Текст книги "Занимательная математика"

Автор книги: Георгий Гамов

Соавторы: Марвин Стерн
сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 6 страниц)

Встречные поезда

Через несколько дней после того, как мистер Джонсон нанес визит врачу, тот позвонил ему по телефону.

– Не могли бы вы заглянуть сегодня ко мне в приемную? – спросил врач. – Мне очень хотелось бы обсудить с вами еще один вопрос относительно железной дороги.

– С удовольствием, – охотно согласился мистер Джонсон, у которого после выхода на пенсию свободного времени стало хоть отбавляй.

– Я хочу предложить вашему вниманию одну задачку, о которой узнал от моего пациента, – сообщил доктор, когда мистер Джонсон устроился в кресле и вопросительно посмотрел на хозяина кабинета. – В разговоре с ним я рассказал о тех треволнениях, которые вам пришлось пережить из-за поездов, идущих на восток и на запад. В ответ пациент сообщил мне, что когда он едет в своей автомашине на работу, ему приходится пересекать железную дорогу – одноколейку, по которой в основном курсируют товарные поезда. Каждый такой поезд насчитывает много вагонов и тащится через переезд необычайно медленно. Моему пациенту приходится подолгу простаивать перед закрытым шлагбаумом, глядя на мерцающие сигнальные огни и еле движущуюся вереницу вагонов. Мой пациент мечтает о прокладке еще одной, второй, колеи. Это позволило бы, по его мнению, товарным поездам идущим на восток и на запад, лишь иногда встречаться на переезде, отчего общее время ожидания для водителей автомашин сократилось бы. А как по-вашему, сократилось бы время ожидания для автотранспорта от прокладки второй колеи?

– Разумеется, сократилось бы, – подтвердил старый машинист. – Если общее число поездов останется неизменным, то из-за случайных перекрытий встречных поездов у переезда средняя продолжительность простоя автотранспорта у переезда должна сократиться. Ведь это так ясно! Если два поезда минуют переезд одновременно, то время, которое потратил бы автомобилист, пропуская их, сократилось бы вдвое – до времени, которое ему пришлось бы ждать у шлагбаума, пока пройдет один поезд.

– Но так было бы только в том случае, если бы оба поезда в точности «перекрылись», т. е. одновременно въезжали на переезд и одновременно покидали его. В другом предельном случае ситуация была совершенно другой. Представьте себе, что локомотив одного въезжает на переезд в тот самый момент, когда его покидает тормозная площадка последнего вагона другого поезда. Что тогда?

– Ничего особенного. Мне кажется, этот случай ничем не отличается от того, когда оба поезда вообще не перекрываются.

– О нет! Тут вы, мистер Джонсон, глубоко заблуждаетесь. Я могу доказать это вам с помощью нехитрой арифметики. Предположим, что в среднем в каждом направлении за один час проходит один поезд и что каждый поезд минует переезд за 6 минут, и вычислим, сколько приходится ждать автомобилисту у закрытого шлагбаума в этом случае. Вероятность прибыть к закрытому шлагбаума (во время прохождения поезда через переезд) и любоваться мерцающими красными фонарями равна 1/10. Поскольку автомобилист с равной вероятностью может прибыть к переезду, когда поезд только выезжает на переезд или покидает его, то среднее время ожидания у закрытого шлагбаума составляет 3 минуты. Таким образом, в этом случае ждать в среднем, пока поезд минует переезд, придется 3 минуты.

Предположим теперь, что встречные поезда всегда немного перекрываются, минуя переезд – локомотив одного поезда чуть-чуть заходит за тормозную площадку последнего вагона другого. Как нетрудно понять, в этом случае все происходит так, как если бы поездов было вдвое меньше, но каждый поезд стал бы вдвое длиннее.

– Какая разница? – возразил мистер Джонсон.

– Разница есть, причем большая! Разумеется, вероятность подъехать к закрытому шлагбауму на переезде остается прежней. Но ждать у закрытого шлагбаума в этом случае пришлось бы вдвое дольше.

Таким образом, подъехав к переезду и увидев, что встречные поезда перекрылись только локомотивами, автомобилист вынужден будет ждать вдвое дольше.

– Понимаю, – задумчиво проговорил старый машинист, – если бы между поездами был промежуток в несколько минут, то автомобилист, пропустив один поезд, мог бы миновать переезд до того, как другой поезд прибудет к переезду, а если поезда перекрываются, то никакого промежутка между ними не получается.

– Рад, что вы обратили внимание на это важное обстоятельство, – улыбнулся врач. – Итак, мы пришли к заключению, что в случае точного перекрытия встречных поездов среднее время ожидания у переезда сокращается вдвое, а если поезда едва перекрываются, то время ожидания удваивается.

– А что происходит, если поезда на переезде перекрываются ровно наполовину? – поинтересовался мистер Джонсон.

– Давайте выясним. В этом случае поездов становится как будто вдвое меньше, но длина каждого поезда увеличивается на 50 % , т. е. поезд как бы становится в полтора раза длиннее. В этом случае вероятность подъехать к переезду, когда через него проходит поезд, нужно умножить на 1,5 / 2 , а среднее время ожидания увеличивается в полтора раза. Итого: среднее время ожидания изменится в  1,5 / 2 * 1,5 = 1,125 раза. Таким образом, если встречные поезда на переезде перекрываются наполовину, то время ожидания увеличивается на 12,5 %.

– Подумать только! – с удивлением заметил мистер Джонсон. – Даже когда поезда перекрываются наполовину, автомобилисту приходится ждать дольше.

– Как видите, мистер Джонсон, время ожидания существенно зависит от того, насколько перекрываются встречные поезда на переезде. Давайте построим график, ведь теперь мы знаем, во сколько увеличивается время ожидания при полном перекрытии поездов, при их перекрытии наполовину и при едва начавшемся перекрытии, – предложил врач, доставая карандаш. – Как видите, полная площадь, соответствующая увеличению среднего времени ожидания (треугольник А), гораздо больше, чем полная площадь, соответствующая уменьшению среднего времени ожидания (треугольник В).Отсюда следует, что в среднем перекрытие встречных поездов заставляет автомобилистов ждать у переезда дольше, чем в том случае, когда одно и то же количество поездов курсирует по одноколейному пути в обоих направлениях.

Шмель

– А еще какие-нибудь задачи про поезда вы знаете? – немного помолчав, спросил старый машинист.

– Знаю еще одну, только она очень простая. Два поезда выходят одновременно навстречу другу друга со станций А и B, разделяемых расстоянием в 100 миль [7]7
  Задачу можно решать и в милях, не переводя их в привычные километры. Для тех читателей, кто захочет «ощутить» полученный ответ, сообщаем, что 1 миля = 1609,315 метра. (Это так называемая английская («сухопутная») миля. Ее не нужно смешивать с более длинной морской милей (1852 м).) – Прим. перев.


[Закрыть]. Каждый из поездов движется со скоростью 50 миль/ч. Вместе с поездами со станции А по направлению к станции В вдоль железной дороги вылетает шмель, развивающий в полете скорость 70 миль/ч. Долетев до поезда, идущего со станции B, шмель в испуге поворачивает назад и летит к станции А, пока не встретит поезд, идущий к станции B, и т. д. Так он летает туда и обратно между сближающимися поездами. Когда же те, наконец, встречаются, шмель при виде мчащихся с двух сторон железных чудовищ пугается настолько, что замертво падает на землю.

Спрашивается, какое расстояние успевает пролететь шмель?

– Сейчас узнаем, – пробормотал себе под нос мистер Джонсон. – Задачка, действительно, не очень трудная. Если два поезда движутся навстречу друг другу со скоростью 50 миль/ч каждый и отправляются одновременно со станций, расположенных в 100 милях одна от другой, то поезда должны встретиться через час после отправления посередине пути. С какой скоростью, вы говорили, летел шмель?

– Семьдесят миль в час.

– Значит, он успел пролететь семьдесят миль. Правильно?

– Абсолютно правильно! – воскликнул врач. – Но то, что вы так легко решили эту задачу, свидетельствует о том что вы не математик! Настоящий математик стал бы искать решения в виде бесконечного ряда, суммируя времена, за которые шмель покрывает отрезки своего пути, совершая полеты туда и обратно между поездами. При таком подходе решение задачи становится весьма трудным, так как члены суммируемого ряда имеют достаточно сложный вид. Мне рассказывали, что Джон фон Нейман [8]8
  Джон фон Нейман – выдающийся математик современности, внесший значительный вклад в развитие многих областей математики, теоретической физики и вычислительной техники. – Прим. перев.


[Закрыть] . один из величайших математиков XX века, задумавшись на несколько секунд, дал правильный ответ – 70 миль.

– О! – воскликнул человек, задавший ему эту задачу. – Вы все-таки нашли простое решение, а я думал, что вы станете суммировать в уме бесконечный ряд.

– А я и просуммировал ряд, – спокойно ответил Джон фон Нейман, который был известен своей способностью производить в уме сложнейшие вычисления со скоростью, уступавшей только электронным компьютерам, в развитие которых он внес существенный вклад.

Почтовые голуби

Однажды мистер Джонсон поведал своему приятелю с математическим складом ума об одной трудной задаче, с которой ему пришлось столкнуться, когда он служил машинистом на железной дороге. Войскам связи настоятельно потребовалось провести испытание почтовых голубей, и представители командования этого рода войск обратились к мистеру Джонсону с просьбой выпустить двух почтовых голубей в точках маршрута, отстоящих на расстоянии ровно 50 миль и разделенных по времени ровно на 1 час.

На одном из участков маршрута был прямолинейный отрезок длиной 100 миль. По расписанию поезд должен был преодолеть эти 100 миль ровно за 2 часа, т. е. двигаться в течение 2 часов со средней скоростью 50 миль/ч. Но на этом стомильном отрезке было немало станций. Продолжительность стоянок, естественно, определялась расписанием, в котором было указано время прибытия поезда на каждую станцию и время отправления. Машинист мог нагнать потерянное время, двигаясь с более высокой скоростью, и ему всегда удавалось уложиться на стомильном отрезке в требуемые два часа.

– Но именно потому, что я покрываю 100 миль за 2 часа, – сказал мистер Джонсон своему приятелю, – нет никаких оснований предполагать, что в течение этих 2 часов непременно найдется часовой промежуток времени, на протяжении которого я двигаюсь со средней скоростью 50 миль/ч.

– Не хотелось бы огорчать вас, но, к сожалению, вы заблуждаетесь, – засмеялся врач. – Нетрудно доказать, что независимо от того, как менялась скорость поезда в течение 2 часов, за которые вы преодолеваете отрезок в 100 миль, непременно найдется по крайней мере один одночасовой промежуток времени, за который вы проезжаете ровно 50 миль. Проще всего в этом можно убедиться следующим образом. Представим себе, что 2 часа разделены на 2 последовательных промежутка времени продолжительностью 1 час каждый.

Предположим также, что ни за первый, ни за второй час вы не проезжаете ровно 50 миль, так как в противном случае задача была бы решена. Мы можем также, не ограничивая общности, предположить, что средняя скорость за первый час меньше 50 миль/ч, а за второй час – больше 50 миль/ч. Как вы увидите из дальнейшего, мои рассуждения не зависят от того, в который из часовых промежутков, в первый или во второй, средняя скорость была больше.

Мысленно представим себе промежуток времени продолжительностью в 1 час, непрерывно движущийся вдоль шкалы времени, на которой отложены один за другим первый и второй часы движения поезда. В начальном положении наш промежуток времени полностью совпадает с первым часом, в конечном положении – со вторым часом. Рассмотрим среднюю скорость поезда за часовой промежуток, скользящий вдоль шкалы времени. Так как в начальном положении наш часовой промежуток полностью перекрывается с первым часом, то средняя скорость за этот промежуток в самом начале меньше, чем 50 миль/ч. Непрерывно перемещая его направо, мы в конце концов совместим его со вторым часом, и тогда средняя скорость за скользящий часовой промежуток станет больше, чем 50 миль/ч.

Таким образом, непрерывно сдвигая часовой промежуток слева направо, мы непрерывным же образом изменяем среднюю скорость от значения, меньшего 50 миль/ч, до значения, большего 50 миль/ч. Следовательно, в некотором промежуточном положении часового промежутка средняя скорость за этот час должна быть в точности равна 50 милям/ч. Тем самым мое утверждение доказано.

Машинист вздохнул и заметил:

– Думаю, что вы правы, хотя войскам связи от этого не легче, так как я мог заранее знать, когда именно поезд начнет проходить тот самый участок, на котором он развивает среднюю скорость в 50 миль/ч, и поэтому не мог установить, когда мне следовало бы выпустить почтовых голубей. Но пока я размышляю над этим, мне хотелось бы предложить вам одну практическую задачку, которая может вас заинтересовать.

– Предлагайте, – охотно согласился доктор, – хотя я не очень силен в практических задачах.

Летнее время

– Как вы знаете, – начал мистер Джонсон, – я долгие годы водил поезда на одной и той же дистанции. Каждый вечер я прибывал в свой родной город точно по расписанию в одно и то же время и передавал поезд другому машинисту, которому предстояло вести его дальше.

– Это мне известно, – подтвердил доктор.

Поскольку железнодорожное расписание выдерживалось с идеальной точностью, моя жена точно знала, когда я прибываю в город, и подъезжала на автомобиле к вокзалу, чтобы отвезти меня домой. Каждый вечер она подъезжала к вокзалу в ту самую минуту, когда мой поезд останавливался, и забирала меня.

– Заботливая у вас женушка, – заметил доктор.

– Так вот, – продолжал машинист, – как сейчас помню, однажды между несколькими штатами разгорелся спор относительно того, следует ли переходить на летнее время. Случилось так, что мой штат не перешел на летнее время, а поскольку дистанция, на которой я водил поезда, начиналась в соседнем штате, перешедшем на летнее время, расписание было нарушено, и я прибыл на станцию в свой родной город в первый же вечер после введения летнего времени на час раньше (по часам в моем городе). И только тогда я вдруг понял, что моя жена заедет за мной только через час. Помню также, что мой сменщик-машинист, которому предстояло вести поезд дальше, сломал свои наручные часы, переводя их то на час вперед, то на час назад, и мне пришлось одолжить ему мои часы.

Так как мне предстояло прождать целый час, я счел за благо отправиться домой пешком. Так я и шел, пока не встретил по дороге жену, ехавшую, чтобы подобрать меня после рейса и доставить домой. Я сел в автомобиль, и мы поехали домой. По прибытии я взглянул на настенные часы и увидел, что хотя изрядный отрезок пути я прошел пешком, жена доставила меня домой на 20 минут раньше обычного. Часов у меня, как я уже говорил, не было, но пешком я шел довольно долго. Я попытался было вычислить, сколько времени я шел пешком, но запутался и бросил выкладки. Может быть, вы могли бы сказать мне, как долго я шел пешком?

– Разумеется, – кивнул доктор. – Проще всего вычислить, как долго вам пришлось идти пешком, если «позабыть» о вас и сосредоточиться только на пути, который пришлось проделать в тот вечер вашей жене. Из сказанного вами нам известно, что ваша жена выехала из дому в обычное время, но вернулась на 20 минут раньше, чем обычно. Чтобы сэкономить 20 минут на пути до станции и обратно, ваша жена должна была сократить на 10 минут путь от дома на станцию и на 10 минут путь от станции домой. Иначе говоря, ваша жена подобрала вас за 10 минут до того, как она прибыла бы на станцию до введения летнего времени в соседнем штате. Но она прибыла бы на станцию через час после того, как вы отправились домой пешком. Следовательно, вы шли пешком все время, составляющее разность между 10 минутами и 1 часом, т. е. 50 минут.

4. Путешествия расширяют кругозор

Три лица, испачканных сажей

Всякий, кому случалось путешествовать по Европе, отлично знает, что пассажиры в британских поездах имеют обыкновение держать окна в купе открытыми, чтобы дышать свежим воздухом. Разумеется, вместе со свежим воздухом в купе попадает изрядное количество дыма, изрыгаемого локомотивом, в котором по британскому обычаю в качестве топлива используется уголь.

Однажды клубы дыма через открытое окно попали в купе, в котором чинно сидели трое благовоспитанных жителей туманного Альбиона – леди и два джентльмена. В результате этого незначительного происшествия лица всех трех пассажиров оказались испачканными сажей и являли забавный контраст с их безупречными костюмами и снобистскими манерами. Леди (ее звали мисс Аткинсон) оторвала глаза от книги, которую читала, и, несмотря на все свое великолепное воспитание, не смогла удержаться от смеха при виде открывшегося ей нелепого зрелища. Но ее спутники, джентльмены, также рассмеялись.

При этом (возможно, в силу свойств истинно британского характера) каждый из трех пассажиров полагал, что его (или ее) лицо не испачкано и что двое пассажиров смеются, глядя, как выпачканы сажей их лица (правила хорошего тона запрещали каждому открыто уставиться на предметы своего интереса, поэтому угадать, над кем смеется каждый из пассажиров, было решительно невозможно).

Так продолжалось несколько минут. Затем мисс Аткинсон, получившая более основательное образование, чем ее спутники, и работавшая учительницей в школе, поняла, что сажей испачканы не только лица ее спутников, но и ее, по-видимому, собственное лицо. Она достала носовой платок и тщательно вытерла свое лицо. При взгляде на носовой платок мисс Аткинсон убедилась, что ее предположение было правильным. Как она пришла к заключению, что ее лицо испачкано сажей?

Мисс Аткинсон решила проблему без особого труда, приняв в качестве исходного разумное предположение о том, что ее попутчики, хотя и не столь умны и образованы, как она сама, но все же не полные идиоты.

– Предположим, – подумала мисс Аткинсон, что мое лицо не испачкано сажей (надеюсь, что так оно и есть на самом деле!) и что эти два джентльмена смеются, поскольку каждый из них видит испачканное сажей лицо соседа по купе. Как мог бы рассуждать в этом случае каждый из джентльменов? Естественно, он должен был бы спросить себя, почему смеется его сосед, а поскольку он увидел бы, что мое лицо не испачкано сажей, то сразу бы понял, что тот может смеяться по одной-единственной причине, а именно потому, что его собственное лицо испачкано сажей. Такое заключение элементарно, а поскольку ни один из моих попутчиков не пришел к нему, то это означает, что мое исходное предположение (о том, что мое лицо не испачкано сажей) неверно. Следовательно, мне нужно стереть сажу с лица, чтобы не выглядеть смешной.

Логическое умозаключение мисс Аткинсон допускает обобщение на случай, когда в купе находятся более трех пассажиров и лица у всех испачканы сажей. Действительно, четвертый пассажир, обладающий еще более развитыми способностями к логическому мышлению, чем мисс Аткинсон, мог бы рассуждать следующим образом:

– Если мое лицо не испачкано сажей, то трое моих попутчиков должны смеяться друг над другом. Но по крайней мере у одного из них хватит ума, чтобы сообразить, что если бы его лицо не было испачкано сажей, то двое других пассажиров смеялись бы друг над другом и, если они не круглые идиоты, должны были бы понять, что их лица испачканы сажей.

И т. д. и т. д.

Поцелуй в темноте

Во время нацистской оккупации Франции в купе поезда, шедшего из Парижа в Марсель, ехало четверо пассажиров. Компания подобралась пестрая: молодая очень красивая девушка, пожилая почтенная дама, немецкий офицер и француз средних лет неопределенной профессии. Все четверо не были знакомы друг с другом, и в купе поезда, мчавшегося на юг, царило молчание. Когда поезд въехал в туннель, свет в купе погас, и на несколько минут четверо пассажиров оказались в кромешной темноте,

Внезапно раздался звук поцелуя, за которым послышался мощный удар: судя по всему, кто-то из пассажиров основательно «приложил» кого-то из попутчиков. Когда поезд вырвался из туннеля, все четверо пассажиров с невозмутимым видом сидели на своих местах, и только у немецкого офицера под глазом наливался огромный синяк.

– Так ему и надо, – подумала пожилая дама. – А девчонка молодец! Настоящая французская девушка, умеющая постоять за себя и дать отпор этим наглым бошам! Побольше бы таких девушек!

– Странный вкус у этого немецкого офицера, – размышляла молодая француженка. – Вместо того чтобы поцеловать меня, он предпочел поцеловать эту старую грымзу! Непостижимо!

Немецкий офицер, прижимая носовой платок к пострадавшему глазу, над которым назревал огромный синяк, также не мог никак понять, что произошло в темноте.

– По-видимому, этот француз попытался поцеловать девушку, – подумал он, – а та в темноте промахнулась и ударила меня.

Спрашивается, что думал француз и что произошло в действительности?

Хотя некоторые читатели, возможно, сочтут, что эта задача не может быть отнесена к числу математических задач-головоломок, тем не менее она допускает единственное решение. Француз, бывший членом одной из подпольных групп Сопротивления, был очень горд своей выдумкой.

– Спору нет, немцы очень умны, – размышлял он, – но офицер ни за что не догадается, что я поцеловал тыльную сторону своей руки, а потом вмазал бошу кулаком по его мерзкой роже!