Соавторы: Ираклий Кутателадзе,Михаил Слуцкий,Александр Аруцев
сообщить о нарушении
Текущая страница: 2 (всего у книги 35 страниц)
Математикой называется наука, изучающая все возможные – хотя бы мысленно – схемы, их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем (схемы схем) и т.д. и т.п. Таким образом, математика не есть наука о моделях окружающего мира, а есть наука о схемах этих моделей. Математики детально изучают имеющиеся схемы моделей и обобщают опыт их применения.
Однако, многочисленность разнообразных схем моделей, накопленных в математике, не позволяет практику (скажем, инженеру) их все знать. Поэтому задача математиков – помочь практике в создании моделей по еще не получившим широкой известности схемам. С этой целью в математике изучаются не только схемы реальных моделей, но и схемы схем, схемы схем схем и т.д. до бесконечности. На практике это выражается в приобретении опыта конструирования схем на примерах решения головоломных, чисто математических задач. В результате очень часто при ответе на какой-нибудь вопрос из практики математик, как фокусник из рукава, вытаскивает нужную схему и вместе с ней решение практической задачи.
Наконец, в математике нужно постоянно придумывать принципиально новые схемы моделей. Иногда – при редкой удаче – это удается сделать, так сказать, «из головы». Но, как правило, эти схемы приходится с большим трудом извлекать из реальных моделей. Каждый раз это – крупный успех, знаменующий скачок в развитии математики, открывающий новое поле работы. Поэтому для развития математики необходимо постоянное обращение к практике.
В последнее время широко распространилось мнение, что внедрение в практику компьютеров резко изменило принципы взаимоотношений математики и других наук. На самом деле это мнение основано на недоразумении. Компьютеризация никак на эти принципы не повлияла. Она лишь сделала безнадежно устаревшими многие излюбленные схемы моделей и позволила разработать другие, более эффективные. В истории математики так происходило уже много раз, и появление компьютеров лишь направило этот процесс по новому пути.
Следует сказать, что та или иная конкретная наука вполне может существовать и даже процветать и без разработанных в математике моделей. Примером являются биология (в которую математические модели только начали проникать) и эстетика (где математика еще не используется). Тот факт, что разработанные в математике схемы моделей – так уж сложилось исторически – ориентированы в первую очередь только на «точные» науки естествознания, является основным дефектом современной математики. Одной из ее первоочередных задач должно быть осмысление «гуманитарных» моделей и создание их общей теории. Эта теория, по-видимому, будет совсем не похожа на привычные математические схемы и, во всяком случае, не будет иметь вид формального исчисления. Основные идеи этой будущей теории не должны заимствоваться из уже имеющихся в математике принципов, а должны возникать из конкретного анализа моделей гуманитарных наук.
Известное противопоставление «физиков» и «лириков» отражает существование двух дополнительных равноправных способов освоения фактов реального мира – рационалистического, выражающегося в системе наук, и эмоционального, выражающегося в системе искусств. Попытки исследования моделей искусства делаются ныне в рамках кибернетики (это так называемые «кибернетические теории искусства»), но их общим дефектом является стремление к дурно понятой «математизации». На самом же деле и здесь общие принципы должны не привноситься извне, а возникать на базе анализа конкретного материала той или иной области человеческой деятельности. В отношении многих математических понятий утверждение, что они являются схемами каких-то моделей, возражений не вызывает. Например, общеизвестно, что уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами – это схема всех моделей колебательного движения, в какой бы конкретной ситуации они не возникали.
Однако, дискуссию вызывает вопрос, как в эту концепцию входит понятие числа. Это действительно трудный вопрос, потому что возникновение понятия числа столь древнее явление, что едва ли остались следы, как люди пришли к этому понятию, т.е. в результате абстрагирования каких моделей оно возникло… Но оказывается, что это не совсем так – следы остались!
Например, они обнаруживаются в японском языке. В этом языке существуют специальные группы числительных, скажем, для круглых предметов, совсем другие числительные для длинных предметов, совсем другие числительные для живых предметов и так далее. С точки зрения, европейской грамматики это оформляется, сейчас, правда, не как различные числительные, а как одни и те же числительные, к которым прибавляются различные суффиксы. Но это вопрос лишь описания этого языкового явления. Можно сделать вывод, что система японских числительных представляет собой некоторый рудимент хода мыслей, в котором люди пришли к абстрактному понятию числа и, где-то на самом первоначальном уровне еще питекантропов, для арбузов была одна система числительных, для дынь – другая, для палок – третья, для людей – четвертая. Конечно, это система далеко не уходила – раз, два, три и все, но, во всяком случае, для каждого набора предметов были собственные слова для их счета. Потом постепенно было замечено, что, можно использовать одни и те же слова для всех предметов круглой формы, но для предметов продолговатой формы остались другие слова. Только на очень высокой ступени развития пришли к той мысли, что вообще конкретная суть предметов роли не играет и счет можно производить в совершенно абстрактной форме.
Таким образом, моделями здесь были процедуры счета конкретных вещей, причем для каждого конкретного вида предметов использовались свои слова. А потом было замечено, что эти процедуры очень схожи, и было выработано понятие числа, как схемы любого конкретного счета.
Глава 1. Язык науки и язык природы
Что такое время, знают вроде бы все. Но ни один человек не может дать понятию «время» однозначное словесное определение, не прибегая к формулировкам типа «масляное масло». И в этом заключается глубокий научный смысл: согласно известной теореме Геделя о неполноте аксиоматического описания, подобные тавтологические конструкции представляют собой неизбежную особенность любого конечного словаря.
Известный философ Августин (354-430 гг. до н.э.) писал: «Я прекрасно знаю, что такое время, пока не думаю об этом. Но стоит задуматься – и вот я уже не знаю, что такое время».
Не правда ли, каждый пытающийся ответить на этот вопрос испытывает сходное затруднение? Когда мы задумываемся о времени, то возникает ощущение, что это неудержимый поток, в который вовлечены все события. Тысячелетний человеческий опыт показал, что поток времени неизменен. Казалось бы, его нельзя ни замедлить, ни ускорить. И уж конечно, его нельзя обратить вспять. Долго понятие времени оставалось лишь интуитивным представлением людей и объектом абстрактных философских рассуждений.
А вот Ричард Фейнман дал в своих лекциях по физике очень простое «определение» времени: «Время – это часы»…
Выдающийся филолог академик Л.В.Щерба придумал забавную фразу, быстро ставшую хрестоматийной: «Глокая куздра кудланула бокра и кудрячит бокренка». Эта фраза звучит совершенно по-русски, совершенно по-русски звучат все составляющие ее слова; более того, мы совершенно ясно понимаем смысл запечатленного в ней образа. И это – несмотря на то, что ни одно слово, взятое само по себе, никакого смысла не имеет.
Смысл этой фразы нам удается понять потому, что любой язык – это не просто набор слов, каждое из которых имеет определенное значение, а набор слов, имеющих определенную конструкцию и сочетающихся друг с другом по определенным правилам, придающим языку в целом смысловую структуру. «Глокую куздру» невозможно буквально перевести ни на один язык мира; но, по-видимому, на любом языке мира можно придумать фразу, имеющую тот же самый смысл.
Природа тоже «говорит на своем языке», но в нем роль слов выполняют различные материальные объекты, взаимодействующие друг с другом по правилам, которые мы называем законами. Эти законы и позволяют передавать языком науки смысл того, что говорит природа, несмотря на то, что ни одно из ее слов не поддается буквальному переводу на человеческий язык. То есть любой ученый похож на переводчика, владеющего лишь правилами грамматики иностранного языка и упорно пытающегося передать своим языком непереводимую игру слов природы (В.Е.Жвирблис).
Время – форма последовательной смены явлений и состояний материи. Время и пространство – всеобщие атрибуты материи, неотделимы от нее, неразрывно связаны с движением и друг с другом. Вот максимум того, что мы можем сказать о времени, не впадая в тавтологию.
По опыту мы знаем, что время течет только в одном направлении, от прошлого к будущему, и поэтому говорим о «стреле времени». Почему нельзя обратить время вспять? А если это возможно, то что произойдет в мире, где прошлое и будущее поменяются местами?
Обычно гипотетический мир, в котором время течет вспять, сравнивают с кинофильмом, пущенным задом наперед. Ведь кинопроектор с движущейся в нем лентой – это своеобразные часы, обладающие способностью наглядно фиксировать последовательность реальных явлений.
Однако это касается далеко не всех событий, например горение свечи, демонстрировавшееся в ускоренном темпе сначала во времени «туда», а затем во времени «обратно». Когда на экране время текло в прямом направлении, в обычном направлении текло и время, измеряемое горящей свечой – ее длина уменьшалась; когда же экранное время обращалось вспять, обращалось вспять и время, отсчитываемое свечой, – она сама собой вырастала из лужицы воска. И все же что-то было не так. Ведь, несмотря на то, что время текло вспять и в кинопроекторе (пленка двигалась в обратном направлении), и на экране (свеча не таяла, а росла), пламя по-прежнему освещало все вокруг! Простое механическое обращение хода времени никак не повлияло на ход времени, направление которого задается процессом превращения энергии из одной формы в другую и определяется законами термодинамики.
Значит, чтобы на экране обратить термодинамическую «стрелу времени», нужно демонстрировать задом наперед не позитив, а негатив фильма! Тогда черное пламя свечи будет, подобно «черной дыре», как бы всасывать в себя электромагнитные волны, испускаемые всеми окружающими телами. Но как эти волны узнают, в каком направлении им надлежит распространяться, да еще строго согласованно друг с другом? Получается так, что обратить термодинамическое время вспять вообще невозможно!
1.1. Категории «микро» и «макро»
Законы механики Ньютона строго инвариантны, неизменны относительно изменения знака времени: замена +t на -t ничего в них не меняет. Поэтому и говорят, что механика обратима, – если мы абсолютно точно зададим начальные координаты и импульсы частиц, то можем узнать сколь угодно далекое прошлое и сколь угодно далекое будущее системы. Не беда, что мы не способны сделать это практически (ни один компьютер не справится с такой задачей), главное, что мы можем это сделать теоретически. В мире И.Ньютона все события раз и навсегда предопределены, это мир строгого детерминизма, в котором нет места случайностям.
А вот согласно второму началу термодинамики, в изолированной системе все процессы протекают только в одном направлении – в сторону повышения энтропии, возрастания хаоса, что сопровождается рассеянием, обесцениванием энергии. Так всегда и происходит на практике: сама собой лучистая энергия пламени свечи может только безвозвратно рассеиваться в пространстве. Однако можно ли этот принцип обосновать теоретически?
Обосновать какое-либо явление теоретически – значит вывести его из возможно более общих законов природы, принятых за основу научной картины мира. Такими законами по праву считаются законы механики Ньютона, и поэтому проблема формулируется следующим образом: как можно вывести необратимость термодинамики из обратимости механики?
Впервые эту проблему пытался решить во второй половине прошлого века Л.Больцман. Он обратил внимание на то, что термодинамическая необратимость имеет смысл только для большого числа частиц: если частиц мало, то система оказывается фактически обратимой. Для того чтобы согласовать микроскопическую обратимость с макроскопической необратимостью, Больцман использовал вероятностное описание системы частиц (это так называемая Н-теорема) и получил желаемый результат. Однако вскоре было показано, что уже само по себе вероятностное описание в неявном виде содержит представление о существовании «стрелы времени», и поэтому доказательство Больцмана нельзя считать корректным решением проблемы.
И вообще существование «стрелы времени» может быть только самостоятельным постулатом, потому что означает нарушение симметрии решений уравнений движения. Но какая физическая реальность соответствует такому постулату? Получается так, что либо из обратимой механики можно вывести только обратимую термодинамику (допускающую возможность «вечного двигателя» второго рода), либо необратимую термодинамику можно вывести только из необратимой механики (допускающей возможность «вечного двигателя» первого рода).
Интересно, что обе эти возможности действительно были испробованы. Сам Больцман пришел к выводу, что вся бесконечная Вселенная в целом обратима, а наш мир представляет собой по космическим меркам микроскопическую флуктуацию. А в середине нашего века пулковский астроном Н.А.Козырев попытался создать необратимую механику, в которой «стрела времени» имеет характер физической реальности и служит источником энергии звезд. Но точка зрения Больцмана допускает возможность нарушения причинности в отдельных достаточно обширных областях Вселенной, а точка зрения Козырева вводит в описание природы некую особую физическую сущность, подобную «жизненной силе».
1.2. «Порядок из хаоса»
Так называется известная книга нобелевского лауреата И.Р.Пригожина, написанная им в соавторстве с историком науки И.Стенгерс. Это название буквально в двух словах характеризует суть исследований, начатых этим замечательным ученым в пятидесятые годы нашего столетия и завершившихся созданием особой, неравновесной термодинамики.
Классическая термодинамика, которую Больцман пытался обосновать с помощью классической же механики, описывает только поведение строго изолированных систем, близких к состоянию термодинамического равновесия, отклоняющихся от него лишь в пределах чисто статистических флуктуаций. В таких системах могут происходить только процессы деструктивного характера, сопровождающиеся неуклонным возрастанием энтропии. Однако повсеместно в природе наблюдаются и процессы самоорганизации вещества, самопроизвольного возникновения из хаоса неравновесных, так называемых диссипативных структур. Наиболее яркими примерами подобных процессов могут служить явления самозарождения жизни и биологической эволюции.
Означает ли это, что в некоторых случаях второе начало термодинамики может нарушаться? Острая дискуссия на эту тему длилась многие годы и, в конце концов, завершилась победой сторонников строгого соблюдения фундаментальных законов природы. Но при этом был сделан ряд существенных уточнений, касающихся не самих законов, а границ их применимости к реальным системам. Так сказать, не самой структуры научного языка, а смысла используемых в нем слов. Например, ревизии пришлось подвергнуть смысл понятия «хаос».
Хаос, царящий в равновесных системах, носит сугубо статистический характер, и мы говорим лишь о вероятности отклонения системы от состояния равновесия. Реакция такой системы на то или иное возмущающее воздействие линейна – она прямо пропорциональна возмущающей силе и стремится вернуть систему в прежнее состояние. Так, если по гладкой трубе с небольшой скоростью течет жидкость, то в ней случайно возникают малые завихрения, но эти завихрения сами собой гасятся, и в целом поток остается упорядоченным, ламинарным.
Но если система сильно неравновесна, то есть обладает значительным избытком свободной энергии, то в ней может возникать хаос особого рода, называемый динамическим; реакция такой системы на возмущающие воздействия нелинейна и может быть сколь угодно большой при сколь угодно малом первичном возмущении. Так, если скорость движения жидкости по трубе превышает некоторую критическую величину, то малейшая неоднородность потока немедленно приведет к катастрофическому превращению ламинарного потока в неупорядоченный, турбулентный.
