Текст книги "Математический аппарат инженера"

Автор книги: Виталий Сигорский

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 8 страниц)

Annotation

Излагаются практически важные разделы аппарата современной математики, которые используются в инженерном деле: множества, матрицы, графы, логика, вероятности. Теоретический материал иллюстрируется примерами из различных отраслей техники. Предназначена для инженерно-технических работников и может быть полезна студентам ВУЗов соответствующих специальностей.

Математический аппарат инженера

Глава 1

Введение

1. Математика в инженерном деле

2. Множества

Задачи и упражнения

3. Матрицы

Задачи и упражнения.

4. Графы

Задачи и упражнения

5. Логика

Задачи и упражнения

6. Вероятности

Задачи и упражнения

Список литературы

Глава 2

1. Алгебра множеств

Глава 5

1. Логические функции

6. Конечные автоматы

Математический аппарат инженера

Сигорский В.П.

1977.

Глава 1

Введение

Сегодня трудно назвать область науки, промышленности и народного хозяйства, где бы не использовались математические модели. Это стало возможным благодаря совместным усилиям математиков, работавших в абстрактных областях, казавшихся вне приложений, и физиков-инженеров, и прежде всего радиотехников.

М. А. Лаврентьев

Эта глава начинается с рассмотрения общих вопросов применения математики в инженерном деле. Математический аппарат инженера определяется как взаимосвязанная совокупность языка, моделей и методов математики, ориентированная на решение инженерных задач. Цель настоящей книги – помочь инженеру в освоении некоторых практически важных разделов математического аппарата, пока еще не нашедших должного отражения в вузовском курсе высшей математики.

Основное внимание уделяется множествам, матрицам, графам, логике и вероятностям. Все эти разделы тесно связаны между собой, поэтому во вводной главе приведены краткие сведения по каждому из них, которые затем используются при более глубоком изложении материала. Внутренние ссылки даются тремя цифрами в скобках, означающими соответственно номера главы, параграфа, пункта. При ссылках на материал внутри главы ее номер опускается, а в пределах параграфа ссылка содержит только номер пункта.

При изучении вводной главы важно понять смысл основных определений, привыкнуть к соответствующей символике, научиться выполнять простейшие операции над математическими объектами. Этой цели должны способствовать приведенные в конце каждого параграфа задачи и упражнения, решение которых позволит закрепить и расширить изложенный материал. Даже если читатель отложит изучение специальных глав на будущее, то и тогда материал вводной главы может пригодиться при чтении специальной литературы и справочных пособий. Разумеется, каждый читатель в зависимости от его подготовки и целей наметит свой подход к использованию книги.

– 5 -

В конце каждой главы приведен краткий обзор литературы, который включает монографии и учебные пособия, использованные при подготовке той книги и рекомендуемые для более глубокого изучения затронутых в ней вопросов.

1. Математика в инженерном деле

1. Взаимодействие математики и техники. Технические науки развиваются в тесном взаимодействии и сотрудничестве с математикой. Это проявляется, с одной стороны, в использовании математического аппарата для решения научно-технических задач. С другой стороны, инженерная практика в значительной мере ориентирует и стимулирует развитие самой математики. Можно привести множество примеров, иллюстрирующих это положение.

Исследование различных типов дифференциальных уравнений с самого начала тесно связывалось с решением технических и физических проблем. Метод наименьших квадратов, ставший одним из эффективных средств обработки результатов наблюдений возник из потребностей геодезической практики. Начертательная геометрия развилась под влиянием строительного дела, архитектуры и механики. Огромный арсенал численных методов сформировался и продолжает развиваться благодаря практическим потребностям.

Взаимодействие математических и прикладных дисциплин приводит к их взаимному обогащению, причем этот процесс носит двусторонний характер. Нередко идеи и методы, разработанные для решения частных задач в какой-либо конкретной области, приобретают в процессе развития столь общее значение, что их строгое обоснование становится делом математиков. Те идеи и методы, которые выдерживаются всесторонние и подчас весьма длительные испытания, развиваются в математические теории, обслуживая затем более широкий класс задач, чем те, из которых они возникли.

Характерным примером в этом отношении является теория вероятностей, для оформления которой как раздела математики понадобилось несколько столетий, считая от первых попыток найти закономерности в азартных играх. Операционное исчисление, разработанное на интуитивном уровне в конце прошлого века для расчета электрических цепей, испытало на себе все превратности судьбы, но затем получило строгое обоснование и нашло свое место в теории интегральных преобразований.

– 6 -

Можно привести много других примеров, когда математические теории, возникающие и развивающиеся из внутренних потребностей математики, находят затем широкое практическое применение в других отраслях науки и техники. Так обстояло дело, например, с математической логикой, аппарат которой стал одним из основных средства проектирования автоматов и моделирования дискретных систем. Неэвклидовы геометрии, служившие первоначально целям аксиоматического обоснования математики, нашли применение при конструировании самолетов и ракет. Теория электромагнитных волн была разработана за несколько десятилетий до их обнаружения и практического использования.

В результате взаимодействия математики и техники возникают и успешно развиваются новые прикладные науки. Так, на стыке теории вероятностей с техникой связи и передачи сообщений возникла теория информации, методы которой используются не только в технике, но и в экономике, лингвистике, биологии. Под влиянием и при непосредственном участии математики развиваются такие общие науки как кибернетика, теория цепей и систем.

Одним из наиболее эффективных результатов взаимодействия математики и техники явилось создание современных вычислительных машин. Симбиоз математических методов и технических средств электроники, магнитной техники, прикладной оптики и механики уже весьма высоко зарекомендовал себя в этом отношении и открывает необозримые перспективы в будущем. Развитие вычислительной техники позволяет привести в действие более мощные ресурсы математики и усиливает ее роль как непосредственной производительной силы общества, способствуя тем самым прогрессу самой математики.

2. Современная математика. Наиболее характерной чертой современной математики является чрезвычайно высокая степень обобщения и абстракции. Традиционное определение математики как науки о пространственных формах и количественных отношениях уже не соответствует современному положению вещей, оно приобретает более глубокое и широкое содержание. Предмет современной математики составляют совокупности объектов самого общего вида и любые возможные отношения между ними.

Так, трехмерное геометрическое пространство обобщается на любое число измерений, и в этом многомерном пространстве изучаются пространственно подобные отношения (длина, расстояние, ортогональность). Алгебраические операции абстрагируются и распространяются на объекты любой природы, которые образуют различные структуры в зависимости от приписываемых им свойств (группа, кольцо, тело, поле). Под переменными понимаются не только обычные величины, но и функции, которые рассматриваются как объекты функциональных пространств. Изучаемые математикой объекты объединяют совокупности величин, для представления которых используются такие понятия как множества, матрицы, графы.

– 7 -

Математика развивается как единая наука с присущими ей методами. Но в зависимости от точки зрения на ее предмет математику подразделяют на содержательную математику, формальную математику, метаматематику и прикладную математику.

Содержательная математика изучает системы абстрактных объектов, наделенных конкретным содержанием и называемых конструктами. Конструкты являются результатом идеализации материальных объектов и вводятся путем определения их свойств, которые постулируются или доказываются на основе принятых ранее определений других объектов. Например, точка рассматривался как то, что не имеет частей, линия – как то, что имеет только длину, параллельность – как такое свойство прямых, что, находясь в одной плоскости и будучи продолжены неограниченно в обе стороны, они нигде не встречаются. Содержательный смысл таких объектов вытекает из их описания.

Формальная математика отвлекается от конкретной природы объектов и сосредотачивает свое внимание на отношениях в чистом виде (например, отношение параллельности не связывается с понятием линии). Первоначально вводится совокупность символов (алфавит), которые различаются только по форме, а также задаются правила построения из этих символов терминов и предложений. Исходные положения формальной теории (аксиомы) принимаются в виде предложений, в которые входят определяемые термины. Из этих предложений на основе установленных правил преобразования выводятся другие предложения (теоремы) данной теории.

Метаматематика изучает формализованные теории как системы терминов и предложений. Объектами исследования метаматематики являются конечные последовательности (строчки) символов с операциями, которые представляют термины и предложения (в том числе аксиомы и теоремы). Метаматематику можно считать содержательной наукой, если системы символов рассматривать как материальные объекты.

Прикладная математика включает математические теории, проблемно-ориентированные на изучение явлений природы и общества. Такая ориентация осуществляется путем истолкования объектов формальных и содержательных теорий в категориях реального мира (эмпирическая интерпретация). Например, связывая понятия точки, линии, параллельности (или соответствующие им символы и термины) с объектами и отношениями физического пространства, приходим к прикладной (эмпирической) теории, которая обслуживает проблематику соответствующей области. Одна и та же математическая теория, получая различные интерпретации, может явиться основой для построения многих прикладных теорий.

– 8 -

Так, двузначная логика интерпретируется в технике как теория контактных и логических схем, а в науке о мышлении – как исчисление высказываний.

В отличие от прикладной математики, остальные математические теории часто относят к «чистой» математике. Однако между чистой и прикладной математикой невозможно провести четкую грань, да в этом и нет потребности. Ясно, что чисто математическая теория при определенных условиях может получить эмпирическую интерпретацию и стать основой для прикладной теории. В то же время теория, зародившаяся в недрах прикладных наук, может заслужить право на обобщение до уровня чисто математической теории.

3. Инженерное дело. Слово инженер происходит от латинского ingenium, что означает способность, изобретательность. Инженерное дело развивалось из ремесел, во все времена инженер что-то изобретал и сооружал. В современных условиях деятельность инженера по существу сводится к тому же, но она становится все более разнообразной по форме и содержанию. В процессе развития и сближения прикладных и фундаментальных наук высшие формы инженерного дела приобретаются характер научно-исследовательской работы.

Инженерное дело характеризуется чрезвычайно широкой сферой приложения. Инженер может быть занят непосредственно в производстве, в проектной или научно-исследовательской организации, в государственных органах управления. Он может работать на вычислительном центре, на борту океанского лайнера или самолета. При этом круг его обязанностей в различной степени связан с производственной, конструкторской, исследовательской или административной деятельностью.

Наряду с расширением сферы приложения инженерного дела, усиливается его специализация. Вследствие развития производства и прикладных наук происходит расщепление традиционных специальностей, появляются новые. Так, перечень специальностей и специализаций, по которым ведется подготовка инженеров в вузах нашей страны, содержит более 500 названий.

Будучи специалистом в узкой области, инженер должен быть подготовлен к сотрудничеству и взаимопониманию с представителями других областей науки и техники, что совершенно необходимо в условиях современного производства, при разработке сложных технических проектов или проведении научных исследований. Ясно, что такая подготовка может быть достигнута только на прочном фундаменте естественных и математических наук.

Несмотря на большое разнообразие конкретных форм инженерной деятельности, центральное место в ней занимают процессы обработки данных и принятия решений. В условиях производства такими данными являются сведения о ходе технологических

– 9 -

процессов, результаты контроля выпускаемой продукции, технико-экономические показатели работы участка, цеха, предприятия. На основе анализа этих данных принимают решения, направленные на совершенствование технологии, увеличение производительности труда и повышение качества выпускаемой продукции. Принятие решений при проектировании основывается на анализе технических условий путем расщепления сложной задачи на более простые, использовании научно-технического опыта при теоретической и экспериментальной проверке выдвигаемых гипотез, всестороннем учете возможностей и ограничений технологии, экономических, социальных и психологических факторов. Участие в научных исследованиях возлагает на инженера принятие решений, направленных на обеспечение надежного функционирования технических средств и получение достоверных данных об исследуемых объектах. Инженеры участвуют также в планировании эксперимента, обработке данных и оформлении научных результатов.

Процессы обработки данных и принятия решений требуют привлечения математических методов и вычислительных средств, уровень которых зависит от сложности решаемых задач. Разумеется, успех дела в значительной мере определяется личными качествами инженера, его профессиональной и теоретической подготовкой. Важнейшую роль в этом отношении играет умение инженера выбрать соответствующий его задаче математический аппарат и наиболее эффективно использовать его для получения требуемого результата.

4. Математический аппарат инженера. По словам академика А. Н. Крылова, математика для инженера есть инструмент такой же, как штангенциркуль, зубило, напильник для слесаря. Инженер должен по своей специальности уметь владеть инструментом, но он вовсе не должен уметь его делать, подобно том, как слесарь не должен сам насекать напильник, но зато – уметь выбрать тот напильник, который ему нужен.

К математическому аппарату инженера можно отнести все то из математики, что используется в инженерном деле. В каждой конкретной области основу математического аппарата составляют математические теории, интерпретированные на совокупности объектов из данной области. Для математика такая интерпретация идет от теории к реальным системам, иллюстрирующим практичность теории и представляющим интерес как область ее приложения. Для инженера исходной является реальная система, при проектировании или исследовании которой он должен найти и использовать подходящую или, как говорят, адекватную математическую теорию. После эмпирической интерпретации адекватная математическая теория приспосабливается к решению задач данной конкретной области и развивается как прикладная.

– 10 -

Ясно, что для поиска и понимания математических теорий необходимо, прежде всего, знать язык математики. Без этого невозможно ни чтение математической литературы, ни общение с математиками. Более того, язык математики все больше приникает в прикладные области и широко используется в специальной литературе, т.е. в значительной мере становится и языком инженера.

Необходимым этапом на пути к адекватной теории является идеализация реальной системы в соответствии с поставленной задачей исследования или проектирования. Свойства идеализированной системы абстрагируются и отождествляются со свойствами математических объектов, в результате чего приходим к тому, что называют математической моделью системы.

Замена реальной системы соответствующей моделью позволяет использовать для ее исследования методы адекватной математической теории. В рамках прикладной теории эти методы, как правило, получают дальнейшее развитие в соответствии с характером решаемых задач и интерпретируются в терминах реальных объектов.

Итак, математический аппарат инженера можно определить как взаимосвязанную совокупность языка, моделей и методов математики ориентированную на решение инженерных задач.

5. Язык математики. В математике, как и в других науках, наряду с естественными языками, используются искусственные языки, формализация которых достигает такого уровня, что при некоторых условиях саму математику рассматривают как специально организованный язык (формальная математика).

Естественные языки служат средством связи в человеческом обществе, на них говорят и пишут в повседневной жизни. В мире существует несколько тысяч различных языков и диалектов и всем им присущи некоторые общие черты. Такие сильные стороны естественных языков, как универсальность и выразительность, проявляются в их способности выразить любые человеческие чувства и знания. В то же время фразеологическая громоздкость, неоднозначность слов и неточность грамматики затрудняют использование естественных языков в научных целях.

Присущие естественным языкам недостатки устраняют построением формального языка, словарем которого служит система символов, обозначающих математические объекты и переменные, а также операции над объектами и отношения между ними. Формулы и любая совокупность символов, отвечающая определенным требованиям, играют роль предложений такого языка. Важнейшая особенность формального языка математики состоит в том, что переход от одних формул к другим совершается по строго определенным правилам, не допускающим двусмысленного толкования.

– 11 -

Естественные и формальные языки взаимно дополняют друг друга и каждый из них используется по своему назначению. На естественных языках осуществляется часть рассуждений, даются дополнительные пояснения, обсуждаются полученные результаты и т.п. Кроме того, естественный язык играет роль метаязыка, при помощи которого задаются свойства и правила (синтаксис) формального языка и вводятся содержательные определения объектов.

Следует признать, что в специальной технической литературе элементы формального языка математики нередко употребляются без особой надобности, когда то же самое можно выразить достаточно строго и лаконично на естественном языке. Это происходит либо в силу привычки, если автором является математик, либо из стремления придать изложению внешнюю солидность. Подобная мнимая математизация, не внося ничего полезного, создает излишние барьеры для понимания существа дела и обмена информацией.

Применение формального языка математики оправдано всегда, если речь идет о сложных вещах, изложение которых на естественном языке требует синтаксически сложных предложений и может привести к неточному их толкованию. Важно также и то, что работа с формальными языками развивает способности к логическому мышлению в любой прикладной области.

6. Математические модели. Реальные объекты, с которыми имеет дело инженер, обладают бесконечным множеством свойств и характеризуются бесконечным множеством связей как внутри самого объекта, так и вне его (связи с другими объектами и окружающей средой). Переход к соответствующим моделям является наиболее сложным и ответственным этапом применения математического аппарата в инженерном деле. В значительной мере успешное решение этой задачи определяется опытом и интуицией специалиста в данной конкретной области. В то же время можно указать и ряд общих требований, которые обычно предъявляются к математической модели: достаточная точность, предельная простота и стандартная форма.

Обеспечить достаточную точность модели – это значит учесть при идеализации реального объекта все существенные свойства и связи, отвлекаясь от второстепенных. Несущественных свойств и связей. Решение этого вопроса зависит не только от характера самого объекта, но и от поставленной задачи. Поэтому для одного и того же объекта может потребоваться не одна, а несколько моделей, обслуживающих различные задачи при его проектировании или исследовании. Например, усилительная электронная цепь при определении начального режима описывается нелинейными алгебраическими уравнениями, а в режиме усиления слабых сигналов – линейными дифференциальными уравнениями.

– 12 -

Для определения нелинейных искажений такой цепи в ее модели необходимо учесть нелинейность характеристик электронных ламп или транзисторов.

Представляя реальный объект с достаточной точностью, математическая модель в то же время должна быть оп возможности проще, так как дальнейшая работа со сложной моделью не только затруднительна, но может оказаться и практически невозможной. Противоречивость этих требований нередко вынуждает поступиться точностью в интересах простоты, однако такой компромисс допустим только в тех пределах, при которых модель еще отражает существенные свойства реального объекта. Разработка методов упрощения реальных объектов и систем с целью построения предельно простых математических моделей является одной и центральных задач любой прикладной области.

При моделировании реальных объектов целесообразно ориентироваться на математические модели стандартного вида, которые обеспечены соответствующим аппаратом. Физические процессы характеризуются пространственно-временными соотношениями и в общем случае описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Важным методом упрощения модели является представление объекта или совокупности объектов в виде системы таких ее частей (компонентов), связь между которыми можно с достаточной точностью охарактеризовать функциями только одно переменной (времени). В одних случаях этот путь предсказывается самой структурой объекта (например, электронные цепи или системы управления), в других случаях требуется искусственное расчленение объекта на отдельные части (например, балку с распределенной нагрузкой представляют в виде участков с сосредоточенными нагрузками). Если известны модели компонентов в виде некоторых зависимостей относительно их внешних связей, то модель системы можно представить обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем самым осуществляется переход от модели с распределенными параметрами к более простой модели с сосредоточенными параметрами.

Моделирование компонентов системы само по себе может представлять серьезные трудности, однако эта задача всегда проще, чем рассмотрение системы в целом. Кроме того, несмотря на огромное разнообразие систем, набор различных компонентов весьма ограничен, и их модели, полученные один раз в стандартной форме, могут затем многократно использоваться при моделировании сложных систем. В общем случае модели компонентов характеризуются нелинейными зависимостями. Однако многие задачи допускают их линеаризацию, что соответственно сильно упрощает и модели систем, которые в таких случаях описывается линейными уравнениями. Если параметры компонентов можно считать не зависящими от времени, то система представляет стационарной моделью

– 13 -

в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Параметры системы и приложенные к ней воздействия можно рассматривать как детерминированные или случайные величины, что приводит соответственно к детерминированным или стохастическим моделям. Выбор той или иной модели зависит от характера протекающих процессов и поставленной задачи исследования.

Стохастические модели имеют особенно важное значение при исследовании и проектировании больших систем со сложными связями и трудно учитываемыми свойствами. В подобных ситуациях близость математической модели к исходной системе усиливается приданием ей вероятностного или статистического характера, учитывающего существенные свойства и связи, которые не поддаются детерминированному описанию.

Реальные физические процессы протекают в непрерывно изменяющимся времени, которое является аргументом соответствующих им функций. Роль непрерывного аргумента в различных задачах исследования или проектирования могут играть и другие физические величины (расстояние, объем, масса, температура и т.п.). При этом математические модели, типичными представителями которых являются дифференциальные уравнения, также называют непрерывными. Однако во многих случаях целесообразно рассматривать состояние системы только для последовательности дискретных значений независимой переменной (времени), отвлекаясь от характера происходящих процессов в промежутке между этими значениями. Этот подход обслуживают различные типы дискретных моделей.

Важным типом дискретных моделей являются конечно-разностные дифференциальные уравнения, которые описывают процессы в исследуемой системе относительно конечных (не обязательно равных)приращений независимой переменной. Такая модель представляет собой как бы моментальные фотографии состояний системы, выполненные последовательно через некоторые промежутки времени (или другой независимой перемененной). Ясно, что точность моделирования тем выше, чем меньше приращения независимой переменной, но уменьшение интервалов между дискретными значениями неизбежно приводит к увеличению объема вычислений. Представление непрерывных систем дискретными моделями всегда связано с решением вопроса об оптимальном выборе шага дискретности как компромисса между точностью и простотой.

Для многих систем дискретность является основным свойством их функционирования. В некоторые моменты времени происходит переход их одного состояния в другое, последовательно которых представляет наибольший интерес, а процессы между этими состояниями либо отодвигаются на второй план, либо и вовсе не имеют

– 14 -

значения. В таких случаях дискретная модель представляет собой естественное отображение системы в том смысле, что дискретные моменты времени определяются изменением ее состояний. Более того, вместо времени (или другой независимой переменной) можно рассматривать последовательность состояний, различающихся каким-либо другим признаком. Типичным представителем дискретных моделей этого типа являются, например, конечные автоматы.

Для представления математических моделей широко используется аппарат теории множеств, матриц и графов. Соответственно различают теоретико-множественные, матричные и топологические модели. В последнее время в качестве математических моделей реальных объектов находят применение различные алгебраические структуры: группы, кольца, поля и т.п.

7. Математические методы. После того как математическая модель построена, дальнейшая работа состоит в применении соответствующих математических методов с целью получения необходимых характеристик данной модели, а значит. И исследуемого реального объекта. Большое разнообразие математических методов можно свести к тем основным видам: аналитическим, графическим и численным.

Получение характеристик модели в аналитической форме желательно во многих отношениях. Преде всего, представляется возможным провести исследование в общем виде, независимо от численных значений параметров системы. Аналитические зависимости позволяют использовать эффективные методы оптимизации и получить соотношения, характеризующие поведение системы при изменении ее параметров. Не менее важно и то, что при подстановке в аналитические выражения численных значений можно контролировать точность вычислений. Однако аналитические методы применимы только для простейших моделей. Так, общее разложение определителя системы шести линейных уравнений содержит сотни членов, а для десяти уравнений число членов определителя может достигать нескольких миллионов, решения алгебраических уравнений выше четвертой степени в общем случае не представимы в радикалах. Из-за громоздкости аналитических выражений или невозможности их получения значение аналитических методов в инженерной практике сильно ограничивается. В то же время аналитическая форма является основной при изложении и развитии математического аппарата в общем виде.

Графические методы обладают наглядностью и успешно используются как для иллюстрации аналитических методов, так и непосредственно в инженерных расчетах. Они особенно удобны, если не требуется высокая точность или если интерес представляет качественная картина происходящих процессов. Например, графические построения на фазовой плоскости позволяют судить

– 15 -

о характере колебаний в системе, ее устойчивости и т.п. Графические методы используются при решении теоретико-множественных уравнений, минимизации логических функций, статистической обработке результатов наблюдений и во многих других случаях. Инженеры привыкли пользоваться графиками нелинейных характеристик компонентов и протекающих в системах процессов, полученных теоретически или экспериментально. К сожалению, графические методы ограничены возможностями построений на плоскости или в трехмерном пространстве, вследствие чего они применимы только для простых моделей. Особое место занимают методы теории графов, но и они теряют наглядность при усложнении модели. В практике инженерных расчетов графические методы часто используются совместно с аналитическими. В таких случаях их называют графоаналитическими методами.

Наиболее общими являются численные методы. Схема вычислений задается формулой или совокупностью правил (алгоритмом), выполнение которых в определенном порядке приводит к требуемому результату. В зависимости от характера вычислительного процесса численные методы подразделяются на прямые и итерационные.

При использовании прямых методов результат получается путем последовательных операций над числами и его точность зависит исключительно от точности промежуточных вычислений. В итерационных метода результат получается путем последовательных приближений, начиная от некоторых начальных значений. Каждое последующее значение (итерация) вычисляется по одной и той же схеме, представляющей собой цикл вычислительного процесса. Необходимым условием работоспособности итерационного метода является сходимость последовательности итераций к искомой величине или совокупности величин, т.е. возможность получения результата с требуемой точностью. Практически требуется также достаточная скорость сходимости итерационного процесса, т.е. достижение требуемой точности таким количеством итераций, которое реализуется в данных конкретных условиях. Часто прямые методы называют точными, а итерационные – приближенными. Однако эти названия не связаны непосредственно с точностью получаемых результатов. Нередко, как раз наоборот, результаты, полученные прямыми методами, уточняются с помощью итерационных процессов.