Текст книги "Журнал «Компьютерра» № 33 от 11 сентября 2007 года"

Автор книги: Компьютерра Журнал

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 9 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]

КОСМОС: Компьютеры особого назначения

Автор: Александр Бумагин

Минувшим летом на Международной космической станции случилось сразу несколько неприятностей, связанных с компьютерами. В июне компьютерный сбой нарушил работу российского сегмента МКС. В июле американцы обнаружили, что в одном из компьютеров, который должен был отправиться на станцию, перерезаны провода. В августе – вышел из строя один из управляющих компьютеров американского сегмента. Александр Бумагин попытался выяснить, что там все время ломается, и что это такое вообще – компьютеры для космоса.

Cловосочетание "компьютеры МКС" многие воспринимают абстрактно, для специалистов же это выражение вообще мало, что значит, так как на станции одновременно находятся десятки компьютеров, произведенных в разных странах по совершенно разным технологиям. Однако прежде чем переходить к частностям, стоит, наверное, пару слов сказать о том, как управляется МКС.

Станция – в большой степени, российско-американский проект – не имеет единого центра управления. С одной стороны, это увеличивает надежность и дает возможность каждой стране работать со своей, хорошо знакомой техникой, а с другой – трудно представить, что названные партнеры уступили бы друг другу в этом вопросе первенство [Политическая важность роли лидера в проекте привел и к тому, что из-за разногласий так и не ввели никакого названия для МКС: вариант «Альфа» отклонили мы, «Атлант» – американцы. Даже в системе координат, привязанной к станции, у нас по-разному направлены оси. Векторы у нас разные]. Есть два ЦУПа [И третий заработает, когда ЕКА запустит свой первый грузовой корабль ATV], в Москве (ЦУП-М) и в Хьюстоне (ЦУП-Х), которые, обмениваются телеметрическими и статусными данными друг с другом. ЦУП-М поддерживает связь с бортовым комплексом управления (БКУ) российского сегмента, получая с орбиты данные телеметрии и посылая в обратную сторону необходимые команды. То же самое происходит между ЦУП-Х и американским сегментом [В каждом из ЦУПов предусмотрены аварийные сектора управления не своим сегментом, на случай ЧП по другу сторону океана. В Хьюстоне дежурят наши специалисты, в Москве – американские]. Бортовые комплексы управления обоих сегментов обмениваются необходимыми данными между собой, при этом российский и американский комплексы устроены по-разному.

В российский БКУ входят Бортовая цифровая вычислительная система (БЦВС), Система управления движением и навигации (СУДН), Система управления бортовой аппаратурой (СУБА), Радиосистема управления и связи (РСУС), Система бортовых измерений (СБИ). Через РСУС идет обмен данными с Наземным комплексом управления (НКУ), с помощью СУБА осуществляется контроль над системами электроснабжения (СЭС), обеспечения жизнедеятельности (СОЖ), обеспечения теплового режима (СОТР), двигательной установкой (ДУ) и целевой аппаратурой. Транспортной магистралью между системами служит Бортовая кабельная сеть (БКС) [Да простится нам нагромождение аббревиатур в этом абзаце, но угловатость текста лишь подчеркивает сложность исследуемого предмета, ну а для упрощения к статье прилагается более наглядная схема. Кроме того, конечно же, перечислены вовсе не все системы и подсистемы, но расписывать их полное древо на полстатьи вряд ли разумно].

БЦВС стоит во главе всего БКУ. Ее ядром является та самая европейская система обработки данных (СОД) [Data Management System for Russian segment, DMS-R], с которой и произошли памятные проблемы. СМ «Звезда» является базовым модулем МКС именно потому, что СОД отвечает не только за функционирование российского сегмента, но и за многие аспекты работы станции в целом. СОД в значительной мере централизована. Главной на станции считается Центральная вычислительная машина (ЦВМ), которой должны помогать следить за отдельными системами в российском сегменте Терминальные вычислительные машины (ТВМ) в каждом модуле. Пока на станции одна ТВМ на СМ «Звезда» [Кроме того, для взаимодействия СОД с экипажем предусмотрено два пульта управления]. Таким образом, у ЦВМ и ТВМ задачи не одинаковы. ЦВМ отвечает за станцию и российский сегмент в целом, не отвлекаясь на задачи, выполняемые системами узкого назначения: для этого существует ТВМ. ЦВМ и ТВМ не имеют видеотерминалов, это управляющие вычислительные комплексы реального времени, которые функционируют во многом автономно.

МОДЕЛЬ ДЛЯ СБОРКИ

Даже планируя сборку домашнего ПК, мы часто выписываем желаемые комплектующие на листок бумаги (иногда виртуальный), прикидываем производительность, совместимость деталей, их стоимость и доступность замены в случае поломки или появления более совершенной замены. Аналогичная работа для компьютеров, установленных на СМ «Звезда», длилась не один год. Начало консультаций по этому вопросу между Россией и Европой пришлось на далекий 1992 год, когда планировалось запускать «МИР-2». Трудностей хватало. Европа не единое государство, и странам-участникам нужно было определиться со своим вкладом, а кроме того, европейцы рассчитывали использовать и в других своих аппаратах схожие компьютерные системы, что на их проектирование накладывало особый отпечаток. В России в 1990-х годах произошли памятные перемены, и в числе многих научных проектов закрылся и «МИР-2», а точнее, объединился с американской программой Freedom. Это также не могло не повлиять на итоговые спецификации. Только 1 марта 1996 года между ЕКА и Роскосмосом был подписан документ о взаимных обязательствах при создании СОД, основные работы по проектировке и производству которой велись немецкой компанией Daimler-Benz Aerospace Airbus (DASA).

На «Звезде» и «Заре» также работают более двух десятков так называемых устройств сопряжения (УС) – компьютеров, являющихся посредниками между ЦВМ/ТВМ и отдельными системами. УС могут самостоятельно поддерживать работу подконтрольных приборов в рамках, заданных центральными машинами (центральные машины, в свою очередь, имеют возможность в любой момент перехватить управление – при смене режимов, например, или при выводе сообщений об ошибках).

Структура американского сегмента иная. Единого компьютера, замыкающего все управление на себе, там нет и с большой натяжкой «главным» можно считать компьютер MDM C&C (Command and Control), отвечающий за связь между сегментами станции и Землей, а также за трансляцию управляющих команд. В узловом модуле Unity и лабораторном модуле Destiny так же, как и в российской части станции, обеспечивается работа множества приборов и систем, вот только управление это децентрализовано. В качестве управляющих компьютеров здесь используются так называемые мультиплексоры демультиплексоры (MDM). Можно сказать, что каждый компьютер американского сегмента занимается только своим делом, отсылая по сети необходимые для других систем данные и получая тем же путем нужную информацию из других частей станции и с Земли. Многие аналогичные системы в обоих сегментах станции работают или могут работать вместе (например, системы навигации и движения), и, как и было сказано ранее, обмен необходимой информацией идет чрез ЦВМ [ТВМ и GNC MDM (MDM, отвечающий за навигацию и управление движением в американском сегменте) связаны напрямую через отдельную шину].

Сеть на станции построена на базе мультиплексного канала ГОСТ В 26765-84 (аналог Mil-1553В – ну хоть здесь наши подходы совпали). К счастью или сожалению, но в работу многочисленных систем МКС должны вмешиваться члены экипажа, которые вооружены несколькими десятками портативных компьютеров. Некоторые из них имеют постоянное место и переносными считаются лишь номинально, а вот другие можно перемещать по станции и подключать к нужному оборудованию.

С 1998 года в российском сегменте исТЕОРИЯ космос Компьютеры особого назначения

пользовались четыре ноутбука Wiener PowerNote [Wiener – это российская торговая марка, принадлежащая компании R&K. Ноутбуков компания уже несколько лет не выпускает. Что же до «космических» ноутбуков, то никаких сомнений в том, что Wiener Power Note отправились в космос нет. Вопрос только в том, куда? Если верить новостям на сайте компании, то на станцию «Мир» в 1998 году. Если же верить немногочисленным публикациям на эту тему, то в 2003 году русские ноутбуки были уже на МКС. Отдельный вопрос: почему в космос полетели именно эти ноутбуки, а не какие-то другие? Никакой достоверной информации у нас на этот счет нет, однако логика подсказывает, что решение об отправке ноутбуков определенной компании может иметь, скорее, коммерческие причины – по крайней мере, если говорить об отправке ноутбуков с российской стороны (на МКС, кстати, могли оказаться и ноутбуки другого известного производителя, но в последний момент стороны не договорились). – Прим. ред.], но в основном, в обоих сегментах нашли применение модели IBM ThinkPad [Эти Thinkpad’ы по сравнению со своими земными аналогами кажутся выхолощенными – из них удалены средства беспроводной связи и такой бесполезный на орбите элемент как встроенный модем. Не в последнюю очередь сделано это, чтобы сократить энергопотребление портативных компьютеров до минимума] – 760XD в американском сегменте и 760ED – в российском. Учитывая конфигурацию (Pentium-166 с 64 Мбайт оперативной памяти), нет смысла удивляться тому, что производительности не хватало, и, порою, даже запуска нужного приложения приходилось ждать по несколько минут. Что касается операционной системы, то на лэптопах, входящих в группу Portable Computer System (PCS) и служащих для взаимодействия с бортовыми компьютерами, установлена ОС Solaris. Прочие лэптопы работали под Windows 98(SE). В 2003 году машины американского сегмента и три Wiener PowerNote у нас были заменены на IBM ThinkPad A31P [Pentium IV и Windows 2000; сохранен выбор в пользу Solaris для группы PCS].

КОМПЬЮТЕРЫ-ДУБЛЕРЫ

Так как ошибки компьютеров на орбите могут стоить очень дорого, то при работе вычислительных систем в обоих сегментах предусмотрено резервирование. Во всех (не только главных) компьютерах российского сегмента предусмотрена трехканальная система резервирования. Каждая ВМ состоит из трех изолированных друг от друга компьютеров, производящих все вычисления параллельно, а за единственный верный результат принимается тот, который получился как минимум у двух компьютеров из трех. В случае сбоя одного из компьютеров (или, как говорят, каналов) система переходит на режим работы с двумя компьютерами (двухканальная конфигурация), в случае сбоя двух – работает лишь один, и, наконец, при сбое всех трех каналов, вся система автоматически перезагружается и изначально устанавливается трехканальный режим работы. Подобные перезагрузки, свидетельствующие о сбое всех шести главных компьютеров ЦВМ и ТВМ, стали напастью во время памятной аварии. На американском сегменте (АС) свои порядки. Только для самых важных компьютеров АС предусмотрено тройное резервирование. Принцип его другой. Один из трех компьютеров управляет системой, другой включен и готов перехватить контроль, в случае сбоя с первой машиной (горячий резерв), а третий компьютер находится в холодном резерве, иначе говоря, выключен.

Раз уж мы коснулись начинки ноутбуков [А ведь у экипажа есть еще и наладонники HP iPAQ H5550, которые иногда более удобны в использовании, чем ноутбуки], самое время сделать круг и перейти к внутренним подробностям бортовых компьютеров. Здесь балом правят раритеты. ЦВМ и ТВМ весят около шести килограмм, но потребляют всего 49 Вт мощности. Они сконструированы на базе процессоров ER32, изготовленных по технологии SPARC V7 (32 разряда, 10 MIPS при 14 MГц, ОЗУ 8 Мбайт, ПЗУ 4 Мбайт).

Ошибочно, впрочем, полагать, что лучше и надежнее использовать новейшие решения. Старые процессоры изучены настолько, что все их особенности известны досконально. Кроме того, современные процессоры гораздо более уязвимы перед внешними излучениями, чем их предшественники [Во многих источниках упоминается, что старые процессоры более устойчивы к разного рода излучениям (что, конечно, правда), однако вряд ли именно эти соображения принимались в расчет при выборе конфигурации ноутбуков – в конце концов, ноутбуки работают внутри космической станции, в относительно безопасном окружении. Свой отпечаток на работу компьютеров на орбите накладывает и особый температурный режим: в условиях невесомости нет конвекции, а потому переработка системы охлаждения также является необходимым условием для типовых моделей, претендующих на отправку в космос. Наконец, техническое отставание портативных решений – результат обыкновенной инерции. Прежде чем решение об отправке на борт новой техники будет принято, нужно провести всестороннее тестирование, подготовить машины должным образом, убрав из них все лишнее. Если учесть, что для отправки в космос сознательно выбираются решения, "проверенные временем", то понятно, что к моменту доставки они успевают окончательно морально устареть].

К тому же, производительности используемых в СОД процессоров вполне достаточно: это только нас с вами можно «раскрутить» на очередной апгрейд ради неимоверно быстрой работы с текстовыми документами. ЦВМ и ТВМ спокойно работают под не слишком известной операционной системой VxWorks [Операционная система реального времени компании Wind River Systems. Аналогичные системы управляют, например, марсоходами Spirit и Oportunity, а также зондом Mars Reconnaissance Orbiter], не испытывая никаких эмоций при появлении на Земле Windows Vista.

Контроллеры отдельных систем российского сегмента представляют собой российские разработки УС-21 и УС-22 (микропроцессор М 8 °C186ЕВ; ОЗУ, ПЗУ и ЭППЗУ – 256 Кбайт, 256 Кбайт и 512 Кбайт соответственно; масса – 6,45 кг; потребляемая мощность – 24 Вт).

В NASA тоже исходят из принципов надежности и предсказуемости поведения электроники. И на Марс, и на орбиту посылаются приборы, основанные вовсе не на процессорах последних лет. Их MDM на МКС построены на базе процессора Intel 80386SX (12 MГц или 16 MГц с математическим сопроцессором [Неверно полагать, что 386-е процессоры больше не выпускаются. На израильской Fab 8 компании Intel производят эти и другие старые процессоры, которые пользуются достаточным спросом, и не только в космонавтике. В то же время недостаток комплектующих побудил NASA скупать старое железо через интернет-аукционы. Напомним, что шаттлы, компьютеры на которых тоже не отличаются новизной процессоров, летают очень давно, и с каждым годом все труднее найти замену выходящим из строя деталям]). Программирование для этих машин осуществляется на языках C, C++, ADA и ADA 95.

ХРОНИКИ КОМПЬЮТЕРНЫХ СБОЕВ

Нынешнее лето богато на материалы в прессе, так или иначе связанные с компьютерной начинкой МКС.

Самое нашумевшее событие – выход из строя всех шести основных компьютеров российского сегмента (ЦВМ и ТВМ). Официально о причинах неполадок так и не было сообщено, но произошло все после того, как американские астронавты подключили к системе энергообеспечения новые панели солнечных батарей. Восстановить работу компьютеров удалось через несколько дней нештатным образом, подключив их к питанию, минуя некоторые второстепенные узлы. Всерьез задумывались о возможной эвакуации, но к счастью, до этого не дошло. В настоящий момент первоначальная конфигурация питания ЦВМ и ТВМ восстановлена.

Затем служащий одного из подрядчиков NASA перерезал провода внутри компьютеров, предназначенных для шаттла, который вот-вот должен был отправиться к МКС. Неполадку обнаружили во время предполетных проверок, а о причинах такого поведения диверсанта официальные лица тоже пока молчат.

Наконец, самая недавняя проблема, которая в прессе прошла почти незамеченной, а именно: в середине августа в ходе визита того же шаттла «Индевор» и во время выхода американцев в открытый космос произошел сбой компьютера MDM C&C в американском сегменте. Сработала система резервирования, и управление взял на себя компьютер-дублер. По заявлениям и NASA, и Роскосмоса, никакой угрозы космонавтам не было, а причины происшествия как-то странно оставили в стороне. Это скучное с виду событие обернулось неожиданным скандалом.

Дело в том, что по информации, которая появилась в Интернете, российскими радиолюбителями были перехвачены разговоры наших космонавтов с ЦУПом по поводу описанного инцидента. Если верить не слишком четкой аудиозаписи (www.radioscanner.ru/files/download/file3542/msk_11_08_07.

wav), то некий астронавт Колл (который в списках астронавтов вовсе не значится – правда, там значится Клэйтон Андерсон, а в записи при некоторой усидчивости можно расслышать не «Колл», а "Клэй"), желая сфотографировать Землю, выключил, все, что только можно, дабы обеспечить темноту на станции. Это, дескать, повлекло за собой отключение нескольких систем, в том числе, систему управления температурой и названный компьютер. На самом же деле, по данным наших источников, инцидент свелся лишь к безобидному обесточиванию одного из научных российских приборов, при этом электропитание было вовремя восстановлено без ущерба для проводимого эксперимента (аутентичность записи нам при этом подтвердили). Компьютерный же сбой на американском сегменте никак не связан с действиями астронавта-фотолюбителя. С другой стороны, Колл или не Колл, но «мальчик» все-таки был.

Собственно программы для находящихся в космосе компьютеров различаются так же, как и компьютеры, для которых они написаны. Космонавты переписываются по электронной почте, и вряд ли нужно что-то особенное для этого придумывать. В то же время, трудно найти «наземное» применение программам, управляющим процессом стыковки или выходом в открытый космос. Там, где это было возможно, использовался обычный или слегка видоизмененный софт. Прикладные программы, призванные решать специфичные задачи, которых в космосе предостаточно, писались с нуля. По этой причине, на лэптопе космонавта ярлык для запуска Word вполне может соседствовать с ярлыком специальной программы, отслеживающей местонахождение каждого прибора и любого винтика на станции. Само собою, и здесь предпочтение отдается проверенным в своем поведении решениям, поэтому новейшие обновления, выпускаемые софтостроителями на Земле, в космос переносить не торопятся. В то же время набор программ не является жестким. При надобности, в программное обеспечение ТЕОРИЯ космос изменения вносятся. Например, не так давно БВС перепрограммировалась в связи c относительно скорым прибытием к станции европейского корабля ATV.

И в России, и в США есть необходимое для тестов оборудование, имитирующее работу систем, функционирующих на орбите. Уникальные программы, прежде чем заменить собою предыдущую версию, проходят отладку на моделях.

Особо отметим, что постоянного доступа в Интернет на МКС нет, так как существующие каналы связи и без того не пустуют, передавая техническую и научную информацию. Конечно, возможно организовать и чат, и видеоконференцию, когда есть необходимость, но нормой это назвать трудно.

Космонавты имеют доступ к электронной почте, которая, правда, не отличается оперативностью. Три раза в сутки сохраненные письма с орбиты пересылаются на особый сервер в NASA, откуда попадают уже к своим получателям. То же самое происходит с принимаемой почтой: перед сеансом обмена корреспонденцией космонавты сообщают о тех своих адресах, с которых желают принять сообщения.

Таким образом, устроить DоS-атаку на компьютеры МКС вряд ли получится, а что касается нежелательной почты, то для нескольких человек ее и вручную можно отсечь. К сожалению, и без этого те или иные проблемы в орбитальной "компьютерной группировке" случаются: слишком велика и сложна станция для того, чтобы все на ней работало без сучка и задоринки.

Программные сбои и переустановки там тоже не в диковинку, а ошибки случаются, как и везде, в самый неподходящий момент. Вот только безобидные в домашних условиях зависания или самопроизвольные перезагрузки становятся зловещими, если речь идет о компьютерах, от которых действительно могут зависеть жизни людей.

Увы, независимо от того, где распложен такой компьютер – в больнице, на АЭС или на орбите – он остается электронным прибором, сделанным по людским технологиям, которым идеальность пока не присуща.

НАУКА: Мерцающий компьютер бесконечности

Автор: Леонид Левкович-Маслюк

Бесконечность – дело тонкое, и всякие вольности в обращении с ней выглядят крайне вульгарно. Беда в том, что в математике, особенно в той, что нужна инженерам и естественнонаучникам, вы натыкаетесь на бесконечность на каждом шагу. Чтобы вывести (или хотя бы осмысленно применять) формулы для расчета окружающих нас строений, устройств, механизмов, нужно владеть предельными переходами, решать дифференциальные уравнения, вычислять интегралы, суммировать ряды. Матанализ, первейший инструмент инженера-практика, прочно и глубоко связан с абстрактным и труднопостижимым понятием бесконечности, а уж почему так получилось – этот вопрос лучше адресовать куда-нибудь повыше.

Конечно, в прикладных разделах математики (да и в большинстве теоретических) бесконечность в мистически-пафосном смысле этого слова уже давно и тщательно заметена под ковер. Лучшие умы математики к середине-концу XIX века в основном придали математическому анализу его современную форму, где в рассуждениях и вычислениях фигурируют только конечные величины вместо понятных лишь гениям вроде Ньютона "моментов флюксий". Тем не менее бесконечность как концепция никуда не девается, она таится где-то в глубине, как кащеева игла, и вокруг нее витают темные флюиды логических туманностей и парадоксов, иногда очень эффектных – чего стоит хотя бы знаменитый парадокс Банаха-Тарского (см. стр. 26). Эти туманности, некогда привлекавшие широкое внимание, по-прежнему исследуют энтузиасты – но надо признать, что мода на разработку предмета с гордым названием "основания математики" прошла. Сегодня мало кто верит, что именно на этом пути, истоптанном титанами прошлого, найдется что-нибудь такое, что поможет радикально улучшить математику не в части логического обоснования, а в части прикладных результатов, – другими словами, поможет разработать новый математический язык, позволяющий выразить нечто совершенно новое об, извините за высокий слог, устройстве мира. Впрочем, за эксперименты с бесконечностью охотно берутся увлеченные непрофессионалы; часто – увлеченные катастрофически и безвозвратно. Увы, их писания обычно непригодны для таких журналов, как наш, столь же болезненно увлеченных идеей искать везде и всюду зерна рациональности или хотя бы вменяемости.

Работу математика Ярослава Сергеева, о которой мы сегодня рассказываем, нельзя отнести ни к одному из этих направлений мысли. От первого из них она отличается наглядностью и практической (по замыслу, по крайней мере) ориентированностью, от второго – полным соответствием научным стандартам. Сергеев воплотил в жизнь мечту, часто посещающую школьников и математиков-первокурсников, – придумал арифметику, объединяющую конечные и бесконечные числа. Более того, он разработал (и запатентовал!) конструкцию компьютера, выполняющего операции этой арифметики.

Рецензенты работ Сергеева предрекают, что на основе его результатов будет создано "множество новых мощных инструментов в анализе, информатике, теории множеств, теории измерений". Вполне возможно, что так и произойдет, но нельзя забывать, что такие прогнозы – дело очень неблагодарное. Энтузиазм по поводу перспектив нестандартного анализа – аппарата, созданного в 1960-е годы для введения в матанализ бесконечно малых и бесконечно больших чисел (см. врезку "Реинкарнация грифонов"), – был велик. Сегодня нестандартный анализ жив, но великих надежд с ним уже не связывают.

Реинкарнация грифонов

Вышедшая в 1987 году книга Владимира Успенского «Введение в нестандартный анализ» начиналась с вопроса: «Относятся ли грифоны и единороги к позвоночным?», который иллюстрировал экзотичность темы. В то время слово «грифон» было редким, индустрия фэнтези еще не вышла на книжный рынок, да и самого книжного рынка в России еще не было, да и сама Россия была еще Советским Союзом. Все с тех пор изменилось, а вот арифметика бесконечностей осталась экзотическим предметом – несмотря на то, что нестандартный анализ разрабатывался рядом крупных математиков начиная с 1960-х годов и популярность его была довольно высока.

Нестандартный анализ основан на системе "гипердействительных чисел", содержащей бесконечно малые и бесконечно большие величины и допускающей использование необходимых в анализе функций и эффективное решение уравнений. Построение гипердействительных чисел основано на сложной классификации бесконечных последовательностей обычных действительных чисел. При помощи этого аппарата были решены несколько серьезных задач функционального анализа, его использовали для описания «мгновенных» перестроек структуры решений дифференциальных уравнений. Сейчас "нестандартные методы" проникли в комплексный анализ, теорию чисел, алгебраическую геометрию, даже в некоммутативную геометрию, самый модный и стремительно развивающийся раздел современной математики. Впрочем, создатель некоммутативной геометрии Ален Конн (Alain Connes) высказывался о нестандартном анализе довольно резко. Причина (которую не отрицают, похоже, и энтузиасты нестандартной математики) – практически все, что удалось сделать с помощью этого аппарата, можно сделать и без него. Судя по обзору И. Фесенко (www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/rem.pdf), нестандартные методы сегодня рассматриваются скорее как "путеводная звезда" при поиске новых подходов к задачам.

Ниже мы расскажем об одном из первых приложений «бесконечных чисел» Сергеева – вычислении с их помощью геометрических характеристик фракталов, как классических, так и более общих, мерцающих (blinking fractals). Но прежде давайте разберемся в конструкции новой числовой системы.

∞+1>∞

Поясняя мотивы для разработки своей системы, Сергеев приводит пример арифметики, используемой одним из живущих в дельте Амазонки племен. Индейцы племени Пираха (Pirahг) считают так: один, два, много. Для них и 1 + 2 = много, и 2 + 2 = много. Что такое 3 или 4, они не представляют. Сергеев уверен, что этот примитивный способ счета очень важен для нас, потому что дает отличную аналогию с современным понятием бесконечности. Действительно, в системе счета Пираха операции много + 1 и много + 2 дают один и тот же результат: много. Нечто похожее мы имеем и в современной математике: ∞ + 1 = ∞ и ∞ + 2 = ∞. Это сравнение наводит на следующую простую мысль: как индейцы Пираха не могут различить числа 3, 4, 5 и т. д. из-за неразвитости их системы записи конечных чисел, так и мы не можем различить бесконечные числа из-за неразвитости наших способов представления бесконечности. Именно поэтому возникают проблемы при вычислениях, связанных с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами: невозможность их представления в памяти компьютера, необходимость введения понятия предела, неопределенные формы типа ∞ – ∞ и т. д., заключает Сергеев.

В основе конструкции Сергеева, призванной исправить дело, лежит гросс-единица (grossone), обозначаемая

Гросс-единица – это бесконечное число, равное по определению количеству элементов в множестве N натуральных (то есть целых положительных) чисел. Это определение надо понимать в дословном, буквальном смысле, то есть предполагать, что N имеет вид: {1, 2, 3, …,

– 1,

}. Другими словами,

– это «самое большое натуральное число». Оно и выбирается в качестве основания новой системы исчисления. Ну а дальше – точно так же, как мы записываем числа в десятичной системе, а компьютер в двоичной, произвольные бесконечно малые и бесконечно большие числа представляют собой «записи» (records) вида:

(1)

В этой записи p – «гросстепени», а c – «гроссцифры». Отличие от десятичной или двоичной систем в том, что «гроссцифры» не фиксированные заранее, а произвольные «обыкновенные» числа, записываемые с помощью конечного числа знаков. «Гросстепени», в свою очередь, это либо записи вида (1), либо снова «обыкновенные» конечные числа. Таким образом, числа в форме (1) всегда представляются конечным числом символов. Конечность записи принципиальна для этой конструкции, подчеркивает Сергеев, – она призвана учесть тот факт, что и человек, и компьютер способны выполнить лишь конечное число операций. В этом, кстати, существенное отличие от нестандартного анализа, который дополняет бесконечностями обычное множество вещественных чисел, построенное с помощью бесконечных десятичных дробей (или эквивалентных конструкций).

Сергеев с самого начала оставляет за скобками своих построений понятия счетного и несчетного множеств, взаимно однозначные соответствия и тому подобные базовые концепции привычной канторовской теории множеств. В его числовой системе, опять-таки в прямом и буквальном смысле слова, соблюдается древний постулат "часть всегда меньше целого". Например, число

+ 1 строго больше числа

, а множество натуральных чисел можно расширить так:

Записи вида (1) позволяют очень аккуратно сравнивать «маленькие бесконечности». Например, в обычной теории множеств совокупность всех натуральных чисел и совокупность четных положительных чисел неразличимы по так называемой мощности, и то и другое – счетные множества. Здесь же постулируется, что второе из этих множеств содержит ровно

/2 элементов, то есть вдвое меньше, чем первое. Аналогично, множество всех положительных чисел вида, например, (6К+3) будет состоять из (

/6) элементов; а если к нему добавить еще три числа другого вида, полученное множество будет состоять уже из (

/6 + 3) элементов.

1/

– простейшее по записи бесконечно малое («инфинитезимальное») число. Арифметика записей (1) устроена самым естественным образом – они перемножаются и складываются так, как если бы вместо

стояло обыкновенное число. Тонкости начинаются при суммировании бесконечных рядов. Согласно одному из самых интересных постулатов теории Сергеева, любой процесс (в том числе и процесс суммирования ряда) может включать не более чем

шагов. В частности, параллельные процессы в этой модели принципиально более мощны, чем одиночные, последовательные, – ведь К параллельно идущих процессов позволяют выполнить (К*

) шагов. В этом же постулате о процессах скрыта и очевидная связь рассматриваемой модели с аксиомой выбора – источником множества трудностей и, в частности, «виновницей» парадокса Банаха-Тарского. Можно осторожно предположить, что настоящие теоретические трудности в согласовании концепций Сергеева с остальной математикой относятся именно к этим вопросам – но мы в них углубляться, разумеется, не будем. Во всяком случае, парадокс Банаха-Тарского в теории Сергеева не возникает – дело в том, что точки, из которых состоят шары, в данном случае можно просто пересчитать, выразив их количество соответствующей записью вида (1), и это не позволяет выполнять трюки с производством предметов из ничего.