Текст книги "Занимательная математика"

Автор книги: Георгий Гамов

Соавторы: Марвин Стерн
сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 6 страниц)

Второе испытание Абдула [4]4
  Сюжет этой истории сообщил одному из нас (Г. Г.) проф. Альберт Сент-Дьерди. (Известный биохимик, один из основоположников биоэнергетики. – Прим. перев.)


[Закрыть]

Едва успев благополучно выпутаться из предыдущей истории, Абдул снова попал в беду. На этот раз его обвинили в торговле рабынями на черном рынке, недавно строжайше запрещенной султаном ибн-аль-Казом. На этот раз Абдул предстал перед судом присяжных – новинкой, введенной просвещенным властителем Квазиабабии, стремившимся превратить свою страну в современное государство. При вынесении вердикта мнения присяжных, шести мужчин и шести женщин, разделились: все шесть женщин сочли Абдулу виновным и потребовали для него смертной казни, а все шесть мужчин склонились к мнению «невиновен».

Выслушав присяжных, судья вынес решение, что судьбу Абдула – жить ему или умереть – должен решить с равными шансами на жизнь и на смерть случай – шар, извлекаемый наугад из урны. Для вынесения приговора столь необычным методом в суд были доставлены две большие урны с двадцатью пятью белыми и двадцатью пятью черными шарами в каждой. Подсудимому должны были завязать глаза, предложить вытянуть руки и, выбрав наугад одну из урн, извлечь из нее шар. Черный шар означал смерть, белый – жизнь. Урны долго переставляли, а шары тщательно перемешали.

– О великий судья, – воскликнул Абдул, падая на колени перед скамьей, на которой восседал судья. – Молю тебя исполнить мою последнюю просьбу. Позволь перед тем, как мне завяжут глаза, по-своему переложить шары из урны в урну. После этого я готов вслепую выбрать урну и извлечь из нее шар.

– Может ли это увеличить шанс преступника избежать наказания о великий визирь? – почтительно обратился судья к сидевшему с ним рядом визирю.

– Не думаю, – ответствовал визирь, считавший себя большим знатоком по части математических проблем. – Всего имеется пятьдесят черных шаров и пятьдесят белых шаров, а поскольку подсудимый будет извлекать шар вслепую, шансы извлечь черный или белый шар остаются прежними, как бы он ни перекладывал шары из урны в урну или ни распределял шары по любому числу урн.

– В таком случае, – решил судья, – раз перекладывание шаров ничего не меняет, почему бы нам не исполнить последнюю просьбу подсудимого? Это следует сделать хотя бы для того, чтобы продемонстрировать нашему великому султану, что вновь назначенный им суд в соответствии с пожеланиями нашего владыки придерживается либеральных тенденций при вынесении приговоров.

– Будь по-твоему, – разрешил судья Абдулу, все еще стоявшему перед ним на коленях. – Можешь перекладывать шар, как сочтешь нужным.

Поднявшись с колен и подойдя к столу, на котором стояли урны, Абдул приступил к делу. Сначала он пересыпал все шары из одной урны в другую, а затем, выбрав один белый шар, переложил его в первую (пустую) урну. Эта нехитрая операция повысила его шансы остаться в живых с 50 % почти до 75 %. После того как ему завязали глаза, он с вероятностью 50 % мог выбрать урну с одним белым шаром, а если бы он выбрал другую («не ту») урну, то у него все же было бы 49 из 99 шансов (т. е. почти 50 %) извлечь из нее не черный, а белый шар.

История умалчивает о том, позволило ли Абдулу такое увеличение благоприятных шансов спасти свою жизнь.

Скачки наоборот

Однажды в солнечный день (как, впрочем, все дни в той части земного шара) один англичанин сидел на камне посреди пустыни во владениях султана ибн-аль-Каза. Он умирал от скуки, так как делать ему было абсолютно нечего, хотя денег у него в карманах было достаточно для того, чтобы заплатить за любое развлечение. И когда англичанин к великому своему удовольствию увидел проезжавших мимо верховых бедуинов, он знаком попросил их приблизиться.

– Друзья, – обратился к бедуинам англичанин, показывая им сверкающую на солнце золотую гинею, – не окажите ли вы мне любезность проскакать вон до той пальмы. Тот, чья лошадь придет последней, получит в награду эту золотую монету.

– Чья лошадь придет последней? – воскликнули бедуины, которые оба знали английский.

– Именно! И понимаю, что условие состязания необычно, но такова моя прихоть. А теперь – внимание, на старт, марш!

Желая получить в награду золотую гинею, бедуины пустились было к видневшейся вдалеке пальме, но поскольку каждый из них стремился сдержать свою лошадь, оба всадника почти не двигались с места. Когда оба бедуина уже были готовы отказаться от участия в состязании, перед ними внезапно возник дервиш. Оба всадника спрыгнули с коней и распростерлись перед ним на горячем песке пустыни.

– Что вас тревожит, дети мои? – спросил дервиш низким голосом. И бедуины объяснили ему необычное условие скачек.

– Может быть, нам нужно разделить приз между собой или условиться, что тот, кто выиграет скачку, если его лошадь придет последней, отдаст золотую гинею другому, – предложил один из бедуинов.

– О нет! – возразил дервиш. – Нужно быть честным во всех своих деяниях, даже если речь идет об уговорах с англичанами. Вам нужно просто… – и дервиш прошептал свой совет бедуинам.

– Да благословит тебя Аллах! – воскликнули бедуины, вскочили в седла и пришпорили лошадей.

Быстрее ветра они понеслись к пальме. Судьба скачек была решена в считанные минуты, и англичанину пришлось уплатить гинею победителю. Что посоветовал дервиш бедуинам?

Дервиш дал бедуинам очень простой совет: поменяться лошадьми.

2. Сэм-Игрок

Карточки в шляпе

Объяснить в два слова, кто таком Сэм-Игрок, проще всего, назвав его «живым компьютером».

Способность Сэма честно зарабатывать свой хлеб основана на его непостижимой способности оценивать шансы на выигрыш и проигрыш в любой азартной игре, которая когда-либо была изобретена человеком. Разумеется, умение Сэма молниеносно подсчитывать шансы «за» и «против» целиком опирается на его замечательную память и отнюдь не свидетельствует о его аналитических способностях.

Другая отличительная черта Сэма-Игрока – его доброе отзывчивое сердце. Матери Сэма-младшего Сэм-старший дал слово, что сын вырастет уважаемым человеком. И Сэм-Игрок сдержал свое обещание. Он рассудил, что Сэм-младший должен хотя бы частично унаследовать способности отца просчитывать комбинации. А что, скажите на милость, в наши дни может пользоваться большим уважением, чем математик, способный производить сложнейшие расчеты?

И Сэм-младший был отправлен в колледж. Правда, по окончании колледжа он мог бы до конца жизни ездить на работу и с работы в городском автобусе, а не за рулем собственного «кадиллака», как Сэм– старший. И хотя у Сэма-младшего могло появиться немало умных книг, он вполне мог так и не обзавестись маленькой черной записной книжечкой с именами и адресами всех хористок в городе. Но главное было бы достигнуто: Сэм-младший непременно стал бы уважаемым человеком.

Нужно сказать, что Сэм-старший очень гордился своими профессиональными способностями. Когда Сэм-младший был на последнем курсе колледжа, Сэм-старший узнал из беседы с сыном, что современные физики широко используют во многих вычислениях методы теории вероятностей. Желая показать сыну, что и по части новой для него теории он многих заткнет за пояс, Сэм-Игрок написал обширный трактат, чтобы продемонстрировать свое искусство в вычислении вероятностей.

Сэм-младший попытался было объяснить отцу, что теория вероятностей далеко не исчерпывается вычислением вероятностей и что в ней разработаны весьма тонкие математические методы.

Сэм-младший усомнился даже в том, понимает ли Сэм-старший по-настоящему глубоко фундаментальные принципы теории вероятностей даже в простейших случаях вычисления благоприятных и неблагоприятных шансов, в чем Сэм-старший мнил себя непревзойденным знатоком.

– Рассмотрим в качестве примера, – предложил Сэм-младший, – хотя бы следующую игру. Я кладу в шляпу три карточки: одну красную с обеих сторон, одну белую с обеих сторон и одну красную с одной стороны и белую с другой.

Предположим, что я извлекаю из шляпы одну карточку. Вынутая мной карточка обращена к нам красной стороной, какого цвета у нее другая сторона, мы не знаем.

– Ты хочешь, чтобы я догадался, какого цвета другая сторона? – спросил Сэм-Игрок.

– Совершенно верно, – согласился Сэм-младший. – Точнее говоря, ты должен сообщить мне, какова вероятность того, что у вынутой мною карточки другая сторона красная. Раз у вынутой мной карточки одна сторона красная, то она может быть только одной из двух карточек: либо красно-красной, либо красно-белой. Ты согласен?

– Согласен.

– Вот я и спрашиваю, какова вероятность того, что извлеченная мной карточка оказалась красно-красной? – заявил Сэм-младший.

– Мог бы придумать задачу и посложнее, – проворчал Сэм– старший. Простота предложенной сыном задачи вызывала у него отвращение. – Ты мог извлечь из шляпы только две карточки, поэтому вероятность того, что у тебя в руке красно-красная карточка, равна одной второй.

– Я знал, что ты так и скажешь, – кивнул Сэм-младший, – но твой ответ неверен!

– Подумать только! И для этого твоя мать хотела, чтобы я послал тебя учиться в колледж! – воскликнул Сэм-старший. – Уж не думаешь ли ты, что разбираешься в вероятностях лучше моего? Чтобы оценивать шансы «за» и «против», никакой математики не требуется. Необходим лишь здравый смысл.

– Не сердись, – терпеливо увещевал разбушевавшегося родителя Сэм-младший. – Все дело в правильном определении вероятности. Твой ответ подразумевает, что извлечена одна из двух возможных карточек, и что поэтому вероятность равна одной второй, но ты совсем не учитываешь условия задачи. Я сказал, что извлек из шляпы карточку с красной «лицевой» стороной. Чтобы вычислить вероятность того, что извлечена красно-красная карточка, я должен сначала спросить себя, сколькими способами я могу извлечь из шляпы карточку с красной стороной.

– Все это так, – согласился Сэм-старший, – но почему это меняет ответ?

– А вот почему, – терпеливо продолжал Сэм-младший. – У карточек в шляпе всего три красные стороны, а именно: две красные стороны у красно-красной карты и одна красная сторона у красно-белой карточки.

– А кто спорит? – возразил Сэм-старший.

– Но тогда ты должен признать, что существует три способа вытянуть карточку с красной лицевой стороной.

– Согласен.

– Прекрасно! А теперь рассмотрим подробнее те три способа, которыми я могу извлечь карточку с лицевой красной стороной. При одном способе оборотная сторона карточки белая, т. е. я извлек красно-белую карточку, в двух других случаях оборотная сторона карточки красная, т. е. в каждом случае я извлекаю красно-красную карточку. Таким образом, из трех возможных способов извлечь карточку с красной лицевой стороной в двух случаях оборотная сторона карточки оказывается красной и только в одном случае белой. Следовательно, вероятность того, что у извлеченной карточки оборотная сторона красная, равна двум третьим.

– Постой, постой! – усомнился Сэм-старший. – Говоришь ты складно, но слишком быстро, и я не успеваю следить за твоими рассуждениями.

– Попробую доказать свое рассуждение иначе, – невозмутимо продолжал Сэм-младший. – Ты согласился сыграть со мной в эту игру в предположении, что я извлек из шляпы карточку с красной лицевой стороной, но с тем же успехом мы могли бы сыграть в эту игру в предположении, что я извлек карточку с белой лицевой стороной.

– Разумеется, – кивнул Сэм-старший, – разницы никакой.

– Условимся теперь сыграть в новую игру, – продолжал Сэм– младший. – Если я извлеку карточку с красной лицевой стороной, то ты должен будешь определить вероятность того, что извлечена красно-красная карточка, а если я извлеку карточку с белой лицевой стороной, то ты должен будешь определить вероятность того, что извлечена бело-белая карточка. Суть проблемы на этом примере особенно ясна. Игра остается одной и той же, играем ли мы «на красное» или «на белое». Поэтому, играя на красное или на белое, мы получаем ту же самую вероятность, которую получили бы, играя только на красное или только на белое. А вот если бы мы вздумали играть на красное и на белое, то ответ был бы иным. Вопрос, который я задаю в действительности, звучит так: какова вероятность извлечь из трех карточек в шляпе карточку, обе стороны которой одного цвета, по сравнению с вероятностью извлечь карточку, стороны которой различного цвета? Ответ задачи в этом случае гласит, что вероятности относятся как 2: 1, поскольку две карточки из трех имеют обе стороны одного цвета.

Тузы

– Подумаешь! – произнес Сэм-старший, явно желая оправдать свою неудачу. – Ты просто придумал задачу-уродца. Такой место в кунсткамере. Я уверен, что на практике необходимость использовать строгое определение вероятности при решении настоящих задач никогда не возникает. К тому же никто не играет в игры с какими-то дурацкими карточками!

– В этом я как раз не уверен, – возразил Сэм-младший. – Я могу привести аналогичный пример с настоящими игральными картами.

– Великолепно! Действительно, почему бы нам не попробовать сыграть настоящими картами?

– Договорились. Предположим, что у тебя на руках обычная взятка из карт для игры в бридж. Одна карта во взятке – туз пик, остальные двенадцать карт совершенно случайны.

– Ты хочешь сказать, – уточнил Сэм-старший, – что мы рассматриваем взятку только в том случае, если в ней есть туз пик?

– Совершенно верно, – подтвердил Сэм-младший. – Если взятка не содержит туза пик, мы ее просто не рассматриваем, а перетасовываем колоду и сдаем другую взятку. Мы играем в нашу игру только в том случае если во взятке есть туз пик.

– Понял. Продолжай.

– Среди двенадцати остальных карт во взятке могут быть тузы других мастей, присутствие туза пик гарантировано, но существует ненулевая вероятность того, что в колоде в действительности два или больше тузов.

– Пока все понятно, – кивнул Сэм-старший.

– Тогда рассмотрим другую ситуацию, – продолжил Сэм-млад– ший – На этот раз предположим, что у тебя на руках другая взятка карт для игры в бридж. Но теперь мы знаем лишь, что во взятке есть туз – какой-то масти. Если тузов во взятке нет, то такую колоду мы просто не рассматриваем. Вторую взятку мы допускаем к рассмотрению только в том случае, если в ней есть по крайней мере один туз. И в этом случае среди остальных двенадцати карт взятки могут быть и другие тузы, и существует отличная от нуля вероятность того, что во взятке два или более тузов.

Я хочу, чтобы ты сравнил вероятности обнаружить два или более тузов в этих двух случаях. Напомню, что в первом случае во взятке непременно есть туз пик, а во втором случае – туз какой-то масти. Как отличаются друг от друга вероятности обнаружить в колодах два или более тузов в этих случаях?

– Послушай-ка, сынок, – произнес Сэм-старший, терпеливо выслушав условия задачи. – Я играл в карты, когда тебя еще и на свете не было. Поверь мне, никакой разницы между тузом пик и тузом любой другой масти нет. Гарантировать, что во взятке есть туз пик, то же самое, что гарантировать, что во взятке есть туз какой-то масти, как ты изволил выразиться. И в обоих случаях вероятность того, что среда остальных двенадцати карт есть еще один или несколько тузов, в точности одна и та же.

– Ты хочешь сказать, что по-твоему вероятность иметь во взятке два или более тузов в первом и во втором случаях одинакова?

– Именно это я и сказал.

– Тогда ты опять заблуждаешься, – улыбнулся Сэм-младший, – причем по той же причине, что и прежде.

– Тебе придется очень постараться, чтобы убедить меня в этом.

– Позволь, я попытаюсь сформулировать из сказанного более простую задачу, – предложил Сэм-младший. – Чтобы основные идеи теории вероятностей стали видны более отчетливо, возьмем взятку, состоящую только из четырех карт: туза пик, туза треф и двойки пик, двойки треф. Из такой уменьшенной взятки ты получаешь взятки только из двух карт. Все остальные условия остаются прежними, т. е. в первом случае гарантируется, что из двух карт у тебя на руках одна – туз пик, а другая – какая-то. Во втором случае из двух карт одна заведомо туз какой-то масти, а другая – любая.

Полагаю, ты согласишься, что сравнение вероятностей в уменьшенных взятках более наглядно и поучительно, чем сравнение вероятностей в полных взятках для игры в бридж?

– Не спорю, – согласился Сэм-старший. – Числа получатся другими, но отношение вероятностей для упрощенной игры покажет, каким должен быть ответ в случае полных взяток для игры в бридж.

– Прекрасно! В таком случае ответь, пожалуйста, какие возможные взятки могут оказаться у тебя в упрощенной задаче с непременным тузом пик?

– Проще простого! Вот они:

И разумеется, вероятность получить взятку с двумя тузами из трех взяток с непременным тузом пик равна 2/3.

– Правильно, – подтвердил Сэм-младший. – А каковы возможные взятки во втором случае, когда требуется, чтобы в колоде непременно был какой-нибудь козырь?

– И в этом случае ответ очень прост:

На этот раз мы получаем пять возможных взяток, а из этих пяти только в одной взятке два туза, что дает вероятность, равную только 1/5. Но почему так?

Сэм-младший рассмеялся и объяснил:

– Вероятность благоприятного исхода по определению равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу испытаний. И в первой, и во второй рассмотренной нами задаче в заблуждение вводит общее число возможных испытаний.

В упрощенной задаче ограничение на масть туза (то обстоятельство, что в колоде непременно должен быть туз пик) приводило только к уменьшению общего числа возможных раскладов колоды. Но это условие ничуть не изменило число благоприятных исходов, т. е. благоприятных раскладов взятки, удовлетворяющих условиям задачи. Разумеется, в задаче о «полновесной» взятке, в настоящей, а не упрощенной игре в бридж, числитель дроби, выражающей требуемую вероятность, т. е. число благоприятных исходов, будет ограничен условием непременного присутствия туза определенной масти, но общее число возможных взяток с тузом пик будет ограничено гораздо сильнее. Вероятность в этом случае оказывается больше, чем в случае, когда во взятке непременно должен быть туз какой-то масти.

Вероятность случайного события

– Ты начинаешь убеждать меня, – вздохнул Сэм. – Может быть, нам лучше перейти к бросанию монеты или чему-нибудь в том же духе?

– По правде говоря, я не собирался заходить так далеко, но ты напомнил мне одну интересную историю. Когда я учился на последнем курсе в колледже, нам пришлось прослушать один дурацкий курс, который не дал ровно ничего нашему образованию. Должно быть, этот курс был включен в программу в незапамятные времена, и о нем просто– напросто забыли. Лектор чувствовал себя очень неловко и всячески давал нам понять, что ему очень неловко попусту тратить наше время. В утешение в начале семестра он сообщил нам, что поставит всем только отличные и хорошие оценки, поэтому нам следует беспокоиться не об успеваемости, а только о напрасно потраченном времени.

Лектор был человеком, помешанным на честности, и когда ему в конце семестра пришлось выставлять оценки, не обошлось без небольшой проблемы. Дело в том, что он всем собирался поставить только хорошие и отличные оценки, распределив их среди студентов случайным образом: каждый, прослушавший курс, мог с вероятностью 1/2 получить оценку «отлично» и с такой же вероятностью – оценку «хорошо».

Наш лектор намеревался пройтись по списку студентов и, останавливаясь на каждой фамилии, бросать монетку: орел означал бы «отлично», а решка – оценку «хорошо». Но прежде чем он приступил к бросанию монеты, его пронзила ужасная мысль: что если монета слегка несимметрична? Ведь тогда вероятности выпадения орла и решки окажутся смещенными, и оценки будут распределяться нечестно!

Проблема, с которой столкнулся наш лектор, состояла в следующем: если монета несимметрична, то можно ли случайным образом распределить оценки среди студентов, прослушавших курс, так, чтобы каждый из них с одинаковой вероятностью мог получить и отличную, и хорошую оценку?

Сэм-старший издал короткий смешок и заметил:

– Я всегда знал, что оценки ставятся наобум, но не думал, что кому-нибудь понадобится исключать эффект возможной асимметрии монеты. Все же, как мне кажется, я знаю, что нужно сделать. Что если лектор станет бросать монету дважды? Разве не верно, что независимо от смещения вероятность выпадения сначала орла, а потом решки в точности равна вероятности выпадения сначала решки, а потом орла?

Сэм-младший тоже рассмеялся:

– Что верно, то верно! А если оба бросания завершатся одинаковыми исходами, то их нужно просто исключить и бросать монетку снова два раза подряд. В зачет идут только те бросания, при которых сначала выпадает орел, а потом решка, или сначала решка, а потом орел. Тогда лектор выставляет оценку «отлично», если первым выпадает орел, и «хорошо», если первой выпадает решка.

– Причина, по которой такая тактика дает правильный результат, очень любопытна, – продолжал Сэм-младший, – и я хотел бы пояснить, в чем тут дело.

Путь р– вероятность выпадения орла при первом или втором бросании. Тогда вероятность выпадения решки равна 1 – р. Следовательно, вероятность выпадения в первом бросании орла, а во втором решки равна произведению ри 1 – р, т. е. р(1 – р).

Точно так же вероятность выпадения при первом бросании решки, а при втором орла равна (р – 1)р.

Но так как умножение обыкновенных чисел коммутативно, т. е. произведение не зависит от порядка сомножителей, оба произведения равны:

р(1 – р) = (1 – р)р

Поэтому твой ответ правилен.