Текст книги "Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней"

Автор книги: Эрик Белл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 25 страниц) [доступный отрывок для чтения: 11 страниц]

Написанный спустя не менее пятидесяти лет после гибели Пифагора, насколько этот конспект заслуживает доверия как первоисточник? Схожий вопрос можно задать в отношении наших Евангелий, ведь, как утверждают некоторые критики, они были записаны не раньше семидесяти или восьмидесяти лет после распятия. В целом, как кажется, мы не сильно собьемся с пути, если отдадим должное Пифагору и его ученикам, как сделал это Платон.

Ссылаясь на труды Платона о науке Пифагора, пренебрегая хронологическим порядком, оказываемся на его месте, когда он сам пришел к этериализации нумерологии Пифагора, чтобы разглядеть ее «неуклонно и в полном объеме», такой, как она есть.

Будет показано, что материальные вещи суть числа. При доказательстве (нумерологическом, конечно), что животные есть числа, приведем пример доисторического искусства. Число любого животного, или любого вида животных, таких как «человек» или «лошадь», определяется унифицированной анатомической арифметикой. Схематичное изображение, скажем человека, нарисовано на песке. У человека, безусловно, есть отличительные признаки: две руки, две ноги, одна голова, одно сердце и т. д. На частях диаграммы поместим гальку, по одной на часть тела. Общее количество булыжников и есть требуемое число. Кстати, это пример подсчета в первоначальном значении слова, поскольку латинское слово calculus, счет, означает «галька».

Недавнее (1942) наблюдение английского натуралиста, сделанное в Индии, свидетельствует о более раннем схематичном представлении о строении человека. Согласно данным указанного обозревателя, начало этого искусства уходит корнями в дочеловеческие времена. Оказывается, еще обезьяны, наводнявшие конкретную индийскую деревню, избрали плоскую вершину холма поблизости для своей культурной деятельности: подвижных игр, ухаживаний и отдыха. Время от времени одна из шаловливых обезьян предпочитала неожиданно прерывать свои танцы, второпях опускаться на корточки, сильно упирать свою левую руку в песок и палочкой, зажатой в правой руке, как карандаш у чертежника, быстро проводила линию вокруг отпечатка левой руки. Затем, очевидно опасаясь, что делает что-то противоестественное, художница вскакивала и убегала на ближайшее дерево. После чего остальные обезьяны собирались вокруг творения, рассматривая его с трепетным восхищением. Это настоящая рука или это абстрактное изображение всех рук, универсальная Рука в сфере Божественных помыслов? Подобно нам, они не могли постичь увиденное. Они возвращались к своим обыденным занятиям.

Посередине между камнесчетом живых существ и более серьезной полугеометрической нумерологией четырех элементов расположена еще одна система счета Пифагора, значительная часть которой вошла в немистическую высшую арифметику наших дней. Она нашла отражение в истории о купце, которого Пифагор спросил, умеет ли тот считать. Получив утвердительный ответ, Пифагор попросил продолжить.

– Один, два, три, четыре… – начал купец. Тут Пифагор закричал: – Стоп! То, что вы называете четыре, на самом деле то, что вам следует назвать десять. Четвертое по порядку число не четыре, а декада, наш тетраксис и священная клятва, которой мы клянемся.

Чтобы удовлетворить Пифагора, купцу пришлось считать (в наших цифрах) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36… Это так называемые треугольные числа; когда их представляют в виде гальки, они образуют равносторонние треугольники. Пифагор располагал эти числа следующим образом:

и далее в том же роде.

Следующие, 15, формируются выкладыванием вдоль 10-го треугольника, вдоль любой из его сторон, дополнительной гальки в количестве 5 штук, следующее число 21 соответственно добавлением 6 камешков, за ним добавляют 7, потом 8, далее 9 и т. д.

Квадраты целого числа – те же камешки гальки, выложенные по тем же правилам, где 9 получается из 4 выкладыванием камешков вдоль двух прилежащих сторон 4, а 16 выкладыванием вдоль 9. Следующее число 25 получается из 16 и так далее до бесконечности. Таким же образом – любая другая прямоугольная фигура на плоскости (все стороны равны, и все углы равны) устанавливает рамки для выкладывания гальки по классам так называемых многоугольных чисел: пятиугольное число, шестиугольное число, семиугольное число, восьмиугольное число и так далее насколько пожелаете.

Эта связь между правильными геометрическими фигурами и соответствующими последовательными рядами чисел имела важное значение для пифагорейцев, а после них для платонистов, отчасти из-за очевидного единения космической симметрии с числами, а отчасти из-за тетрад и декад, проявлявшихся неожиданно в различных обликах. Были и так называемые продолговатые числа, соответствующие камешкам гальки, разложенным в виде прямоугольника со стороной отличной от предыдущей на 1 камешек, например: 30 = 5 × 6. Когда Пифагор обратил внимание на то, что продолговатое число равно двойному треугольному числу, как в случае с 30 = 2 × 15, он испытал безграничный душевный подъем.

Ободренный видимым успехом с плоскими фигурами, Пифагор отважно ввязался в рискованное предприятие с геометрическими телами. В воображаемом пространстве он успешно выложил из гальки кубические числа 1, 8, 27, 64, 125… унифицированным способом, который может быть оставлен гениальному читателю, желающему открыть его вновь. И тут он застрял, потому что космос для него, как и для всех остальных греческих нумерологов и геометров, имел только три измерения. Они могли себе представить результат умножения трех чисел как объем твердого тела. Так, 3 × 4 × 10 = 120 есть объем короба со сторонами 3, 4, 10. Но умножение типа 3 × 4 × 10 × 12 сбивало их с толку в их геометрической арифметике, поскольку выражение «умножить четыре линии» лишало само действие смысла в трехмерном пространстве. Подобные искусственные барьеры просто исчезли, когда алгебра заняла место геометрии в качестве языка чисел. Но треугольные и прочие многоугольные числа пифагорейцев, а также кубические выжили, по меньшей мере как названия в современной теории чисел. Продолговатые числа исчезли из словаря давным-давно.

Наиболее значимой деталью для всей пифагорейской науки было четвертое из треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21… Да, 10 или декада. Но при этом и треугольник, а потому – священный тетрасис. Поскольку, согласно Пифагору, все числа находятся внутри декад, становится ясно, почему десять было совершенством для остальных чисел и, согласно Платону, исконным образцом для вселенной. Становится понятен и краеугольный камень обобщений Платона, что мир создан из треугольников. Это будет подтверждено, когда 4 элемента произойдут от 4-го члена последовательности треугольных чисел, конкретно из треугольных декад. Неудивительно, что братство пифагорейцев превратило 10, действительно 4-й треугольник, в свою клятву и свой наиболее жестко охраняемый секрет. Тот, кто дал клятву на тетрасисе и нарушил ее, предавался анафеме, поскольку он предал космос, частью которого был сам, греки бы сказали пропорцией или дробью.

Хотя может показаться занимательным распутывать всю замысловатую нумерологию (в изложении Платона, в частности в «Тимее») создания и структуры материального мира, но нет необходимости это делать, чтобы понять суть идеи пифагорейской химии, физики и космогонии. Вполне вероятно, окажется достаточно уже представленных материалов, чтобы оценить ее возможности в столь типичном отрывке: «Итак, то, что было создано, обязательно телесно, а также видимо и осязаемо. Ничего не видно там, где нет огня, и осязаемое не телесно без земли. По этой причине божественное в начале создания сотворило тело мироздания из огня и земли. Но две вещи не могут существовать без третьей, у них должно быть связующее звено. Ныне прекрасная связь – это та, которая наиболее полно объединяет связанные вещи. Пропорции хорошо подобраны для поддержания этой связи. Всякий раз среди трех чисел, какой бы телесной или иной другой она ни оказалась, не имеет значения, потому что среднее значение есть последнее условие, поскольку на первом плане – среднее значение, а когда значение есть наипервейшее условие, то и последнее условие приобретает среднее значение, и оно становится и первым, и последним, а первое и последнее становятся значимыми, все вещи по необходимости приходят к одному знаменателю, поскольку они едины и стремятся слиться воедино».

Нет сомнений, что это список с утерянной «библии» Пифагора от Филолая, поскольку это чистейший пифагореизм. Чтобы понять, о чем идет речь, следует воспользоваться помощью перевода с запутанного языка на более простой эквивалент в терминах простейшей арифметики. В действительности отрывок относится к банальным конкретным свойствам банальных дробей. До некоторой степени запутанная арифметика нам понятна. Но она была совсем не так понятна пифагорейцам V века до н. э. или даже греческим математикам времен Платона, никто из которых не владел умением толково записывать дроби. Смешно, но для гимназиста XVIII века этот невразумительный отрывок яснее, чем для выпускника колледжа наших дней.

За исключением старомодных учебников, редко встретишь «соотношения» и «пропорции» в современных научных трудах. «Соотношение» числа m к числу n записывается как m/n или . Если соотношение m: n равно соотношению r: s, в античные времена записали бы m:: n:: r: s; а в наши дни  или m/n = r/s. Даже использование старой манеры записи понять много легче, чем то, что использовали пифагорейцы и их греческие последователи. Они не имели столь выразительных математических символов, как у нас, а все описывали словами, как в предыдущем отрывке у Платона. «Существенными деталями являются «пропорция» и «среднее значение».

Четыре числа, скажем m, n, r, s, связаны «пропорцией», где первое соотносится со вторым, как третье с четвертым, или на языке дробей, где дробь m: n равна дроби r: s. Следовательно, m, n, r, s состоят «в отношении», если m: n:: r: s в нашем простом примере, , есть «условия» «пропорции».

Возникает множество специальных случаев. Такие, как средние значения n, r, равны и, следовательно, r = n и m: n:: n: s, которые были очень важны для пифагорейцев, а также для греческих геометров. В этом случае n именовалось «средним геометрическим значением» между экстремальными точками n, s «среднего пропорционального значения» для n, s. Переводя все на понятный язык дробей, имеем , и, таким образом, как известно ученику начальной школы («освобождаемся от дробей»), m × s = n × n, в элементарной алгебре ms = n².

Следовательно, «среднее геометрическое значение» (n) двух чисел (m, s) есть корень квадратный () от их результата (ms). Арифметика в тексте Платона означала именно это. Из «пропорции»  незамедлительно следует, что  (если обе дроби равны, результатом деления будет 1, поскольку каждая из них также равна). Это как раз то, что он говорит: m: n:: n: s, – из чего следует, что n: m:: s: n, где «среднее значение» n в первоначальной «пропорции» становится как первым, так и последним вторым числом, а первое и последнее m, s в первоначальной пропорции становятся «средними значениями» в «пропорции», вытекающей из первоначальной. Таким образом, элементарная арифметика у Платона в порядке.

Чтобы разобраться в других замаскированных арифметических расчетах философии Платона, надо вспомнить следующие дефиниции.

В последовательности чисел

1, 5, 9, 13, 17, 21

шаг между числами остается прежним – 4. Числа формируют «арифметическую прогрессию» с первым членом 1 и «разностью арифметической прогрессии» 4. Арифметическая прогрессия с начальным членом 6 и разностью 5 следующая:

6, 11, 16, 21, 26, 31…

Бросается в глаза, что 16 = ¹/₂ (11 + 21), 21 = ¹/₂ (16 + 26) и так далее, где каждое последующее число после первого есть половина суммы от своих правого и левого соседей. По этой причине каждое число после первого называется «средним арифметическим значением» непосредственно предшествующего числа и непосредственно последующего.

Теперь, допустим, мы делим 1 на каждое число в данной арифметической прогрессии, скажем второй сверху:

¹/6, ¹/₁₁, ¹/₁₆, ¹/₂₁, ¹/₂₆, ¹/₃₁…

Полученная последовательность чисел называется «гармонической прогрессией», где каждое число после первого является «гармоническим средним значением» своих непосредственных соседей. В качестве примера одна из последовательностей

³/4, 1, ⁵/₄, ³/₂, ⁷/₄, 2, ⁹/₄…

⁴/3, 1, ⁴/₅, ²/₃, ⁴/₇, ¹/₂, ⁴/₉…

арифметическая прогрессия, а вторая – «гармоническая прогрессия».

Третьим и последним видом прогрессии, постоянно упоминающимся Платоном, является «геометрическая», в которой каждое число после первого получается путем умножения предыдущего числа на постоянный множитель. Например:

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192…

является геометрической прогрессией с первым числом 3 и множителем, или общим коэффициентом, 2. «Среднее геометрическое значение» 6 и 24 есть число 12, расположенное между ними, среднее геометрическое значение 48 и 192 есть 96 и т. д.

Несложные алгебраические преобразования продемонстрируют, что если A, H, G соответственно арифметическое, «гармоническое» и геометрическое средние значения чисел M, N, тогда

Еще чуть-чуть, и становится очевиден простой факт, который обрадовал и ввел в заблуждение древних нумерологов, включая Платона, ведь получается, что G есть среднее геометрическое значение для A and H. В целом, похоже, греческим философам повезло, что они не знали алгебры. Теперь вся элементарная и замаскированная алгебра Платона стала настолько банальной для современных школьников, что любой математик обязан восхититься упрямой изобретательностью, которая впервые задумалась над этим пусть и устно, без математических символов любого рода. Выражение, что A/G = G/H, или A: G:: G: H, было названо пифагорейцами «совершенной пропорцией». Говорят, что его принес Пифагор в Кротон из Вавилона. Любой математик с достаточно развитым воображением в состоянии лишить себя на мгновение всей накопленной техники и задуматься над риторической арифметикой VI века до н. э. и согласиться с братством пифагорейцев, что «совершенная пропорция» не могла быть изобретением человека, а только творением лично Великого арифметика вселенной.

«Гармоническая прогрессия» и среднее «гармоническое значение», не выраженное явно в важном открытии, является результатом нумерологического выражения закона музыкальных интервалов, который вдохновил Пифагора на его изречение «Все сущее есть число». Он и его ученики искали музыку и гармонию в четырех элементах всех материальных вещей и небесных тел. То, что они нашли искомое, не столь удивительно, когда мы вспомним, что вся гармония, весь космос, все предметы и все тела, небесные и земные, вписаны в декады, которые в основе всего. После того как Платон изложил теорию, продолжив по окончании доказательства, что все есть единица, а следовательно – божество: «Если теперь рамки вселенной были созданы просто как поверхность без глубины, единица приобрела значение достаточное, чтобы объединить ее с другими условиями. Но поскольку мир должен быть тверд, а твердые тела всегда плотные, и не по одной причине, а по двум, бог дал воду и воздух как среднее значение между огнем и землей и, насколько это возможно, заставил их придерживаться пропорции, поскольку огонь нужен воздуху, воздух нужен воде, а если воздух нужен воде, то вода нужна земле. Так он создал и объединил видимые и осязаемые небеса. Вне четырех элементов он расположил тела во Вселенной в совершенной гармонии и пропорции (совершенной пропорции). Будучи, таким образом, наделенным духом дружбы, в полном единении с самим собой, космос стал неразрушимым для любой другой руки, кроме руки творца».

Не вдаваясь в детали этого конкретного утверждения об основных принципах, отметим, что «дух дружбы» относится к любопытным особенностям конкретных пар чисел, открытых пифагорейцами. Если каждое из чисел m, n равно сумме делителей эфира, то т, п называются «дружественной парой чисел», а m, n становятся «дружескими», или «дружественными», числами. Что касается делителей «совершенных чисел», само число не рассматривается как делитель. Наименьшие «дружественные числа» – это 220 и 284. Пифагорейцы рассматривали этот близкий союз между «дружественными числами» как концентрированное выражение дружбы и глубоко спрятанную душу гармонии.

Платон подвел итог своему рассказу о создании мироздания абсолютно нумерологическим отрывком, в котором показал, что бог одарил мир любовью к универсальному Животному, «содержащему в себе всех других животных». Доказательство, что это Мировое Животное не знает смерти и разложения, как у других животных, включая человека в его бренном теле, было невразумительно даже для нумерологии. Цитируемая часть, однако, представляет глубокий научный интерес, при этом науку следует понимать в духе пифагорейцев. Двух-трех комментариев хватит для ясного понимания. Следующий текст – просто краткий курс пифагорейской космогонии и космологии.

Правильное твердое тело – это тело, стороны которого составляют правильные многоугольники, одинаковые по размеру и форме. Если быть точным, пять правильных тел возможны и могут быть построены в нашем трехмерном пространстве (Евклида). Первое – это тетраэдр, у которого четыре равносторонних треугольника составляют стороны, второе – куб, или шестигранник, у которого шесть квадратов составляют стороны, третье – восьмигранник, где восемь равносторонних треугольников составляют стороны, четвертое – двенадцатигранник, у которого двенадцать правильных пятиугольников составляют стороны, и пятое – это двадцатигранник, у которого двадцать равносторонних треугольников составляют стороны. Четырехгранник, шестигранник, восьмигранник, двадцатигранник, но не двенадцатигранник были известны Пифагору. И когда ранние пифагорейцы ошибочно предположили, что возможно создание и существование только четырех правильных тел (очень скоро Платон докажет существование пяти), это вдохновило их на доказательство, что все четыре соответствуют четырем базовым элементам материальных тел.

В качестве умозрительного предположения, которое они приложили к своей космической нумерологии, они представили свой постулат, что четыре элемента: огонь, воздух, земля и вода – соответственно есть четырехгранник, восьмигранник, шестигранник (или куб) и двадцатигранник. Гранями у всех фигур, кроме шестигранника, являются треугольники. Этот недостаток был легко преодолен путем деления каждой грани куба на два треугольника простым проведением диагонали по площади. Таким образом, как отмечает Платон в «Тимее», речь теперь шла только о треугольниках. Числа, соответствующие треугольникам, олицетворявшим элементы, стали 4, 8, 12, 20. Затем эти числа, коль нумерология настаивала на том, могли быть использованы как числа, которые «олицетворяли» элементы: огонь, воздух, землю и воду – соответственно.

«Неотъемлемая треугольность» материи невольно идентифицировалась с магическим числом 3, наводила на мысль, что 4, 8, 12, 20 будут соответствовать высшему достоинству в нумерологии химии Пифагора. Но не исключались и другие возможности, поскольку допускалось, что результирующие числа способны каким-то образом быть прилажены к четырем базовым элементам, известным пифагорейцам, когда они в некоторой степени в предварительном порядке объявили о своей теории элементов. Позволяя себе разумную свободу, можно легко проверить нумерологию Платона, согласно которой «бог создал воду и воздух как средние значения между огнем и землей».

Но если цель состоит в том, чтобы доказать базовую теорему, что все значимое есть треугольник, можно это сделать более элегантно и более удобно (для хорошего нумеролога) посредством следующих 6 пропорций, где F, A, E, W являются соответственно огнем (четырехугольник, 4), воздухом (восьмигранник, 8), землей (шестигранник, 12), водой (двадцатигранник, 20)

F: A:: 3: 6, A: E:: 10: 15,

F: E:: 1: 3, A: W:: 6: 15,

F: W:: 3: 15, E: W:: 6: 10.

Числа, появившиеся в этих мистических пропорциях, следующие: 1, 3, 6, 10, 15. Но это же первые пять треугольных чисел, которые сами по себе треугольники. Поскольку существует точно 5 правильных тел и точно 6 необходимых пропорций продемонстрированного вида и поскольку 6 были представлены, то следует, что допущение справедливо, как объявил Платон, потому что число 6 совершенно. Этим заканчивается доказательство, которое само по себе совершенно, так как состоит из 6 пропорций. Насколько известно, это красивое доказательство не пришло в голову пифагорейцам и их последователям.

Теперь задумаемся, что могло заставить пифагорейцев прежде всего заняться идентификацией четырех элементов Эмпедокла с четырьмя правильными фигурами, известными им? Существует множество ответов, еще больше ответов можно себе представить. К сожалению, оставив без внимания древние ответы на эту знаменитую головоломку, процитируем одного мудреца-астронома, математика и нумеролога много более поздних времен. Йоган Кеплер, живший в 1571–1630 годах, ставший бессмертным астрономом за три закона движения планет по своим орбитам. Опираясь на законы Кеплера (вполне успешно), Ньютон открыл свой закон всемирного тяготения. Последствие слишком известно, чтобы его пересказывать в данной работе. Но интересный факт: всего семьдесят лет разделяют законы Кеплера и законы Ньютона. Первый из идолов науки был явным нумерологом, в то время как второй, построивший свое достижение на надежном основании, заложенном первым, сообразно складу ума и характера был не способен признать хоть что-либо из нумерологии. В этом плане нумерология и теология схожи: незаурядные человеческие способности проявляются независимо от того, верит или не верит он, верит в одно или в другое. Некоторые из ведущих научных нумерологов XX века известны в науке не меньше своих оппонентов, которые презирали всякое проявление мистики чисел.

Решение проблемы элементов у Кеплера было гениальным и обворожительным. Среди всех правильных фигур четырехугольник имеет наименьшую величину площади поверхности, в то время как двадцатигранник наибольшую. Но этот показатель величины площади был разновидностью показателей сухости и влажности соответственно. Поскольку огонь – самый сухой из четырех элементов, а вода – самый мокрый, тогда четырехугольник – это символ огня, а двадцатиугольник – символ воды. Чтобы облегчить восприятие, Кеплер украсил рисунок четырехугольника изображением костра, а двадцатиугольника – раком с абстрактной рыбой. Очевидно, согласно Кеплеру, земля – это куб. Если, с позволения сказать, любой материальный предмет на планете Земля может расположиться более уверенно на четырехугольном основании, чем куб, даже Бог не ведает, что бы это могло быть. Кеплер украсил свой земной куб морковкой, деревом и различными садовыми растениями. Нумерологически и физически противоположностью сверх-устойчивому кубу является неустойчивый восьмигранник. Если это тело слегка придерживать за две противоположные вершины указательным пальцем и большим пальцем руки и щелкнуть его, он начнет вращаться, как волчок. Это обращение к опыту призвано доказать, что восьмигранник нестабилен, как воздух. Профессиональные знания подтвердили – это воздух. Это материальное тело было разрисовано облаками и летающими птицами. Последним оказался двенадцатигранник – крепостной химии Пифагора, со своими двенадцатью пятиконечными гранями. Он не мог стать одним из четырех элементов, поскольку они были уже приписаны к многогранникам. Чем же, черт возьми, его можно представить? Явно нечем. Он должен стать, как осознал Платон задолго до Кеплера, «небесным объектом». Но знаки зодиака символизируют чистые небеса. Поскольку знаков зодиака двенадцать, а у додекаэдра двенадцать граней, пусть двенадцатигранник символизирует вселенную. Графическое изображение тела было украшено изображениями солнца, луны и звезд.

Небесный додекаэдр был величайшей головной болью для пифагорейцев, как и проявление дисгармонии с квадратным корнем из двух, которое не является рациональным числом. Их доказательство, что элементов всего четыре и они правильные тела, было практически завершено, когда появился пятый правильный элемент – двенадцатигранник. Он оказался наименее желанным. Гипас, один из членов братства, как говорят, представил новое тело своим коллегам, принявшим новость достаточно холодно. Одна из легенд утверждает, что Гипас был брошен в лодку без парусов, весел и руля, дабы наказать за его самонадеянное утверждение, что это страшное открытие совершил он сам, а не учитель. Другая легенда гласит, что Пифагор

был настолько смущен появлением двенадцатигранника, что приказал убить первооткрывателя, тело которого зашили в мешок и сбросили в море на скалы. (Вся хронология в легендах искажена.) Но двенадцатиугольник нельзя было спрятать, и братство приняло меры, чтобы извлечь из ситуации максимальную выгоду. Чтобы объяснить, как, к своей радости, они додумались, что он все же встраивается в их нумерологию вселенной настолько удачно, насколько ключ подходит к замку, следует проанализировать знаменитый труд Платона «Брачное число». Но он слишком запутан и усложнен загадками, чтобы вскользь разбираться в нем. Достаточно сказать, что двенадцатиугольник, вместо разрушения нумерологии четырех элементов Пифагора, блестяще подтвердил ее в мелочах и раскрыл гармонию, о которой даже не догадывались, Гармонию необыкновенной красоты в имеющихся в изобилии тетрадах, огромных тетрасисах и все созидающих монадах.

Упоминание Платона о неудобном двенадцатиугольнике так поэтично, как и его «толкование» четырех «элементных» тел. «Пятое тело, – пишет он, – было использовано, чтобы украсить небеса с плеядами». Додекаэдр поэтому не стал элементом сущего, а только неуловимым «воплощением», «пятой сущностью» всех элементов и сутью вселенной. За дальнейшими деталями следует еще раз обратиться к «Тимею».

Чтобы вернуться на момент на Землю прежде, чем покинуть элементы навсегда, запомним деталь доказательства пифагорейцев, что земля есть куб, что, кстати, вошло в нашу повседневную речь. Земля есть «квадрат». Почему? Потому что у нее четыре кардинальные точки, и линия, соединяющая север и юг, пересекает линию, соединяющую восток и запад под прямым углом, опять квадратный феномен, и поэтому справедливо, поскольку 4 есть божественная справедливость Единицы.

Покидая Землю и все ее элементы, последуем за Пифагором в более высокие сферы небесных тел, чтобы приобщиться вместе с ним к части той небесной гармонии «музыки сфер», которая подбадривала Кеплера в самые мрачные часы бедности, домашней трагедии, травли и двадцати одного года подавления, когда он считал, считал, считал, чтобы открыть законы планетарных орбит. Только пифагорейская уверенность в гармонии чисел во вселенной поддерживала его в перемалывании монотонной работы и подгоняла от одного разочарования к другому, пока наконец он не превзошел свои самые амбициозные надежды. Если нумерология доставляла удовольствие Кеплеру, ее стоит простить за любые шалости, что она с ним себе позволяла, пользуясь его упрямым легковерием.

Увидев раз, как закон музыкальных интервалов вдохновил Пифагора на философию чисел, следует посмотреть его глазами на полученную в результате музыку божественных декад. К своей радости по этому поводу, Пифагор открыл, что тетрады 1, 2, 3, 4 как таковые содержат небесную гармонию. Что до «октав» в нотах, то справедливо соотношение ²/₁ с их «пятой» в соотношении ³/₂ и с их «четвертой» в соотношении ⁴/₃. Эти базовые, установленные опытным путем факты гармонии были открыты (возможно) передвижением клина монохорда и подергиванием различных долей струн.

Пифагорейцы, а после них Платон вывели из элементарной акустики: вселенная одушевленная и небеса с планетами и «зафиксированными» на сфере звездами есть число и гармония. Одной детали доказательства вполне достаточно для примера. Поскольку в музыкальной гамме Пифагора семь интервалов и поскольку на момент изобретения гаммы было известно всего пять подлинных планет, и потому что эти пять планет, если прибавить к ним Солнце и Луну, становятся числом семь, то, следовательно, планеты есть музыкальная гамма. Принимая во внимание фундаментальные постулаты учителя, что все сущее заключено в декадах и что «все сущее есть число», ни один логик или математик не стал бы спорить с доказательством Пифагора или Платона, если только он не имел намерения транспонировать их в символы, с которыми только он был знаком. Такого рода опыт убедит любого, что результат, достигнутый прямым математическим (или дедуктивным) доказательством, может не иметь отношения к миру научного или чувственного опыта или просто не отвечать здравому смыслу. Если постулаты не согласуются с проверяемым или уже проверенным опытом, выводы, основанные на них, не имеют значения в чувственном мире. Подобные утверждения, вне всякого сомнения, банальны, но от этого они не менее справедливы. Любой человек с рациональным мышлением принял бы их, однако многие рациональные ученые убеждали коллег принять фактически непроверяемые утверждения, потому что они были выведены с помощью безупречной логики, математической или иной, из допущений, которые рациональному мышлению нет нужды принимать.

Итак, нам придется опять воздержаться от презрительной усмешки в адрес науки и теологии наших предшественников.

Принимая сказанное во внимание, было бы крайне поучительно взглянуть на выводы, которые ученые мужи, чей интеллект был явно не ниже нашего, вывели из кругового движения планет. Начнем с Платона и его выводов, наиболее рафинированных из всех.

«Когда разум, – начинает Платон, – который занимается равными истинами как в круге Иного, так и в круге Такого же, в сфере самодвижущегося безмолвного движения тишины, когда разум, говорю я, находится вблизи восприятия, а круг Иного также движется по намекам разума для всей души, тогда появляются справедливые мнения и убеждения. Но когда разум попадает в зону рационального и круг Такого же, плавно продвигаясь, свидетельствует об этом, тогда образование и знания неизбежно совершенны». Все подобные утверждения поддаются прямому доказательству при допущении, что мы принимаем постулаты нумерологии пифагорейцев. Но все они потеряли ту значимость, которую когда-то могли иметь, возможно кроме чрезвычайно зачаточного описания движения планет. Тем не менее не все из подчеркнутых высказываний, сокрытых в совокупности мысленных образов Платона о сферах и движущихся кругах, утратили свое значение, когда мысль человеческая расширилась «солнечными процессами». Было бы интересно увидеть, какими могли бы быть некоторые предполагаемые факты в сокрытой астрономии метафизики Платона о «чувстве» и «разуме». Пифагорейцы отталкивались от наблюдения (возможно, теневых контуров во время затмения), что Земля есть сфера или как минимум закругленная. И это был предполагаемый факт, такой же старый, как само человечество, что звезды закреплены на поверхности широкой сферы с Землей в центре. В данном случае слово «чувство» (чувственный опыт), о котором говорил Платон, запутал разум. Никакой сферы нет, хотя чувственное, зрительное восприятие подтверждает это с такой же уверенностью, с какой астрономы, раздвинувшие человеческое видение с помощью созданных человеком инструментов, сообщают, что нет пределов по глубине «звездных небес». Тверже, чем сам Пифагор в своей вере в число, Платон пренебрег наблюдением в астрономии и вывел шарообразность Земли напрямую из допущения, что из всех тел совершенна только сфера. И подобным же образом он поступил с небесной сферой для звезд. Они обе должны быть сферами, что вытекает из того, что Единица, создатель небес и Земли, самим своим совершенством не может создать ничего несовершенного.