Родился 10 (21) декабря 1793 года в Вологде в дворянской семье. Учился в Вологодской гимназии. Дворянин Тверской губернии.

Отправленный в 1805 году в Санкт-Петербург для определения в кадетский корпус, Коншин, за неимением документов, доказывающих его дворянское происхождение, был зачислен в роту для разночинцев 1-го кадетского корпуса, откуда выпущен через 3 года кондуктором в инженерный корпус. В 1811 году был переведён юнкером-фейерверкером вгвардейскую конную артиллерию, и в конце того же года произведён по экзамену в прапорщики. В 1812 году находился с 20-й конной ротой под Смоленском, затем — в Брянске. В военных действиях участия не принимал. В 1814 году участвовал в походе к Варшаве и Кракову. В 1818 году он оставил военную службу и поступил в Департамент мануфактур и внутренней торговли; но в следующем же году перешёл обратно в военную службу, в которой и пробыл до 1824 года.

В этом году Коншин, в чине коллежского асессора, был определён чиновником особых поручений при костромской казённой палате; затем в течение 1825—1827 года служил в департаменте податей и разных сборов и в тверской казённой палате, и наконец в 1829 году, после двухлетней отставки, был назначен правителем канцелярии главноуправляющего Царским Селом и дворцовым правлением. В этой должности он оставался более 3 лет.

В 1837 году Коншин был определён, благодаря, между прочим, ходатайству А. С. Пушкина, директором училищ Тверской губернии, откуда в 1849 году, 28 августа, переведён директором вновь открытой 4-й московской гимназии, а через год назначен директором Демидовского лицея в Ярославле и вместе с тем — директором училищ Ярославской губернии. После шестилетнего пребывания здесь Коншина возникли обвинения его со стороны наставников в разных злоупотреблениях по должности и в 1856 году он был отставлен, несмотря на то, что не все обвинения были доказаны. Эти обвинения возникли отчасти потому, что Коншин, будучи по образованию ниже лицейских профессоров и наставников, относился к ним несколько самовластно и в видах «увеличения средств Лицея» всегда принимал сторону учащихся, особенно из дворян. В качестве директора лицея Коншин, обращал наибольшее внимание на работы по перестройке лицея, не забывая также и фрунтовой службы: воспитанники учебных заведений «маршировали при нём не хуже кадетов»; что касается преподавания, то Коншин требовал фактичности, не любил никаких мудрствований и ставил главной целью всех наук — «прославление Творца вселенной». В мае 1859 года он был назначен главным инспектором училищ Западной Сибири, умер 31 октября (12 ноября) 1859 года в Омске, не успев вступить в должность.

Жена, Евдокия Яковлевна (урождённая Васильева).