Текст книги "Синергетика. Основы методологии"
Автор книги: Г. Басина
Соавторы: М. Басин
сообщить о нарушении
Текущая страница: 1 (всего у книги 5 страниц)
Г. И. Басина, М. А. Басин
Синергетика. Основы методологии
Введение. Что такое синергетика?
Синергетика – красивое слово:
иссине-синий тугой поток энергии
с одурительным привкусом грецкого ореха…
Слово это прохладное.
Но в окрестности его ощутим жар по кругу.
Это прохлада лесной тени в знойный полдень.
Зоя Журавлёва [1]1
Журавлёва З.Е. IV Международная конференция «Нелинейный мир. Языки науки – Языки искусства». Суздаль, 7–12 июня 1999 г. Тезисы. М., с. 7–9.
[Закрыть]
1. Синергетика: её особенности как науки
Интенсивное развитие нелинейных методов исследования сложных систем и сделанные в процессе этого развития открытия привели к тому, что учёные различных специальностей почувствовали необходимость в обобщении и синтезе потока новых знаний. Возникшую при этом междисциплинарную науку Г. Хакен назвал красивым именем «Синергетика».
Термин Синергетика происходит от греческого synergeia «синергеиа» – содействие, сотрудничество. Более часто встречавшимся до появления синергетики было слово «синергизм»:
1) координированное функционирование органов и систем;
2) комбинированное действие лекарственных веществ на организм, при котором суммарный эффект превышает сумму воздействий, оказываемых каждым компонентом в отдельности.
Слово Синергетика также употреблялось еще до Г. Хакена. Ч. Шеррингтон называл синергетическим согласованное воздействие спинного мозга в процессе управлении мышечными движениями. С. Улам, один из учёных, вновь открывших солитон, понял всю важность и пользу «синергии, т. е. непрерывного сотрудничества между машиной и её оператором».
Другой учёный, имевший прямое отношение к вторичному открытию солитона, Н. Забусский предложил единый синергетический подход к нелинейным математическим и физическим задачам как совместное использование обычного анализа и численной машинной математики.
Сжато и четко сформулировал триаду элементов, формирующих синергетику, Р. Г. Баранцев нелинейность-когерентность-открытость.
Эти три элемента присутствуют в многочисленных определениях синергетики, данных различными авторами.
По мнению Ю. А. Данилова и Б. Б. Кадомцева [2]2
Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983, с. 5–16.5
[Закрыть], «в отличие от большинства новых наук, возникавших, как правило, на стыке двух ранее существовавших и характеризуемых проникновением метода одной науки в предмет другой, она (Синергетика) возникает, опираясь не на граничные, а на внутренние точки различных наук, с которыми она имеет ненулевые пересечения: в изучаемых (ею) системах, режимах и состояниях физик, биолог, химик и математик видят свой материал, и каждый из них, применяя методы своей науки, обогащает общий запас (её) идей и методов».
Среди предшественников Синергетики Р. Г. Баранцев называет тектологию и близкую к ней общую теорию систем, кибернетику и семиодинамику.
2. Основные научные результаты, составившие базу Синергетики
Вобрав в себя последние достижения математики, нелинейной физики, химии, биологии, наук о Земле, Синергетика позволила обнаружить существование в сложных системах различной природы универсальных качественных закономерностей возникновения, развития и разрушения различных структур.
Основными предшественниками синергетики, по мнению Р. Г. Баранцева, являются Российская школа нелинейной динамики (Л. И. Мандельштам, А. А. Андронов, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий), бельгийская школа диссипативных процессов (И. Р. Пригожий), германская школа лазерной физики (Г. Хакен). Сюда же можно отнести создателей теории динамического хаоса и фрактальной геометрии (Е. Н. Лоренц, Б. Мандельброт, М. Фейгенбаум).
Перечислим основные результаты, которые в последние годы были получены в математике и естественных науках, и в настоящее время вошли в арсенал синергетики.
1. Создание математической теории катастроф.
2. Качественная теория динамических систем.
3. Изучение закономерностей перехода от регулярных процессов к хаотическим. Открытие новых фундаментальных чисел – чисел Фейгенбаум а.
4. Открытие «странных аттракторов», перевернувшее представление учёных о соотношении хаоса и порядка в природе.
5. Создание фрактальной геометрии.
6. Обнаруженное Г. Хакеном явление, связанное с тем, что самоорганизация сложных структур определяется, в основном, поведением очень небольшого количества параметров, названных им ведущими модами или параметрами порядка.
7. Последние достижения в теории динамических систем, в том числе создание эргодической теории.
8. Введение представлений о руслах и джокерах.
9. Создание неравновесной термодинамики.
10. Разработка принципиально новых подходов к энтропии и информации.
11. Внедрение в исследование самоорганизующихся структур методов асимптотической математики.
12. Разработка новой классификации волн, вихрей, дипольных структур и транспортно-информационных систем.
13. Новый мощный всплеск в теоретическом и экспериментальном исследовании солитонов. Перевязка теории солитонов с теорией бесконечномерных групп Каца-Муди.
14. Разработка качественной теории нелинейных волновых процессов, авто-волн и авто-структур. Исследование диссипативных структур. Открытие и подробное исследование режимов с обострением.
15. Открытие резонансных вихре-волновых структур. Разработка концепции вихре-волнового и структурно-волнового резонанса как одного из важнейших механизмов самоорганизации.
16. Открытие и исследование реакций Белоусова-Жаботинского и биологических автоволн.
17. Экспериментальное открытие и теоретическое обоснование степенных и логарифмических статистических закономерностей при изучении распределения элементов и структур в сложных самоорганизующихся системах и разработка новых методов качественного и количественного анализа динамики сложных информационно-транспортных систем.
18. Обнаружение и анализ режимов самоорганизованной критичности.
19. Разработка математических моделей исследования нейросистем.
20. Принципиально новые результаты, связанные с применением синергетических методов в таких «гуманитарных» науках, как биология, медицина, психология, история, социология, экономика, теория права, искусствоведение и языкознание.
21. Философские обобщения, базирующиеся на синергетических принципах.
22. Разработка и внедрение в синергетическую методологию триадного принципа изучения целостных транспортно-информационных систем.
Значительный вклад в развитие синергетических исследований внесли Санкт-Петербургские ученые. С мая 1993 г. по инициативе выдающегося ученого и общественного деятеля В.Д. Поремского в Санкт-Петербурге работает семинар «Синергетика и методы науки», возглавляемый профессором М.А. Васиным, а с октября 1995 г. – научно-исследовательский центр «Синергетика». В организации Семинара и центра активную роль сыграли Санкт-Петербургский Научный Центр РАН, Санкт-Петербургский союз ученых и Санкт-Петербургский гуманитарно-политологический центр «Стратегия». 10 марта 1997 г. в Малом Конференц зале Санкт-Петербургского научного центра РАН состоялось заседание Круглого стола на тему: «Синергетика и психология», организованного научно-исследовательским центром «Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных – (СПбСУ). Спонсорами круглого стола выступили Балтийский институт экологии, политики и права и Фонд интеллектуального сотрудничества. Издан сборник докладов Круглого стола. В 1998 г. вышел из печати сборник трудов семинара: «Синергетика и методы науки» (издание поддержано грантом РФФИ № 97–06-87108). В 1999 г. в издательстве «Наука» вышла из печати монография М.А. Басина и И.И. Шиловича «Синергетика и Internet». 21 ноября 2000 г. состоялось юбилейное заседание Семинара «Синергетика и методы науки», посвященное пятилетию работы Научно-исследовательского центра «Синергетика» и представлению последних работ центра «Синергетика».
С 2000 по 2006 годы вышли в свет монографии М.А. Басина «Волны. Кванты. События». СПб.: Норма, 2000, 168 с.; «Компьютеры. Вихри. Резонансы» СПб.: Норма, 2002, 144 с.; С.В.Харитонова «Проявление космического закона в психике человека». СПб.: Петербург-XXI век, 2000, 80 с.; Р.Г. Баранцева «Синергетика в современном естествознании». М.: УРСС, 2003,144 с.; Г.И. Басиной, М.А. Басина «Синергетика: Эволюция и Ритмы Человечества». СПб: Норма, 2003, 260 с.; И.В. Андрианова, Р.Г. Баранцева, Л.И. Маневича «Асимптотическая математика и синергетика». М.: УРСС, 2004, 302 с.; М.А. Басина, И.И. Шиловича «Путь в Synergonet». СПб.: Норма, 2004.128 с.; Р.Г. Баранцева «Становление тринитарного мышления» М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2005, 124 с.; «История семиодинамики: документы, беседы, комментарии». М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2006, 376 с.
Работы Центра были поддержаны грантами РФФИ №№ 95-01-1582а, 96-06-80418а, 00-06-80077а (руководитель М.А.Басин) и РГНФ по совместным с белорусской стороной грантам №№ 00-03-36003а/Б, 03-03-00247а/Б (Руководитель с Российской стороны Р. Г. Баранцев)
В монографиях «Синергетика и Internet», «Синергетика. Эволюция и ритмы человечества», «Путь в Synergonet» были кратко изложены и апробированы основы методологии исследования сложных самоорганизующихся систем.
В настоящей монографии читателю предлагается более полное и подробное её изложение.
При создании методологии авторами использованы работы учёных, исследующих в рамках синергетической парадигмы основные свойства сложных природных и технических систем, в частности, учёных, принадлежащих к Санкт-Петербургской синергетической школе: Р.Г. Баранцева, И.И. Шиловича, Ю.К. Крылова, С.В. Харитонова и других участников семинара «Синергетика и методы науки» и сотрудников Научно-исследовательского центра «Синергетика».
Глава 1. Три языка Синергетики
1. Выделение объекта исследования. Создание его мысленного образа
Объектом исследования обычно является некоторая структура или система (совокупность связанных структур), которая может быть выделена из окружающей природы и в течение некоторого времени сохраняет собственную индивидуальность, то есть частичную или полную независимость от окружающей среды (поля).
Целостная структура может быть охарактеризована одним словом, названием объекта. Название объекта ассоциируется в человеческом мозгу с первоначальным образом объекта, сложившимся на основе визуальных, звуковых и других типов ощущений, связываемых в единое целое. При дальнейшем изложении до введения классификации волн, структур и систем мы будем рассматривать термины объект, структура, система как синонимы. При выделении объекта из природы мы составляем в мозгу его образ, даем ему имя и вводим два числа: единица и нуль, характеризующие соответственно существование и отсутствие объекта.
2. Использование трёх языков Синергетики
Тем самым, мы вводим в рассмотрение три языка синергетики и науки вообще:
а) язык образов,
б) язык слов,
в) язык математики.
Язык образов позволяет получить общее представление о красоте и разнообразии окружающего мира и о взаимодействии объектов между собой.
Язык слов помогает отметить очень важную особенность окружающей природы, позволяющую строить её научную картину, – существование объектов, во многих отношениях идентичных друг другу, которые могут быть названы одним словом.
Язык математики позволяет уже на первой стадии рассмотрения ввести логистическую математическую группу, описывающую отсутствие, рождение, существование и гибель исследуемого объекта.
3. Проведение лингвистического анализа
Название и, если это возможно, словесное определение объекта, позволяют включить в процесс исследования язык слов и тем самым подключить к анализу все те возможности изучения глубинных связей структуры или системы, которые существуют в человеческом языке, несущем в себе в символьном виде всю историю человечества. Переводы названия объекта на другие языки, отыскание близких по смыслу слов, позволяет построить поле слов и соответствующих им объектов, так или иначе связанных с изучаемой нами системой или структурой. При этом выявляются скрытые первоначально связи объектов и явлений.
4. Предварительная классификация процесса или объекта. Включение процесса (объекта) в систему квант-волна
Этот пункт исследования является наиболее важным на первом этапе изучения объекта, так как позволяет ввести масштабную (в обобщенном, не только геометрическом, смысле) иерархию, включающую в себя объект исследования. В основу этой классификации положен тот не до конца объясненный экспериментальный факт, который, по-видимому, является проявлением фундаментального закона существования волновых систем: большинство объектов или процессов не существуют в единственном числе, а образуют группы или классы идентичных или почти идентичных объектов или процессов.
Именно это свойство является, по нашему мнению, основанием, позволяющим человеку познавать окружающую природу, предсказывать будущее, в некоторой мере управлять будущими событиями и выживать в бурно меняющемся мире.
Структуры или процессы, входящие в совокупности идентичных или почти идентичных объектов, названы нами «квантами» (по аналогии с квантовой механикой), а совокупности идентичных или почти идентичных объектов – обобщенными волнами.
Любая сложная транспортно-информационная система, состоящая из большого количества элементов и имеющая в природе некоторое количество аналогов, может одновременно рассматриваться и как квант, и как обобщённая волна. По отношению к своим элементам – квантам, – она является обобщенной волной, а по отношению к совокупности систем, аналогичных данной, – квантом. Иерархия обобщённых волн-квантов может быть продолжена как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения масштабов. При этом каждый уровень иерархии может быть рассмотрен как волна и как квант, в зависимости от масштаба рассмотрения.
5. Словесная история объекта
Всякая сложная структура или система взаимодействует с окружающей средой (полем) и, трансформируясь в процессе этого взаимодействия, сохраняет те некоторые основные параметры (инварианты), которые позволяют считать её (и ей осознавать себя – в случае наличия у неё сознания) именно данной системой. Это свойство системы обычно называют целостностью.
Исследование сложных систем должно выполняться как историческое исследование, должна быть определена последовательность событий, в которых участвует данная система.
Первым этапом динамического исследования должна быть словесная история объекта, включающая в себя описание в хронологическом порядке наиболее существенных для данной системы событий. Такое описание может выполняться параллельно с другими методами исследования и развиваться по мере поступления новой информации.
Уже на первых этапах исследования язык слов позволяет нам качественно изучать качественно динамику системы как процесс, вводя в рассмотрение внешнее «абсолютное» время окружающей среды (поля) и внутреннее время изучаемого нами процесса (последовательности качественных изменений, происходящих в изучаемой системе).
Глава 2. Параметр целого
1. Выбор основной меры, характеризующей объект (параметра целого)
Этот творческий процесс обеспечивает переход от словесного описания к математическому. Любая целостная система, которая может быть описана одним словом, должна иметь определённую действительную скалярную меру – параметр целого, – изменение которого описывает процесс возникновения и развития системы. Выбор этого параметра с целью построения математической модели системы не является однозначным, так как сложные системы могут быть описаны большим (иногда бесконечным) числом координат. Удачный выбор параметра целого, характеризующего систему и соответствующий ей процесс, является следствием того мысленного образа изучаемого объекта, который сложился на предыдущих этапах исследований. Параметр целого должен быть выбран таким образом, чтобы он легко измерялся или вычислялся и характер зависимости его от времени был устойчив для ряда аналогичных систем (квантов).
На этом этапе нужно не точное знание о природе, а шарж, схватывающий характерные черты изучаемых объектов и процессов. Это связано с тем, что научные данные – это проверяемые опытом данные, то есть повторяющиеся с той или иной точностью. Чем более сложен объект научного исследования, тем больше в нем индивидуального, тем меньшее число частных особенностей предмета может быть научно исследовано на первом этапе. Если мы оставляем при исследовании сложного объекта лишь одну обобщенную координату (меру, параметр целого), то в качестве неё можно использовать величину, характеризующую объём многообразия координат, более детально описывающих систему. Это может быть действие, энергия, масса системы, энтропия или информация, реальный геометрический объем, количество входящих в неё подсистем, количество денег, прибыль, количество слов в языке и даже переменная возможность существования самой системы.
В ряде случаев можно принять за параметр целого изучаемого объекта число элементов – квантов, которые включены в объект как в обобщенную волну. Если каждый из них имеет свою меру или параметр целого и эти меры аддитивны, – суммарную меру всех квантов.
В этом случае введение параметра целого подразумевает значительное информационное сжатие, то есть идентификацию квантов, включённых в систему как в обобщённую волну.
Однако, параметр целого не полностью определяет динамику исследуемой структуры или системы. В действительности, в некоторых случаях отдельные части системы могут воздействовать на изменение этого параметра. Поэтому близкие по типу системы на одном и том же этапе развития могут иметь отличающиеся друг от друга значения этого параметра. Правильно выбранный параметр целого обычно является управляющим параметром системы, он изменяется более медленно, чем другие обобщённые координаты системы, и более устойчив к внешним возмущениям и к переходу от анализа одной системы к изучению другой.
В некоторых случаях параметр целого может характеризовать качество системы и различие в этих параметрах для сравниваемых систем определяет превосходство одной системы над аналогичной.
2. Простейшая форма математического описания объекта. Рождение и разрушение объекта
Простейший вид описания состоит в представлении динамики объекта в виде двух чисел 0 и 1, где 0 соответствует отсутствию объекта, а 1 – его существованию.
Введём групповое умножение.
0*1=0 – ликвидация объекта.
1*0=0 – подтверждение отсутствия объекта.
0*0= 1 – рождение объекта.
1*1=1 – подтверждение существования объекта.
{0,1} – коммутативная группа, описывающая существование объекта.
На этом уровне изучения уже можно построить одномерное фазовое пространство, в котором фазовая траектория описывается в виде двух направленных отрезков прямых, отрезка {0,1} и отрезка {1,0}.
Если взаимно однозначно отобразить группу {0,1} на группу {-1,1}, являющуюся группой зеркальной симметрии, то устанавливается соответствие между существованием и отсутствием объекта с его тождественностью самому себе и зеркальным отображением.
Всякий реальный объект должен иметь начало и конец во внешнем времени, а следовательно, некоторый период существования. Предположим, что до момента t1, объекта не существовало. Параметр целого данного объекта равнялся нулю. В момент t1, произошло рождение объекта, который просуществовал до момента времени t2, после которого он исчез. Такое простейшее эволюционное рассмотрение позволяет ввести ряд математических понятий.
1. Момент рождения объекта t1.
2. Момент исчезновения – разрушения объекта или его превращения в новый объект t2.
3. Срок жизни объекта dt = t2 – t1.
Если рассмотреть множество идентичных структур (квантов) – обобщённую волну, – то подобный подход позволяет нам вводить в рассмотрение определённые типы распределений, связанные с числом структур, их моментами рождения и гибели и длительностью их существования.
Предположение о конечности времени существования реальных объектов ставит следующие вопросы:
Что такое рождение структуры (системы)?
Что такое разрушение структуры (системы)?
При первичном (простейшем) рассмотрении можно считать, что структура рождается и исчезает мгновенно. В этом случае можно осуществить простейшее графическое, описание динамики объекта в виде графика зависимости параметра целого от времени. Этот график представляет собой три отрезка горизонтальных прямых:
– бесконечность < t <= t1, μ = 0
t1 < t < t2, μ = 1
t2 <= t < бесконечность, μ = 0
(Здесь, как и ниже, для параметра целого, описывающего структуру, введено обозначение μ.).
В моменты возникновения и разрушения структур в природе должны происходить качественные изменения (ведь рождается или исчезает) нечто новое).
Большинство существующих научных теорий описывает взаимодействие уже существующих структур. Проблема же их возникновения и разрушения не имеет в настоящее время полного решения.
Однако, при первичном исследовании конкретного объекта целесообразно начинать с рассмотрения именно этого вопроса, тем более, что во многих случаях эго решение представляет наибольший практический интерес.
В простейшем рассмотрении мы считали, что рождение и исчезновение структуры происходят мгновенно. Это достаточно сильное допущение, хотя во многих случаях мы действительно наблюдаем очень быстрое формирование новых структур и разрушение старых. В человеческом языке существуют такие слова, как катастрофа, кризис, взрыв, революция, рождение, разрушение, удар и т. д. Однако в любом случае рождение и разрушение структур – это процесс, имеющий ту или иную протяжённость во времени.
В некоторых случаях процесс формирования структур может оказаться длительным. Тогда вместо мгновенного формирования структуры и мгновенного её разрушения необходимо ввести конечные периоды её возникновения и разрушения. Это вполне естественное допущение влечёт за собой ряд следствий.
Первое следствие состоит в том, что возникает вопрос, а что же происходит со структурой в эти периоды, существует она или нет? Ответ на этот вопрос совсем не тривиален. По-видимому, в периоды рождения и разрушения про структуру нельзя с полной определённостью сказать ни то, что она существует, ни то, что её нет. Параметр целого структуры, изменяясь, принимает значения, промежуточные между нулём и единицей.
Если считать процесс формирования структуры непрерывным, то горизонтальные прямые вблизи точек ({ и <г можно соединить плавной кривой.
В период рождения уже нельзя сказать, что структура не существует, но ещё нельзя сказать, что структура полностью оформлена. На этом уровне рассмотрения попытка интерпретации введенного нами параметра оказывается не вполне корректной. По-видимому, такая интерпретация должна быть сделана в каждом частном случае отдельно с учетом эмпирических данных и «физического смысла», который должен вкладываться в понятие параметра целого, описывающего структуру.
Укажем путь возможного решения этой задачи с другой стороны. Мера, характеризующая произвольную структуру, может быть получена как объём многообразия, формирующегося обобщёнными координатами, которые характеризуют структуру при более детальном описании. Этот объём может меняться со временем. Если структуры нет, то мера равна нулю. В процессе существования (функционирования) структуры существует какой-то промежуток времени, когда многообразие, описывающее структуру, имеет максимальный объём. Если объём многообразия, описывающего структуру в любой момент времени, поделить на его максимальное значение, то получим в наиболее естественном случае кривую, которую мы построили ранее из других соображений и форму которой ищем.
В случае, если изучаемая структура в течение длительного времени остаётся стабильной и сохраняет фазовый объём соответствующего ей многообразия, а в периоды возникновения и разрушения резко его изменяет, то её параметр целого может быть отождествлен с объёмом многообразия, её описывающего.
Можно рассматривать несколько способов рождения новых структур.
а) Появление новой структуры (обобщённой волны) вследствие объединения или самоорганизации структур более низкого уровня иерархии, имеющих меньший объём или размерность описывающих их многообразий (квантов).
б) Появление новых структур в результате деления структуры на две и более частей.
в) Появление новой структуры вследствие потери устойчивости структуры, существовавшей до её образования.
г) Рождение новой структуры в результате слияния двух родственных структур с возможным переходом затем к многократному использованию второго способа.
д) Рождение новой структуры или волны путем излучения структур более высоких классов.
е) В качестве отдельного способа может рассматриваться целенаправленное формирование новых структур структурами более высокого класса (творчество).
Описанные способы приводят к необходимости анализа процесса формирования новых структур как бифуркационного изменения старых, уже существовавших ранее систем и структур. Тем самым, процесс появления и разрушения структур включается в цепочку превращений одних структур в другие. Таким образом, можно проследить не только время существования той или иной структуры, но и построить граф появления, существования и разрушения структур, проанализировав при этом не только внешние связи структуры с окружающей средой: полем, – но и генетическую связь структур. Многие структуры после появления начинают изменять значения своих основных обобщённых координат. В качестве примеров можно привести:
а) рост амплитуды волны при приближении её к берегу;
б) рост парового пузырька или паровой каверны при увеличении скорости движения тела;
в) рост кристаллов в растворе;
г) рост атомного гриба;
д) рост биологической клетки после деления;
е) рост живого организма;
ё) рост числа научных исследований в новой отрасли знаний;
ж) рост количества людей.
Таким образом, вновь сформировавшаяся структура может после своего появления в течение некоторого промежутка времени интенсивно увеличивать объём описывающего её многообразия, а следовательно и параметра целого, пока не выйдет на некоторое стационарное состояние. Процессы такого бурного (или не очень бурного) роста могут сильно отличаться друг от друга, однако во многих случаях они обладают некоторыми общими особенностями. Эти особенности могут быть исследованы эмпирически и описаны математическими уравнениями.
3. Эмпирический анализ двумерного фазового пространства, описываемого выбранным параметром целого и скоростью его изменения или некоторым итерационным процессом
Если параметр целого выбран, то на основании эмпирических данных может быть построена для данной системы или для серии систем, аналогичных данной, зависимость параметра целого, характеризующего систему, от времени. Эта зависимость может быть дискретной, когда для некоторых моментов времени определяется выбранный параметр, или непрерывной, в этом случае при помощи специальных приборов осуществляется непрерывная запись некоторых величин, которые затем могут быть использованы для вычисления параметра целого.
Наиболее реалистичными являются непрерывная запись или дискретное определение параметра в конкретные моменты времени с последующей аппроксимацией полученных данных в виде непрерывных функций от времени.
В этом случае вместо зависимости параметра от времени может быть построена более информативная картина двумерной фазовой плоскости, по оси абсцисс которой отложен выбранный параметр, а по оси ординат – его производная по времени. Для автономных систем, то есть систем, динамика которых слабо зависит или вовсе не зависит от параметров поля, такой график может оказаться универсальным, не зависящим от начальной точки отсчёта во внешнем времени.
Здесь проявляется интуиция – параметр целого должен быть выбран таким образом, чтобы характер его изменения для автономных систем был универсальным, то есть, чтобы зависимость его изменения от времени для данной системы и её аналогов не зависела от внешних условий. Однако, любая сложная система может считаться автономной лишь приближённо.
4. Разработка одномерной математической модели динамики объекта в рамках выбранного параметра целого
Если выбран один параметр, интегрально определяющий меру структуры, то можно построить простейшие математические модели, приближенно описывающие процесс формирования, роста структуры и выхода её на тот или иной стабильный режим, а также процесс её разрушения или превращения в качественно новую структуру.
Для параметра целого, описывающего структуру, как и ранее, введем обозначение μ. Рассмотрим два типа аппроксимации – итерационный и непрерывный.
Итерационный способ аппроксимации состоит в выражении последующего измеренного состояния системы через предыдущие μp= F(…., μp-1,μp-k, t).
Особо следует выделить системы, которые могут принимать конечное число состояний. Динамика таких систем оказывается во многом эквивалентной динамике орбит конечных математических полугрупп или групп. Наиболее известным представителем таких систем является современный компьютер, который может быть непосредственно использован для моделирования их динамики.
Практически неограниченное развитие компьютерной техники и области её использования свидетельствует о существовании широкой сферы применения дискретных математических моделей с большим, но конечным числом возможных состояний, то есть значений параметра целого для достаточно подробного описания природных и техногенных процессов.
Фазовое пространство при детерминированном итерационном процессе может быть построено следующим образом. По оси абсцисс откладывается μp-1, а по оси ординат μp. Точка на соответствующей фазовой плоскости соответствует отображению. Для систем с конечным числом состояний количество точек конечно и равно числу состояний.
Любой динамический процесс такого типа в пределе выходит на стационарную точку, μp = μp-1, или на циклическую траекторию μp = μp-к, где к можно считать периодом цикла.
В пределе очень большого числа состояний область изменения параметра целого может быть аппроксимирована континуумом. В этом случае количество типов траекторий становится значительно больше, чем при дискретном задании. Именно здесь появляются странные аттракторы.
Значительный практический интерес представляет использование аппроксимирующих функций, имеющих разрывы функций и их производных в конечном числе точек. В этом случае особые точки отображений и аттракторы приобретают дополнительные особенности.
В случае гладкой зависимости параметра целого от времени динамика его изменения может быть описана дифференциальным уравнением dμ/df = f(μ, t), где f(μ,t) – заданная гладкая функция.
Решение и качественный анализ этого уравнения позволяют не только приближенно описывать динамику структуры, но и в какой-то степени предсказывать её будущее. Если структура или система развивается по внутренним законам (воздействие внешней среды (поля) на неё пренебрежимо мало либо носит стационарный характер), то для её описания может быть использовано автономное дифференциальное уравнение dμ/df = f(μ).
