Текст книги "Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I"

Фиг. 2.1. При рассеянии двух тождественных частиц процессы а и б неразличимы.

Пусть f(q) будет амплитуда этого процесса; тогда вероятность Р₁наблюдения подобного события пропорциональна |f(q)|². Конечно, могло случиться, что частица b рассеялась в счетчик 1, а частица а направилась в счетчик 2 (фиг. 2.1, б). Если считать, что никаких специальных направлений, определяемых спином или чем-то подобным, в опыте нет, то вероятность Р₂ этого события можно просто записать в виде | f(p-q)|², потому что этот процесс попросту эквивалентен первому процессу, в котором счетчик 1 поставили под углом (я – 6). И вам могло бы показаться, что амплитуда второго процесса равна просто f(p-q). Но это не обязательно так, потому что в ней мог стоять произвольный фазовый множитель. Иначе говоря, амплитуда могла бы быть такой:

Ведь и такая амплитуда все еще приводит к вероятности Р₂, равной |f(p-q)|².

Посмотрим теперь, что случается, если частицы a и b оказываются идентичными. Тогда два разных процесса, показанных на двух частях фиг. 2.1, уже нельзя друг от друга отличить. Существует амплитуда того, что а или b попадает в счетчик 1, тогда как оставшаяся частица попадает в счетчик 2. Эта амплитуда есть сумма амплитуд двух процессов, показанных на фиг. 2.1.

Если первую мы обозначим f(q), то вторая будет и теперь уже фазовый множитель очень важен, потому что мы собираемся складывать амплитуды. Предположим, что мы обязаны умножать амплитуду на некий фазовый множитель всякий раз, когда две частицы обмениваются ролями. Если они еще раз обменяются ими, то множитель появится еще раз. Но при этом мы снова возвратимся к первому процессу. Фазовый множитель, взятый дважды, должен вернуть нас к тому, с чего мы начали,– его квадрат должен быть равен единице. Есть только две возможности:

равно либо +1, либо -1. Обмен приводит ко вкладу в амплитуду с тем же знаком или ко вкладу с противоположным знаком. И оба случая встречаются в природе, каждый для своего класса частиц. Частицы, интерферирующие с положительным знаком, называются бозе-частицами, а те, которые интерферируют с отрицательным знаком, именуются ферми-частицами. Ферми-частицы – это электрон, мюон, оба нейтрино, нуклоны и барионы. Стало быть, амплитуда рассеяния тождественных частиц имеет вид для бозе-частиц:

(Амплитуда процесса)+(Амплитуда обмена); (2.1) для ферми-частиц:

(Амплитуда процесса)-(Амплитуда обмена). (2.2)

Для частиц со спином (скажем, электронов) возникает добавочное усложнение. Нужно указывать не только местоположение частиц, но и направление их спинов. Только в том случае, когда частицы идентичны и их спиновые состояния тоже идентичны, только тогда при обмене частицами амплитуды интерферируют. А если вас интересует рассеяние неполяризованных пучков, являющихся смесью различных спиновых состояний, то нужны еще выкладки и сверх этого.

Интересная проблема возникает при наличии двух или больше тесно связанных частиц. К примеру, в a-частице сидят четыре частицы: два нейтрона и два протона. И когда рассеиваются две a-частицы, может представиться несколько возможностей. Может случиться, что при рассеянии обнаружится конечная амплитуда того, что один из нейтронов перескочит от одной a-частицы к другой, а нейтрон из другой a-частицы перейдет к первой, так что две a-частицы после рассеяния оказываются не первоначальными частицами – произошел обмен парой нейтронов (фиг. 2.2).

Фиг. 2.2. Рассеяние двух a-частиц.

а – обе частицы сохраняют свою индивидуальность; б – во время рассеяния происходит обмен нейтроном.

Амплитуда рассеяния с обменом парой нейтронов будет интерферировать с амплитудой рассеяния без такого обмена, и интерференция должна иметь знак минус, потому что состоялся обмен ферми-частицами. С другой стороны, если относительная энергия двух a-частиц так мала, что они находятся сравнительно далеко друг от друга (скажем, из-за кулоновского отталкивания) и вероятность обмена любыми внутренними частицами оказывается незначительной, в этом случае a-частицу можно считать простейшим объектом, не задумываясь о деталях ее внутреннего строения. В этих условиях в амплитуду рассеяния войдут только два члена. Либо обмена вовсе нет, либо при рассеянии происходит обмен всеми четырьмя нуклонами. Поскольку и протоны, и нейтроны в a-частице – это ферми-частицы, обмен любой парой меняет знак амплитуды рассеяния. Пока внутри a-частиц нет никаких изменений, обмен двумя a-частицами означает то же самое, что обмен четырьмя парами ферми-частиц. Каждая пара меняет знак, и в итоге амплитуды складываются со знаком плюс. Так что a-частица ведет себя как бозе-частица.

Значит, правило состоит в том, что сложные объекты в тех обстоятельствах, когда их можно считать неделимыми объектами, ведут себя как бозе– или ферми-частицы, смотря но тому, содержится ли в них четное или нечетное число ферми-частиц.

Все элементарные ферми-частицы, о которых мы упоминали (такие, как электрон, протон, нейтрон и т. д.), обладают спином j=¹/₂. Если несколько таких ферми-частиц образует сложный объект, общий их спин может быть либо целым, либо полуцелым. К примеру, у самого распространенного изотопа гелия Не⁴, в котором два протона и два нейтрона, спин равен нулю, а у Li⁷, в котором протонов три, а нейтронов четыре, спин равен ³/₂. Позже мы выучим правила сложения моментов количества движения, а пока просто заметим, что всякий сложный объект с полуцелым спином имитирует ферми-частицу, тогда как всякий сложный объект с целым спином имитирует бозе-частицу.

Интересно, отчего так получается? Отчего частицы с полуцелым спином суть ферми-частицы, чьи амплитуды складываются со знаком минус, а частицы с целым спином суть бозе-частицы, чьи амплитуды складываются с положительным знаком? Мы просим прощения за то, что неспособны элементарно объяснить вам это. Но объяснение существует, его нашел Паули, основываясь на сложных доводах квантовой теории поля и теории относительности. Он показал, что эти факты с необходимостью связаны друг с другом; но мы не в состоянии найти способ воспроизвести его аргументы на элементарном уровне. Это, видимо, одно из немногих мест в физике, когда правило формулируется очень просто, хотя столь же простого объяснения ему не найдено. Объяснение коренится глубоко в релятивистской квантовой механике. По-видимому, это означает, что мы до конца не понимаем лежащего в его основе принципа. Будем считать его пока одним из законов Вселенной.

§ 2. Состояния с двумя бозе-частицами

Теперь мы хотели бы обсудить интересное следствие из правила сложения для бозе-частиц. Оно касается поведения этих частиц, когда их не одна, а несколько. Начнем с рассмотрения случая рассеяния двух бозе-частиц на двух различных рассеивателях. Нас интересуют не детали механизма рассеяния, а лишь одно: что происходит с рассеянными частицами. Пусть перед нами случай, показанный на фиг. 2.3.

|a><2|b>|² что также равняется

|<1|а>|²|<2|b>|². Чтобы сократить запись, мы иногда будем полагать

<1|а>=а₁, <2|b>=b₂.

Тогда вероятность двойного рассеяния есть

|a₁|²|b₂|².

Могло бы также случиться, что частица b рассеялась в направлении 1, а частица а —в направлении 2. Амплитуда такого процесса была бы равна

<2|а><1|b>, а вероятность такого события равна

|<2|а><1|b>|²=|a₂|²|b₁|².

Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счетчиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р₂ того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто

P₂=|a₁|²|b₂|²+|a2|²|b₁|². (2.3)

Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Будем считать, что а с изменением направления меняется плавно, тогда а₁и а₂ при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближении амплитуды а₁и а₂ сравняются, и можно будет положить а₁=а₂ и обозначить каждую из них просто а; точно так же мы положим и b₁=b₂=b. Тогда получим

Р₂=2|а|²|b|². (2.4)

Теперь, однако, предположим, что а и b – тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а b в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в котором b переходит в 2, а а – в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут интерферировать. Полная амплитуда того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна

<1| а><2|b>+<2|а><1|b>, (2.5)

и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:

Р₂= |а₁b₂+a₂b₁|²=4|a|²|b|²(2.6)

Б итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состояние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.

Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками,– это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, который находится на каком-то расстоянии. Мы определим направление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS₁ счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS₂счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой поверхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в определенную точку пространства. Это невозможно – шанс зарегистрировать любое фиксированное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали вероятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица я; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть<1|а>=a₁ определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а₁и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS₁равна

Если вся площадь нашего счетчика DS и мы заставим dS₁странствовать по этой площади, то полная вероятность того, что частица а рассеется в счетчик, будет

Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а₁на его поверхности не очень меняется; значит, а₁будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна

Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS₂с вероятностью

(Мы говорим dS₂, а не dS₁в расчете на то, что позже частицам а и b будет разрешено двигаться в разных направлениях.) Опять положим b₂ равным постоянной амплитуде b; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна

Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в dS₁и b в dS₂будет

Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и b) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать dS₁ и dS₂по всей площади DS; получится

Заметим, кстати, что это равно просто р_а·р_bвточности так, как если бы мы предположили, что частицы а и b действуют независимо друг от друга.

Однако, когда две частицы тождественны, имеются две неразличимые возможности для каждой пары элементов поверхности dS₁и dS₂. Частица а, попадающая в dS₂, и частица b, попадающая в dS₁, неотличимы от а в dS₁и от b в dS₂, так что амплитуды этих процессов будут интерферировать. (Когда у нас были две различные частицы, то, хотя мы на самом деле не заботились о том, какая из них куда попадает в счетчике, мы все же в принципе могли это узнать; так что интерференции не было. А для тождественных частиц мы и в принципе не можем этого сделать.) Мы должны тогда написать, что вероятность того, что пара частиц очутится в dS₁и dS₂, есть

Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным. Пустив dS₁и dS₂ странствовать по всей площади DS, мы бы сосчитали каждую часть площади дважды, поскольку в (2.13) входит все, что может случиться с каждой парой элементов поверхности dS₁и dS₂. Но интеграл можно все равно подсчитать, если учесть двукратный счет, разделив результат пополам. Тогда мы получим, что Р₂для тождественных бозе-частиц есть

И опять это ровно вдвое больше того, что мы получили в (2.12) для различимых частиц.

Если вообразить на мгновение, что мы откуда-то знали, что канал b уже послал свою частицу в своем направлении, то можно сказать, что вероятность того, что вторая частица направится в ту же сторону, вдвое больше того, чего можно было бы ожидать, если бы мы посчитали это событие независимым. Таково уж свойство бозе-частиц. что если есть одна частица в каких-то условиях, то вероятность поставить в те же условия вторую вдвое больше, чем если бы первой там не было. Этот факт часто формулируют так: если уже имеется одна бозе-частица в данном состоянии, то амплитуда того, что туда же, ей на голову, можно будет поместить вторую, в Ц2 раз больше, чем если бы первой там не было. (Это неподходящий способ формулировать результат с той физической точки зрения, какую мы избрали, но, если это правило последовательно применять, оно все же приводит к верному результату.)

§ 3. Состояния с n бозе-частицами

Распространим наш результат на тот случай, когда имеются n частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4.

Фиг. 2.4. Рассеяние n частиц в близкие конечные состояния.

Есть n частиц а, b, с, . . . , которые рассеиваются в направлениях 1, 2, 3, . . . , п. Все n направлений смотрят в небольшой счетчик, который стоит где-то поодаль. Как и в предыдущем параграфе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в элемент поверхности dS счетчика, была равна

|< >|²dS.

Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что n частиц будут одновременно зарегистрированы в n разных элементах поверхности, будет равна

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счетчике расположен элемент dS (он считается малым), и обозначим их .просто а, b, с, .... Вероятность (2.15) обратится в

Прогоняя каждый элемент dS по всей поверхности DS счетчика, получаем, что Р_n(разные) – вероятность одновременно зарегистрировать n разных частиц – равна

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют независимо – вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.

Теперь предположим, что все эти частицы – идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, скажем, частиц было только три, появились бы следующие возможности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц n, то будет n!разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбинаций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что n частиц будут зарегистрированы в n элементах поверхности, тогда будет равна

│ a₁b₂c₃ …+ a₁b₃c₂ … + и т. д. +│² dS₁ dS₂ dS₃... dS_n. (2.18)

И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить а₁=а₂= . . . . . . =а_n=а и то же сделать с b, с, . . . ; вероятность (2.18) обратится в

|n!abc ... |²dS₁dS₂ ... dS_n. (2.19)

Когда каждый элемент dS прогоняют по площади DS счетчика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается n!раз; учтем это, разделив на n!, и получим

или

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета n бозе-частиц в n!раз больше, чем получилось бы в предположении, что все частицы различимы. Все это можно подытожить так:

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в n!раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состояние, в котором уже находятся n других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой w. Если всего, включая w, имеется (n+1) частиц, то (2.20) обращается в

Это можно записать так:

или

Этот результат можно истолковать следующим образом. Число |w|²DS – это вероятность заполучить в счетчик частицу w, если никаких других частиц нет; Р_n(бозе) – это шанс того, что там уже есть n других бозе-частиц. Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть n других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что еще одна частица придет в то же состояние, усиливается в (n+1) раз. Вероятность получить еще один бозон там, где уже есть их n штук, в (n+1) раз больше той, какая была бы, если бы там раньше ничего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить еще одну.

§ 4. Излучение и поглощение фотонов

Повсюду в наших рассуждениях шла речь о процессе, похожем на рассеяние a-частиц. Но это необязательно; можно было бы говорить и о создании частиц, например об излучении света. При излучении света «создается» фотон. В этом случае уже не нужны на фиг. 2.4 входящие линии; можно просто считать, что есть n атомов а, b, с, . . . , излучающих свет (фиг. 2.5).

Фиг. 2.5. Образование n фотонов в близких состояниях.

Значит, наш результат можно сформулировать и так: вероятность того, что атом излучит фотон в некотором конечном состоянии, увеличивается в (n+1) раз, если в этом состоянии уже есть n фотонов.

Многим больше нравится высказывать этот результат иначе; они говорят, что амплитуда испускания фотона увеличивается в Ц(п+1) раз, если уже имеется в наличии n фотонов. Разумеется, это просто другой способ сказать то же самое, если только иметь в виду, что эту амплитуду для получения вероятности надо просто возвести в квадрат.

В квантовой механике справедливо в общем случае утверждение о том, что амплитуда получения состояния cиз любого другого состояния j комплексно сопряжена амплитуде получения j из c

Мы разберемся в этом чуть позже, а пока просто предположим, что на самом деле это так. Тогда этим можно воспользоваться, чтобы понять, как фотоны рассеиваются или поглощаются из данного состояния. Мы знаем, что амплитуда того, что фотон прибавится к какому-то состоянию, скажем к i, вкотором уже находится n фотонов, равна

где а=<i|а> – амплитуда, когда нет других фотонов. Если воспользоваться формулой (2.24), то амплитуда обратного перехода – от (n+1) фотонов к n фотонам – равна

Но обычно говорят иначе; людям не нравится думать о переходе от (n+1) к n, они всегда предпочитают исходить из того, что имелось n фотонов. Поэтому говорят, что амплитуда поглощения фотона, если имеется n других, иными словами, перехода от n к (n-1), равна

=Цna*. (2.27)

Это, разумеется, просто та же самая формула (2.26). Но тогда возникает новая забота – помнить, когда пишется Цn и когда Ц(n+1). Запомнить это можно так: множитель всегда равен корню квадратному из наибольшего числа имевшихся в наличии фотонов, все равно – до реакции или после. Уравнения (2.25) и (2.26) свидетельствуют о том, что закон на самом деле симметричен; несимметрично он выглядит лишь тогда, когда его записывают в виде (2.27).

Из этих новых правил проистекает множество физических следствий; мы хотим привести одно из них, касающееся испускания света. Представим случай, когда фотоны находятся в ящике,– можете вообразить, что ящик имеет зеркальные стенки. Пусть в этом ящике в одном и том же состоянии (с одними и теми же частотой, поляризацией и направлением) имеется n фотонов, так что их нельзя друг от друга отличить, и пусть в ящике имеется атом, который может испустить еще один фотон в таком же состоянии. Тогда вероятность того, что он испустит фотон, равна

(п+1)|a|², (2.28)

а вероятность того, что он фотон поглотит, равна

n|а|², (2.29)

где |а|² – вероятность того, что он испустил бы фотон, если бы не было этих n фотонов. Мы уже говорили об этих правилах немного по-иному в гл. 42 (вып. 4). Выражение (2.29) утверждает, что вероятность того, что атом поглотит фотон и совершит переход в состояние с более высокой энергией, пропорциональна интенсивности света, освещающего его. Но, как впервые указал Эйнштейн, скорость, с которой атом переходит в более низкое энергетическое состояние, состоит из двух частей. Есть вероятность |а|² того, что он совершит самопроизвольный переход, и есть вероятность вынужденного перехода n|а|², пропорциональная интенсивности света, т. е. числу имеющихся фотонов. Далее, как заметил Эйнштейн, коэффициенты поглощения и вынужденного испускания равны между собой и связаны с вероятностью самопроизвольного испускания. Здесь же мы выяснили, что если интенсивность света измеряется количеством имеющихся фотонов (вместо того, чтобы пользоваться энергией в единице объема или в секунду), то коэффициенты поглощения, вынужденного испускания и самопроизвольного испускания все равны друг другу. В этом смысл соотношения между коэффициентами А и В, выведенного Эйнштейном [см. гл. 42 (вып. 4), соотношение (42.18)].