Текст книги "Бесконечный регресс и основания математики (ЛП)"

Автор книги: Имре Лакатос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 3 страниц)

И, следовательно (ibid, р. 71):

"…на этого рода скептицизм, отрицающий стремление к идеалу, так как дорога трудна и цель недостижима с определенностью, математика в пределах ее собственной области дает окончательный ответ. Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, но только мнение и частное суждение; что каждый из нас в своем взгляде на мир ограничен своими собственными особенностями, своими собственными вкусами и склонностями; что вне нас отсутствует царство истины, в которое мы терпением и дисциплиной можем во всяком случае получить доступ, но существует только истина для меня, для вас, для всякого отдельного лица. Эта привычка ума ведет к тому, что игнорируется одна из ведущих целей человеческих усилий, и из нашего морального видения исчезает высшее достоинство искреннего бесстрашного познания того, что есть. Математика стоит вечным препятствием на пути такого скептицизма, ибо ее сооружение из истин непоколебимо и неприступно для всех орудий сомневающегося цинизма".

Мы все знаем, как краткий евклидианский "медовый месяц" уступил место "интеллектуальной скорби" (Russell, 1959, р. 73), как намеченная логическая тривиализация математики выродилась в утонченную систему, включающую такие "аксиомы", как аксиомы редуцируемости, бесконечности, выбора, а также разветвленную теорию типов*[21]21
  *Теория типов была реакцией на парадокс теории множеств, открытый Б. Расселом (парадокс Рассела). Этот парадокс возникает, когда ставится вопрос о множествах всех множеств, не являющихся собственными элементами (обозначим такие множества S). Логичный ответ на этот вопрос приводит к тому, что S есть элемент S в том и только в том случае, когда S не есть элемент S.
  Обычно парадокс Рассела поясняют, ставя вопрос: "Бреет ли себя деревенский брадобрей, который бреет всех тех жителей данной деревни, которые не бреются сами?"
  *"Суть теории типов (или теории логических ступеней) состоит в том, что все математические высказывания делятся на классы в соответствии с областью определения. Пусть имеется некоторая область объектов: a, b, c и т.д. К первому типу относятся высказывания о свойствах этих объектов: f(a), g(b) и т.д. Ко второму типу относятся высказывания о свойствах этих свойств, которые могут быть выражены логическими функциями F(f), F(g) и т.д. К третьему типу ― высказывания о свойствах свойств свойств… Основное правило теории типов состоит в том, что каждый предикат относится только к определенному типу и может быть применен только к объектам нижележащего типа, он не может быть применен к предикатам более высокого уровня или к самому себе как объекту" (Беляев Е.А., Перминов В. Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: МГУ, 1981. с. 75).


[Закрыть] ― один из наиболее сложных лабиринтов, сфабрикованных человеческим умом. «Класс» и «отношение членства» (membership relation) оказались невразумительными, неопределенными, словом, любыми, только не «совершенно общеизвестными». Возникла совсем неевклидианская потребность доказательства внутренней непротиворечивости, дабы удостовериться, что «тривиально истинные аксиомы» не противоречат друг другу. Все это и то, что последовало за этим, поразило бы любого студента XVII в., как dèjà vu*[22]22
  *Уже увиденное (фр.).


[Закрыть]: доказательство уступило дорогу объяснению, совершенно известные понятия ― теоретическим понятиям, тривиальность ― утонченным рассуждениям, непогрешимость ― погрешимости, евклидианская теория ― эмпирицистской теории. И мы сталкиваемся с тем же отказом принять драматическое изменение: те же самые арьергардные вылазки, надежды и ersatz-решения.

Расселовская первая реакция на свои непреднамеренные, нежелаемые контртривиальные Principia шла по той же схеме, что и классические попытки XVII в. спасти догматизм. Я упомянул две из них: 1) держаться первоначальной евклидианской программы и либо пробиться сквозь строй гипотез к первым принципам, либо напрячь интуицию и обратить парадоксальные спекуляции вчерашнего дня в сегодняшнюю очевидность или, если это не поможет, 2) попытаться путем оправдания индукции направить истину снизу наполнять всю систему.

1) Подобно тому, как Ньютон надеялся объяснить закон всемирного тяготения принципом картезианской толчковой механики, Рассел надеялся на тривиализацию аксиомы редуцируемости. "Хотя кажется весьма невероятным, ― писал он, ― что эта аксиома оказалась бы ложной, ни в коей мере не невероятно, что будет обнаружено, что она дедуцируема из других более фундаментальных и более очевидных аксиом" (Russell, Whitehead, 1925, р. 59-60). Позже он отказался от этой надежды: "С чисто логической точки зрения, я не вижу каких-либо причин верить, что аксиома редуцируемости логически необходима… Включение этой аксиомы в систему логики есть, следовательно, дефект, даже если аксиома эмпирически истинна" (Russell, 1919, р. 193).

Рассел описал эту стандартную схему рассуждений в отношении аксиомы о параллельных (Russell, 1903, § 353):

"С кантианской точки зрения было необходимо поддерживать, что все аксиомы самоочевидны ― точка зрения, которую честным людям трудно было распространить на аксиому о параллельных. Отсюда возникал поиск более правдоподобных (plausible) аксиом, которые могли бы быть объявлены истинами а priori. Но хотя много таких аксиом было предложено, все они по здравому разумению могли бы быть поставлены под сомнение, и этот поиск вел только к скептицизму."

Согласился ли бы он с тем, что его поиск "правдоподобных" логических аксиом, "которые могли бы быть объявлены истинами а priori", вел только к скептицизму?

В случае с теорией типов Рассел снова впал в "резиновый евклидианизм". Он был убежден, что существовало тривиальное решение "парадокса Рассела". Это оставалось, конечно, весьма смутной надеждой, поскольку здесь в отличие от изощренного парадокса Бурали – Форти было показано, что самые тривиальные общедоступные утверждения противоречивы, и, чтобы улучшить ситуацию, надо было допустить, что отрицание некоторой аксиомы здравого смысла истинно. Решение Цермело ― сознательно принять отрицание принципа абстракции*[23]23
  *"Пеано, ― писал Рассел в 1903 г., ― определил процесс, названный им определением через абстракцию, который, как он показывает, часто употребляется в математике. Это следующий процесс: когда существует какое-либо отношение, которое транзитивно, симметрично и … рефлексивно, то, если это отношение выполняется между u и v, мы определяем новый объект Ф(u), который должен быть тождествен Ф(v). Таким образом, наше отношение описывается через подобие отношений к новым терминам Ф(u) и Ф(v). Чтобы легитимизировать процесс, предложенный Пеано, требуется, однако, аксиома о том, что если существует какой-либо случай рассматриваемого отношения, то существует такой объект, как Ф(u) или Ф(v). Эта аксиома и есть мой принцип абстракции, который точно формулируется следующим образом: «Каждое симметричное и транзитивное отношение, которое осуществляется по меньшей мере в одном случае, описывается как совместное вхождение в новое отношение к новому термину, причем это новое отношение будет таковым, что ни один термин не может иметь это отношение к более, чем одному термину, но не наоборот (обратное отношение этим свойством не обладает)». В обычном языке этот принцип равнозначен утверждению о том, что транзитивное и симметричное отношение возникает из общего свойства, с добавлением о том, что это свойство стоит (к терминам, которые им обладают) в отношении, в котором ничто иное не стоит к этим терминам" (Russell B. The Principles of Mathematics. L., 1937 (впервые опубликовано в 1903 г.). р. 220).


[Закрыть], выглядевшего тривиально истинным, ― было в этом направлении. Однако евклидиански мыслящий Рассел отбросил такое решение. Он никогда не примирялся с аксиоматической теорией множеств. Рассел полагал, что, только приложив усилия, очищающие наш здравый смысл от ошибок, мы, когда естественный свет разума снизойдет на нас, увидим (снова схема XVII в.) что, конечно же, что-то очевидно все время неправильно в рассуждении. В то время как Рассел грешил на лемму в доказательстве и заявлял, что она не тривиально истинная, а тривиально ложная, он, возможно, потому что ему как евклидианцу стало слишком трудно обманывать себя, открыл, что можно заменить этот de facto детривиализующий метод на другой: виновная лемма не тривиально ложна, а тривиально бессмысленна ― только это не приходило нам в голову, пока мы не посмотрели на нее с этой точки зрения. Так что теперь мы сначала должны посмотреть, является ли высказывание осмысленным или оно бессмысленный монстр. Если оно бессмысленно, то оно не может быть истинным или ложным, но если мы не проверяем его на осмысленность, а сразу проверяем на истинность, то мы можем поддаться заблуждению, принимая его за тривиально истинное.

Этот "метод исключения монстров" ― стандартный евклидианский защитный механизм, правда, обычно бесплодный. Тем не менее он стал главным принципом логического позитивизма, явившегося уродливым обобщением расселовской теории типов. Главная опасность этого метода состоит в том, что изощренные жизненно важные допущения прячутся в определения, т.е. остаются за фасадом концептуальной структуры. В метаматематической терминологии теория типов ― часть правил образования (касающихся того, что составляет правильно построенную формулу), а не аксиом. Мы можем усмотреть значимость этого шага, обращаясь к защите логицизма, предпринятой Кемени. В его полупопулярной книжке говорится (Kemeny, 1959, р. 21):

"Математика проявляет себя не более чем высокоразвитой логикой. В этом процессе появляются два новых логических принципа ― аксиомы бесконечности и выбора, чья в чем-то спорная природа не должна нас здесь смущать. Давайте довольствоваться тем, что при признании этих аксиом двумя легитимными логическими принципами, как признает их большинство логиков, вся математика становится лишь логикой повышенного типа".

Кемени не упоминает теорию типов, которая, конечно же, портит картину непогрешимой тривиальности логики, рисуемую им для читателей, но он может оправдать это упущение тем, что теория типов принадлежит правилам образования, а не аксиомам. Рассел, разумеется, знал, что тривиальность теории типов жизненно важна для его евклидианской программы. Вот почему он настаивал на "принципе порочного круга", на бессмысленности самореферентных предложений как на базовой идее теории типов. Он полагал, что этот принцип следовало бы признать как очевидный и, таким образом, его исключение противоречивости наивной логики вошло бы в евклидианскую доктрину о том, что «решение должно в рефлексии полагаться на то, что может быть названо «логическим здравым смыслом», т.е. должно видеться в конечном итоге просто в том, чего следует всегда ожидать» (Russell, 1959, р. 79-80). Этот поиск тривиального решения ― к тому времени очевидно безнадежный ― заманил его в методологическую ловушку разоблачения монстров, в особенно жалкую ошибку антисамореферентного крестового похода и в «достаточно небрежную» (Ramsey, 1931, р. 24) дедукцию теории типов из этого принципа. Теория типов, предстающая как отрывок из самоочевидного «внутренне правдоподобного (credible)» (Russell, Whitehead, 1925, р. 37), дает прекрасный пример резинового евклидианизма. Расселовский поиск евклидианской тривиальности также объясняет его страх перед спекулятивной «логикой изящного проворства» Куайна (Russell, 1959, р. 80). резиновый евклидианец стремится забраковать тривиальности других как спекуляции, настаивая в то же время, что его собственные спекуляции суть тривиальности.

2) Рассел время от времени оставляет евклидианскую очевидность и предается разновидности индуктивизма (Russell, 1925, р. 59):

"То, что аксиома редуцируемости самоочевидна, ― суждение, которое едва ли можно поддержать. Фактически, однако, самоочевидность никогда не была более чем компонентой того основания, на котором принимается та или иная аксиома, и никогда не была необходимым основанием. Основание для принятия какой-либо аксиомы, как, впрочем, и любого другого высказывания, всегда в значительной степени индуктивное, а именно, состоит в том, что много почти несомненных высказываний может дедуцироваться из этой аксиомы и что стало бы непонятным, каким образом эти высказывания могли бы быть истинными, если бы эта аксиома была ложной, и что никакие высказывания, имеющие вероятность быть ложными, не дедуцируются из нее. Если аксиома кажется самоочевидной, это лишь значит, что она практически почти несомненна, ибо многие вещи, казавшиеся самоочевидными, оказались ложными. А если аксиома сама почти несомненна, то это лишь добавка к индуктивным свидетельствам, выведенным из факта, что ее следствия почти несомненны. Непогрешимость (infallibility) недостижима, и, стало быть, некоторый момент сомнения всегда затрагивает каждую аксиому и все ее следствия. Элемент сомнения присутствует в формальной логике не менее, чем в большинстве наук, этот элемент, как показал тот факт, что парадоксы следуют из посылок, которые ранее не считалось нужным ограничивать, возникает не по невнимательности. В случае аксиомы редуцируемости мы имеем очень строгие индуктивные свидетельства в ее пользу, так как все рассуждения, которые она допускает, и все результаты, к которым она ведет, оказываются истинными (valid)".

Или далее (Russell, 1924, р. 325-326):

"Когда чистая математика организована как дедуктивная система, т.е. как множество таких высказываний, которые могут быть дедуцированы из специального множества посылок, становится очевидным, что мы верим в истинность чистой математики не только потому, что мы верим в истинность множества посылок. Некоторые из этих посылок намного менее очевидны, чем их следствия, и в них верят главным образом из-за их следствий. Это обнаруживается всегда, когда наука организуется в дедуктивную систему. Не логически простейшие высказывания системы, отличающиеся наибольшей очевидностью, обеспечивают главную часть тех оснований, по которым мы верим в систему. Эмпирические науки демонстрируют это с очевидностью. Электродинамика может быть сосредоточена в уравнениях Максвелла, вера в эти уравнения вызывается наблюдаемыми истинами, логически следующими из этих уравнений. То же самое происходит в области чистой логики: в логически первые принципы логики ― по крайней мере в некоторые из них ― следует верить не по причине их собственных достоинств, а в силу их следствий. Эпистемологический вопрос: "Почему мне надо верить в это множество высказываний?" ― совершенно иной, нежели логический вопрос: "Какова минимальная и логически простейшая группа высказываний, из которой может быть дедуцируемо это множество высказываний?" Истоки нашей веры в логику и в чистую математику частично лишь индуктивны и вероятностны несмотря на тот факт, что высказывания логики и чистой математики по своему логическому статусу выводятся из посылок логики путем чистой дедукции".

Поразительно, как специалисты по математической логике, которые до отвратительности заботились о строгости и стремились достигнуть абсолютной достоверности, смогли вляпаться в слякоть индуктивизма. Например, А. Френкель, известный логик, решился утверждать, что некоторые аксиомы логики получают свой "полный вес" в силу "доказательства их следствий" (Fraenkel, 1927, р.61).

Подобно Ньютону, создававшему небесную механику, Рассел осознал дефектность евклидианской трактовки математики. Некоторые из его последователей сделали из порока добродетель, не проследив его важные импликации. Россер, например, писал:

"Мы хотим выяснить один вопрос, касающийся использования слова "аксиома". Первоначально Евклид использовал это слово, имея в виду "самоочевидную истину". Это использование слова "аксиома" долгое время было абсолютно непререкаемо в математических кругах. Для нас же аксиому составляет множество произвольно избранных предложений, которого вместе с правилом modus ponens достаточно, чтобы вывести все те предложения, которые мы хотим вывести".

Россер, очевидно, подразумевал "все те и только те", поскольку он, очевидно, не защищал внутренне противоречивые системы аксиом. Но какие предложения мы хотим вывести? Те, которые являются самоочевидными истинами? В этом случае утверждение Россера только переносило бы трудность самоочевидности от аксиом к "предложениям, которые мы хотим вывести". Рассел сам в отличие от Ньютона никогда не превращал в победу свое поражение. Он презирал этот вид "постулирования": "Метод «постулирования», к которому мы идем, наделен многими преимуществами: это те же самые преимущества, которыми обладает мошенник над честным трудягой" (Russell, 1919, р. 71).

Постулирующие не обязательно авторитарны, они могли бы быть "либералами" и заявлять, что для них главное "аксиоматизация" любой непротиворечивой совокупности предложений, истинных или ложных. Эта игра не имеет ничего общего с истиной и передачей истины. Рассел никогда даже не рассматривал эту возможность. Отвергая постулирование, расшатывающее его евклидианские надежды, он в отчаянии ставил на индукцию, которая, как он надеялся, изгонит призрак погрешимости знания сначала из математики, потом из естественных наук: "Я не вижу какого-либо иного пути, нежели догматическое допущение, что мы знаем этот принцип индукции или его некоторый эквивалент; единственная альтернатива ― выбросить почти все, что почитается наукой и здравым смыслом как знание" (Russell, 1944, р. 683). Он никогда не рассматривал возможности того, что математика может быть предположительной, не допуская, что предположительность не ведет с необходимостью к полной сдаче разума.

Лишь исторически интересны небольшие детали того "отступления от пифагореизма" (Russell, 1959, chap. XVII), которое совершил Рассел. "Превосходная достоверность, которую я всегда хотел найти в математике, ― писал он, ― была утрачена в тупиковой путанице" (ibid, р. 212). Он был вынужден сдать евклидианизм, который покоился бы на "мысли, освобожденной от чувства… Надежда найти совершенство, окончательность и достоверность, ― писал он, ― была утрачена" (ibid). Фактически он так и не освободился от того замешательства, в которое его привела неподатливость математики. В работе (Russell, 1912; Рассел, 1914) он колебался, излагая свое воззрение на математику. Совершив удивляющий, но понятный разворот на 180°(volte-face), он отдал предпочтение Канту, который в конце концов был его союзником в решении огромной задачи обосновать науку и победить скептицизм (Russell, 1959, р. 82-84, 87, 109). Он написал осторожное предисловие к своей книге (Russell, 1919), сокрушаясь, что это книга, собственно, по философии математики, где "относительная достоверность еще не достигнута". "Далеко идущие усилия были приложены, чтобы избежать догматизма в таких вопросах, которые ещё открыты для серьезного сомнения". В его книге (Russell, 1948; Рассел, 1957) математическое знание, на которое он раньше полагался как на парадигму человеческого знания, не обсуждается вообще. "Парадокс Рассела" заставил Фреге немедленно сдать философию математики.*[24]24
  *Это неверно. Лакатос сам потом признал это. ― Прим. ред.


[Закрыть] Рассел упорствовал некоторое время, но затем последовал за ним.

Проследим теперь те заключения, которые Рассел отказывался проследить. Бесконечный регресс в доказательствах и определениях не может быть остановлен евклидианской логикой. Логика может объяснить математику, но не доказать ее. Она ведет к утонченной спекуляции, какой угодно спекуляции, кроме тривиально истинной. Область тривиальности ограничивается неинтересным разрешимым фрагментом из арифметики и логики, но даже этот тривиальный фрагмент временами расползается под ударами детривиализующей скептической критики.

Логическая теория математики такая же увлекательная, изощренная спекуляция, как и любая научная теория. Это эмпирицистская теория, и, следовательно, если не показана её ложность, она остается навеки предположительной.

Догматики, презирающие предположения, могут выбирать между надеждами на крайнюю тривиализацию и надеждами оправдать индукцию. Скептики отметят, что, устанавливая эмпирицистский характер расселовской теории, мы лишь демонстрируем, что она не содержит какого-либо знания, что она ― только софизм и иллюзия. Чистый скептик редок, и мы замечаем, что пессимистический догматик в конце концов тоже скептик. Эти пессимистические догматики требовали, чтобы мы бросили спекуляции и ограничили наше внимание некоторой узкой областью, которую они элегантно, но без каких-либо реальных оснований удостоверяют спасенной. В новейшей философии математики скептическим догматизмом был отмечен интуитивизм, охарактеризованный Гильбертом как "предательство нашей науки". Вейль аттестует работу Рассела в терминах, близких к тем, которыми оперировал кардинал Беллармино, называя теорию Галилея просто "математической гипотезой". Согласно Вейлю, Principia основывают математику «не на логике, но на своего рода логическом рае, вселенной довольно-таки сложной структуры, снабженной всей „необходимой обстановкой“… Побуждения очевидны, но вера в этот трансцендентальный мир ничуть не меньшее испытание для нас, чем вера в доктрины первых отцов церкви или средневековых философов-схоластов» (Weyl, 1949, р. 233; Вейль, 1984, с. 332). Интуиционисты, разумеется, правы, называя расселовскую логику контринтуитивной и погрешимой. Но несмотря на все это, она могла бы быть все же истинной.

Эмпирицистская теория, однако, должна пройти строгие проверки. Как могли бы мы проверить расселовскую логику? Все истинные базовые предложения ― разрешимые фрагменты арифметики и логики ― выводимы в ней, и таким образом она, по-видимому, не имеет потенциальных фальсификаторов. Так что единственный способ критики этой своеобразной эмпирицистской теории ― проверить ее на непротиворечивость. Это ведет нас к гильбертовскому кругу идей.

3. Остановка бесконечного регресса за счет тривиальной метатеории

Гильбертовская*[25]25
  *Д. Гильберт (1862-1893). Его биографии посвящена книга: Рид К. Гильберт. С приложением обзора Г. Вейля математических трудов Гильберта. М.: Наука, 1977.


[Закрыть] метаматематика была «замыслена, чтобы раз и навсегда положить конец скептицизму» (Ramsey, 1926, р. 68). Таким образом, ее цель была та же, что и у логицизма:

"Приходится принять, ― писал Гильберт в 1926 г., ― что ситуация, в которую мы попали из-за парадоксов, нетерпима. Давайте представим: в математике, в этой парадигме достоверности и истины, наиболее общая формация понятий и выводов, которые учатся, изучаются и используются, ведет к абсурдностям. Но если даже математика терпит неудачу, где же нам искать достоверность и истину? Есть, однако, удовлетворительный метод обойти парадоксы".

Гильбертовская теория базируется на идее формальной аксиоматики. Гильберт утверждал, что: а) все формально доказанные арифметические высказывания ― арифметические теоремы ― будут с достоверностью истинными, если формальная система непротиворечива, т.е. если А и не-А не являются одновременно теоремами; б) все арифметические истины могут быть формально доказаны; в) метаматематика, эта новая ветвь математики, устанавливаемая, чтобы доказывать непротиворечивость и полноту формальных систем, будет особым случаем евклидианской теории ― «финитной» теорией с тривиально истинными аксиомами, содержащими только совершенно общеизвестные термины, и с тривиально безопасными выводами. «Установлено, что принципы, используемые в метаматематическом доказательстве того, что аксиомы математики не ведут к противоречиям, настолько очевидно истинные, что не позволяют сомневаться в себе даже скептикам» (Ramsey, 1926, р. 68). Метаматематическое доказательство ― это «конкатенация самоочевидного интуитивного (inhaltlich) проникновения» (Neumann, 1927, р. 2). Арифметические истины ― и ввиду уже совершенной арифметизации математики все виды математических истин ― будут покоиться на твердой, тривиальной, «глобальной» интуиции и таким образом, как говорил Гильберт, на «абсолютной достоверности» (Гильберт, 1948, с.391).

Решающим препятствием на пути этой надежды на евклидианскую метаматематику явилась вторая теорема Гёделя. Бесконечный регресс в доказательстве не может иссякнуть в «финитной» тривиальной метатеории: доказательства непротиворечивости должны содержать достаточно изощренности, чтобы представить спорной непротиворечивость теории, в которой они проводятся, и, следовательно, они не могут не быть погрешимыми. Например, предположение Гольдбаха о том, что любое четное число есть сумма двух простых чисел, формально могло бы быть доказано завтра, но мы никогда не узнаем, что оно истинно. Ибо оно было бы истинно, только если метаматематика, метаметаматематика и т.д. до бесконечности были бы непротиворечивы. Этого мы никогда не познаем. Формализация может дать сбой, и наша аксиоматическая система может оказаться совсем без модели.

На второй сбой, который может дать формальная теория, указывает первая теорема Гёделя: если формальная теория имеет модель, то она имеет больше моделей, чем подразумевается (intended). В непротиворечивой формальной теории мы можем доказывать те и только те высказывания, которые истинны во всех моделях, так что мы не можем формально доказать высказывания, которые истинны в подразумеваемой модели и ложны в неподразумеваемой модели. Первая теорема Гёделя показывает, что селективность формальных систем, включающих арифметику, хронически плохая, ибо никакая непротиворечивая формализация арифметики не позволяет «отстроиться» от неподразумеваемых моделей, существенно отличных от подразумеваемой модели.[26]26
  Мы использовали здесь терминологию Кемени: «Две модели существенно различны, если существуют предложения, истинные в одной, но ложные в другой» (Kemeny, 1958, р. 164).


[Закрыть] Следовательно, в любой непротиворечивой формализации найдутся формально недоказуемые арифметические истины. Если предположение Гольдбаха истинно в его подразумеваемой интерпретации, но ложно в неподразумеваемой интерпретации, то в какой-либо формализации не будет формального доказательства, ведущего к нему.

Открытие Гёделем ω-противоречивых систем сделало положение еще хуже. Оказалось, что «непротиворечивость системы не исключает возможности структурной ложности». Формализованная арифметика может быть непротиворечивой, т.е. иметь модели, но ни одна из этих моделей не будет подразумеваемой моделью, каждая модель, коль скоро она содержит все числа, может содержать другие чужеродные элементы, которые способны обеспечить контрпримеры высказываниям, истинным в узкой области подразумеваемой интерпретации. В непротиворечивой, но ω-противоречивой системе мы могли бы доказать отрицание предположения Гольдбаха, даже если это предположение является истинным. В формализации, дающей сбой такого извращенного рода, истина и доказуемость раздельны. Если противоречивая система арифметики или логики не имеет модели, т.е. близка к тому, чтобы быть ничем, то ω-противоречивая система арифметики или логики не имеет подразумеваемой модели, т.е. даже близко не подходит к арифметике или логике.

Открытие ω-противоречивости и связанных с ней явлений положило конец гильбертовской формализации, центральной идеей которой была та, что формализация "устраняет всякую неопределенность в отношении того, что такое предложение теории или что такое доказательство в ней… Формализация теории имеет целью дать явное определение понятия доказательства. После того как это сделано, нет надобности обращаться каждый раз прямо к интуиции" (Kleene, 1952, р. 63, 86; Клини, 1957, с. 62, 81). То, что это предположение было опровергнуто, выражают обычно эвфемизмом: "синтаксическое понятие доказательства уступило дорогу семантической идее доказательства", эвфемизмом, прячущим поражение главной догматической идеи ― спасти математику от скептицизма.

Таким образом, гильбертовская программа тривиализации на метауровне коллапсировала. Но вскоре началась мощная кампания, направленная на заполнение пробелов. Генцен внес вклад в это заполнение пробелов, предложив свое остроумное доказательство непротиворечивости, за что и бились гильбертианцы, доказательство, находящееся в согласии с минимальными стандартами гёделевской утонченности и еще не переступившие границ тривиальности.*[27]27
  *Касаясь первоначальной программы Гильберта, С. Клини пишет: «В метатеории мы будем применять только те методы, которые формалисты называют финитными и которые используют только интуитивно представляемые предметы и осуществимые процессы» (Клини, 1957, с. 61). Касаясь генценовского доказательства непротиворечивости, Клини отмечает: "В первоначальных предложениях формалистов ― спасти классическую математику посредством доказательства непротиворечивости… ― не предусматривалось, что придется пользоваться таким методом, как трансфинитная индукция до ε₀. В какой мере генценовское доказательство может быть воспринято как спасение классической арифметики в смысле этой постановки проблемы, это при современном положении вещей зависит от индивидуального мнения, а именно, от готовности рассматривать индукцию до ε₀ как финитный метод" (там же, с. 423).


[Закрыть] Некоторые результаты Тарского обозначили путь, позволявший заполнить пробелы в проблематике полноты теории (Tarski, 1956, р. 276-277):

"Определение истины и, более широко, установление семантики позволяет нам блокировать некоторые негативные результаты, которые были получены в методологии дедуктивных наук, параллельными позитивными результатами и таким образом заполнить до некоторой степени [курсив мой ― И.Л.] пробелы, обнаруженные в дедуктивном методе и в конструкции самого дедуктивного знания".

К сожалению, некоторые логики склонны игнорировать эту осторожную квалификацию Тарского. В недавно изданном учебнике мы читаем, что гёделевский "негативный" (sic) результат был блокирован позитивным результатом Тарского (Stegmüller, 1957, S. 253). Автор прав, оставив слово "позитивный" без кавычек, в которые заключил бы его скептик, но зачем слово "негативный" заключать в кавычки?

Итак, резиновый евклидианизм вышел снова на авансцену, вышел в наше время, обнаруживая себя в качестве новой партийной линии постгильбертианцев. Забавно, какой утонченной может быть тривиальность. Самоочевидность, коль скоро она принята, оказывается, разумеется, растяжимой, и проверить высказывание на самоочевидную истину то же самое, что проверить его на истину ― показать, что оно внутренне противоречиво или ложно. Если мы отказываемся растягивать интуицию до бесконечности, нам придется признать, что метаматематика не останавливает бесконечный регресс в доказательстве, который возникает теперь в виде бесконечной иерархии все более богатых метатеорий (первая теорема Гёделя представляет собой по своей сути принцип сохранения утонченности или принцип сохранения погрешимости). Но это не обязывает нас впадать в математический скептицизм: мы только признаем погрешимость смелых спекуляций. Доказательство непротиворечивости Генценом, как и семантические результаты Тарского, действительные, а не пирровы (как называл их Вейль) (Weyl, 1949, р. 222) победы, они являются таковыми, даже если принимается не только «существенно более низкий стандарт очевидности» (ibid), но и определенно предположительный характер новых методов. Поскольку метаматематика растет, ее утонченная тривиальность становится все более утонченной и менее тривиальной. Тривиальность и достоверность суть Kinderkrankheiten*[28]28
  *Детские болезни, прорезывание зубов (нем.).


[Закрыть] знания.

Подчеркнем еще раз, что евклидианец и после любого поражения может всегда прибегнуть к своему оружию: либо обнадеживая найти выше действительные первые принципы, либо совершив некоторое логическое или эпистемологическое сальто-мортале, оглупляя верой в то, что то, что на деле оказывается погрешимой спекуляцией, есть очевидная истина. В логицистской программе любимым сальто-мортале была индукция. Гильбертовское сальто-мортале ― мольба обреченного о вере в новое снисхождение и неожиданное и поистине удивительное воцарение метаматематической резиновой интуиции, которая сначала была финитной брауэрианской, затем трансфинитной генценианской и даже семантической тарскианской. Мы читаем в одной из самых компетентных книг, написанных на эту тему, что «окончательным (sic) критерием допустимости некоторого метода в метаматематике должна быть, конечно (sic), его интуитивная убедительность» (Kleene, 1952, р. 63; Клини, 1957, с. 62). Но почему тогда мы не остановились шагом раньше, почему не заявили, что окончательным критерием определения того, приемлем ли метод в арифметике, должна, конечно, быть интуитивная убедительность, и не отбросили вообще метаматематику, как это сделал Бурбаки (Bourbaki, 1949, р. 8). Метаматематика, как и расселовская логика, происходит из критики интуиции; теперь метаматематики, как раньше логицисты, просят нас принять их интуицию как «окончательный» критерий, следовательно, отбрасывают нас к тому же субъективному психологизму, который они раньше критиковали. Но почему на Земле появились «окончательные» критерии и «высшие» авторитеты? Зачем нам основания, если мы сознаем их субъективность? Почему не принять честно математическую погрешимость и не постараться защитить достоинство погрешимого знания от циничного скептицизма, а обманываться относительно того, что мы могли бы незаметно заделать новую дыру в машине «окончательных» интуиций?