Текст книги "Знаете ли вы физику?"

Автор книги: Яков Перельман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 21 страниц) [доступный отрывок для чтения: 9 страниц]

77. Скорость вытекания

Ртуть гораздо тяжелее воды; можно ожидать поэтому, что ртуть вытечет быстрее. Однако уже Торричелли знал, что это не так: скорость вытекания ни в какой зависимости не находится от плотности жидкости. Она определяется следующей формулой Торричелли:

где v – скорость вытекающей струи, g – ускорение тяжести, h – высота уровня жидкости в сосуде. Как видим, плотность жидкости в формулу не входит.

Этот парадоксальный закон вытекания становится, однако, вполне понятным, если принять в соображение, что силою, движущей жидкость, является вес вышележащей ее части. В случае тяжелой жидкости сила эта больше, чем в случае легкой; но и приводимая в движение масса в первом случае также больше и притом во столько же раз. Не приходится удивляться, что ускорение, а следовательно, и скорость получаются в обоих случаях одинаковые.

78—79. Задачи о ванне

На каждый из пяти вопросов приведено далее по два ответа – в одном столбце правильные, в другом – неправильные.

В котором же столбце приведены правильные ответы? Правдоподобными представляются ответы левого столбца. Верны же в действительности ответы правого столбца.

Охотно верю, что эти правильные ответы могут казаться совершенно несообразными. Рассмотрим, в самом деле, каждую задачу порознь.

1. Ванна наполняется быстрее, чем опоражнивается, – и тем не менее в правом столбце мы находим утверждение, что ванна никогда до краев не наполнится. Почему? Нетрудно, казалось бы, вычислить, через сколько минут вода должна начать переливаться через края.

Ежеминутно поступает в ванну ¹/₈ ее вместимости, а вытекает ¹/₁₂; значит, каждую минуту вода прибывает в количестве

вместимости всей ванны; казалось бы, ясно, что в 24 минуты ванна должна наполниться до краев.

2. Во второй задаче срок наполнения ванны равен продолжительности ее опорожнения. Значит, количество ежеминутно поступающей воды равно количеству вытекающей. В ванне не должно, очевидно, остаться ни кап-ли воды, сколько бы времени ни длилось наливание. А между тем в столбце правильных ответов мы видим утверждение, что ванна нальется до ¹/₄, высоты.

3, 4, 5. В этих трех случаях вода вытекает из ванны в большем количестве, чем поступает, и все же в правом столбце мы находим утверждение, будто даже и при таких условиях в ванне накопится некоторый запас воды.

Словом, решения, предлагаемые нами как правильные, представляются абсурдными. Чтобы тем не менее убедиться в их правильности, читателю придется про – следить за довольно длинной цепью рассуждений. Нач – нем с первой задачи.

1. Задача эта представляет собой видоизменение знаменитой задачи о бассейнах, родоначальником которой является Герон Александрийский. За две тысячи лет она успела проникнуть в школьные задачники арифметики; однако традиционное ее решение является ошибочным с точки зрения физики. Ходячее решение опирается на не – законное допущение, будто вытекание воды из резервуара с понижающимся уровнем происходит равномерной струей. Допущение это противоречит физическому закону, согласно которому скорость вытекания уменьшается по мере понижения уровня. Неправильно поэтому принимать, как делают школьники на уроках арифметики, что если вся ванна опорожняется в 12 минут, то каждую минуту вытекает ¹/₁₂ ее объема. Вытекание происходит совсем не так: вначале, пока уровень воды высок, еже – минутно вытекает больше ¹/₁₂ содержимого полной ванны; количество это с каждой минутой убывает, и, когда уровень очень низок, ежеминутно вытекает уже меньше ¹/₁₂ содержимого. Значит, количество ежеминутно вытекающей воды только в среднем равно ¹/₁₂ вместимости полной ванны, в действительности же почти ни одну минуту не равно ¹/₁₂, а либо больше, либо меньше. Картина опорожнения ванны напоминает ход тех карманных часов, о которых поведал нам в шуточном рассказе Марк Твен: они шли в «среднем» вполне правильно, добросовестно делая полагающееся им число оборотов в сутки. Но в первую половину суток они непозволительно уходили вперед, в течение же второй – оставались далеко позади. Решать нашу задачу, исходя из средней скорости вытекания воды, все равно что пользоваться для определения времени этими часами Марка Твена.

Мы видим, что упрощенную картину арифметических задачников необходимо при решении нашего во – проса заменить реальной картиной, согласной с законами природы. Тогда результат получится существенно иной. Если в начале наливания, пока уровень невысок, вытекает меньше ¹/₁₂ объема ванны, а при высоком стоянии воды – больше ¹/₁₂, то количество вытекающей воды может стать равным и ¹/₈ объема ванны. Значит, расход может сравняться с приходом раньше, чем вода дойдет до краев ванны. С этого момента уровень воды повышаться больше не будет: все, что наливается из крана, уходит через выпускное отверстие. Уровень становится постоянным на высоте ниже краев ванны. Понятно, что при таких условиях ванна никогда не наполнится. Математический расчет, как увидим далее, подтверждает правильность сказанного.

2. Здесь правильность нашего решения выступает еще яснее. Продолжительность как наполнения, так и опорожнения, – 8 минут. При низком стоянии уровня, т. е. в на – чале наливания, ежеминутно поступает ¹/₈ вместимости ванны, вытекает же, как было уже объяснено, менее ¹/₈. В итоге уровень должен повышаться; он будет повышаться до тех пор, пока приход воды не сравняется с расходом.

Ванна, следовательно, пустой не останется: в ней должен удерживаться некоторый слой воды. Можно доказать, – мы это скоро сделаем, – что при равенстве сроков наполнения и опорожнения высота удерживаемого слоя должна составлять ¹/₄ высоты уровня полной ванны.

3, 4, 5. После сказанного не потребуется долгих объяснений, чтобы рассеять недоверие к нашим ответам на остальные три вопроса. Продолжительность опорожнения задается в них более короткой, чем наполнение. На – полнить такую ванну до краев нельзя, но удержать в ней некоторый слой воды всегда возможно, как бы медленно ни подливалась она сверху. Надо помнить, что первые порции воды, поступающие сверху, не могут вылиться так же быстро, потому что при низком стоянии воды скорость вытекания весьма мала, делаясь с понижением уровня меньше любой постоянной скорости наливания.

Значит, некоторый, хотя бы очень тонкий слой воды должен в резервуаре удержаться. Иными словами, вопреки заключению «здравого смысла», во всякой дырявой бочке можно удерживать немного воды, если все время равномерно ее подливать.

Обратимся теперь к математическому рассмотрению тех же вопросов. Мы убедимся, что задачи о бассейнах, два тысячелетия предлагаемые школьникам как элементарные арифметические упражнения, предъявляют на самом деле к учащимся требования, далеко выходящие за пределы начатков арифметики.

Установим для цилиндрического резервуара (вообще для резервуара с отвесными стенками) зависимость между продолжительностью Т его наполнения, продолжи – тельностью t его опорожнения и высотою l постоянного уровня, какого достигает жидкость, если резервуар наливать при открытом выпускном отверстии. Условимся относительно обозначений:

H – высота уровня жидкости в полном резервуаре;

Т – продолжительность наливания до уровня Н;

t – продолжительность опорожнения резервуара с первоначальным уровнем Н;

S – сечение резервуара;

с – сечение выпускного отверстия;

w – секундная скорость опускания уровня в резервуаре;

v – секундная скорость вытекающей струи;

l – высота постоянного уровня при открытом отверстии.

Легко видеть, что если за какую-нибудь секунду времени уровень жидкости опускается на w, то из выпускного отверстия за ту же секунду должен вытечь слой жидкости объемом Sw, равновеликий объему столба cv струи:

Sw = cv,

откуда

Но скорость v струи жидкости, вытекающей из отверстия сосуда, определяется известной формулой Торричелли , где l – высота уровня, а g – ускорение тяжести. С другой стороны, скорость w повышения уровня жидкости при закрытом выпускном отверстии равна ^H/_T.

Уровень сделается постоянным, когда скорость его понижения сравняется со скоростью повышения, т. е. когда будет существовать равенство:

откуда высота l устанавливающегося уровня равна

Такова предельная высота уровня в резервуаре, наливаемом при открытом выпускном отверстии. Формулу эту можно упростить, исключив из нее величины S, с и g.

Опускание уровня в резервуаре с отвесными стенками, при закрытом кране, есть движение равнопеременное[18]18
  На доказательстве этого утверждения не останавливаемся.


[Закрыть]

начинающееся со скоростью w и кончающееся со скоростью, равной нулю. Ускорение а такого движения определяется из уравнения

w² = 2аН,

откуда

Подставив значение w из выражения и имея в виду, что

получаем:

Далее, для рассматриваемого случая движения

откуда

Делая подстановку в формулу (1), получаем:

Итак, уровень жидкости в резервуаре должен при рас – сматриваемых условиях установиться на высоте, составляющей определенную долю высоты полного резервуара; доля эта определяется формулой

Любопытно, что высота предельного уровня не зависит от формы и размеров сечений как резервуара, так и выпускного отверстия. Не зависит она и от ускорения тяжести g. На Юпитере, на Марсе жидкость устанавливается на том же уровне, как и на Земле. Что касается высоты Н, которую мы называли ради простоты высотою «полного» резервуара, то это вообще есть высота любого уровня, опускающегося в течение t секунд.

____________________________________

Приложим теперь выведенную формулу к решению наших задач.

1. Продолжительность наполнения Т = 8 мин., продолжительность опорожнения t = 12 мин. Высота l предельно – го уровня составляет от высоты резервуара Н долю

Ванна нальется только на ⁹/₁₆. Сколько бы ни длилось наливание после этого, уровень повышаться не будет.

2. В этом случае Т = t = 8 мин.

Ванна нальется на ¹/₄.

3. Здесь Т = 8 мин., t = 6 мин.

Ванна нальется на ⁹/₆₄.

4. T = 30 мин., t = 5 мин.

Ванна нальется на ¹/₁₄₄.

5. В этом случае t< T

Полученное выражение может равняться нулю только при двух условиях:

а) t = 0, T ≠ 0. Это значит, что ванна опоражнивается мгновенно – случай нереальный;

б) t = 0, T = ∞. Это означает, что ванна с закрытым выпускным отверстием наполняется в бесконечно долгий срок, иными словами – секундный приток воды равен нулю, воды не поступает вовсе. Практически такой случай равносилен тому, что кран закрыт.

Итак, если только кран открыт и ванна не опоражнивается мгновенно, ^l/_H никогда не равно нулю: слой воды в ванне всегда имеет конечную высоту.

При каком же условии ванна с открытым выпускным отверстием может быть наполнена до краев? Очевидно, тогда, когда l = Н, т. е. когда

Значит, если продолжительность наполнения вдвое менее продолжительности опорожнения, ванна и при от – крытом выпускном отверстии может быть наполнена до краев.

____________________________________

Интересно вычислить еще, во сколько времени достигается тот или иной постоянный уровень. Задача эта не может быть разрешена средствами элементарной математики; она требует применения интегрального исчисления. Для интересующихся приводим далее ход вычисления; незнакомые с высшей математикой могут этот вывод пропустить, обратившись сразу к окончательной формуле.

Скорость повышения уровня жидкости в резервуаре, наполняемом при открытом выпускном отверстии, получится, если из скорости поднятия уровня при закрытом отверстии отнять скорость опускания уровня в непополняемом резервуаре . Следовательно, скорость повышения уровня в данный момент

откуда

Время, в течение которого жидкость достигает высоты х = h, обозначим здесь через Θ. Имеем уравнение:

Проинтегрировав это уравнение, получаем следующую формулу для продолжительности Θ времени поднятия уровня до высоты h:

(здесь ln означает логарифм при основании e = 2,718…).

Выражение это может быть упрощено. Исходя из равенств wS = vc и , имеем, что скорость w опускания уровня с высоты h при опорожнении резервуара равна

Следовательно,

и

откуда

После соответствующих подстановок получаем следующее выражение для Θ:

в которое не входят сечения S и с резервуара и отверстия, а также и ускорение g тяжести. Последнее указывает, что продолжительность наливания резервуара должна быть одинакова на любой планете.

___________________________________

Если, обращаясь к нашим задачам, пожелаем узнать, во сколько времени достигаются в резервуарах предельные уровни, то придем к заключению, что это может осуществиться только в бесконечно большой срок, иначе говоря – никогда. Вывод нисколько не неожиданный; его легко было предвидеть. Ведь по мере приближения уровня к предельной высоте скорость его повышения все уменьшается; чем ближе жидкость к предельному уровню, тем медленнее она к нему стремится; ясно, что она никогда этого уровня не достигнет, а может лишь сколь угодно близко к нему подойти.

Но для целей практических можно поставить вопрос несколько иначе. Практически почти безразлично, дошла ли жидкость до предельного уровня или не достигла его, скажем, на 0,01 долю высоты. А продолжительность такого «почти достижения» вполне возможно вычислить по нашей формуле, подставив h = 0,99l, где l – высота предельного уровня. Получим:

Эту формулу

применим в рассмотренных ранее случаях.

1. Т = 8 мин., t = 12 мин.

Постоянный уровень практически установится примерно через 39 минут.

2. T = t = 8 мин.

т. е. постоянный уровень установится спустя примерно 17 минут.

3. Т = 8 мин., t = 6 мин.

Уровень установится приблизительно через 10 мин.

4. Т = 30 мин., t = 5 мин.

Предельный уровень будет практически достигнут менее чем через две минуты.

Наконец, наполнение резервуара до краев при от – крытом выпускном отверстии, осуществляющееся, как было ранее установлено, при условии, что t = 2T, совершится в промежуток времени

На этом закончим наш непредвиденно затянувшийся разбор вопросов о резервуаре. Дело, как убедился читатель, выходит сложнее, чем представляют себе те авторы арифметических задачников, которые беспечно предлагают «задачи о бассейнах» ученикам начальной школы.

80. Водяные вихри

Поставленный вопрос привлек несколько лет назад внимание нашего известного математика, академика Д. Граве. «Если – писал он[19]19
  В журнале «Хочу все знать» № 4, 1931, статья «Вращение Земли, вихри и работа турбин»


[Закрыть], – выпускать из резервуара воду при помощи отверстия на дне его, то образуется (над отверстием) воронкообразный вихрь, который в северном полушарии вращается в сторону, обратную движению часовой стрелки; в южном же полушарии вращение идет в другую сторону. Каждый читатель сам может проверить справедливость сказанного, выпуская воду из ванны. Чтобы лучше заметить направление вращения вихревой воронки, можно бросить на нее маленькие обрывки бумаги. Получается эффектный опыт, доказывающий вращение Земли, произведенный самыми простыми средствами в домашней обстановке».

Отсюда ученый делает и практические выводы: «Из сказанного можно сделать важные выводы относительно водяных турбин. Если горизонтальная водяная турбина вращается в сторону, обратную движению часовой стрелки, то вращение Земли поможет действию турбины.

Обратно, если турбина вращается в сторону движения часовой стрелки, то влияние вращения Земли будет тормозить ее работу». «Поэтому, – заключает акад. Д. Граве, – при заказах новых турбин следует держаться требования наклонения лопаток турбины в такую сторону, чтобы вращение турбины происходило в желательном направлении».

^{Рис. 99. «Схема вихревых движений: вверху – при вытекании воды из ванны; внизу – воздуха в циклоне». Рисунок и подпись – из статьи акад. Д. Граве}

Соображения эти представляются вполне правдоподобными. Всем известно, что вращение Земли обусловливает вихреобразное закручивание циклонов, большее изнашивание правого рельса на железных дорогах и т. п.

Можно, казалось бы, ожидать, что Земля своим вращением действует также на водяные воронки в резервуаре и на водяные турбины отмеченным выше образом.

Не следует, однако, поддаваться этому первому впечатлению. Наблюдения за водяной воронкой у отверстия ванны легко могут быть проверены и, как оказывается, вовсе не подтверждаются: водяной вихрь закручивается в одних случаях против часовой стрелки, в других – по стрелке. Не только нет постоянства направления, но не заметно и какой-либо преобладающей тенденции, особенно если наблюдения производятся не в одном и том же резервуаре, а в различных[20]20
  Желая удостовериться в этом, я организовал с читателями одного из наших научно-популярных журналов коллективную проверку утверждения акад. Д. Граве. Каждый из участников этой работы должен был проследить десяток раз, в каком направлении вращается воронка, образующаяся при вытекании воды из ванны, умывальника и т. п. резервуаров, и прислать мне сообщение, сколько раз из десяти случаев наблюдалось вращение против часовой стрелки. Хотя в анкете участвовало сравнительно небольшое число читателей, все же, сопоставляя полученный материал, можно было заключить, что преобладания вращения в сторону против часовой стрелки замечено не было.


[Закрыть].

Расчет дает результат, согласный с наблюдениями. Он показывает, что величина появляющегося при этом так называемого поворотного («Кориолисова») ускорения чрезвычайно мала. Вычисление выполняется по формуле

α = 2vω sin φ,

где α – поворотное ускорение, v – скорость движущегося тела, ω – угловая скорость вращения Земли, φ – широта места[21]21
  Вывод формулы читатели могут найти в курсах геофизики.


[Закрыть]. На широте, например, Ленинграда, при скорости водяных струй 1 м/с, имеем: v = l м/с; ; sin φ = = sin 60° = 0,87;

Так как ускорение земной тяжести равно 9,8 м/с2, то поворотное ускорение составляет 100 000–ю долю ускорения тяжести. Другими словами, возникающее усилие составляет стотысячную часть веса вращаемой вихрем воды. Ясно, что малейшая неровность в устройстве дна резервуара, несимметричность его по отношению к выпускному отверстию гораздо больше должны влиять на направление водяных струй, нежели вращение Земли.

То, что многократные наблюдения за опорожнением одного и того же резервуара нередко свидетельствуют о вращении в одном и том же направлении, ничуть не является подтверждением ожидаемого правила вращения, потому что одинаковость направления вихря обусловливается формою дна резервуара, его неровностями, а не вращением Земли.

Значит, на поставленный вопрос следует ответить так: предсказать направление вращения водяного вихря у отверстия резервуара нельзя; оно определяется обстоятельствами, не поддающимися учету.

К тому же вихри, какие могли бы быть вызваны в те – кущей жидкости вращением Земли, должны иметь, как показывает вычисление, гораздо больший диаметр, чем маленькие водовороты вокруг отверстия резервуара. На – пример, на широте Ленинграда, при скорости течения 1 м/с, диаметр такого вихря должен достигать 18 м, при скорости 0,5 м/с – 9 м (и т. д. – пропорционально скорости течения).

Скажем еще несколько слов об ожидаемом влиянии земного вращения на работу водяных турбин. Теоретически можно доказать, что всякое вращающееся колесо побуждается вращением Земли занять такое положение, 180 при котором ось колеса параллельна оси нашей планеты, а направление вращения обоих тел одинаково[22]22
  Интересующимся могу указать на статью Otto Baschin «Влияние вращения Земли на вращающиеся колеса»(в журнале «NaturwissenschaftenI» 1923, № 52).


[Закрыть].

«Все тела, вращающиеся вокруг оси, – пишет Перри в своей знаменитой книге о волчке, – пока находятся в движении, постоянно стремятся повернуть свою ось по на – правлению к Полярной звезде; стремление это остается тщетным, хотя вращающиеся тела и рвутся со своих подставок к объекту своих стремлений».

Действие земного вращения имеет величину того же ничтожного порядка, как и в случае водяной воронки в опоражниваемом резервуаре; другими словами, действие земного вращения менее 100 000–й доли силы тяжести.

Следовательно, малейшая неоднородность в корпусе вращающейся части турбины, практически совершенно неизбежная, должна сказываться гораздо сильнее и затушевывать влияние вращения Земли. Не приходится возлагать поэтому никаких надежд на то, чтобы вращение Земли «заставить помогать нашим вращающимся механизмам в их работе», как писал академик Д. Граве в упомянутой заметке.

81. В половодье и в межень

Изогнутость водной поверхности реки в половодье и в межень объясняется тем, что средняя, осевая часть

(«стрежень») текущей водной массы имеет бóльшую скорость, чем краевые: река на стрежне течет быстрее, чем у берегов. Поэтому в половодье, когда вода прибывает с верховья, она притекает вдоль стрежня в большем количестве, чем у берегов; по оси ежесекундно прибывает больше воды, чем по краям; естественно, что река вздувается посередине. Наоборот, в межень, когда вода убывает, отливая в низовье, она вдоль стержня спадает значительнее, чем у берегов, – и поверхность реки становится вогнутой.

Рассматриваемое явление особенно заметно на длинных и широких реках. «На Миссисипи, – пишет Э. Реклю в «Земле», – поперечная выпуклость реки во время разлива равна средним числом одному метру. Дровосекам хорошо известен этот факт: они знают, что сплавляемый лес, спущенный в реку во время разлива, выбрасывается на берега (соскальзывает с водной выпуклости), а при спаде воды плывет всегда посередине реки» (скопляется в водной низине).

82. Волны прибоя

Загибание гребней волн, набегающих на пологий берег, объясняется тем, что скорость распространения волн по поверхности неглубокого водоема зависит от глубины этого водоема, а именно – прямо пропорциональна квадратному корню из глубины. Когда волна бежит над мелким местом моря, гребень ее возвышается над дном больше, чем долина волны; следовательно, гребень дол – жен двигаться быстрее, чем идущая впереди нее долина, и, обгоняя ее, загибаться вперед.

Этим же объясняется и другое явление, замечаемое на берегу моря во время волнения: гряды волн, разбивающихся о берег, всегда стремятся принять положение, ему параллельное. Причина в том, что когда к берегу приближаются волны, идущие параллельными рядами под углом к берегу, то часть волны, которая раньше других оказывается в мелком месте близ берега, замедляет свое движение. Нетрудно сообразить, что вследствие этого ряд волн должен поворачиваться по направлению к берегу до тех пор, пока не станет параллельным ему.