Текст книги "Лаплас"

Автор книги: Борис Воронцов-Вельяминов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 19 страниц)

Теория вероятностей

Апаго говорит: «Канцлер императорского Сената, получавший более 100 тысяч ливров годовой ренты, с неменьшим усердием, чем простой академик Лаплас, стремился увязать все неправильности и возмущения в движении светил с принципом всемирного тяготения, распространить метод математического анализа на явления земной физики и подчинить своим формулам явления общественной жизни, в которых обыватель видит тайну или слепой случай».

Этими словами Апаго напоминает о ряде работ Лапласа в области физики, выполненных им с 1808 по 1826 год, и о работах по математической теории вероятностей. Последние в виде прекрасной книги «Аналитическая теория вероятностей» вышли впервые в 1812 году. В 1814 году вышло второе издание этого замечательного труда, к которому в качестве предисловия был помещен «Опыт философии теории вероятностей», вышедший и отдельным изданием. В 1820 году вышло третье окончательное издание трудов Лапласа в этой области, снабженное расширенным предисловием и четырьмя дополнениями.

Теория вероятностей родилась из азартных игр, из стремления установить шансы на выигрыш в той или иной игре, в определенных условиях. Простейшая и наиболее известная игра, основанная на законе случая, – игра в «орла и решку». Если монета представляет собой совершенно правильный цилиндр с центром тяжести, совпадающим с ее геометрическим центром, то вероятность выпадения «орла» при одном бросании монеты такова же, как и для решки. Сумму вероятностей всех возможных событий в каком-либо явления принимают за единицу. Если какое-либо явление имеет вероятность, равную единице, то его надо считать достоверным, т. е. таким, которое обязательно произойдет и совершенно не подвержено случаю. Например, если ежедневный восход Солнца рассматривать с точки зрения его вероятности, основанной на непрерывном наблюдении явления, то вероятность того, что Солнце взойдет завтра, практически равна единице.

Понятие вероятности события, довольно ясное само по себе, в математической теории «случайных» явлений рассматривается как отношение числа шансов, благоприятствующих данному событию, к числу всех шансов.

В случае с монетой вероятность, что при бросании ее не выпадут ни «орел», ни «решка» равна нулю. Вероятность, что выпадет либо «орел», либо «решка», будет равна единице, – это будет достоверность.

В урне лежит сто шаров, из которых один черный, а остальные белые. Какова вероятность того, что, беря наудачу один шар, мы вынем именно черный? Ясно, что каждый шар имеет один шанс быть вынутым, а всего шансов в нашем примере – сто. Вероятность вынуть черный шар равна одной сотой, а вероятность вынуть белый шар равна девяносто девяти сотым, т. е. очень близка к единице, к достоверности. Может, конечно, случиться, что первый же вынутый шар будет черным, но наш математический расчет позволяет утверждать, что если подобный опыт будет продолжаться много сот раз, то на каждые сто опытов черный шар будет вынут лишь один раз. Подобных примеров, обычно более сложных, где дело основано на так называемых «случайных явлениях» в человеческой практике, очень много. Пока не были изучены их об'ективные законы, разные шарлатаны могли широко использовать «случай», создавая условия, на которых вовлекали в свое предприятие простодушных.

Астроном Галлей впервые составил таблицу смертности и этим положил начало статистике. Сочетание статистического материала и элементов теории вероятностей придало им характер подлинной математической науки, могущей иметь громадное практическое значение в самых разнообразных областях жизни.

Основные положения математической теории вероятностей, после ее пионеров – Паскаля и Ферма, были созданы Яковом Бернулли в самом начале XVIII века. Байес и Моавр несколько развили вопросы, рассмотренные Бернулли.

Когда Лаплас приступил к усовершенствованию теории вероятностей (первые попытки он делал еще двадцатилетним юношей), она находилась еще в довольно хаотическом состоянии, и методы, которыми она пользовалась, были элементарны; доказательства теорем получались недостаточно ясными и очень громоздкими.

Лаплас прежде всего пересмотрел эти методы и вместо них дал новые математические методы, внеся в них достижения современного ему анализа, в частности, используя разработанную им самим теорию особых «образующих» функций.

Этим Лаплас сделал свое изложение теории вероятностей простым, ясным и изящным.

Не ограничившись переработкой теории, Лаплас внес в нее много нового. Теорема, носящая его имя, точнее и шире теоремы Бернулли.

Лаплас развил ту отрасль теории вероятностей, которая носит название «Теория ошибок и способ наименьших квадратов» и без которой не может теперь обойтись ни один естествоиспытатель.

Не говоря уже о физико-математических науках, даже биология и физиология постоянно прибегают к содействию этой теории. Эмпирически построенная Лежандром и в особенности Гауссом, эта теория, обоснованная Лапласом, позволяет, например, вычислить точность результата тех или иных подсчетов и наблюдений, позволяет судить о степени достоверности каких-либо численных выводов. Лаплас и Гаусс впервые широко пользовались способом «наименьших квадратов» в вопросах небесной механики и в других.

В «Опыте философии теории вероятностей» Лаплас дает не только блестящее популярное изложение самой теории, но и крупную попытку философского обоснования ее положений и выводов. Тут же Лаплас излагает свои обширные соображения о применении теории вероятностей к явлениям социального характера, но мы их рассмотрим дальше, в связи с общей характеристикой мировоззрения ученого.

В предисловии к русскому переводу «Опыта философии теории вероятностей», изданному столетием позднее, профессор А. К. Власов говорит: «Никому теория вероятностей не обязана столько, сколько Лапласу. Его „Аналитическая теория вероятностей“ составляет своего рода „principia“ по этому предмету. Столетний возраст этого классического сочинения не умалил его значения».

Все физико-математические науки, статистика, биометрия, страхование жизни, страхование от пожаров, страхование грузов, экономика, транспорт, коммунальное хозяйство, словом, почти все отрасли науки, техники и широкой практики пользуются плодами трудов Лапласа в области теории вероятностей и математической статистики.

Теория капиллярности

В этот же период Лаплас уделял много времени вопросам теоретической физики, в частности, теории капиллярности или волосности.

Поднятие жидкости на большую высоту в капиллярных (волосных) трубках, играющее большую роль в физике и обусловливающее питание растений соками земли (посредством капилляров, заключенных между волокнами древесины), казалось довольно загадочным. В течение полутора столетий ученые тщетно пытались создать физическую теорию явления капиллярности, облеченную в математическую форму и согласную с данными наблюдений. Первую попытку создания аналитической теории сделал Клеро в 1743 году, но только Лапласу удалось достигнуть в этой теории известной законченности, сообщить ей истинно научную основу.

Лаплас опубликовал свои первые работы в этой области в двух небольших сочинениях (1806–1807), за которыми последовал ряд более подробных статей в периодических изданиях. Эта теория в своей окончательной форме появилась в четвертом томе «Небесной механики», и не случайно она находится там, поскольку Лаплас рассматривал капиллярность как частный случай всемирного тяготения. Лаплас видит в капиллярности явление взаимного сцепления частиц жидкости и их прилипания к частицам твердых стенок трубки, причем эти силы проявляются лишь при неизмеримо малых расстояниях между частицами. Чем больше сила прилипания, по сравнению с силой сцепления, тем выше поднимается жидкость по трубке и тем более вогнутой оказывается форма мениска (поверхности жидкости в капилляре). Отношение этих сил Лаплас численно определяет по «краевому углу», т. е. углу, образованному между поверхностью жидкости и стенкой трубки. Пожалуй, это была первая правильная мысль о так называемых молекулярных силах, получившая впоследствии в физике широчайшее развитие и практическое применение. Формулы, выведенные Лапласом, дали простой закон, подтверждающийся на практике: высоты поднятия одной и той же жидкости в разных трубках обратно пропорциональны их диаметру.

Наблюдения, которые требовалось произвести для проверки, с большой точностью выполнил Гей-Люссак в доме Бертолле. В связи с этой работой Гей-Люссак изобрел хорошо известный каждому физику катетометр – прибор для измерения малых линейных длин на расстоянии.

Формулами теории Лапласа широко пользуются в технике, исследуя свойства жидкостей, применяемых в машинах.

В 1801 году Лаплас и Бертолле от имени Наполеона пригласили Вольта в Париж. Они приняли участие в комиссии, делавшей перед Первым консулом отчет о действии электрического Вольтова столба, вызывавшего живейший интерес в самых широких кругах.

В этом же году Париж посетил приехавший из Англии Гершель. Он познакомился с Лапласом, который представил его Наполеону. Кстати сказать, Гершель нашел, что астрономические познания Наполеона ниже, чем у английского короля Георга III, хотя Наполеон «делал вид, что знает больше, чем оказывалось на самом деле». Возможно, впрочем, что в этой оценке сказалась ненависть английской буржуазии и английского двора к Наполеону и большее знакомство Бонапарта с математической астрономией Лапласа, чем с наблюдениями великого астронома.

ПОСЛЕДНЕЕ ДЕСЯТИЛЕТИЕ

В эпоху реакции

Последнее десятилетие жизни Лапласа протекало в эпоху реставрации Бурбонов.

В 1814 году Наполеон, проигравший русскую кампанию, побежденный в так называемой войне «за освобождение Европы», брошенный своими подневольными союзниками, с непрерывными боями отступил во Францию. Войска коалиции, обогнав его на три перехода, подошли к Парижу. Франция не была в силах продолжать сопротивление. Двадцатидвухлетние почти непрерывные войны, сперва революционные, потом (со времен Директории) захватнические, вконец истощили страну. На полях сражений погиб цвет французской молодежи, так что в последние годы империи военные контингенты приходилось набирать из мало пригодных, физически недоразвитых подростков. Страдавшее больше всех от рекрутских наборов, изнемогавшее под тяжестью непомерных налогов, крестьянство жаждало мира во что бы то ни стало.

Наполеон лишился также поддержки и буржуазии. Провал континентальной блокады показал французским промышленникам, что победителем из борьбы между старейшим английским капиталом и еще не окрепшим, только-что сбросившим феодальные путы французским выходит не Франция, а Англия. Против Франции выступили те силы, которые в своем развитии были в значительной мере обязаны внешней политике революции и отчасти Наполеона. Уничтожая в захваченных им странах феодальные порядки, Наполеон содействовал развитию в них капитализма, а значит, росту буржуазии, которая под знаменем борьбы за национальную независимость об'единила все слои общества, тяготившиеся иноземным владычеством. Англия, мозг и кошелек всех коалиций, направленных против наполеоновской Франции, умело использовала создавшуюся международную обстановку, и на полях Испании, России, Германии решилась судьба империи.

Перспектива штурма Парижа заставила поколебаться даже Наполеона. Уговариваемый маршалами, не верящий уже в победу над непомерно сильным врагом – всей Европой, Наполеон подписал отречение. Пока это происходило в Фонтенебло, «великий изменник» князь Талейран, действуя по указке союзников, с которыми он находился в тайных сношениях, наскоро созвал в Париже часть сенаторов, на которых мог положиться, и заставил их голосовать за низложение династии Бонапартов и за призвание Бурбонов на трон, с которого четверть века тому назад их сверг народный гнев.

Лаплас одним из первых присоединился к постановлению сенаторов. Маршал Ней, представитель Наполеона в переговорах с императором Александром, возглавлявшим европейскую коалицию, узнав о решении Сената, гневно воскликнул: «Этот презренный Сенат всегда торопился повиноваться воле человека, которого он теперь называет тираном! По какому праву Сенат возвышает теперь голос? Он молчал тогда, когда обязан был говорить; как он позволяет себе говорить теперь, когда все повелевает ему молчать?».

Наполеон принужден был отречься за себя и за малолетнего сына, освободив своих «подданных» от присяги, предоставив им право легально перейти к новому или, вернее, к старому «хозяину» – королю из династии Бурбонов.

Когда весной 1815 года, воспользовавшись недовольством в стране против Бурбонов и разногласиями между участниками Венского конгресса, Наполеон неожиданно и победоносно вернулся во Францию, Лаплас стремился не появляться на политической арене.

В течение «ста дней» он сидел почти безвыездно в Аркейле и в противоположность многим своим знакомым не показывался Наполеону на глаза. Сделать это было тем более легко, что Наполеон из этих коротких «ста дней» успел провести в столице очень мало времени. Он снова ринулся в бой с Европой, и на полях Ватерлоо потерял все.

Почему Лаплас избегал Наполеона, тогда как тысячи людей, изменивших ему год назад, теперь снова его приветствовали и получили «прощение»? Мешало ли этому неловкое чувство при воспоминании о былых личных отношениях с императором? Гораздо вероятнее, что Лаплас и на этот раз решил благоразумно выждать, чтобы убедиться в прочности возродившейся империи.

Ждать ему пришлось недолго. После вторичного отречения Наполеона Лаплас одним из первых снова принес присягу верности дому Бурбонов.

Бурбоны, водворенные во Франции силой иностранных штыков, не рисковали покуситься на те социальные завоевания революции, которые не сумела задушить империя Наполеона. По решению же Венского конгресса, вызванному боязнью новой революции, Людовику XVIII пришлось пойти на установление умеренно-конституционной монархии. Опираясь на бывших эмигрантов-дворян, щедро осыпая их наградами за «верность трону», Бурбоны вместе с тем были непрочь привлечь к себе тех из выдающихся людей страны, которые не отличались политической принципиальностью и готовы были служить Реставрации если не за совесть, то за титулы и деньги.

В первый же год царствования Людовика XVIII Лаплас получил большой крест Почетного Легиона, титул маркиза и звание пэра Франции. Бертолле и Гей-Люссак тоже стали маркизами и пэрами, Фурье– бароном и т. д. и т. д.

Особое доверие реставрированной монархии к Лапласу выразилось в назначении его в 1816 году президентом Бюро долгот и председателем комиссии по реорганизации Политехнической школы. В следующем году Лаплас, как блестящий писатель-стилист, был избран в число сорока «бессмертных», т. е. стал членом французской Академии – так при Людовике XVIII был переименован разряд французского языка и литературы института. Декретом 21 марта 1816 года были по старому переименованы в академии и другие разряды института. Общее название института было сохранено, но Академия наук, занимавшая при Наполеоне первое место в институте, была поставлена теперь на предпоследнее место в ряду академий. Реакционная монархия видела, конечно, меньше пользы от науки, чем молодая буржуазная государственность, внедрявшая научные методы в свою промышленность.

Покорность института Наполеону дала королю основание в порядке административного произвола исключать из академий людей, неугодных новому режиму. Такие ученые, как Монж, Карно, Гитон де Морво, Лаканаль и другие, были изгнаны из Академии. В остальном устав института был сохранен почти без изменения. Этот устав, пополненный введением в 1832 году разряда «гуманитарных наук» (закрытого Наполеоном), действует во Франции по настоящее время.

Не проявляя попрежнему большой политической активности, Лаплас все же несколько раз выступал в палате пэров с речами, не имевшими большого значения, но доказывавшими желание Лапласа заслужить репутацию убежденного монархиста. За несколько месяцев до своей смерти Лаплас, сославшись на болезнь, отказался председательствовать и обсуждать в заседании института протест против введения Карлом X цензуры произведений печати. Когда протест этот был все-таки вынесен, Лаплас к нему не только не присоединился, но даже напечатал специальное заявление, что он не принимал никакого участия в этом деле.

Реакционное поведение Лапласа вызвало град насмешек в печати, и Сен-Симон, негодуя на него и подобных ему, писал: «Господа, изучающие неорганизованную материю, бесконечно малые величины, алгебру и арифметику, кто дал вам право занимать теперь передовые научные позиции?.. Вы вынесли из науки только одно наблюдение, именно, что тот, кто льстит великим мира, пользуется их благосклонностью и щедротами».

Говорят, что эти справедливые обвинения ухудшили течение болезни Лапласа, но, зная, что Лаплас всегда держал «нос по ветру» и мало реагировал на обвинения, даже более серьезные, этим слухам трудно поверить. Разве в первый раз Лаплас и его друзья меняли свое знамя?

Любопытно, что Шарль Лаплас унаследовал от своего отца, кроме способностей (не давших, однако, ничего ценного для человечества), ту же ловкость всплывать на поверхность при всех политических переворотах, которыми было богато к его время. В 1809 году Шарль окончил военную школу и, как офицер артиллерии, участвовал в войнах императора, а некоторое время был его ад'ютантом. Из уважения к заслугам отца он попал в 1827 году в палату пэров, а в 1830 году безболезненно присоединился к июльской монархии, сделавшей его генерал-лейтенантом. Переворот 1851–1852 года генерал Шарль Лаплас принял с привычным радушием и немедленно получил от Наполеона III должность сенатора. Умер он восьмидесяти пяти лет от роду – еще более глубоким стариком, чем его знаменитый отец.

Работы по звуку и свету

Политические перемены ни в малейшей мере не повлияли на научную работу Лапласа. С прежним энтузиазмом и усидчивостью старик работал над теорией вероятностей, изучал теорию света и звуковых колебаний и за год до своей смерти подготовлял к печати пятый том «Небесной механики». Маркиз не менее горячо относился к исследовательской работе, чем канцлер империи или учитель провинциальной Бомонской школы.

Изучению звука Лаплас посвятил много труда. Интерес к этой области физики, которой Лаплас занимался преимущественно в начале реставрации Бурбонов, возник у него еще в 1809 году, когда немецкий ученый Хладни приезжал в Париж и знакомил французский институт со своими работами. Лаплас и Бертолле представили Хладей Наполеону, перед которым ученый повторил свои знаменитые опыты и продемонстрировал клавицилиндр – прибор, состоявший из деревянных стержней, которые при помощи особой клавиатуры прижимались к вращавшемуся стеклянному цилиндру и издавали непрерывные, медленно нарастающие и убывающие звуки. Устройство цилиндра Хладни держал в секрете. Изобретатель нашел способ делать видимыми колебания вибрирующих и издающих звук пластинок. Он насыпал на пластинку песок, после чего проводил по ее ребру смычком; песок собирался на пластинке в правильные геометрические фигуры, носящие теперь его имя. Наполеон подарил немецкому ученому некоторую сумму, и его фраза: «Хладни дал нам видеть звуки» – повторялась всей Европой.

Правда, эти опыты мало способствовали развитию акустики (науке о звуке), но, по отзыву Хладни, они произвели большое впечатление на французских ученых, в особенности на Лапласа.

Действительно, кому как не ему, великому геометру и механику, было особенно любопытно видеть, как явление звука, выражаясь в правильных механических колебаниях твердых тел и воздуха, образует симметричные фигуры, доступные математическому анализу. Это привлекло Лапласа к изучению звука, а с его легкой руки акустикой занялись и его ученики, в особенности Био, сильно продвинувший ее вперед.

Скорость распространения звука в воздухе была выведена еще Ньютоном, но его формула не соответствовала опытам. Попытки объяснить причину этих расхождений были неудачны, пока за это дело не взялся Лаплас, правильное об'яснение которого сохранило силу до наших дней.

По словам Ле Конта, Лаплас уже в 1800 году заметил, что изменения температуры воздуха, связанные с изменениями его плотности в звуковых волнах, изменяют упругость воздуха больше, чем его плотность; это должно повышать скорость звука. Свою мысль он тогда же сообщил Био, но тому не удалось (как показал Пуассон) правильно разобрать это явление с математической стороны. Лапласу самому пришлось много поработать, прежде чем он смог дать точный результат и решение задачи: «Скорость звука равна скорости ее, даваемой формулой Ньютона, но умноженной на корень квадратный из отношения удельных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и постоянном об'еме».

Интересно, что отношение этих теплоемкостей долго не могли определить с точностью, и выводы Лапласа, опередившие экспериментальную физику, некоторые физики пытались оспаривать в течение половины столетия, пока не убедились в своей неправоте.

Работу по звуку Лаплас закончил в 1816 году, и его формула имеет сейчас обширное применение в метеорологии, физике и химии (например, при определении атомности газовых молекул).

В свете современной науки иначе приходится расценивать исследование Лапласа и его друзей по теории света. Описываемый период был периодом жестокой борьбы двух теорий света – старой теории истечения света, выдвинутой Ньютоном, и новой – волновой теории света, защищаемой молодым физиком Френелем.

Ньютон считал, что свет представляет собой истечение вещественных частиц с поверхности светящегося тела. Лаплас, как убежденный ньютонианец, и в своем воззрении на свет усвоил точку зрения Ньютона: он придерживался теории истечения.

В начале XIX столетия был открыт ряд световых явлений, не совместимых со старой теорией истечения света и вызвавших ожесточенную борьбу за признание новой теории. Она утверждала, что свет распространяется в среде мирового эфира посредством волн.

Эта волновая теория Декарта, разработанная затем Гюйгенсом и Эйлером, была оставлена. Поэтому ее можно было считать новой теорией. Толчок к развитию новых мыслей дали новые исследования ряда световых явлений.[15]15
  Цветов тонких пластинок, явлений диффракции, интерференции и поляризации.


[Закрыть] Изучение световых явлений протекало особенно успешно в Аркейльском обществе, где Малюс, Био и Апаго произвели ряд исследований.

Лаплас, приняв участие в разгорающейся борьбе, выступил на защиту теории истечения, но упрекать его за это, как часто делают, не совсем основательно. Лаплас восстал против волновой теории света, выдвинутой Френелем, не за ее новизну, а потому, что она ему казалась менее обоснованной. Его взгляд подтверждался конкретными исследованиями.

В 1809 году Лаплас об'яснял преломление света притяжением световых молекул частицами преломляющего тела и отсюда очень удачно об'яснил явления двойного лучепреломления, наблюдаемого в некоторых кристаллах.[16]16
  Двойным лучепреломлением называется следующее явление, наблюдаемое в некоторых кристаллах: пропускаемый через кристалл один луч света выходит из него уже в виде двух разных световых лучей.


[Закрыть]

Био развил эту теорию и применил ее также к явлениям поляризации, открытой им независимо от Малюса. Защитники волновой теории не могли добиться такого успеха, тем более, что Лапласу и Био удалось об'яснить своей теорией даже те явления оптики, которые открывались позднее, чем они эту теорию выдвинули. Однако в их руках теория истечения дошла до того предела, до которого ее можно было довести, и все же об'единить все об'ясненные ею явления единым принципом она не могла.

Френель же, на сторону которого активно перешел Апаго, добился в конце концов успехов, исходя из волновой теории. Ему пришлось, однако, допустить, что направление колебаний в световом луче перпендикулярно направлению распространения света. Многим, в особенности Лапласу и Пуассону, эта мысль показалась нелепой. Впрочем, и сам Френель положил эту мысль в основу своей теории лишь в 1821 году, убедившись вполне в ее плодотворности и допустимости с механической точки зрения. Есть свидетельства, что Лаплас своим авторитетом задержал опубликование окончательной работы Френеля и блестящий отзыв о ней комиссии института, состоявшей из Апаго, Ампера и Фурье. Действительно, заключение комиссии было вынесено в 1822 году, а вышло в свет только в год смерти Лапласа (1827). Однако о поперечности световых колебаний, многим казавшейся чудовищной, и комиссия и ее глава высказываются еще очень осторожно.

Лаплас не был единственным из тех, кто умер, «не обратившись в новую веру». Если наряду с большинством современников и он признавал волновую теорию света ошибочной, то назвать его реакционером в науке поэтому еще нельзя.

Волновая теория стала общепринятой лишь спустя много лет после смерти Френеля и Лапласа.

Интересно отметить, что и современные физики допускают возможность пользоваться наряду с волновой теорией и так называемой квантовой теорией света, до известной степени напоминающей ньютоновскую теорию истечения.

Эти работы по оптике, занятия теорией вероятностей и подготовка к печати последнего тома «Небесной механики» были последними научными работами Лапласа. Уже в 1825 году его крепкое здоровье значительно пошатнулось.