Текст книги "Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред"
Автор книги: Ричард Фейнман
сообщить о нарушении
Текущая страница: 4 (всего у книги 17 страниц) [доступный отрывок для чтения: 7 страниц]
P x =e 0 NaE x .
При этом Ехвыпадает из уравнения (32.23), и мы находим
k2=w2/c2(1+Na). (32.24)
Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравнениям поля. Использование же выражения (32.22) для показателя nдает
n2 = l+Na. (32.25)
Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для показателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли уравнение (31.19), которое тогда имело вид
Формула (32.25) после подстановки w из (32.6) дает
Что здесь нового? Во-первых, появился новый член igw, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилляторах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n2и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1/2. Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n2 равен единице плюс некое малое число, т. е. n2=1+e. При этом условии мы можем написать, что n=Ц(1+e)»l+e/2, и оба выражения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш новый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.
Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поляризованное поле, действующее на каждый из атомов,– это поле Ех. Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Ех. Аналогичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Е на величину Р/3e0. (Не забудьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае кубического кристалла.)
Те же рассуждения верны и для электрического поля в волне, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении
Именно это локальное поле следует использовать вместо Е в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следующим образом:
Р =e0NaЕлок. (32.29)
Подставляя теперь Елок из формулы (32.28), находим
или
Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорциональна Е (для синусоидального поля). Однако константа пропорциональности будет уже e0/Na/[1-(Na/3)], а не e0Nallfa, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):
Более удобно переписать это в виде
который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса – Моссотти.
В плотном материале возникает и другое усложнение. Поскольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимодействуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцилляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень большим. Таким образом, все w0 и g твердого вещества будут другими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять а, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что
Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная a будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточности приближения локального поля в упорядоченных кристаллах, т. е. выражения (32.28) – эффекты, которые мы обсуждали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через njчисло атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей:
где каждая aj будет определяться выражением типа (32.7). Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя преломления. Величина 3(n2-1)/(n2+2) задается комплексной функцией частоты, каковой является средняя атомная поляризуемость a(w). Точное вычисление a(w) (т. е. нахождение fk, gkи w0k) для плотного вещества – одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.
§ 4. Комплексный показатель преломления
Обсудим теперь следствия нашего результата (32.33). Прежде всего обратите внимание на то, что a – комплексное число, так что показатель преломления n тоже оказывается комплексным. Что это означает? Давайте возьмем и запишем n в виде вещественной и мнимой частей:
где nRи nj – вещественные функции w. Мы написали injс отрицательным знаком, так что njдля обычных оптических материалов будет положительной величиной. (Для обычных оптически неактивных материалов, которые не служат сами источниками света, как это происходит у лазеров, g—положительное число, а это делает мнимую часть n отрицательной.) Наша: плоская волна запишется теперь через n следующим образом:
Е х =Е 0 е - i w ( t - nz / c ) .
Если подставить n в виде выражения (32.35), то мы получим
и с увеличением z она экспоненциально убывает. График напряженности электрического поля как функции от z в некоторый момент времени и для nI» nR/2p показан на фиг. 32.1.
Фиг. 32.1. График поля Ех в некоторый момент t при nI»nR2/p.
Мнимая часть показателя преломления из-за потерь энергии в атомных осцилляторах приводит к ослаблению волны. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, так что
Интенсивность ~е-2wnIz/c.
Часто это записывается как
Интенсивность ~е-bz,
где b=2wnI/с – коэффициент поглощения. Таким образом, в уравнении (32.33) содержится не только теория показателя преломления вещества, но и теория поглощения им света.
В тех материалах, которые мы обычно считаем прозрачными, величина c/wnI, имеющая размерность длины, оказывается гораздо больше толщины материала.
§ 5. Показатель преломления смеси
В нашей теории показателя преломления имеется еще одно предсказание, которое можно проверить экспериментально. Предположим, что мы рассматриваем смесь двух материалов. Показатель преломления смеси не будет средним двух показателей, а определяется через сумму двух поляризуемостей, как в уравнении (32.34). Если, скажем, мы интересуемся показателем преломления раствора сахара, то полная поляризуемость будет суммой поляризуемостей воды и сахара. Но каждая из них, разумеется, должна подсчитываться исходя из данных о числе молекул N данного сорта в единице объема. Другими словами, если в данном растворе содержится N1молекул воды, поляризуемость которой a1, и N2молекул сахарозы (C12H22O11), поляризуемость которой a2, то мы должны получить
Этой формулой можно воспользоваться для экспериментальной проверки нашей теории – измерения показателя для различных концентраций сахарозы в воде. Однако здесь мы должны сделать несколько допущений. Наша формула предполагает, что при растворении сахарозы никакой химической реакции не происходит и что возмущение индивидуальных осцилляторов при различных частотах отличается не слишком сильно. Поэтому наш результат, безусловно, будет только приближенным. Тем не менее давайте посмотрим, насколько он хорош.
Раствор сахара мы выбрали потому, что мы располагаем хорошими данными измерений показателя преломления и, кроме того, сахар представляет собой молекулярный кристалл и переходит в раствор без ионизации и других изменений химического состояния.
В первых трех столбцах табл. 32.2 приведены данные из указанного справочника. В столбце А дан процент сахарозы по весу, в столбце В приведена измеренная плотность в г/см3, а в столбце С даны измерения показателя преломления света с длиной волны 589,3 ммк. В качестве показателя чистого сахара мы взяли результаты измерений для кристалла сахара. Эти кристаллы не изотропны, так что показатель преломления в разных направлениях различен.
Таблица 32.2 в ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ РАСТВОРА САХАРА И СРАВНЕНИЕ С ПРЕДСКАЗАНИЕМ УРАВНЕНИЯ (32.37)
Справочник дает три величины:
n1=1,5376, n2=1,5651, n3=1,5705.
Мы взяли среднее.
Попытаемся теперь подсчитать n для каждой концентрации, но мы не знаем, какие нужно взять значения a1 и a2. Проверим теорию таким способом: будем предполагать, что поляризуемость воды (a1) при всех концентрациях одна и та же, и подсчитаем поляризуемость сахарозы, используя экспериментальную величину n и разрешая (32.37) относительно a2. Если теория верна, то мы для любой концентрации должны получить одно и то же значение a2.
Прежде всего нам нужно знать числа N1и N2; выразим их через число Авогадро N0. В качестве нашей единицы объема давайте возьмем один литр (1000 см3). Тогда отношение Ni/N0 равно весу одного литра, поделенному на грамм-молекулу. А вес литра равен произведению плотности (умноженной на 1000, чтобы получить граммы) на весовую долю либо сахарозы, либо воды. Таким путем получаем N2//N0и n1/n0, записанные в столбцах D и Е нашей таблицы. В столбце F мы подсчитали 3(n2-1)/(n2+2), исходя из экспериментальных значений n (столбец С). Для чистой воды 3(n2-1)/(n2+2) равно 0,617, что как раз будет N1a1. Затем мы можем заполнить остальную часть колонки G, поскольку для каждой строки отношение G/E должно быть одной и той же величиной, именно 0,617:55,5. Вычитая столбец G из столбца F, находим вклад N2a2, вносимый сахарозой, который записан в столбце Н. А затем, поделив эти данные на величину N2/N0 из столбца D, мы получаем величину N0a2, приведенную в столбце 1.
Из нашей теории мы ожидали, что все величины N0a2должны получиться одинаковыми. Они получились хотя и не точно равными, но довольно близкими друг к другу. Отсюда можно заключить, что наши идеи правильны. Более того, мы нашли, что поляризуемость молекул сахара, по-видимому, не зависит сильно от ее окружения: их поляризуемость приблизительно одна и та же как в разбавленном растворе, так и в кристалле.
§ 6. Волны в металлах
Теорию, которая в этой главе развивалась для твердых материалов, после очень небольшой модификации вполне можно применить и к хорошим проводникам типа металлов. На некоторые из электронов в металлах не действует сила, привязывающая их к какому-то частному атому; это так называемые «свободные» электроны, ответственные за проводимость. Там есть и другие электроны, которые связаны в атомах, и изложенная выше теория непосредственно приложима именно к ним. Однако их влияние обычно «забивается» эффектами электронов проводимости. Поэтому сейчас мы рассмотрим только эффекты
свободных электронов.
Если на электрон не действует никакая восстанавливающая сила, но сопротивление его движению все же остается, то уравнение движения электрона отличается от (32.1) только отсутствием члена w20х. Так что единственное, что нам нужно сделать,– это положить w20=0 во всей остальной части наших выводов. Но есть еще одно отличие. В диэлектриках мы должны различать среднее и локальное поля и вот почему: в изоляторе каждый из диполей занимает фиксированное положение по отношению к другим диполям. Но в металле из-за того, что электроны проводимости движутся и меняют свое место, поле, действующее на них, в среднем как раз равно среднему полю Е. Так что поправка, которую мы сделали к формуле (32.5), не годится, т. е. применение формулы (32.28) для электронов проводимости недопустимо. Следовательно, выражение для показателя преломления в металле должно выглядеть подобно выражению (32.27), в котором следует положить w0=0, именно:
Это только вклад от электронов проводимости, которые, как мы думаем, играют в металлах главную роль.
Но теперь мы даже знаем, какой нам взять величину g, ибо она связана с проводимостью металла. В гл. 43 (вып. 4) мы обсудили связь проводимости металлов с диффузией свободных электронов в кристалле. Электроны движутся по ломаному пути от одного соударения до другого, а между этими толчками они летят свободно, за исключением ускорения из-за какого-то среднего электрического поля (фиг. 32.2).
Фиг. 32.2. Движение свободного электрона.
Там же, в гл. 43 (вып. 4), мы нашли, что средняя скорость дрейфа равна просто произведению ускорения на среднее время между соударениями t. Ускорение равно qeE/m, так что
vдрейф=(qeE/m)t. (32.39)
В этой формуле поле Есчитается постоянным, так что скорость vдрейф тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсутствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы определили g через силу торможения, равную gmv [см. (32.1)], или qeE, поэтому получается, что
g=1/t (32.40)
Несмотря на то что мы не можем с легкостью измерять непосредственно t, можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле Е порождает в металлах ток с плотностью j, пропорциональной Е (для изотропного материала, конечно):
причем постоянная пропорциональности s называется проводимостью.
В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39),
если положить
j=Nqevдрейф,
тогда
Таким образом, t, а следовательно, и g могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40] и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для показателя преломления в виде
где
Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.
§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота
Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) – предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина w достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде
Возведением в квадрат можно проверить, что
таким образом, для низких частот
Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быстро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как
Запишем это в виде
е-z/d, (32.47)
где d – это то расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Амплитуда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.
Фиг. 32.3. Амплитуда поперечной электромагнитной волны в металле как функция расстояния.
Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина d называется глубиной скин-слоя и определяется выражением
Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приближенно заменить уравнением (32.44), только когда wt много меньше единицы и когда we0/s также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при
w<<1/t
и
w<0. (32.49)
Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления t воспользуемся уравнением (32.43), а для вычисления s/e0 – известными значениями s и e0. Справочник дает нам такие данные:
s=5,76·107 (ом·м)-1,
Атомный вес = 63,5 г,
Плотность = 8,9 г/см3,
Число Авогадро=6,02·1023.
Если мы предположим, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно
N=8,5·1028 м-3.
Используя далее
qe=1,6·10-19 кулон,
e0=8,85·10-12 ф/м,
m=9,11·10-31 кг,
получаем
t=2,4·10-14 сек,
1/t=4,l·1013 сек-1,
s/e0 = 6,5·1018 сек-1.
Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 1012 гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» поведение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)
Для таких волн глубина скин-слоя равна
Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)
s=6,7·10-4 см,
т. е. волны проникают на очень малое расстояние.
Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волноводов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощутимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.
Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот сот много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппроксимируется следующим:
Для высокочастотных волн показатель преломления в металлах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с 7, что может быть сделано при очень больших значениях w. Выражение (32.38) дает при этом
что, разумеется, эквивалентно уравнению (32.50). Раньше нам
уже встречалась величина (Nq2e/e0m)1/2, которую мы назвали
плазменной частотой (см. гл. 7, § 3, вып. 5);
Таким образом, (32.50) или (32.51) можно переписать в виде
Эта плазменная частота является своего рода «критической». Для w
Таблица 32.3 · длины волн, при которых МЕТАЛЛ СТАНОВИТСЯ ПРОЗРАЧНЫМ
Вас может удивить, почему плазменная частота wр должна иметь отношение к распространению волн в металлах. Плазменная частота появилась у нас в гл. 7 (вып. 5) как собственная частота колебаний плотности свободных электронов. (Электрическое расталкивание группы электронов и их инерция приводят к колебаниям плотности.) Продольные волны плазмы резонируют при частоте w. Но сейчас мы говорим о поперечных волнах, и мы уже нашли, что при частотах, меньших wр, происходит их поглощение. (Это очень интересное и отнюдь не случайное совпадение.)
Хотя мы все время говорили о распространении волн в металлах, вы одновременно, должно быть, почувствовали универсальность явлений физики: нет никакой разницы в том, находятся ли свободные электроны в металле, в плазме, в ионосфере Земли или в атмосфере звезд. Чтобы понять распространение радиоволн в ионосфере, можно воспользоваться тем же выражением, разумеется, при надлежащих значениях величин N и t. Теперь мы можем видеть, почему длинные радиоволны поглощаются или отражаются ионосферой, тогда как короткие свободно проходят через нее. (Поэтому для связи с искусственными спутниками Земли должны применяться короткие волны.)
Мы говорили о распространении предельных высоко– и низкочастотных волн в металлах. Для промежуточных же частот необходимо использовать «полновесное» уравнение (32.42). В общем случае показатель преломления будет иметь вещественную и мнимую части, и при распространении волн в металлах происходит их поглощение. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для обычных оптических частот. В качестве примера приведем специальные защитные очки для рабочих, работающих около высокотемпературных печей. Эти очки изготавливаются напылением на стекло очень тонкого слоя золота; стекло это достаточно прозрачно для видимого света и на просвет выглядит как зеленое, но инфракрасные лучи сильно поглощает.
И, наконец, от читателя невозможно скрыть тот факт, что многие из этих формул в некотором отношении напоминают формулы для диэлектрической проницаемости c, рассмотренные в гл. 10 (вып. 5). Диэлектрической проницаемостью c измеряется реакция материала на статическое электрическое поле, т. е. когда w=0. Если вы посмотрите повнимательнее на определение n и c, то обнаружите, что c есть не что иное, как предел n2 при w®0. В самом деле, положив в уравнениях этой главы w=0 и n2=c, мы воспроизведем уравнения теории диэлектрической проницаемости гл. 11 (вып. 5).
* Или записав – i=е - i p / 2 ; Ц-i=e - i p /4 = соsp/4– isinp/4, что приводит к тому же результату.
* Взяты из справочника «Handbook of Physics and Chemistry».
* Всюду в этой главе мы будем пользоваться обозначениями, принятыми в гл. 31 (вып. 3); пусть a – атомная поляризуемость, как это определено здесь. В предыдущей главе мы пользовались буквой a для обозначения объемной поляризуемости, т. е. отношения Р к Е. Но в обозначениях этой главы P=Nae 0 E [см. выражение (32.8)].
