Текст книги "Гейзенберг. Принцип неопределенности. Существует ли мир, если на него никто не смотрит?"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 10 страниц)

ihψ=Hψ

Рассмотрим использованные символы. Буква i обозначает мнимую единицу, то есть sqrt(-1). Буква h – редуцированную постоянную Планка h/2π. Точка над буквой, обозначающей функцию, – сокращенный способ обозначения производной по времени. В правой части уравнения записана функция Гамильтона H = T+V, равная сумме кинетической и потенциальной энергии системы. При рассмотрении электрона в атоме водорода кинетическая энергия, которая в классической физике определяется как Т = р²/(2m), задается оператором

в котором содержатся вторые дифференциалы волновой функции относительно пространственных координат (х, у, z). Потенциальная энергия рассчитывается по закону Кулона: V= -е² /r. Шрёдингер был весьма удивлен появлению числа i, так как был убежден в «вещественности» волновой функции. К одной из своих статей он добавил комментарий, в котором упомянул Паули и его особое чувство юмора:

«Откуда мог взяться sqrt(-1) в этом уравнении? Возможный ответ, который я не осмелюсь привести здесь в общем виде, дал физик, который некоторое время назад покинул Австрию, но […] не оставил свой утонченный венский юмор и всегда умеет найти подходящее слово. Его ответ был таков: sqrt(-1) «проскользнул» в уравнение (4"), словно бы мы дали ему проскочить туда случайно. Тем не менее эта случайность заставила нас почувствовать огромное облегчение».

На языке математики электрон в атоме описывается волновой функцией, обозначаемой греческой буквой (пси). Эта функция является решением дифференциального уравнения в частных производных, которое называется уравнением Шрёдингера.

Возможно ли, что природа столь абсурдна, как нам кажется во время экспериментов по атомной физике?

Этим вопросом часто задавался Гейзенберг после обсуждения квантовой механики с Бором.

Эйнштейн написал Шрёдингеру такие строки: «Я убежден, что вы, предложив свою формулировку квантового состояния, совершили решающий прорыв, равно как я убежден в том, что метод Гейзенберга – Борна ошибочен». Однако Эйнштейн оказался неправ: сам Шрёдингер отмечал, что матричная и волновая механика с математической точки зрения абсолютно эквивалентны, несмотря на различия в предпосылках, идеях и методах. В матричной механике электрон считается частицей. Классические непрерывные переменные в ней заменялись матрицами, зависящими от двух целочисленных индексов, а классические уравнения замещались алгебраическими. Волновая механика – это, напротив, теория непрерывного, в которой электрон рассматривается как волна. Динамическое уравнение – это уравнение в частных производных, содержащее загадочные квантовые условия старой классической квантовой теории. Однако и матричная, и волновая механика приводили к одинаковым результатам. Как подчеркнул Шрёдингер, превосходство одной теории над другой было «по сути, второстепенным вопросом, связанным с удобством вычислений».

Эквивалентность матричной и волновой механики независимо друг от друга доказали два физика: Паули ограничился тем, что сообщил об этом Йордану в письме, а американский физик Карл Эккарт опубликовал свое доказательство в научном журнале. Подобное часто происходило в науке: когда несколько ученых одновременно работают над одной задачей, они могут найти решение независимо друг от друга и даже предложить совершенно разные формулировки основной идеи новой теории. И действительно, за короткий период было создано несколько различных формулировок квантовой механики. К примеру, необычные правила умножения, описанные Гейзенбергом, в которых результат зависит от порядка множителей, привлекли внимание английского физика Поля Дирака, который сразу же увидел в них аналогию со скобками Пуассона – одним из способов записи классических уравнений движения. На основе этой аналогии Дирак разработал собственную квантовую механику. Борн получил копию рукописи Дирака вскоре после того, как Гейзенберг и Йордан завершили строгое описание матричной квантовой механики. «Я прекрасно помню, что это стало одним из величайших сюрпризов во всей моей научной работе». И действительно, многие результаты, полученные в Гёттингене, Дирак вывел совершенно иначе. Спустя некоторое время, в 1926 году, Дирак и Йордан, вновь независимо друг от друга, разработали более общую формулировку, в которой состояния и наблюдаемые величины описывались соответственно с помощью векторов и операторов в рамках гильбертового пространства. Матричная и волновая формулировки представляли собой частные случаи этой абстрактной концептуальной схемы. Позднее, в 1942 году, Ричард Фейнман в своей докторской диссертации представил еще одну формулировку квантовой механики, в которой одновременно рассмотрел все возможные траектории, вдоль которых следует частица при перемещении из одной точки в другую. Как видите, фундаментальные физические законы могут быть сформулированы разными, но полностью эквивалентными способами.

Квантовые вероятности

Шрёдингер считал, что его волновая механика поможет разрешить проблему квантовых скачков. Для него волновая функция электрона в атоме водорода должна была включать суперпозицию волн с очень близкими частотами, которые на техническом языке называются волновым пакетом. Объем, связанный с этим пакетом, должен был в некотором роде соответствовать размеру электрона. Шрёдингер был убежден, что квантовый переход – это простой обмен энергией между двумя различными видами колебаний. Для него эта модель больше соответствовала интуитивным представлениям, чем электрон, «перепрыгивающий» с одного уровня на другой. Однако эта интерпретация была несогласованной, так как волновой пакет со временем расширяется и в конечном итоге электрон должен будет занять все доступное пространство. При всей эквивалентности матричной и волновой формулировок интерпретации их авторов были несовместимы.

Изначально Гейзенберг отнесся к волновой теории довольно неприязненно. Возможно, это было связано с соперничеством, желанием защитить свое творение. В июле 1926 года Зоммерфельд пригласил Шрёдингера в Мюнхен, чтобы тот рассказал о своих заключениях. Гейзенберг отменил поездку к родителям и специально приехал на эту встречу, чтобы выступить с критикой Шрёдингера, подчеркнув те моменты, которые, по его мнению, нельзя было разрешить с помощью волновой механики. Однако матричная механика также не давала необходимых ответов. Вильгельм Вин, присутствовавший в зале, пришел в ярость. Он сказал, что чувства Гейзенберга понятны: неприятно видеть, что несогласованная матричная квантовая механика оказалась устаревшей. Однако, добавил он, Гейзенбергу предстоит еще многое узнать, так что будет лучше, если он сядет на место и замолчит. Как видите, Вин не забыл о провале Гейзенберга во время защиты докторской.

Борн смотрел на ситуацию иначе. Он сразу понял, что формализм Шрёдингера намного лучше, чем матричная механика, подходил для описания частицы, направленной в мишень. Однако Борн также выступил с критикой физических моделей Шрёдингера, так как, по его мнению, ученый попытался вернуться к классической непрерывной теории. Борн предложил «сохранить только формальную сторону этой теории и наделить ее новым физическим смыслом». В июне 1926 года он опубликовал работу о столкновениях квантовых частиц, в которой впервые описал понятие квантовой вероятности. Борн считал, что при изучении столкновений следует отказаться от детерминистского подхода и говорить исключительно о вероятности, с которой частица будет отклоняться в заданном направлении.

Гейзенберг на конференции, 1924 год.

Памятник, установленный на немецком острове Гельголанд.

Макс Борн (слева) и Вольфганг Паули.

Чем больше я размышляю о физической составляющей теории Шрёдингера, тем ужаснее она мне кажется.

Гейзенберг в письме к Паули о попытках Шрёдингера вернуться к классическому толкованию волновой теории

Эта вероятность задается волновой функцией Ψ(x), описывающей динамику частицы. Точнее говоря, вероятность того, что частица будет заключена в малом объеме ΔV вокруг точки с координатой х, определяется произведением Ψ(x)|²ΔV Таким образом, с течением времени электрон не занимает все доступное пространство (этот абсурдный вывод следовал из интерпретации Шрёдингера), а всего лишь увеличивается вероятность обнаружить его в любой точке пространства, и эта вероятность постепенно достигает единицы. Появление вероятностей ознаменовало поворотный момент в дискуссиях об интерпретации квантовой механики. Для физиков из Гёттингена и Копенгагена квантовая теория по своей сути была недетерминированной, а следовательно, вероятностная природа была одной из ее важнейших характеристик.

Спин электрона

Описание атомных явлений было завершено с открытием спина электронов. Все началось с того, что в 1924 году Паули занялся изучением модели каркаса атома. Напомним, что в этой модели атом состоит из каркаса, включающего атомное ядро и электроны внутренних уровней, и электронов внешних уровней, связанных с ядром не столь сильно. В объяснении аномального эффекта Зеемана, предложенном Гейзенбергом, момент импульса, слабо связанный с магнитным полем внешних электронов, делился между этими двумя частями атома. Паули не нравилась идея о разделении момента импульса, и он предположил, что электрон описывается четырьмя квантовыми числами: три из них уже были описаны в модели Зоммерфельда, а новое, четвертое, могло принимать одно из двух значений. Паули сформулировал принцип, который сегодня носит его имя: атом не может содержать двух электронов с одинаковыми квантовыми числами. Так стала понятна трактовка периодической системы элементов, предложенная Бором, в которой каждому энергетическому уровню соответствовало определенное число электронов.

На основе результатов Паули голландские физики Сэмюэл Абрахам Гаудсмит и Джордж Юджин Уленбек определили понятие спина электрона. Продолжая аналогию с планетарными системами, они указали, что электрон может вращаться вокруг себя, и это вращение можно измерить. Кроме того, Гаудсмит и Уленбек увидели, что для объяснения двойных линий спектра щелочных металлов требовалось, чтобы соответствующее квантовое число принимало только значения +1/2 и -1/2 и измерялось в тех же единицах, что и редуцированная постоянная Планка % Так воедино были связаны полуцелые числа, модель каркаса атома, принцип Паули и результаты экспериментов. Кроме того, Гейзенберг и Йордан показали, что учет спина электрона в квантовой механике позволял однозначно разрешить эффект Зеемана.

Однако как представить себе электрон, вращающийся вокруг себя? Если электрон подобен точке, то как понимать вращение точки вокруг себя? Если же электрон имеет размер, то скорость точки на экваторе электрона превысит скорость света. Также возникает вопрос, почему электрон не взрывается под действием сил отталкивания между его частями. Аналогии с классической физикой приводили и к другим проблемам подобного рода. Следовало предположить, что спин – это еще одно свойство электрона, подобное его массе, электрическому заряду или магнитному моменту Гейзенберг смог прояснить одно интересное свойство атома гелия. Анализ его спектра выявил существование двух разных последовательностей линий спектра. Ученый посчитал, что, возможно, существуют две разновидности гелия, которые назвал парагелием и ортогелием. Расскажем, как рассуждал Гейзенберг. Сначала он заметил, что электроны неразличимы между собой. Следовательно, волновая функция множества идентичных электронов должна обладать какими-либо свойствами симметрии, отражающими эту особенность электронов.

Опасность классических аналогий

Классические аналогии помогают понять квантовую физику, однако их буквальное применение становится причиной противоречий. В качестве примера приведем сравнение спина электрона с вращательным движением электрона вокруг оси. Рассмотрим сферу с радиусом R и массой М, которая вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со (угловая скорость определяется как число оборотов в единицу времени). Скорость точки на экваторе сферы рассчитывается как произведение угловой скорости и радиуса сферы V = ω•R. Момент импульса, связанного с вращательным движением (он представляет собой вектор, сонаправленный с осью вращения), можно записать как произведение момента инерции сферы

и угловой скорости: L = l•ω. Таким образом, мы можем связать скорость точки на экваторе сферы с моментом импульса вращения:

Подставим в указанную формулу параметры электрона и рассмотрим значение скорости. Если мы свяжем момент импульса со спином электрона, то получим L =h/2. В международной системе единиц (метрах, килограммах и секундах) h = 10³⁴ и М = 9•10³¹ . Чему может быть равно значение R? Оно должно быть меньше размера атома и меньше фемтометра (10¹⁵ м) – именно такие размеры имеет ядро атома. Подставив эти числа в предыдущее выражение, получим, что скорость точки на экваторе будет более чем в 500 раз превышать скорость света в вакууме.

Если же принять, что радиус электрона еще меньше, то скорость точки на его экваторе будет еще больше. Иными словами, если сравнить спин электрона с вращением тела вокруг своей оси, то результат будет противоречить теории относительности – никакое тело не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Таким образом, результаты квантовой механики не всегда можно истолковать, основываясь на классических аналогиях.

Гейзенберг обнаружил, что волновая функция должна быть антисимметричной (иными словами, она должна менять знак) при замене двух идентичных электронов, так как только в этом случае будет выполняться принцип Паули.

Допустим, что электроны могут находиться в двух квантовых состояниях, которые мы обозначим буквами a и b. Волновую функцию можно будет записать как a(1)b(2), иными словами, электрон 1 будет находиться в состоянии a, электрон 2 – в состоянии b. Но так как электроны 1 и 2 идентичны, различие между ними произвольно: мы могли записать волновую функцию в виде а(2) b(1). Наиболее общим представлением волновой функции будет линейная комбинация обоих вариантов, то есть два выражения:

a(1)b(2) + a(2)b(1)

и

a(1)b(2)-а(2)b(1),

которые отличаются между собой только знаком. Если мы поменяем местами индексы 1 и 2 или состояния a и b, то в первом случае получим ту же линейную комбинацию, во втором – ту же линейную комбинацию, но с противоположным знаком. Эти комбинации называются симметричной и антисимметричной к смене индексов частиц и состояний соответственно. Какое из этих двух выражений удовлетворяет принципу Паули? Если мы рассмотрим два электрона в одинаковом состоянии, то результат антисимметричной комбинации будет равен нулю. По всей видимости, именно в ней учитывается принцип Паули. Этот простой пример иллюстрирует более общий результат для системы из множества электронов: волновая функция этой системы должна быть антисимметричной, то есть менять знак при смене индексов любых двух электронов.

Вернемся к атому гелия и уточним описанные выше обозначения. Волновая функция каждого электрона представляет собой произведение пространственной части, в которой для обозначения трех квантовых чисел используются буквы n и m, и спиновой части. Для обозначения пространственной части волновой функции используем греческую букву φ(фи) и будем записывать φ_n(1) и φ_m(2). В спиновой части два возможных состояния спина обычно обозначаются греческими буквами альфа и бета, поэтому будем записывать α(1) и β(2).

Волновая функция для двух электронов будет записываться так:

φ_m(1)φ_n(2)α(1)β(2) – φ_m(2)φ_n(1)α(2)β(1).

Это в самом деле антисимметричная комбинация: при смене индексов электронов мы получим тот же результат, но с противоположным знаком. Кроме того, если обозначения состояний равны, итоговый результат равен нулю. Таким образом, принцип Паули выполняется.

Данному принципу удовлетворяет и следующая линейная комбинация:

[φ_m(1)φ_n(2) + φ_m(2)φ_n(1)] • [α(1)β(2) – α(2)β(1)].

Это произведение симметричной комбинации пространственных частей и антисимметричной комбинации спиновых частей. Аналогично определяется следующая комбинация:

[φ_m(1)φ_n(2) – φ_m(2)φ_n(1)] • [α(1)β(2) + α(2)β(1)].

Она обладает обратными свойствами симметрии и определяется как произведение антисимметричной комбинации пространственных частей на симметричную комбинацию спиновых частей. Можно убедиться, что суммы этих двух новых линейных комбинаций за исключением общего множителя равны первой волновой функции, записанной нами для двух электронов. Однако новый способ записи содержит больше физической информации. Гейзенберг показал, что эти новые выражения описывают два разных множества состояний атома гелия, а именно линии спектра парагелия и ортогелия. В первом случае спиновая часть антисимметрична и соответствует синглетному состоянию – единственному состоянию общего спина. В примере с ортогелием спиновая часть симметрична, что соответствует триплетному состоянию, то есть трем возможным состояниям с одним и тем же значением общего спина. Следовательно, загадка двух видов гелия объясняется, если мы рассмотрим спин электрона: два вида гелия соответствуют двум возможным сочетаниям этих спинов.

Гейзенберг применил эти же идеи при изучении молекулы водорода, содержащей два протона и два электрона, и предсказал существование двух форм водорода, которые также назвал параводородом и ортоводородом. Они были открыты в 1929 году. Это два состояния молекулы с различным общим спином, которые сосуществуют при определенной температуре окружающей среды. Соотношение параводорода и ортоводорода равно 1:3. Как указано в заявлении Нобелевского комитета, Гейзенберг получил Нобелевскую премию по физике «за создание квантовой механики, применение которой привело, в частности, к открытию аллотропных форм водорода».

Квантовая неопределенность

В мае 1926 года Гейзенберг вернулся в Копенгаген – ему предстояло провести целый год в роли помощника Нильса Бора. К этому времени он уже достаточно хорошо говорил по-датски, чтобы преподавать. Бор был рад его возвращению и в письме к Резерфорду сообщал: «Приехал Гейзенберг, и все мы очень заняты обсуждением нового пути развития квантовой механики и перспектив, которые она открывает перед нами».

Как-то раз немецкий посол в Копенгагене пригласил Гейзенберга в свою резиденцию на музыкальный вечер – один из его сыновей, Карл Фридрих фон Вайцзеккер, интересовался физикой и захотел увидеть талантливого ученого. Гейзенберг постоянно общался с юными скаутами, поэтому легко завязал дружеские отношения с сыном посла, хотя тот был на 10 лет младше и учился в средней школе. Много лет спустя Вайцзеккер защитил докторскую диссертацию под руководством Гейзенберга и стал одним из его немногих близких друзей.

Бор пригласил Шрёдингера обсудить интерпретацию квантовой механики. Как вспоминал Гейзенберг, спор между учеными начался уже на вокзале Копенгагена и продолжался каждый день с утра до позднего вечера. Шрёдингер жил в доме Бора, и укрыться от дискуссий ему было некуда. И даже когда он, заболев, провел несколько дней в постели, Бор сидел у изголовья и продолжал спор. Позже Бор не раз вспоминал, как эта встреча повлияла на развитие его взглядов. После отъезда измученного Шрёдингера интерпретация квантовой механики стала главной темой бесед Бора и Гейзенберга на следующие несколько месяцев. Эти беседы были посвящены корпускулярно-волновому дуализму.

Вы уже знаете, что отправной точкой при создании матричной механики было представление об электроне как о частице, отправной точкой волновой механики – представление об электроне как о волне. Обе модели непротиворечивы и эквивалентны с математической точки зрения, однако это не помогало определить, что же такое электрон – частица или волна. Бор настаивал на том, что эти взаимоисключающие модели могут существовать одновременно, и считал, что они необходимы для полного описания физических явлений на атомном уровне. Продолжительные дискуссии совершенно вымотали и Бора, и Гейзенберга, и в конце февраля Бор отправился в отпуск в Норвегию. Вскоре после этого Гейзенберг открыл свои знаменитые неравенства.

В марте 1927 года ученый пишет в Копенгагене еще одну, крайне важную статью «О наглядном содержании квантовотеоретической кинематики и механики», где приводит соотношения, описывающие принцип неопределенности. Основная идея статьи приводилась в ее начале:

«Если мы хотим себе уяснить, что следует понимать под словом «положение объекта», например электрона (по отношению к заданной системе отсчета), необходимо указать определенные эксперименты, при помощи которых намереваются определить «положение электрона»; в противном случае это слово не имеет смысла».

Гейзенберг писал, что смысл физической теории заключен не в математических уравнениях, а в новых понятиях и их значении. До начала XX века основу физики составляла классическая механика Ньютона. В теории относительности были переопределены понятия пространства, времени и массы и продемонстрированы их ограничения при скоростях, сравнимых со скоростью света. Согласно Гейзенбергу, похожие изменения происходят и в том случае, если рассматривать объекты малой массы, которые перемещаются на очень малые расстояния, в частности электроны атомов.

Неопределенность и классические волны

На рисунке 1 показана волна, описываемая уравнением вида cos (2πk₀(х–х₀)), волновое число равно k₀. Следовательно, ее неопределенность равна Δk = 0. Волна определена на всем пространстве, поэтому можно сказать, что она имеет бесконечную пространственную неопределенность Δх = oo.

На среднем рисунке изображена суперпозиция пяти волн, волновое число которых, k, очень близко к k₀ . Эти волны изображены серым цветом, результирующая волна – черным. Из-за интерференции эта волна выглядит не так, как волна, изображенная вверху: в одних точках ее амплитуда увеличивается, в других – уменьшается. Рассмотрим суперпозицию бесконечного числа волн и присвоим каждой из них определенный вес, задаваемый гауссовой функцией

Иными словами, волновое число будет близко к k₀ с отклонением Δk. График гауссовой функции представлен на рисунке 2. Функция принимает максимальное значение тогда, когда волновое число совпадает с центральным значением. Мы описали отклонение графика функции, когда она принимает значение е^-1/2 , то есть примерно 0,61. На практике за пределами интервала, границы которого отстоят от центрального значения на три стандартных отклонения, значениями этой функции можно пренебречь. Результатом суперпозиции будет волна, подобная изображенной на рисунке 1, с волновым числом k₀. Она будет описываться функцией

Эта совокупность волн называется гауссовым волновым пакетом, который, как вы увидели, распространяется не во всей области пространства, а лишь в окрестностях точки x₀ с отклонением Δх = 1/Δk. Иными словами, отклонения волновых чисел и размеры в пространстве связаны между собой: Δk • Δx = 1. Именно так выглядит соотношение Гейзенберга для классических волн.

Сделаем еще один шаг вперед и напомним, что импульс частицы определяется на основе соответствующего волнового числа: p = hk. Редуцированная постоянная Планка указывает, что речь идет о квантовой механике. Результирующее соотношение будет записываться так: Δр • Δх = h, что соответствует неравенству Гейзенберга.

Рис. 1

Рис. 2

Проблема заключается в том, что наблюдать это движение нельзя – мы можем увидеть лишь общее поведение большого числа атомов, проявлением которого служит, к примеру, частота света, излучаемого или поглощаемого ими. Для объяснения этих свойств требовалась новая механика, в которой были описаны «разрывы», проявлявшиеся в виде дискретных квантов, или «порций», энергии и кванто-вых скачков между энергетическими уровнями. Так как эти разрывы очень малы, их нельзя увидеть на макроуровне, и мир кажется нам непрерывным. Сам Гейзенберг говорил:

«Если допустить, что дискретность является в некотором роде типичной особенностью процессов, проходящих на малых расстояниях и в малые промежутки времени, то весьма вероятно, что мы придем к противоречию, говоря о понятиях «положение» и «скорость». Классическое представление о траектории частицы как о непрерывной кривой следует заменить дискретной последовательностью точек в пространстве и времени. В силу этого классические идеи нельзя использовать при одновременном измерении положения и импульса частицы».

Классическая частица описывается уравнениями, задающими ее положение и скорость в любой момент. Однако эти понятия имеют смысл для атомных частиц только в том случае, если мы говорим об их измерении. Иными словами, физик знает только то, что может измерить, – в этом и заключается принцип неопределенности.

Некоторые расчеты привели Гейзенберга к следующему результату. Допустим, что в эксперименте мы определили положение частицы x с точностью Δx, а также импульс частицы p с точностью Δp. Это означает, что положение частицы с некоторой вероятностью заключено на интервале между x – Δx и x + Δx. Может ли точность быть сколь угодно малой? Гейзенберг доказал, что это невозможно, так как произведение этих величин сопоставимо с постоянной Планка. Это соотношение записывается так: Δx • Δp ~ h. Это выражение передает взаимное ограничение: чем меньше будет один множитель, тем больше будет другой, чем точнее мы определим одну из этих величин, тем меньше будет точность измерения другой. Было строго доказано, что это соотношение имеет вид неравенства:

Δx – Δp=>h/2.

Произведение величин, показывающих, с какой точностью можно измерить положение частицы и ее импульс, ограничено редуцированной постоянной Планка h = h/(2π), разделенной на 2.

Единственный вывод из этого принципа, не противоречащий квантовой механике, заключается в том, что положение и момент электрона нельзя одновременно измерить с произвольной точностью: чем точнее мы определим положение частицы, тем менее точно мы сможем определить ее импульс в этот момент времени, и наоборот. Подобные отношения связывают и другие пары величин, к примеру энергию и время или момент импульса и угол, – такие величины называются канонически сопряженными. Их произведение измеряется в тех же единицах, что и действие, то есть, подобно постоянной Планка, определяется как произведение энергии на время. Напомним один из результатов, полученных Борном и Йорданом: операция умножения матриц, соответствующих этим величинам, не обладает коммутативностью, и это свойство доказывает приведенное выше неравенство.

Бор с энтузиазмом отнесся к заключениям Гейзенберга, так как увидел в них проявление корпускулярно-волнового дуализма. Однако, прочитав рукопись, он обнаружил ошибку, которая стала предметом долгих и жарких споров двух ученых. Эта ошибка содержалась не в рассуждениях или выводах, а в примере с гамма-лучевым микроскопом, который Гейзенберг использовал для объяснения полученных результатов. Дискуссия Бора и Гейзенберга продолжалась несколько дней и осложнялась тем, что статья уже была опубликована. Позднее Гейзенберг признавался: «Я помню, что все закончилось, когда я просто расплакался, не в силах справиться с давлением Бора». И все же Гейзенбергу пришлось признать правоту оппонента. В примечании в конце статьи Гейзенберг упомянул, что Бор помог ему увидеть некоторые важные аспекты:

«Прежде всего, неопределенность при наблюдениях не основана исключительно на существовании дискретностей, но непосредственно связана с требованием того, чтобы одновременно удовлетворялись результаты различных опытов, описываемых корпускулярной теорией, с одной стороны, и волновой теорией – с другой».

Рассмотрим подробнее пример, иллюстрирующий квантовую неопределенность.

Микроскоп Гейзенберга

Гейзенберг описал микроскоп, позволяющий определять положение и скорость электрона. В этом микроскопе вместо видимых лучей света использовались гамма-лучи, то есть лучи света с очень малой длиной волны. Речь идет о мысленном эксперименте, то есть о логически возможном, но нереализуемом: сегодня не существует материалов, способных фокусировать гамма-лучи подобно тому, как линзы фокусируют лучи видимого спектра. Однако микроскоп Гейзенберга подчинялся тем же принципам, что и классические микроскопы. Лучи видимой части спектра не позволяют увидеть объекты, размер которых значительно меньше длины волны этих лучей, заключенной на интервале 400-700 нм. С их помощью можно увидеть бактерии, размер которых исчисляется микрометрами, то есть тысячами нанометров, однако вирусы, в сто раз меньшие, с помощью классического микроскопа уже не различить.

Гейзенберг предположил, что точность измерения положения электрона определяется длиной волны гамма-лучей Δx = λ, а точность измерения импульса равна точности измерения импульса фотона, определяемой по формуле де Бройля, Δp ~ h/λ. Отсюда следует соотношение ?x • Δp ~ h. Однако Бор показал, что эксперимент основан на двух противоречивых представлениях о природе света. Любопытно, что, помимо интерпретации, связанной с корпускулярно-волновым дуализмом, Гейзенберг ничего не знал о разрешающей способности описанного им микроскопа – то же произошло, когда он сдавал экзамен на получение докторской степени.

Разрешающая способность микроскопа

В силу дифракции света изображение точки, наблюдаемой через линзу или систему линз, представляет собой не точку, а ряд расплывчатых окружностей (см. Рис. 1).

Рис. 1

Рис. 2

Если две точки расположены очень близко друг от друга, определить, одна это точка или две, невозможно из-за наложения окружностей. Разрешающая способность микроскопа – это наименьшее расстояние между двумя точками, которые можно различить при наблюдении через систему линз. Законы оптики позволяют доказать, что это расстояние определяется по формуле

где коэффициент 1,22 получен по результатам анализа расплывчатой окружности, которая является изображением точки. Как показано на рисунке 2, на разрешающую способность микроскопа также влияют длина световой волны λ, показатель преломления среды между объективом и предметом и синус угла ε (Рис. 2), равного половине угла, стягиваемого линзой и наблюдаемым объектом. Если между объективом и предметом находится обычный воздух, показатель преломления будет равен единице, а общий коэффициент будет равен 0,61. При качественной оценке этот коэффициент часто можно принять равным единице.

Разрешающая способность микроскопа – это наименьшее расстояние между двумя точками, которые можно различить с его помощью. Именно от этой характеристики зависит неточность при определении положения электрона. Изображение точки, наблюдаемой через микроскоп, представляет собой ряд концентрических окружностей. Согласно законам волновой оптики, минимальное расстояние, на котором можно различить две точки, определяется по формуле Δx ~ λ/sinε, то есть как отношение длины волны и синуса половины угла апертуры объектива ?. В действительности это выражение не вполне точное – его необходимо умножить на коэффициент, который зависит от геометрии системы линз. Однако значение этого коэффициента близко к единице, поэтому им можно пренебречь. С другой стороны, в силу эффекта Комптона при столкновении с фотоном электрон получает импульс в направлении x, зависящий от импульса фотона. Точно определить направление фотона нельзя – возможные направления будут располагаться внутри воображаемого конуса, определяемого лучами, попадающими в микроскоп. Из кинематических и геометрических соображений можно сделать вывод: Δр ~ h/λ sinε. Следовательно, имеем прежний результат Δх • Δр ~ h. Читатель может спросить: зачем стоило приводить более сложные рассуждения, чтобы получить тот же результат? Возможно, об этом думал и Гейзенберг в споре с Бором, однако настойчивость последнего была вызвана концептуальной важностью корпускулярно-волнового дуализма. В этом случае он проявляется в двух аспектах одного и того же эксперимента. Волновая природа света учитывается при определении разрешающей способности микроскопа, корпускулярная природа – при определении импульса фотона.