной математики дала ему лишнюю возможность, не сосредоточивая главного внимания на задачах дифференциального и интегрального исчисления (которые тогда считались основными задачами всей математики), глубоко задуматься над конструкциями логики. Джордж Буль обратился к «вечной теме» логики познания, связанной с реальнейшей из реальностей – с конструкциями естественного языка: к выделению из языка логических схем для того, чтобы затем воплотить их тоже во вполне реальные объекты – таблицы, алгебраические формулы.