Текст книги "Математический аппарат инженера"

Автор книги: Виталий Сигорский

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 8 страниц)

х ∨ ( y ∨ z) = (х ∨ y) ∨ z, х ∧ ( y ∧ z) = (х ∧ y) ∧ z;

дистрибутивность

х ∧ ( y ∨ z) = (х ∧ y) ∧ (х ∨ z), х ∨ ( y ∧ z) = (х ∧ y) ∧ (х ∨ z);

свойство констант

х ∨ 0 = x, х ∧ 1 = x;

свойство отрицания

х ∨ x̅ = 1, х ∧ x̅ = 0.

Приведенные свойства позволяют получить ряд других важных законов и тождеств уже без обращения к таблицам соответствия: (законы де Моргана), х ∨ (х ∧ у) = х ∧ (х ∨ у) = х (законы поглощения) х ∨ х = х ∧ х = х (законы идемпотентности), а также тождества x ∨ (x̅ ∧ y) = x ∨ y; (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ∨ (x ∧ z̅ ); = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z̅ ); x̅ = x; 1̅ = 0;

0̅ = 1; x ∨ 1 =1; x ∧ 0 = 0 и т. д.

– 64 -

Так, законы идемпотентности доказываются следующими преобразованиями:

х ∨ х = (х ∨ х) ∧ 1 = (х ∨ х) ∧ (х ∨ x̅ ) = х ∨ (х ∧ (х ∨ х)) = х ∨ 0 = х;

х ∧ х = (х ∧ х) ∨ 0 = (х ∧ х) ∨ (х ∧ x̅ ) = х ∧ (х ∨ x̅ ) = х ∧ 1 = х.

Используя полученные соотношения, имеем:

х ∨ 1 = x ∨ ( x ∨ x̅ ) = (х ∨ х) ∨ x̅ = х ∨ x̅ = 1; x ∧ 0 = x ∧ ( x ∧ x̅ ) = x ∧ x̅ = 0.

Доказательство законов поглощения имеет вид:

x ∨ (x ∧ y) = (x ∧ 1) ∨ (x ∧ y) = x ∧ (1 ∧ y) = x ∧ 1 = x;

x ∧ (x ∨ y) = (x ∨ 0) ∧ (x ∨ y) = x ∨ (y ∧ 0) = x ∨ 0 = x.

Соотношение = х доказывается следующим образом:

из х ∨ x̅ = 1 по закону коммутативности следует x̅ ∨ x = 1, откуда сравнением с = 1 имеем х = .

Интересно доказательство закона де Моргана. На основании свойств отрицания равенство функций x̅ ̅∨̅ ̅y̅ и x̅ ∧ y̅ должно означать, что

(х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = 1 и (х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = 0.

Действительно,

(х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = ((х ∨ у) ∨ x̅ ) ∧ ((х ∨ у) ∨ y̅ ) = (( x ∧ x̅ ) ∨ y ) ∧ (x ∨ (y ∨ y̅ )) =

= (1 ∨ y) ∧ (x ∨ 1) = 1 ∧ 1 = 1, а также

(х ∨ у) ∧ ( x̅ ∧ y̅ ) = (х ∧ ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = (у ∧ ( x̅ ∧ y̅ ) = ((x ∧ x̅ ) ∧ y̅ ) ∨ ((y ∧ y̅ ) ∧ x̅ ) =

= (0 ∧ y̅ ) ∨ ( x̅ ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0.

Следовательно, соотношение x̅ ̅∨̅ ̅y̅ = x̅ ∧ y̅ доказано. Аналогично доказывается и второй закон.

Упрощение записи формул.Операции дизъюнкции и конъюнкции удовлетворяют законам коммутативности и ассоциативности. Поэтому если переменные или формулы связаны только посредством одной из этих операций, то их можно выполнять в лгсбом порядке, а формулы записывать без скобок. Например:

((х₁ ∨ x₂) ∨ (х₃ ∨ x₄) ∨ х₅ = х₁ ∨ x₂ ∨ х₃ ∨ x₄ ∨ х₅,

а также (х₁ ∧ x₂) ∧ (x₃ ∧ (х₄ ∧ x₅) = х₁ ∧ x₂ ∧ x₃ ∧ х₄ ∧ x₅.

Если считать, что операция конъюнкции должна предшествовать операции дизъюнкции (конъюнкция связывает сильнее дизъюнкции), то можно опустить скобки, в которые заключены формулы со знаком конъюнкции. При наличии скобок в первую очередь должны выполняться операции внутри скобок, независимо от их старшинства. Обычно опускают также скобки, в которые заключены формулы со знаком отрицания.

Еще одно упрощение связано с символикой. Знак конъюнкции в формулах можно опустить и вместо х ∧ у писать ху. Операцию конъюнкции часто называют логическим умножением, а операцию дизъюнкции – логическим сложением.

С учетом приведенных условий запись существенно упрощается. Например, формуле (x ∧ (y ∧ z̅ )) ∨ (( x̅ ̅∨̅ ̅y̅ ) ∧ z) соответствует запись xyz̅ ∨ x̅ ̅∨̅ ̅y̅ z.

7. Переключательные схемы. В качестве одной из интерпретаций булевых функций рассмотрим электрическую схему, состоящую из источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей (х₁ и x₂). Ключи управляются кнопками с двумя состояниями: кнопка нажата (1) и кнопка отпущена (0). Если в исходном состоянии ключ разомкнут, то при нажатии кнопки он замыкается.

– 65 -

Ключ может быть сконструирован и так, что в исходном состоянии он замкнут, тогда нажатие кнопки означает его размыкание, т. е. приводит к противоположному результату. Поэтому нормально замкнутые ключи обозначим через x̅₁ и x̅₂.

При соответствующих состояниях кнопок лампочка принимает одно из двух состояний: горит (1) и не горит (0). Состояния кнопок отождествляются со значениями булевых переменных х₁ и x₂, а состояние лампочки – со значением функций этих переменных.

Рис. 22. Переключательные схемы, соответствующие операциям отрицания (а), дизъюнкции (б) и конъюнкции (в)

Операции отрицания соответствует схема с одним нормально замкнутым ключом (рис. 22, а). Если кнопка нажата (х = 1), ключ разомкнут и лампочка не горит, т. е. f(х) = 0; при отпущенной кнопке (х = 0) ключ замкнут и лампочка горит, т. е. f(x) = 1. Операциям дизъюнкции и конъюнкции соответствуют схемы с двумя нормально разомкнутыми ключами (рис. 22, б, в). Легко убедиться, что в схеме рис. 22, б лампочка горит при нажатии хотя бы одной из кнопок, а в схеме рис. 22, в – только при нажатии обеих кнопок одновременно.

Рис. 23. Переключательная схема, реализующая логическую функцию (а), и упрощенная схема(б).

Любую сложную булеву функцию можно представить некоторой переключательной схемой. На рис. 23,а показана схема, реализующая функцию у = х₁ x̅₂ ∨ x̅₁ x₂x₃ ∨ x₃x₄. Та же функция представляется равносильной формулой у = х₁ x̅₂ ∨ ( x̅₁ x₂ ∨ x₄)x₃, которой соответствует другая более простая схема (рис. 23, б). Следует иметь в виду, что ключи, обозначенные одинаковыми буквами (х или x̅ ), связаны между собой и управляются общей кнопкой.

В реальных устройствах используются ключи различной конструкции и физической природы (механические, электромагнитные, электронные, гидравлические, пневматические и т. д.) Однако при реализации логических функций многие технические особенности не имеют значения.

– 66 -

Существенными свойствами контактных схем являются исходные положения ключей (нормально разомкнуты или нормально замкнуты) и способ их соединения между собой и внешними устройствами. Эта информация полностью отображается графом, ребра которого соответствуют ключам, а вершины – точкам их соединения. Ребра нормально разомкнутых ключей обозначаются соответствующей переменной (х), а нормально замкнутых – отрицанием переменной (х). Например, контактная схема (рис. 23, б) изображается графом, как показано на рис. 24, а.

При изображении контактных схем графами принимаются некоторые специфические условия и упрощения. Обычно переменные обозначаются в разрывах линий, изображающих ребра.

Рис. 24. Граф переключательной схемы (а) и его упрощенное изображение (б).

При этом ребрами считаются только такие линии, которые обозначены какой-либо переменной или ее отрицанием. Другие линии, не являющиеся ребрами графа, могут изображать входы и выходы схемы, связи с другими схемами и т. п. Кроме того, вершины второй степени могут не изображаться, так как им инцидентны пары последовательно соединенных ребер, из которых каждое обозначено соответствующей переменной.

На рис. 24,б показана контактная схема в обычно принятом виде.

8. Высказывания.Пусть х₁ и x₂ – некоторые высказывания, которые могут быть истинными (1) или ложными (0), например: «Я пойду в театр» (х₁) и «Я встречу друга» (x₂). Дизъюнкцией х₁ ∨ x₂ является сложное высказывание «Я пойду в театр или встречу друга», а конъюнкцией х₁ ∧ x₂ – высказывание «Я пойду в театр и встречу друга».

Ясно, что если высказывание истинно, то его отрицание ложно. Сложное высказывание, образованное дизъюнкцией двух высказываний, истинно при условии, что истинно хотя бы одно из них. Сложное высказывание, образованное конъюнкцией двух истинных высказываний истинно, если истинны оба эти высказывания одновременно.

Итак, высказывания можно рассматривать как двоичные переменные, а связки «не», «или», «и», с помощью которых образуются сложные высказывания, – как операции над этими переменными.

– 67 -

В алгебре высказываний используются еще две операции: импликация х₁ → x₂, соответствующая связке «если, то» и эквиваленция х₁ ~ x₂, соответствующая связке «если и только если». Они задаются следующими таблицами:

В нашем примере импликацией будет высказывание: «Если пойду в театр, то встречу друга», а эквиваленцией – пойду в театр, если и только если встречу друга». Как видно из таблиц, импликация высказываний ложна только в случае, когда первое из простых высказываний истинно, а второе ложно. Эквиваленция является истинным высказыванием, если оба простые высказывания истинны или ложны одновременно.

Обозначив буквами простые высказывания, можно представить сложное высказывание формулой с помощью соответствующих связок. Например, высказыванию «Если давление масла на шарик клапана больше усилия его пружины (х₁), то масло открывает клапан (х₂) и частично перетекает из нагнетательной полости во впускную (х₃)» соответствует формула х₁ → х₂ х₃.

9. Предикаты. Обычно высказывания выражают свойства одного или нескольких объектов. Содержательная часть высказывания играет роль определяющего свойства совокупности объектов, для которых это высказывание истинно, и называется предикатом. Например, высказывание «Иванов – отличник» истинно или ложно в зависимости от оценок, которые имеет данный студент. В то же время предикат «х – отличник» определяет подмножество отличников на некотором множестве студентов (группа, курс, факультет). Подставив вместо х фамилии студентов, получим множество высказываний. Совокупность истинных высказываний и будет соответствовать подмножеству отличников.

Предикат представляет собой логическую функцию Р(х), принимающую, как и булевы функции, значение 0 или 1, но в отличие от них, значения аргумента х выбираются из некоторого множества М объектов (х ∈ М). В общем случае такая функция может зависеть от многих аргументов х₁, х₂, . . .,х_n, принимающих значения из одного и того же или различных множеств. Ее записывают Р(х₁, х₂, ...,х_n) и называют n-местным предикатом. Например: «х – четное число», «х – компонент цепи» – одноместные предикаты Р(х);

– 68 -

«х брат у», «х меньше у» – двуместные предикаты Р(х, у); «х и у – родители z»,

«х – сумма y и z» – трехместные предикаты Р(х, y, z) и т. д. Если аргументы х₁, х₂, ... ,х_n замещены конкретными значениями (объектами), то предикат переходит в высказывание, которое рассматривают как 0 – местный предикат.

Так как предикаты способны принимать только значения 0 и 1, то их, как и булевы переменные, можно связывать логическими операциями. В результате получаем формулы, определяющие более сложные предикаты. Так, если Р(х) означает «х – инженер», а Q(х) – «x – сотрудник нашего отдела», то Р(х) ∧ Q(х) = R(х) есть одноместный предикат «х – инженер и сотрудник нашего отдела» или проще «х – инженер нашего отдела». Очевидно, если Р – множество инженеров, а 0 – множество сотрудников данного отдела, то этот предикат соответствует пересечению Р ∩ Q. Таким образом, имеет место тесная связь между логикой предикатов и операциями над множествами.

10. Двоичная арифметика. В позиционной системе счисления с основанием m любое целое неотрицательное число a записывается последовательностью различных цифр x₁x₂ ... x_n, что означает a = x₁m^n-1 + x₂m^n-2 + ... + x_nm⁰. Десятичная система использует цифры 0, 1, ..., 9, например: 2907 = 2·10³ + 9·10² + 0·10¹ + 7·10⁰. Для двоичной системы счисления достаточно двух цифр, которые обозначаются 0 и 1. При этом последовательность x₁x₂ ... x_n таких цифр является записью двоичного n-разрядного числа x₁·2^n-1 + x₂·2^n-2+ ... + x_n·2⁰.

Перевод целых десятичных чисел в двоичные осуществляется последовательным делением исходного числа и каждого частного на два. Получаемые при этом остатки (0 или 1), записанные в обратном порядке, и дают представление десятичного числа в двоичной системе счисления. Например:

Действительно, проверяя полученный результат, получаем 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 +8+2 = 26.

Дробное число переводится в двоичную систему счисления методом последовательного умножения на два. При этом каждый раз

– 69 -

после запятой двоичного числа записывается 0 или 1 соответственно целой части результата умножения. Последовательное умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть не обратится в нуль или пока не получим требуемое количество двоичных знаков после запятой. Например, двоичное представление числа 0,3125 получается следующим образом:

Проверка полученного результата дает: 0·2^-1 + 1·2^-2 + 0·2^-3 + 1·2^-4 = 1/4 +1/16 = 5/16 = 0,3125.

Если число является смешанным, т.е. его целая и дробная части отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть– последовательным делением, а дробная – последовательным умножением.

Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножения одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления умножение задается таблицей конъюнкции: 0·0=0; 1·0=0; 0·1=0 и 1·1=1. Сложение выполняется по правилу: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 0+1=1 и 1+1=10 (10 – это двоичное число, соответствующее десятичному числу 2). Операции над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичными для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для умножения). Например, десятичные операции 41 + 27 = 68 и 41·5= 205 выглядят следующим образом:

– 70 -

Как видно, умножение двоичных чисел сводится к сложению чисел, образованных сдвигом влево первого сомножителя. Поразрядное сложение осуществляется в соответствии с таблицей

причем в случае x₁ = x₂ = 1 образуется единица переноса в старший разряд. Операция, задаваемая этой таблицей, называется сложением по модулю 2. Если при сложении перенос не учитывается, то эта операция вместе с операцией умножения определяет на множестве двоичных чисел арифметику по модулю 2.

Задачи и упражнения

1. Подстановкой в формулу a ∨ b переменных запишите новые формулы и упростите их, если это возможно: а) a = x̅y, b = z. б) a = xy, b = xy̅; в) a = x, b = xy; г) a = x, b = x̅y; д) a = xy, b = c ∨ d, c = xz, d = yz̅.

2. Запишите таблицы соответствия для следующих формул: а) xx̅; б) xy ∨ x̅; в) (p ∨ q)(p̅ ∨ q̅); г) x̅∨̅y̅.

3. Проверьте с помощью таблиц соответствия следующие тождества: а) x̅∨̅y̅ = x̅ y̅; б) x ( x ∨ y) = x; в) x ∨ x̅ y = x ∨ y.

4. Постройте переключательные схемы для обеих частей приведенных ниже тождеств и убедитесь в том, что эти схемы функционируют одинаково:

а) xy∨x̅y∨x̅y̅=y ∨ x̅y̅

б) (x∨y)(x∨z) = x ∨ yz;

в) xyz∨xyz̅∨xy̅ = x.

5. Упростите следующие формулы:

а) x̅yz∨xy̅z̅∨xyz̅;

б) xy∨z∨x̅y̅∨̅z̅(zv∨x);

в) xy̅z̅∨xyz̅∨x̅yz∨xyz;

г) (x∨y)(x̅y̅∨z)∨z̅∨(x∨y)(u∨v).

6. Комитет, состоящий из трех членов, принимает решения большинством голосов. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена комитета производилось нажатием своей кнопки и чтобы лампочка загоралась, если и только если решение принято. Какое наименьшее количество ключей необходимо?

7. Постройте схему освещения так, чтобы лампочка могла независимо включаться и выключаться двумя выключателями.

– 71 -

8. Преобразуйте формулы к такому виду, чтобы операция отрицания применялась только к логическим переменным:

9. Убедитесь с помощью таблиц соответствия в справедливости выражений для импликации и эквиваленции:

а) x₁→ x₂ = x̅₁∨x₂;

б) x₁ ∼ x₂ = x₁x₂∨ x̅₁x̅₂ = (x₁∨x̅₂)(x̅₁∨x₂);

в) x₁ ∼ x₂ = ( x₁→ x₂ )( x₂→ x₁ ).

10. Постройте переключательные схемы для импликации и эквиваленции в соответствии с тождествами, приведенными в задаче 9.

11. Запишите формулу, соответствующую переключательной схеме рис. 25. Упростите эту формулу и постройте более простую схему.

Рис. 25. Граф переключательной схемы к задаче 11.

12. Постройте переключательные схемы по формулам:

а)(x₁ ∨ x₂x̅₃)(x₁x₂ ∨ x₃x₄)

б) (x̅₁ (x₂ ∨ x̅₃) ∨ x̅₄)x₁.

13. Из простых высказываний x₁ – «испытания проведены» и x₂ – «программа выполнена» образуйте сложные высказывания по формулам а) x₁∨x̅₂; б) x₁x₂; в) x₁→ x₂ ; г) x₁ ∼ x₂.

14. Запишите формулы для следующих высказываний, обозначив буквами входящие в них простые высказывания:

а) Давление падает и система не работает.

б) Вычисления выполнены точно или конструкция несовершенна.

в) Проект разработал Андрей или Петр, а эксперимента выполнил Иван.

г) Если будет хорошая погода, мы отправимся на стадион или пойдем за грибами.

д) Программа может быть выполнена, если и только если материалы поступят своевременно.

е) Если я поеду на автобусе, то опоздаю на работу или я воспользуюсь такси.

ж) Андрей помогает Петру или Петр помогает Андрею, или они помогают друг другу.

15. Запишите формулу, соответствующую высказыванию: «Программа будет выполнена тогда и только тогда, когда закончатся испытания и показатели будут удовлетворительны; если программа не будет выполнена, сотрудники не получат премию или будут пересмотрены технические условия».

16. Даны простые высказывания: x₁ – «идет дождь), x₂ – «очень жарко».

а) Запишите формулу сложного высказывания «Неверно, что идет дождь и очень жарко».

б) Преобразуйте формулу по закону де Моргана и составьте соответствующее высказывание.

в) Убедитесь в тожественности исходного и преобразованного высказываний.

17. Путешественник остановился у развилки дорог, ведущих в пункты А и В, и ему нужно выяснить, в какой именно пункт ведет каждая из дорог. Находившиеся у развилки два человека заявили, что они могут ответить только на один вопрос и что один из них всегда правдив, а другой лжец. Какой вопрос должен задать путешественник, чтобы в любом случае ответ на него содержал необходимою информацию?

а) Решите задачу путем непосредственных рассуждений без применения алгебры логики.

– 72 -

б) Представьте ситуацию в виде сложного высказывания, составленного из простых.

в) Запишите соответствующую формулу и таблицу соответствия.

г) По таблице соответствия сформулируйте искомый вопрос.

18. Высказывание является логически истинным, если соответствующая ему формула тождественно равна единице, и логически ложным, если формула равна нулю. Определите с помощью таблиц соответствия, каким высказываниям соответствуют приведенные ниже формулы (истинным, ложным или ни тем и не другим): а) p ∼ p; б) p → p̅; в)(p∨q) ∼ pq; г)(p→q̅) → (q → p̅); д)(p→ q)→ p; е) ((p→ q)→ p)→ p; ж) p̅∨̅q̅ ∼ pq .

19. При x₁ = 1; x₂ = 0; x₃ = 0 и x₄ = 1 найдите значения каждой из следующих функций:

20. Пусть X – множество сотрудников отдела и на этом множестве определены относительно переменной x ∈ X одноместные предикаты P(x), Q(x), R(x), означающие соответственно: x – занимается спортом, изучает иностранный язык, имеет изобретения. Расшифруйте предикаты, образованные с помощью следующих логических операций: а) P(x) ∨ Q(x); б) P(x) Q(x); в) P̅(x) Q(x); г) Q(x) ∼ P(x); д) P̅(x) ∼ (Q(x) ∨ R(x)).

21. Пусть V – множество вершин и E – множество ребер графа, причем ребро e ∈ E соединяет вершины x,y ∈V. Что означают предикаты P(x,y), Q(e, x, y), R(x,e)?

22. Каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные числа: а) 1011; б) 1000110; в) 110100111?

23. Переведите в двоичную систему счисления десятичные числа: а) 51; б) 64; в) 125; г) 1000.

24. Выполните в двоичной системе следующие операции над десятичными числами: 21 + 37; 31 + 105; в) 25 · 8; г) (8 + 19) · 11; д) 24 · 8 – 17. Проверьте полученные результаты в десятичной системе.

25. Переведите в двоичную систему счисления с точностью до пяти двоичных знаков после запятой числа: а) 0,131; б) 0,25; в) 175,26.

26. Дайте обоснование правил перевода десятичных числе в двоичные.

27. Сложите двоичные числа 11001110 и 11010111 по обычному правилу и по модулю два. Найдите разность полученных результатов и объясните ее смысл.

6. Вероятности

1. Случайные события. Познание закономерностей объективного мира позволяет выявлять связи между событиями (или явлениями) и условиями, которые определяют их появление. Если можно указать комплекс условий, при каждой реализации которого событие неизбежно происходит, то это событие называется достоверным. Событие, которое заведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий, называется невозможным. Очевидно,

– 73 -

невозможность события равносильна достоверности противоположного события.

Однако предсказать с полной определенностью наступление того или иного события удается далеко не всегда. Это связано с тем, что часто указываемый комплекс условий не отражает всей совокупности причинно-следственных связей между явлениями. Либо вызывающие данное событие причины еще недостаточно изучены, либо учет всей совокупности причин настолько сложен, что практически целесообразно ограничить комплекс условий наиболее существенными и поддающимися контролю. Возникающая при этом неопределенностью является признаком случайных событий.

Случайное событие относительно некоторого комплекса вполне определенных условий может произойти, а может и не произойти. Примеры случайных событий: перегорание лампочки через 1000 ч работы, попадание в цель при обстреле тремя снарядами, выпадание пяти очков при бросании игральной кости, победа киевского «Динамо» в предстоящем футбольном чемпионате и т.п.

2. Вероятность. Возможность появления случайного события А при реализации комплекса условий S оценивается количественной мерой, которая называется вероятностью и обозначается как P(A/S) или короче P(A). Обычно вероятность достоверного события принимается равной единице, а невозможного события нулю. Тогда для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1, а вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы.

Интуитивно ясно, что событие тем более вероятно, чем чаще оно происходит в рассматриваемых условиях. Таким образом, вероятность P(A/S) непосредственно связана с частотой появления события А при многократном повторении комплекса условий S. С увеличением числа таких повторений, называемых испытаниями, частота все более точно характеризует значение вероятности.

Закономерности, присущие случайным событиям, имеют массовый характер и называются вероятностными или стохастическими. Они играют большую роль в науке и технике при исследовании сложных явлений, проектировании и планировании.

Существует много различных подходов к определению вероятности, которые обычно сводятся к описанию практических приемов ее вычисления. Основные из них рассматриваются ниже.

3. Классическое (комбинаторное) определение. Если из общего числа n равно возможных и несовместных исходов (случаев) событию А благоприятствуют m исходов, то вероятность события А

Например, при подбрасывании монеты возможны два исхода – выпадение герба (Г) и цифры (Ц). Эти исходы можно считать равно

– 74 -

возможными (никакой из них не имеет преимущества перед другим) и несовместными (они не могут появиться вместе). Поэтому вероятность герба равна 1/2. Такая же вероятность и выпадания цифры. Полученный результат говорит о том, что при многократных подбрасываниях монеты примерно в половите случаев выпадает греб, причем этот результат тем ближе к действительности, чем больше число испытаний. При подбрасывании двух монет число всех исходов равно четырем {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}. Вероятность выпадения двух гербов (как и двух цифр) равна 1/4, но герб и цифра будут появляться с вероятностью 2/4 = 1/2, поскольку этому событию благоприятствую два исхода {ГЦ, ЦГ}.

В более сложных случаях для подсчета числа исходов используются комбинаторные методы. Пусть, например, известно, что в партии из r изделий имеется s бракованных. Найдем вероятность того, что из выбранных наугад v изделий w окажутся бракованными (событие А). Общее число исходов равно количеству сочетаний из r изделий по v, т.е. C_r^v. Благоприятствующие исходы соответствуют сочетаниям из w бракованных и v – w годных изделий. Так как w бракованных можно выбрать C_s^w различными способами, а v-w годных изделий можно выбрать C_r-s^v-w способами, то число исходов, благоприятствующих событию А, будет C_s^wC_r-s^v-w и следовательно,

Комбинаторное определение возникло в самом начале развития теории вероятностей в связи с изучением шансов в выигрыш в азартных играх. Оно удобно в тех случаях, когда заведомо применимо положение о равновозможности исходов наблюдений (подбрасывание монет и игральных костей, извлечение шаров из урны или карт из колоды, случайная выборка объектов из некоторой их совокупности при статистических исследованиях, распределения и взаимодействия физических частиц и т.п.). В то же время изложенных подход нельзя считать определением вероятности в строгом смысле, так как используемое в нем понятие равновозможности по существу означает равновероятность (вероятность определяется через равновероятность). Кроме того, он оказывается практически бесполезным, если неясно, какие исходы следует считать равновозможными.

4. Статистическое (частотное) определение. Статистический подход основан на регистрации появления события при многократных

– 75 -

наблюдениях в одинаковых условиях. Если событие А появляется в m исходах наблюдений из их общего числа n, то вероятность этого события

Разумеется, бесконечное число наблюдений n можно представить лишь теоретически, а на практике приходится довольствоваться конечным и часто весьма ограниченным числом наблюдений. Получаемое при этом значение для частоты события m/n называют статистической вероятностью. При небольшом числе наблюдений частота события может существенно отклоняться в различных сериях экспериментов, но с увеличением числа наблюдений она все более стабилизируется, сосредоточиваясь вблизи истинного значения вероятности. Так, никто не удивится, если при десятикратных бросаниях монеты герб выпадает 3, 7 или 8 раз. Но если бы при 1000 бросаний герб выпал 300, 700 или 800 раз, то это заставило бы полностью пересмотреть предположение о равновозможности выпаданий герба и цифры или искать какой-то скрытый изъян в проведении экспериментов (известны, например, следующие результаты выпадания герба в десяти сериях, каждая из которых состояла из 1000 подбрасываний монеты: 502, 511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529).

Статистические вероятности широко используют на практике. Например, при изучении большого числа данных установлено, что частота рождения девочек равна 0,482. Если известно, что из 10000 конденсаторов бракованных оказалось 116, то в аналогичных условиях следует ожидать появление негодного конденсатора с вероятностью 0,0116 или 1,16%.

5. Множество событий. Совокупность всех возможных исходов при данном комплексе условий образует множество элементарных событий. Любое событие рассматривается как подмножество этого основного множества (универсума).

Например, множество всех исходов при бросании двух игральных костей содержит 6·6 = 36 элементов. Каждый из них переставляет собой упорядоченную пару (a, b), где a и b – числа очков, выпавших соответственно при бросании первой и второй кости. Событию, заключающемуся в выпадании дубля, соответствует А (дубль) = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } а выпаданию в сумме меньше шести очков – подмножество В (меньше 6 очков) = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1) }.

Выбор трех из пяти кандидатов {a, b, c, d, e} имеет C₅³ = 10 исходов, которые и образуют множество элементарных событий. Выбору кандидата a (среди трех кандидатов) соответствует событие

– 76 -

A (выбор a) = {(abc), (abd), (abe), (acd), (ace), (ade) }, выбору кандидатов b и d – событие B (выбор b и d) = {(abd), (bcd), (bde)}, выбору только одного из кандидатов b или d (но не обоих вместе) – событие С (выбору или b или d) = {(abc), (abe), (acd), (ade), (bce), (cde)}.

6. Несовместные события. События А и В называют несовместными, если соответствующие им подмножества не пересекаются, т.е. A∩B = ∅ (например, выпадение пр бросании двух игральных костей дубля и нечетного числа очков). Если из осуществления события А неизбежно следует событие В, то А является подмножеством В, т.е. A ⊂ B или A ∩ B = A (например, из выпадания дубля следует событие, заключающееся в выпадании четного числа очков). Подобные события всегда совместные.

Событие, заключающееся в реализации несовместных событий А или В, соответствует их объединению A ∪ B или дизъюнктивной сумме A + B и его вероятность равна сумме вероятностей P(A) и P(B), т.е.

P(A + B) = P(A) + P(B).

Действительно, если m_A и m_B – числа исходов, благоприятствующих событиям А и В, то появлению события А или В будет благоприятствовать m_A + m_B исходов из общего числа n исходов, поэтому

Этот вывод естественно обобщается на любое число несовместных событий, т.е.

P(A₁ + A₂ + ... + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n).

Если объединение попарно несовместных событий составляет основное множество, то появление одного из них является достоверным событием, т.е. P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1. Говорят, что такие события образуют полную систему событий, а их вероятности удовлетворяют нормирующему условию

P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n) = 1.

В частности, P(A ∪ A̅) = P(A) + P(A̅) = 1, откуда следует выражение для вероятности противоположного события

P(A̅) = 1 – P(A) .

Например, при бросании двух игральных костей полную систему образуют несовместные события: выпадение меньше четырех

– 77 -

очков (А), выпадение четырех или пяти очков (В) и выпадение больше пяти очков (С). Число благоприятствующих им элементарных событий m_A = 3, m_B = 7, и m_C = 26, следовательно, имеем:

7. Независимые события. События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от исхода другого. Так, число выпавших очков при каждом бросании игральной кости не зависит от результатов предыдущих испытаний. Вероятность вынуть белый шар из урны, в которой находится белых и черных шаров, не зависит от цвета шара, вынутого в предыдущем испытании, если каждый раз он возвращается в урну. Однако если ранее вынутый шар не возвращается, то эта вероятность изменяется после каждого испытания и, следовательно, вероятность его исхода будет зависеть от предыдущего исхода. Пусть например, в урне находится 2 белых и 3 черных шара. Вероятность вынуть белый шар до испытания равна 2/5, а после него она становится 1/4, если был вынут белый шар, и 1/2, если был вынут черный шар.

Событие, заключающееся в реализации как события А, так и события В, соответствует пересечению множеств, и его вероятность при независимости событий А и В равна произведению их вероятностей, т.е.

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Это соотношение можно доказать на основе классического определения вероятности (3). Пусть P(A) = m₁/n₁ и P(B) = m₂/n₂. Если события А и В независимы, то при каждом из m₁ исходов, благоприятствующих событию А, будет также m₂ исходов, благоприятствующих событию В. Значит, число исходов, благоприятствующих свершению как события А, так и события В, будет m₁ m₂. Аналогично выводим, что общее число возможных исходов равно n₁ n₂. Поэтому

Для нескольких независимых событий формула принимает вид:

P(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A_n ) = P(A₁)P(A₂)...P(A_n).

Пусть, например, устройство состоит из трех блоков, вероятности безотказной работы которых в течение времени t равны