Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ВЫ)"
Автор книги: Большая Советская Энциклопедия
Жанр:
Энциклопедии
сообщить о нарушении
Текущая страница: 21 (всего у книги 24 страниц)
Вычегодский
Вычего'дский, поселок городского типа в Архангельской области РСФСР. Железнодорожная станция (Сольвычегодск). 10,9 тыс. жителей (1970). Возник в 1942 в связи со строительством железной дороги Котлас – Воркута. Предприятия железнодорожного транспорта.
Вычет
Вы'чет, 1) в теории чисел. Число а называется вычетом числа b по модулю m , если разность а – b делится на m (a , b , m > 0 – целые числа). Например, число 24 есть В. числа 3 по модулю 7, так как 24—3 делится на 7. Совокупность m целых чисел, каждое из которых является В. одного и только одного из чисел 0, 1,..., m – 1, называется полной системой В. по модулю m . Например, числа 1, 6, 11, 16, 21, 26 образуют полную систему В. по модулю 6. Число а называется вычетом степени n (n ³ 2 – целое) по модулю m , если существует целое число х , такое, что разность xn – a делится на m . В противном случае а называется невычетом степени n . Например, 2 и 3, соответственно, вычет и невычет второй степени (квадратичные) по модулю 7.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 7 изд. М., 1965.
А. А. Карацуба.
2) В теории аналитических функций вычетом однозначной аналитической функции f (z ) относительно её изолированной особой точки z называется коэффициент при (z – z )-1 в разложении этой функции в ряд по степеням разности (z – z ) (Лорана ряд ) в окрестности точки z . Обозначение: выч f (z ) [или res f (z )].
Если g – окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z (такая, что внутри неё функция f (z ) не имеет особых точек, отличных от z ), то
Важное значение вычетов вытекает из следующей теоремы. Пусть f (z ) – однозначная аналитическая функция в области D , за исключением изолированных особых точек, Г – простая замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью и не проходящая через особые точки функции f (z ); если z1 ,..., zn – все особые точки f (z ), лежащие внутри Г , то
Поскольку вычеты вычисляются сравнительно просто, эта теорема является эффективным средством для нахождения интегралов.
Лит. см. при статье Аналитические функции .
А. А. Гончар.
Вычислимая функция
Вычисли'мая фу'нкция, одно из основных понятий теории алгоритмов. Функция f называется вычислимой, если существует алгоритм , перерабатывающий всякий объект х , для которого определена функция f, в объект f (x ) и не применимый ни к какому x , для которого f не определена. Примеры: х – натуральное число, f (x ) = х2 ; x – пара рациональных чисел x1 и x2 , f (x ) = x1 : x2 (эта функция определена лишь для тех x , у которых x2 ¹0); X – пара матрицX1 и X2 с целочисленными элементами, f (X ) = X1X2 (эта функция определена лишь для тех X , у которых число стоблцов в X1 совпадает с числом строк в X2 ). Аргументами и значениями В. ф. могут быть лишь так называемые конструктивные объекты (см. Конструктивное направление в математике) (ибо лишь с такими объектами могут оперировать алгоритмы); таким образом, функция f такая, что f (x ) º х не является вычислимой, если её рассматривать на всей действительной прямой, но является вычислимой, если её рассматривать как функцию натурального или рационального аргумента. В. ф., областью определения которой служит натуральный ряд, называется вычислимой последовательностью.
В. А. Успенский.
Вычислительная математика
Вычисли'тельная матема'тика, раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Содержание термина «В. м.» нельзя считать установившимся, так как эта область интенсивно развивается в связи с быстро растущими применениями ЭВМ в новых направлениях. Часто термин «В. м.» понимается как теория численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач. Это толкование термина «В. м.» получило распространение на первоначальном этапе, когда использование ЭВМ предъявило новые требования к численным методам; основной задачей на этом этапе была разработка новых методов, «удобных» для ЭВМ. Ниже В. м. понимается в первом – широком смысле этого термина.
В В. м. можно выделить следующие три больших раздела. Первый связан с применением ЭВМ в различных областях научной и практической деятельности и может быть охарактеризован как анализ математических моделей. Второй – с разработкой методов и алгоритмов решения типовых математических задач, возникающих при исследованиях математических моделей. Третий раздел связан с вопросом об упрощении взаимоотношений человека с ЭВМ, включая теорию и практику программирования задач для ЭВМ, в том числе автоматизацию программирования задач для ЭВМ.
Анализ математических моделей включает в себя изучение постановки задачи, выбор модели, анализ и обработку входной информации, численное решение математических задач, возникающих в связи с исследованием модели, анализ результатов вычислений, и, наконец, вопросы, связанные с реализацией полученных результатов. Задача выбора модели должна решаться с учётом следующего требования. Степень достоверности, с которой результаты анализа модели позволяют исследовать конкретное явление (или класс явлений), должна соответствовать точности исходной информации. При этом с появлением возможности получать более точную информацию обычно возникает необходимость совершенствования построенной модели, а в ряде случаев даже коренной её замены. Для этих задач приобретает существенное значение обработка исходной информации, что в большинстве случаев требует привлечения методов математической статистики. Математические модели сыграли важную роль в развитии естествознания; в настоящее время использование математических моделей является существенным фактором в широком диапазоне человеческой деятельности (в том числе в вопросах управления, планирования, прогнозирования и т.д.).
Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей, как правило, требует развития численных методов и привлечения ЭВМ. Таким образом, в В. м. важное место занимают численные методы решения поставленных математических задач и в первую очередь типовых математических задач (В. м. в узком смысле слова).
В качестве примера типовых математических задач, часто встречающихся в приложениях, можно назвать задачи алгебры: здесь большое значение имеют численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, больших систем), обращение матриц, нахождение собственных значений матриц (как нескольких первых значений – ограниченная проблема собственных значений, так и нахождение всех собственных значений – полная проблема собственных значений). Другие примеры – численные методы дифференцирования и интегрирования функций одного или нескольких переменных; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (сюда включают, в частности, изучение и сравнительный анализ численных методов различных типов, например, Адамса, Рунге – Кутта). Значительное число исследований посвящено численным методам решения уравнений с частными производными. Здесь большое направление составляют «экономичные методы», т. е. методы, позволяющие получать результаты при относительно малом (экономном) числе операций.
Быстро развивающимся направлением В. м. являются численные методы оптимизации. Задача оптимизации состоит в изучении экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов на множествах, как правило, весьма сложной структуры. В первую очередь следует упомянуть задачи математического программирования (в том числе линейного и динамического), к которым сводятся многие задачи экономики. К задачам оптимизации примыкают минимаксные задачи (и соответствующие численные методы), возникающие при решении задач исследования операций (см. Операций исследование ) и теории игр (см. Игр теория ). Особенно сложные задачи типа minmaxminmax возникают при решении многошаговых (динамически развивающихся) игр. Здесь даже математический эксперимент (проигрывание вариантов поведения играющих) невозможен без использования мощных ЭВМ.
Применение ЭВМ к решению сложных задач, в особенности задач больших размеров, вызвало к жизни одно из главных направлений в теории численных методов – исследования устойчивости методов и алгоритмов к различного рода ошибкам (в том числе к ошибкам округления).
Обратные задачи, например, задача определения элемента х из уравнения Ах = b при известной информации об операторе А и элементе b , часто являются неустойчивыми (некорректно поставленными) задачами (малым погрешностям во входных данных могут соответствовать большие погрешности в х ). Более того, обратные задачи часто имеют решение не для всех b , поэтому, задавая приближённое значение b , следует учитывать, что формально решение этой задачи может не существовать.
Неустойчивые задачи потребовали специального определения понятия приближённых решений и развития соответствующих методов для их нахождения. К неустойчивым задачам относится широкий класс задач, связанных с проблемами автоматизации обработки результатов экспериментов.
В большинстве разделов В. м. важное место занимают вопросы оптимизации методов решения задач. Особенно это существенно для задач большего объёма (например, с большим числом переменных).
Применение ЭВМ непрерывно расширяет круг пользователей и поэтому возникает тенденция такой степени автоматизации, при которой становится менее существенным знакомство пользователей с численными методами. Это предъявляет новые требования к алгоритмам, их классификации и к стандартным программам решения типовых задач.
В настоящее время выделился ряд направлений прикладной науки, где современные темпы научно-технического прогресса были бы немыслимы без развития численных методов и применения ЭВМ.
Основной задачей теории программирования можно считать облегчение отношений человека с машиной, хотя этот взгляд и конкретное направление исследований претерпевают радикальные изменения с развитием вычислительной техники. Смена ряда поколений вычислительных машин обусловила смену трёх этапов в развитии программирования.
От составления программ на внутреннем языке машины программирование быстро перешло к составлению стандартных программ решения типовых задач и комплексов таких программ. При их употреблении для широкого класса задач отпадает необходимость в программировании метода решения; достаточно лишь ограничиться заданием исходной информации. Однако задание такой информации, а также написание нестандартных блоков всё равно требуют существенного объёма программирования на языке машины.
Появление машин следующего поколения с бо'льшим быстродействием сопровождалось ростом числа задач, предъявляемых к решению; в результате этого возникло узкое место системы человек – машина: скорость программирования. Это вызвало к жизни новый этап программирования– создание алгоритмических языков с трансляторами для перевода с алгоритмического языка на внутренний язык машины. Вследствие большей близости алгоритмических языков к общечеловеческому их внедрение упростило программирование и существенно расширило круг пользователей.
Наряду с созданием универсальных алгоритмических языков (алгол, фортан) был разработан ряд проблемно-ориентированных языков для определённого круга пользователей, например связанных с задачами обработки экономической информации, Создание специализированных языков вызвано следующим: универсальные языки и трансляторы, предназначенные для решения широкого класса задач, иногда слабо учитывают специфику отдельных важных классов задач, что снижает эффективность использования всех возможностей машины.
При дальнейшем повышении скорости ЭВМ узким местом системы человек – машина стали устройства для ввода и вывода информации; их медленная работа сводила на нет высокопроизводительную работу центрального устройства. Необходимость преодоления этого противоречия явилась одной из причин создания систем одновременного решения на машине нескольких задач. Другой причиной было требование одновременной работы на машине большого коллектива пользователей (в частности, последнее особенно существенно при применении ЭВМ в автоматизированных системах управления). Всё это вместе с рядом других причин обусловило появление нового этапа программирования – системного программирования. Основной задачей системного программирования является создание операционных систем, управляющих работой машины, программным путём расширяющих возможности машины и предоставляющих пользователю дополнительное обслуживание, не предусмотренное аппаратурой: возможность ввода и вывода одновременно с решением задач, автоматизация редактирования выдачи, вывод графиков, работа с экраном, диалог с машиной, возможность одновременного решения на машине многих задач (система разделения времени).
Развитие применения ЭВМ характерно также организацией работы комплексов, включающих большое число машин, в том числе машин различных типов, вводные устройства, каналы связи между машинами и пользователем, а зачастую и физические установки. Такие высокопроизводительные системы создаются, например, для решения задач экономики и обработки физических экспериментов, требующих ввода и обработки большого количества информации.
Задача развития вычислительных систем, в частности информационных систем и автоматизированных систем управления, является одной из наиболее актуальных научных проблем.
А. Н. Тихонов.
Вычислительная машина
Вычисли'тельная маши'на, устройство или совокупность устройств, предназначенных для механизации и автоматизации процесса обработки информации (вычислений).
Современные В. м. по способу представления информации подразделяются на 3 класса: а) аналоговые вычислительные машины (АВМ), в которых информация представлена в виде непрерывно изменяющихся переменных, выраженных физическими величинами (угол поворота вала, сила электрического тока, напряжение и т.д.); б) цифровые вычислительные машины (ЦВМ), в которых информация представлена в виде дискретных значений переменных (чисел), выраженных комбинацией дискретных значений какой-либо физической величины; в) гибридные вычислительные системы , в различных узлах которых информация представлена тем или другим способом.
Исторически первыми появились цифровые вычислительные устройства, например счёты и их многочисленные предшественники (см. Вычислительная техника ). В 17 в. французским учёным Б. Паскалем, а позднее немецким математиком Г. В. Лейбницем были построены первые ЦВМ. Первой пригодной для практического применения В. м. стал арифмометр Томаса де Кольмара (1820). В 1874 был создан получивший широкое распространение арифмометр В. Т. Однера. В начале 20 в. появились счётно-аналитические машины для выполнения различных статистических, бухгалтерских и финансово-банковских операций.
Идея создания универсальной ЦВМ принадлежит профессору Кембриджского университета Ч. Беббиджу. Он разработал проект (1833) В. м., по своему устройству близкой к современной. Проект опережал запросы времени и технические возможности реализации.
Развитие теории релейно-контактных схем, а также опыт эксплуатации телефонной аппаратуры и счётно-перфорационных машин позволили в 30-х гг. 20 в. приступить к разработке В. м. с программным управлением первоначально на электромагнитных реле. Первая такая машина «МАРК-1» была построена в США в 1944. Первая электронная ЦВМ «ЭНИАК» (электронный цифровой интегратор и вычислитель) была построена также в США в 1946.
В Советском Союзе электронная ЦВМ «МЭСМ» (малая электронная счётная машина) была разработана в 1950 под руководством академика С. А. Лебедева в АН УССР. «МЭСМ» положила начало работам в области математического электронного машиностроения в СССР. В последующие годы в СССР создан ряд различных по производительности и техническому решению ЦВМ для удовлетворения нужд народного хозяйства (БЭСМ , «Стрела», М-20, М-220, «Минск» , «Урал» , «Мир» и др.).
Первые устройства непрерывного действия появились в 16—17 вв. К ним относятся логарифмическая линейка и номограммы для расчётов, связанных с навигацией. В середине 19 в. появились простейшие механические интеграторы. Значительное развитие работы по АВМ получили на рубеже 19 и 20 вв. Были разработаны машины для решения дифференциальных уравнений, электромеханическая интегрирующая машина и др. В СССР начало разработки АВМ относится к 1927 и связано с работами С. А. Гершгорина, М. В. Кирпичёва, И. С. Брука, В. С. Лукьянова и др. В 50—60-х гг. было создано несколько типов АВМ, многие из которых нашли широкое применение.
Развитие электронных В. м. (ЭВМ) тесно связано с достижениями в области электронной техники. Первые ЭВМ создавались на вакуумных радиоприборах; эти В. м. принято называть машинами первого поколения. Развитие полупроводниковой радиоэлектроники позволило перейти к конструированию В. м. второго и третьего поколения; для них характерно усложнение логической схемы и наличие программного обеспечения, являющегося программным продолжением аппаратной части В. м. Технология изготовления В. м. второго поколения мало отличалась от технологии изготовления В. м. первого поколения: на смену вакуумным радиолампам пришли полупроводниковые триоды (транзисторы) и диоды. В. м. третьего поколения выполняются на интегральных схемах , содержащих в одном модуле десятки транзисторов, резисторов и диодов. Переход к производству В. м. на интегральных схемах потребовал почти полного пересмотра технологии производства ЭВМ.
Основой для построения аналоговых вычислительных машин является теория математического моделирования . Используя аналогии между различными по физической природе явлениями, в АВМ моделируют рассчитываемые процессы. Большую часть оборудования АВМ составляют линейные и нелинейные решающие элементы. В электронных АВМ – это операционные усилители постоянного тока (интегратор, усилитель, инвертор), блоки коэффициентов, типичных нелинейностей, запаздывания и т.д. Для решения конкретной задачи блоки АВМ соединяют между собой в необходимых комбинациях. Выходные данные на АВМ получают по показаниям индикаторов в узловых точках схемы. АВМ характеризуется высоким быстродействием, простотой сопряжения с исследуемым объектом, возможностью лёгкого изменения параметров исследуемой задачи как при её подготовке, так и в процессе решения, сравнительно невысокой точностью и ограниченностью класса решаемых задач.
Решение задачи на цифровых вычислительных машинах заключается в последовательном выполнении арифметических операций над числами, соответствующими величинам, представляющим исходные данные. Числа представляются обычно в виде совокупности механических, пневматических или электрических импульсов и фиксируются элементами, каждый из которых может принимать ряд устойчивых состояний, строго соответствующих определённой цифре числа. Перед решением на ЦВМ задача расчленяется на ряд последовательных простых операций и устанавливается их очерёдность, т. е. составляется программа вычислений.
По способу управления цифровые В. м. подразделяются на 3 класса: с ручным управлением, с жёсткой программой и универсальные. К ЦВМ с ручным управлением относятся настольные клавишные вычислительные машины , арифмометры, рычажные В. м. и др. Современные настольные ЦВМ изготовляются почти полностью на электронных элементах, Управление вычислительным процессом осуществляется вручную, что определяет низкую скорость вычислений. ЦВМ с ручным управлением являются средством механизации расчётных работ и пригодны для решения лишь простейших задач с ограниченным объёмом вычислений.
ЦВМ с жёсткой программой. К ним относятся табуляторы, специализированные машины, ориентированные на решение узкого круга задач, например бортовые вычислители и т.п. В этих В. м. управление вычислительным процессом осуществляется автоматически программой, набираемой на коммутационной доске или постоянно заложенной в конструкцию машины. ЦВМ с коммутируемой программой являются средством частичной автоматизации вычислительного процесса и быстро вытесняются универсальными ЦВМ. В. м. с программой, заложенной в конструкции, применяются в тех случаях, когда нужны простота, надёжность, низкая стоимость, малые габариты и масса, главным образом в условиях разового действия (например, на ракетах).
Универсальные ЦВМ с автоматическим программным управлением – наиболее совершенное средство автоматизации трудоёмких процессов умственной деятельности человека. Современная универсальная ЦВМ представляет собой сложный автоматизированный вычислительный комплекс, в состав которого входят процессор , оперативное запоминающее устройство, одно или несколько внешних запоминающих устройств большой ёмкости, устройства ввода – вывода информации и др. Управление вычислительным процессом осуществляется устройством управления и программой вычислений, размещаемой в памяти ЭВМ. Загрузка отдельных устройств, координация их работы, управление последовательностью решения задач осуществляются программными средствами. Комплекс программ, выполняющих эти и ряд других функций, называется математическим обеспечением . Для описания решения задачи используются алгоритмические языки алгол, фортран, кобол и др. (см. Язык программирования ). Ввод исходных данных, программ и вывод результатов в виде, наиболее удобном для потребителя, осуществляются комплексом устройств ввода – вывода, входящих в состав универсальной ЦВМ (см. Ввод данных , Вывод данных ). Исходные данные могут задаваться в виде графиков, цифровой и текстовой документации, изображения рассчитываемого объекта (например, общий вид здания, профиль крыла самолёта и т.д.), светозвуковой индикации и пр.
ЦВМ характеризуются высокой производительностью, точностью получаемых результатов и алгоритмической универсальностью, обусловленной тем, что перестройка ЦВМ на решение новой задачи состоит лишь в замене программы вычислений и исходных данных, хранящихся в памяти В. м., без изменения конструкции самой машины.
Гибридные вычислительные системы состоят из органически связанных между собой АВМ и ЦВМ. Обмен информацией между В. м. непрерывного и дискретного действия осуществляется через специальные преобразователи. Для комбинированной системы типично разделение функций между машинами: АВМ используется для воспроизведения быстро протекающих процессов с ограниченными точностями переменных величин, а ЦВМ – для вычислений с более высокой точностью и для статистической обработки результатов. В гибридной вычислительной системе сочетаются высокая точность и быстродействие, которые сложнее получать с помощью только одной из В. м.
Лит.: см. при статьях Аналоговая вычислительная машина , Цифровая вычислительная машина , Гибридная вычислительная машина .
А. Н. Мямлин.
