Текст книги "Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 17 страниц) [доступный отрывок для чтения: 7 страниц]

Глава 33
ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПОВЕРХНОСТИ

§1. Отражение и преломление света

§2. Волны в плотных материалах

§3. Граничные условия

§4. Отраженная и преломленная волны

§5. Отражение от металлов

§6. Полное внутреннее отражение

Повторить: гл. 33 (вып. 3) « Поляризация »

§ 1. Отражение и преломление света

Предметом обсуждения в этой главе будет преломление и отражение света и электромагнитных волн вообще от поверхности. О законах отражения и преломления света мы говорили уже в вып. 3. Вот что мы там выяснили:

1. Угол отражения равен углу падения. Причем углы определяются, как это показано на фиг. 33.1:

Фиг. 33.1. Отражение и преломление волн на поверхности.

Направления распространения волн перпендикулярны их гребням.

q_r=q_i. (33.1)

2. Произведение nsinq одинаково как для падающего луча, так и для преломленного (закон Снелла):

n₁sinq=n₂sinq_t. (33.2)

3. Интенсивность отраженного света зависит как от угла падения, так и от направления поляризации. Для вектора Е, перпендикулярного плоскости падения, коэффициент отражения R_┴ равен

Для вектора Е, параллельного плоскости падения, коэффициент отражения R_║ равен

4. Для перпендикулярно падающего луча (разумеется, при любой поляризации!)

(Мы использовали индекс i для обозначения величин в падающем луче, t – в преломленном, а r – в отраженном.)

Наши прежние рассуждения практически достаточно полны для обычной работы, но мы собираемся применить здесь другой способ. Вы хотите знать почему? Причина заключается в том, что раньше мы считали показатель преломления вещественным (т. е. что никакого поглощения в материале не происходит). Однако есть и другая причина: вам следует уметь обращаться с волнами на поверхности с точки зрения уравнений Максвелла. Ответы, конечно, получатся одинаковые, но теперь уже путем непосредственного решения волновой задачи, а не с помощью правдоподобных рассуждений.

Я хочу подчеркнуть, что амплитуда отраженной от поверхности волны не определяется такими свойствами материала, как показатель преломления. Она зависит от чисто «поверхностных свойств», которые, строго говоря, определяются тем, как обработана поверхность. Тонкий слой посторонней примеси на границе между двумя материалами с показателями n₁ и n₂ обычно изменяет отражение. (Имеются всяческие виды интерференции, примером которой могут служить разноцветные масляные пленки на воде. Подбором толщины можно свести амплитуду отражения данной частоты к нулю. Именно так и делаются просветленные линзы.) Формулы, которые мы получим, будут верны, только когда показатель преломления резко изменится на расстояниях, малых по сравнению с длиной волны. Длина волны света, например, составляет около 5000 Е, так, что под «гладкой» поверхностью мы понимаем поверхность, на которой условия изменяются всего на протяжении нескольких атомов (или на расстоянии нескольких ангстрем). Так что для света наши формулы будут работать только на хорошо отполированной поверхности. Вообще же если показатель преломления постепенно меняется на расстоянии нескольких длин волн, то отражение будет незначительным.

§ 2. Волны в плотных материалах

Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, например, Е) может быть записана в форме

E=E₀e^i(wt-k·r), (33.6)

где Е – амплитуда поля в точке г (относительно начала координат) в момент t. Вектор k указывает направление распространения волны, а его величина |k|=k=2pl равна волновому числу. Фазовая скорость волны v_фаз=w/k для света в материале с показателем n будет равна c/n, поэтому

k=wn/c. (33.7)

Предположим, что вектор k направлен по оси z; тогда k·r будет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора k в любом другом направлении z следует заменить на r_k – расстояние от начала в направлении вектора k, т. е. kz мы должны заменить на kr_k, что как раз равно k·r (фиг. 33.2).

Фиг. 33.2. Фаза волны в точке Р, распространяющейся в направлении k, равна (wt- k·r ).

Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.

Разумеется, при этом мы должны помнить, что

k·r =k _x x+k _y y+k _{: z} z,

где k_x, k_yи k_z – компоненты вектора k по трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины (w, k_x, k_y, k_z) образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на (t, x, у, z) является инвариантом. Таким образом, фаза волны есть инвариант и формулу (33.6) можно записать в виде

Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.

Для синусоидального поля Е, подобного выражению (33.6), производная dE/дt – это то же самое, что и iwE, a дЕ/дх – то же, что и ik_xE, и аналогично для остальных компонент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция С=(д/дx), (д/ду), (д/дz) заменяется тремя умножениями (-ik_x,-ik_y , -ik_z). Но эти три множителя преобразуются как компоненты вектора k, так что оператор С заменяется умножением на

Правило остается справедливым для операции С в любой комбинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, z-компонента СXЕ равна

Если и Е_уи Е_хизменяются как e^-ik·r, то мы получаем

-ik _x E _y +ik _y E _x ,

что представляет, как вы видите, z-компоненту —ikXЕ.

Таким образом, мы получили очень полезный общий закон, что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните, что оператор С эквивалентен умножению на —ik.

Например, уравнение Фарадея

СXЕ=дB/дt

превращается для волны в

– ikXЕ=-iwB. Оно говорит, что

В=kXE/w. (33.9)

Это соответствует результату, найденному ранее для волн в пустом пространстве, т. е. что вектор В в волне направлен под прямым углом к вектору Е и направлению распространения волны. (В пустом пространстве w/k=с.) Знак в уравнении (33.9) вы можете проверить, исходя из того, что k является направлением вектора Пойнтинга S=e₀c²(EXВ).

Если вы примените то же самое правило к другим уравнениям Максвелла, то снова получите результаты последней главы, в частности

Но раз уже это известно нам, давайте не будем проделывать все сначала.

Если вы хотите поразвлечься, можете попытаться решить такую устрашающую задачу (в 1890 г. она предлагалась студентам на выпускных экзаменах): решите уравнения Максвелла для плоской волны в анизотропном кристалле, т. е. когда поляризация Р связана с электрическим полем Е через тензор поляризуемости. Конечно, в качестве ваших осей вы выберете главные оси тензора, так что связи при этом упростятся (тогда Р_х=a_aЕ_х, Р_у=a_bЕ_у, a P_z=a_cE_z), но направление волны и ее поляризация пусть останутся произвольными. Вы должны найти соотношение между Е и В и определить, как изменяется k с направлением распространения волны и ее поляризацией. После этого вам будет понятна оптика анизотропного кристалла. Лучше начать с более легкого случая дважды лучепреломляющего кристалла, подобного турмалину, для которого два коэффициента поляризуемости равны между собой (например, a_b=a_c), и попытаться понять, почему, когда мы смотрим через такой кристалл, мы видим два изображения. Если это вам удастся, тогда испытайте свои силы на более трудном случае, когда все три а различны. После этого вам уже будет ясен уровень ваших знаний – знаете ли вы столько же, сколько студент, заканчивавший университет в 1890 г. Но мы с вами в этой главе будем рассматривать только изотропные вещества.

Из опыта вам известно, что когда на границу раздела двух материалов, скажем воздуха и стекла или воды и бензина, попадает плоская волна, то возникают как отраженная, так и преломленная волны.

Предположим, что, кроме этого факта, нам больше ничего неизвестно, и посмотрим, что можно из него вывести. Выберем наши оси так, чтобы плоскость yz совпадала с поверхностью раздела, а плоскость ху была перпендикулярна фронту волны (фиг. 33.3).

Фиг. 33.3. Векторы, распространения k, k' и k" для падающей, отраженной и преломленной волн.

Электрический вектор в падающей волне может быть записан в виде

Поскольку вектор k перпендикулярен оси z, то

k·r=k_xx+k_yy. (33.12) Отраженную волну мы запишем как

так что ее частота равна w', волновое число k', а амплитуда Е'₀. (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора k в отраженной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим предполагать даже это. Пусть это все получится само собой из математического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:

Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотношение (33.9), так что для каждой из волн

Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозначим через n₁и n₂, то из уравнения (33.10) получится

Поскольку отраженная волна находится в том же материале, то

в то время как для преломленной волны

§ 3. Граничные условия

Все что мы делали до сих пор, было описанием трех волн; теперь нам предстоит выразить параметры отраженной и преломленной волн через параметры падающей. Как это сделать?

Три описанные нами волны удовлетворяют уравнениям Максвелла в однородном материале, но, кроме того, уравнения Максвелла должны удовлетворяться и на границе между двумя материалами. Так что нам нужно сейчас посмотреть – что же происходит на самой границе. Мы найдем, что уравнения Максвелла требуют, чтобы три волны определенным образом согласовывались друг с другом.

Вот один из примеров того, что мы имеем в виду. Составляющая по оси у электрического поля Е должна быть одинакова по обеим сторонам границы. Это требуется законом Фарадея:

СXE=дB/дt, (33.19)

в чем нетрудно убедиться. Рассмотрим для этого маленькую петлю Г, которая с обеих сторон охватывает границу (фиг. 33.4).

Фиг. 33.4. Граничное условие E _{y 2} =E _{y 1} , полученное из равенства

Согласно уравнению (33.19), криволинейный интеграл от Е по петле Г равен скорости изменения потока В через эту петлю:

Вообразите теперь, что прямоугольник очень узок, так что он замыкается в бесконечно малой области. Если при этом поле В остается конечным (нет никаких причин ему быть бесконечным!), то поток через эту область будет равен нулю. Таким образом, контурный интеграл от Е должен быть нулем. Если y-компоненты поля на двух сторонах границы равны Е_y1и Е_y2, а длина прямоугольника равна l, то мы получаем

E _{y 1} l-E _{y 2} l=0

или

Е_у1=Е_у2, (33.20)

как мы и ожидали. Это условие дает нам одно соотношение между полями в трех волнах.

Процедура нахождения следствий уравнений Максвелла на границе называется «определением граничных условий». Обычно она заключается в нахождении стольких уравнений типа (33.20), сколько возможно, и выполняется она с помощью рассмотрении маленьких прямоугольников, подобных Г на фиг. 33.4, или маленьких гауссовых поверхностей, охватывающих границу с двух сторон. Хотя это совершенно правильный способ рассуждений, он создает впечатление, что в различных физических задачах с границами нужно обращаться по-разному.

Как, например, в задаче о тепловом потоке через поверхность определить температуру на обеих прилежащих к ней сторонах? Конечно, вы вправе утверждать, что тепло, притекающее к границе с одной стороны, должно быть равно теплу, утекающему от нее с другой. Обычно это возможно и, вообще говоря, очень полезно находить граничные условия из такого рода физических рассуждений. Однако могут встретиться случаи, когда при работе над какой-то проблемой вам известны лишь уравнения и вы не можете непосредственно увидеть, какие же физические аргументы можно использовать. Так что, хотя в данный момент мы заинтересованы только в электромагнитных явлениях, где можно привести физические аргументы, я хочу научить вас методу, который можно применить в любой задаче: общему методу нахождения непосредственно из дифференциальных уравнений того, что происходит на границе.

Начнем с выписывания всех уравнений Максвелла для диэлектрика, но на этот раз скрупулезно выписывая все компоненты:

Эти уравнения должны быть справедливы как в области 1 (слева от границы), так и в области 2 (справа от нее). Мы уже выписывали решения в областях 1 и 2. Они должны удовлетворяться и на самой границе, которую мы можем назвать областью 3. Хотя обычно мы считаем границу чем-то абсолютно резким, на самом деле таких границ не бывает. Физические свойства, правда, изменяются очень быстро, но все же не бесконечно быстро. Во всяком случае, мы можем считать, что между областями 1 и 2 изменение показателя преломления хотя и очень быстрое, но непрерывное. Это небольшое расстояние, на котором оно происходит, мы можем назвать областью 3. Подобный же переход в области 3 будут претерпевать и другие характеристики поля, такие, как Р_хили Е_yи т. п. Однако дифференциальные уравнения должны удовлетворяться; именно следуя за дифференциальными уравнениями в этой области, мы придем к необходимым «граничным условиям».

Предположим, например, что у нас есть граница между вакуумом (область 1) и стеклом (область 2). В вакууме нечему поляризоваться, так что P₁=0. А поляризация в стекле пусть равна Р₂. Между вакуумом и стеклом существует гладкий, но быстрый переход. Если мы проследим за какой-то компонентой Р, скажем Р_х, то она может изменяться так, как это показано на фиг. 33.5, а.

Фиг. 33.5. Поля в переходной области 3 между двумя различными материалами в областях 1 и 2.

Предположим теперь, что мы взяли первое из наших уравнений – уравнение (33.21). В него входит производная от компонент Р по переменным х, у и z. Производные по у и r не очень интересны – в этих направлениях не происходит ничего замечательного. Но производная от Р_хпо х в области 3 из-за быстрого изменения Р_хбудет громадна. Производная дР_х/дх, как показано на фиг. 33.5,б, имеет на границе очень резкий пик. Если вы представите, что граница сжимается до еще более тонкой области, пик вырастет еще больше. Если для интересующих нас волн граница действительно резкая, то величина дP/дx в области 3 будет больше, много больше любого вклада, который может получиться из-за изменения Рв стороне от границы, так что мы пренебрегаем любыми другими изменениями, за исключением происходящих на границе.

Но как теперь можно удовлетворить уравнению (33.21), если с правой стороны у нас возвышается огромный пик? Только если существует равный ему громадный пик с другой стороны. Что-то и с левой стороны должно быть большим. Единственная возможность – это дЕ_х/дх, поскольку изменения в направлениях у и z в тех волнах, о которых мы только что упомянули, дают лишь малый эффект. Таким образом, -e₀(дЕ_х/дх) должно быть, как это показано на фиг. 33.5,в, точной копией дP/дx. Получается

Если это уравнение проинтегрировать по х по всей области 3, то мы придем к заключению, что

e₀(Е_x2-Е_x1)=-(Р_x2-Р_x1). (33.25)

Другими словами, скачок e₀Е_хпри переходе от области 1 к области 2 должен быть равен скачку —Р_х.

Уравнение (33.25) можно переписать в виде

e₀E_x2+Р_x2=e₀E_x1+Р_x1; (33.26)

оно гласит, что величина (e₀E_x+Р_x) имеет равные значения как в области 2, так и в области 1. В таких случаях люди говорят, что величина (e₀Е_x+Р_х) непрерывна на границе. Таким образом, мы получили одно из наших граничных условий.

Хотя в качестве иллюстрации мы взяли случай, когда значение Р₁ равно нулю, ибо в области 1 у нас был вакуум, ясно, что те же аргументы приложимы для любого материала в этих двух областях, так что уравнение (33.26) верно в общем случае. Давайте перейдем к остальным уравнениям Максвелла и посмотрим, что скажет нам каждое из них. Следующим мы возьмем уравнение (33.22а). У него нет производной по х, так что оно ничего нам не говорит. (Вспомните, что на границе сами поля не особенно велики. Только их производные по х могут стать столь огромными, что будут доминировать в уравнении.) Взглянем теперь на уравнение (33.22.б). Смотрите! Именно здесь у нас есть производная по х! С левой стороны имеется дE_z/дx. Предположим, что эта производная громадна. Но минуточку терпения! С правой стороны нет ничего, способного потягаться с ней, поэтому Е_z не может иметь скачка при переходе из области 1 к области 2. [Если бы это было так, то с левой стороны уравнения (33.22а) мы бы получили скачок, а с правой – его не было бы, и уравнение оказалось бы неверным.] Итак, мы получили новое условие:

E_я2=E_я1. (33.27)

После тех же самых рассуждений уравнение (33.22в) дает

E_y2=E_y1. (33.28)

Последний результат в точности совпадает с полученным с помощью контурного интеграла условием (33.20).

Перейдем к уравнению (33.23). Единственное, что может дать пик,– это дВ_х/дх. Но справа опять нет ничего, способного противостоять ему; в результате мы заключаем, что

B_x2=B_x1. (33.29)

И, наконец, последнее из уравнений Максвелла! Уравнение (33.24а) ничего не дает, ибо там нет производных по х. В уравнении (33.236) – одна производная: – с²(дВ_z/дх), но ей снова нечего противопоставить с другой стороны равенства, поэтому мы получаем

B_z1=B_z2. (33.30)

Совершенно аналогично второе уравнение, которое дает

B_y1=B_y2. (33.31)

Итак, последние три условия говорят нам, что В₂=В₁.

Хочу здесь подчеркнуть, что такой результат получен только потому, что по обеим сторонам границы мы взяли немагнитный материал, вернее, потому, что магнитным эффектом этих материалов мы можем пренебречь. Обычно это вполне допустимо для большинства материалов, за исключением ферромагнетиков. (Магнитные свойства материалов мы будем рассматривать в последующих главах.).

Наша программа привела нас к шести соотношениям между полями в областях 1 и 2. Все они выписаны в табл. 33.1. Их можно использовать для согласования волн в двух областях.

Таблица 33.1 · граничные условия на поверхности ДИЭЛЕКТРИКА

(Поверхность расположена в плоскости yz.)

Однако я хочу отметить, что идея, которую мы только что использовали, будет работать в любой физической ситуации, где у вас есть дифференциальные уравнения и требуется найти решение в области, пересекаемой резкой границей, по обе стороны которой некоторые из физических свойств различны. Для наших теперешних целей было бы легче получить те же самые уравнения с помощью рассуждений о потоках и циркуляциях на границе. (Проверьте, можно ли подобным путем получить те же самые результаты.) Однако теперь вы знаете метод, который будет хорош, даже когда вы попали в затруднительное положение и не видите простых физических соображений относительно того, что происходит на границе. Вы можете просто воспользоваться дифференциальными уравнениями.

§ 4. Отраженная и преломленная волны

Теперь мы готовы применить наши граничные условия к волнам, перечисленным в § 2, где мы получили:

Нами получены еще кое-какие сведения: вектор Е перпендикулярен для каждой волны вектору распространения k.

Полученный результат будет зависеть от направления вектора Е («поляризации») в падающей волне. Анализ сильно упростится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскости падения» (т. е. плоскости ху), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна с любой другой поляризацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для различных поляризаций будут разными и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их.

Я подробно проанализирую случай падающей волны, перпендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рассматривая простейший пример, однако в обоих случаях принцип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Е_i имеет только z-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном и том же направлении, векторный значок можно опустить.

Оба материала изотропны, поэтому вынужденные колебания зарядов в материале будут происходить в направлении оси z и у полей Е в преломленной и отраженной волнах тоже будет только одна z-компонента. Таким образом, для всех волн Е_х и Е_y , Р_хи Р_yравны нулю. Направления векторов Е и В в этих волнах показаны на фиг. 33.6.

Фиг. 33.6. Поляризации отраженной и преломленной волн, когда поле Е в падающей волне перпендикулярно к плоскости падения.

(Здесь мы изменили нашему первоначальному намерению все получить из уравнений. Этот результат также можно было бы получить из граничных условий, однако, используя физические аргументы, мы избежали больших алгебраических выкладок. Когда у вас будет свободное время, посмотрите, можно ли его действительно вывести из уравнений. Он, разумеется, согласуется с уравнениями; просто мы не доказали, что отсутствуют другие возможности.)

Теперь наши граничные условия [уравнения (33.26) – (33.31)] должны дать соотношения между компонентами Е и В в областях 1 и 2. В области 2 у нас есть только одна преломленная волна, а вот в области 1 – их две. Какую же из них нам взять? Поля в области 1 будут, разумеется, суперпозицией полей падающей и отраженной волн. (Поскольку каждое удовлетворяет уравнениям Максвелла, то им удовлетворяет и сумма.) Поэтому, когда мы используем граничные условия, нужно помнить, что

E₁=E_i+E_r, E₂=E_t

я аналогично для В.

Для поляризаций, которыми мы сейчас занимаемся, уравнения (33.26) и (33.28) не дают никакой новой информации, и только уравнение (33.27) поможет нам. Оно говорит, что на границе, т. е. при х=0:

E _i +E _r =E _t .

Таким образом, мы получаем уравнение

которое должно выполняться для любого t и любого у. Возьмем сначала y=0. Для этого значения уравнение (33.38) превращается в

согласно которому два осциллирующих члена равны третьему. Это может произойти, только когда частоты всех осцилляции одинаковы. (Невозможно, сложив три или какое-то другое число подобных членов с различными частотами, получить для любого момента времени в результате нуль.) Итак,

w"=w'=w, (33.39)

как это и было нам всегда известно, т. е. частоты преломленной и отраженной волн те же самые, что и падающей.

Если бы мы предположили это с самого начала, то несомненно избежали бы многих трудностей, но мне хотелось показать вам, что тот же самый результат можно получить и из уравнений. А вот когда перед вами будет стоять реальная задача, лучше всего пускать в оборот сразу все, что вы знаете. Это избавит вас от лишних хлопот.

По определению абсолютная величина k задается равенством k²=n²w²/с², поэтому

А теперь обратимся к уравнению (33.38) для t=0. Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основываясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех значениях у, мы получаем

k"_y=k'_y=k_y. (33.41)

Из формулы (33.40) k'²=k², так что

k'²_x+k'²_y =k²_x+k²_y. Комбинируя это с (33.41), находим

k'²_x=k²_x , или k'_x=+k_x. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что

k'_x=-k_x. (33.42)

Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отражения равен углу падения, как это и ожидалось (см. фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне

Для преломленной волны мы уже получали

Их можно решить и в результате получить

Предположим на мгновение, что n₁и n₂ – вещественные числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все k тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что

k_y/k =sinq_i, k_y/k"=sinq_t. (33.46)

Но ввиду уравнения (33.44) мы получаем

n₂sinq_t=n_isinq_i;, (33.47)

т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления. Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа оказываются комплексными и нам следует воспользоваться

(33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы q_i. и q_t из

(33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами k_x или k"_x..]

До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех w и k, мы можем сократить экспоненциальный множитель в (33.38) и получить

е₀+е'₀=е"₀. (33.48)

Но поскольку мы не знаем ни Е'₀, ни Е"₉, то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Е_хи Е_yне помогут, ибо все Е имеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

B_x2 =B_x1. Согласно условиям (33.35)—(33.37),

Вспоминая, что w" =w'= w и k"_y=k'_y=k_y, получаем

е ₀ +е' ₀ =е" ₀ .

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.

Можно было бы обратиться к (33.30) B_z2=В_z1, но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие – (33.31) В_у2=В_у1. Для наших трех волн

Подставляя вместо E_i,E_rи E_tволновые выражения при x=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:

Учитывая равенство всех w и k_y , снова приходим к условию k_xE₀ + k'_xE'₀=k"_xE"₀. (33.50)

Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно E'₀ и Е"₀. Вспоминая, что k’_x=-k_x, получаем

Вместе с (33.45) или (33.46) для k”_xэти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.

Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллельным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как x-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.)

Фиг. 33.7. Поляризации волн, когда поле Е в падающей волне параллельно плоскости падения.

При этом мы найдем

и

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отраженной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного показателя (или вещественных k) можно записать:

k_x=kcosq_i=(wn₁/c)cosq_i,

k"_x=k"cosq_t=(wn₂/c)cosq_t.

Подставляя это в уравнение (33.51), получаем

что нисколько не похоже на уравнение (33.3). Если, однако, мы воспользуемся законом Снелла и избавимся от всех n, то сходство будет восстановлено. Подставляя n₂=n₁(sinq_i/sinq_t) и умножая числитель и знаменатель на sinq_t, получаем

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят просто синусы (q_i-q_t) и (q_i+q_t), поэтому

Поскольку амплитуды E'₀ и E₀ измеряются в том же самом материале, интенсивности пропорциональны квадратам электрических полей и мы получаем тот же результат, что и раньше. Подобным же образом формула (33.53) тоже аналогична формуле (33.4).

Для волн, падающих перпендикулярно, q_i=0 и q_t=0. Формула (33.56) выглядит как 0/0, от чего нам пользы мало. Однако мы можем вернуться назад к формуле (33.55), согласно которой

Этот результат, естественно, применим для «любой» поляризации, поскольку для перпендикулярного луча нет никакой особой «плоскости падения».

§ 5. Отражение от металлов

Теперь мы можем использовать наши результаты для понимания интересного явления – отражения от металлов. Почему металлы блестят? В предыдущей главе мы видели, что показатель преломления металлов для некоторых частот имеет очень большую мнимую часть. Давайте посмотрим, какова будет интенсивность отраженной волны, когда свет падает из воздуха (с показателем n=1) на материал с n=– in_I. При этом условии уравнение (33.55) дает (для нормального падения)

Для интенсивности отраженной волны нам нужны квадраты абсолютных величин Е'₀и Е₀:

или

Для материала с чисто мнимым показателем преломления получается стопроцентное отражение!

Металлы не отражают 100% света, но все же многие из них хорошо отражают видимый свет. Другими словами, мнимая часть их показателя очень велика. Однако мы видели, что большая мнимая часть показателя означает сильное поглощение. Итак, имеется общее правило: если какой-то материал оказывается очень хорошим поглотителем при какой-то частоте, то отражение волн от его поверхности очень велико и очень мало волн попадает внутрь. Этот эффект вы можете наблюдать на сильных красителях. Чистые кристаллы самых сильных красителей имеют «металлический» блеск. Вероятно, вы замечали, что на краях бутылки с фиолетовыми чернилами засохший краситель имеет золотистый металлический блеск, а засохшие красные чернила имеют иногда зеленоватый металлический оттенок. Красные чернила поглощают из проходящего света зеленые лучи, так что, если концентрация чернил очень велика, они будут давать сильное поверхностное отражение при частоте зеленого света.

Вы можете очень эффектно продемонстрировать это. Намажьте стеклянную пластинку красными чернилами и дайте им высохнуть. Если вы направите пучок белого света на обратную сторону пластинки (фиг. 33.8), то сможете наблюдать проходящий красный свет и отраженный зеленый свет.

Фиг. 33.8. Материал, который сильно поглощает свет с частотой w, отражает его с той же частотой.

§ 6. Полное внутреннее отражение

Если свет идет из материала, подобного стеклу, с вещественным показателем преломления n, большим единицы, в воздух с показателем n₂, равным единице, то, согласно закону Снелла,

sinq_t=nsinq_i.

Угол q_t преломленной волны становится равным 90° при угле падения q_iравном некоторому «критическому углу» q_c, определяемому равенством nsinq_c= l. (33.59)

Что происходит при q_i, большем, чем критический угол? Вы уже знаете, что здесь возникает полное внутреннее отражение. Но откуда оно все-таки берется?

Вернемся назад к уравнению (33.45), которое дает волновое число k"_xдля преломленной волны. Из него получилось

Но так как k_y=ksinq_i, a k=wn/с, то

Если nsinq_i больше единицы, то k"²_х становится отрицательным, a k"_x – чисто мнимым, скажем ±ik. Однако теперь вы знаете, что это значит! «Преломленная» волна при этом будет иметь вид [см. (33.34)]

т. е. с увеличением х амплитуда волны будет либо экспоненциально расти, либо падать, но сейчас, разумеется, нам нужен только отрицательный знак. При этом амплитуда волны справа от границы будет вести себя, как показано на фиг. 33.9.

Фиг. ЗЗ.9. Полное внутреннее отражение.