Текст книги "Физика фондового рынка. Краткая история предсказаний непредсказуемого"
Автор книги: Джеймс Уэзеролл
сообщить о нарушении
Текущая страница: 6 (всего у книги 22 страниц) [доступный отрывок для чтения: 6 страниц]
Это правило можно воспринимать как закон больших чисел для распределения вероятностей – обобщение принципа, обнаруженного Бернулли, который увязывает вероятность с долговременной частотой, с которой повторяются события[85]85
Это на самом деле более общая версия закона больших чисел, чем другая, которая устанавливает, как вероятность для простых игр, таких как подбрасывание монеты, связана с частотой. Закон больших чисел для гауссовых распределений может быть использован, чтобы доказать вторую версию, как видно из примера с подбрасыванием монеты.
[Закрыть]. Оно гласит, что если что-то зависит от определенного распределения вероятностей, как рост людей определяется нормальным распределением, а у вас есть достаточно большая выборка, новые случаи не окажут на нее существенного влияния. Если, измерив рост большого количества людей в конкретном регионе мира, вы измерите рост еще одного человека, это существенно не изменит средний показатель роста.
Однако не все распределения вероятностей соответствуют закону больших чисел[86]86
Тем точнее версия этого утверждения, что не все распределения имеют конечное среднее. И на самом деле распределения Коши не имеют конечного среднего. Подробнее о распределениях Коши и законе больших чисел см. у Каселла и Бергера (2002 г.), Биллингсли (1995 г.), Форбс и др. (2011 г.).
[Закрыть]. Местонахождение пьяницы соответствует – он совершает случайные блуждания и в среднем будет оставаться на том же месте, откуда начал свой путь, аналогично тому, как средняя прибыль от игры в орлянку стремится к нулю. Но что если вместо одного пьяницы, который пытается добраться до отеля, у вас был бы целый отряд пьяных стрелков? Каждый стоит с винтовкой в руках лицом к стене (в целях дискуссии допустим, что стена бесконечно длинная). Так же как и в случае с бредущим пьяницей, пьяницы-стрелки могут спотыкаться, покачиваться из стороны в сторону. Когда каждый из них поймает равновесие, чтобы выстрелить из винтовки, он может направить винтовку в любом направлении. Пуля может попасть в стену прямо напротив него, а может и в трех метрах справа или слева (а то и полететь в противоположном направлении).
Представьте себе группу, занимающуюся стрельбой по мишеням, которая должна произвести несколько тысяч выстрелов. Если вы пометите место, где пуля попала в стену (если считать только те, которые попали), эту информацию можно использовать, чтобы вычислить распределение, которое соответствует вероятности того, что любая конкретная пуля попадет в любую конкретную часть стены. Если сравнить это распределение с обычным распределением (нормальные, трезвые стрелки), вы заметите, что они совершенно разные. Пули пьяных членов отряда стрелков в большинстве случаев попадали в центральную часть стены – более того, чаще, чем предсказало бы нормальное распределение. Но их пули также на удивление часто попадали и в самые отдаленные части стены – намного, намного чаще, чем предсказало бы нормальное распределение.
Это нормальное распределение называется распределением Коши. Поскольку левая и правая стороны распределения не так быстро стремятся к нулю, как при нормальном распределении (потому что пули довольно часто попадали в отдаленные части стены), распределение Коши имеет так называемые «толстые хвосты» (посмотреть, как выглядит распределение Коши, можно на рисунке 3).
Одна из наиболее поразительных особенностей распределения Коши заключается в том, что оно не подчиняется закону больших чисел: среднее расположение пуль отряда стрелков никогда не стремится к какому-то конкретному числу. Если ваш отряд стрелков выстрелил тысячу раз, вы можете снять данные обо всех местах попадания их пуль и определить среднюю величину – так же, как можно вывести среднее число выигрышей при игре в орлянку. Но эта средняя величина в высшей степени нестабильна. Один член отряда стрелков может так повернуться вокруг себя, что, когда он сделает следующий выстрел, пуля полетит почти параллельно стене. Она может пролететь 150 километров (предположим, у них очень дальнобойные винтовки) – на самом деле достаточно далеко, так что, если сложить этот последний результат с другими, средняя величина будет полностью отличаться от полученной ранее. Из-за толстых хвостов распределения даже рассчитанное на длительный период среднее место попадания пуль отряда пьяных стрелков на стене окажется непредсказуемым.
Рис. 3. Распределения Коши
Рисунок 3. Местонахождение пьяного отдыхающего, пытающегося найти свой номер в отеле в длинном коридоре, зависит от нормального распределения. Но не все случайные процессы регулируются нормальными распределениями. То, куда попадут пули, выпущенные отрядом пьяных стрелков, определяет другого рода распределение, которое называется распределением Коши. (Обратите внимание, что угол, под которым будут стрелять члены отряда пьяных стрелков, будет регулироваться нормальным распределением; а вот местонахождение попадания их пуль на стене, в которую они пытаются стрелять, – распределением Коши!) Распределения Коши (сплошная линия на данном графике) тоньше и выше, чем нормальные распределения (пунктирная линия) в области центральных значений, в то время как их хвосты расходятся медленнее, что означает (и это более вероятно), что предсказывать их будут события, происходящие вдали от центра распределения, а не нормальное распределение. По этой причине распределения Коши называются «толстохвостыми» распределениями. Мандельброт назвал явления, регулируемые «толстохвостыми» распределениями, «дико случайными», потому что с ними происходит намного больше экстремальных событий.
По описаниям Мандельброта, война, особенно в первые два года, пока сохранялось правление Виши, длительное время оставляла огромные части Франции незатронутыми. Потом налетела «буря», побушевала и сменилась еще одним периодом затишья[87]87
Мандельброт описывает этот аспект своего опыта во время войны в своей работе 1998 г.
[Закрыть]. Наверное, неудивительно, что Мандельброт увлекся этими взрывами, случайными процессами, которые невозможно было взять под контроль, как игру в казино. Он называл события, которые подчинялись распределению Коши, дико случайными, чтобы подчеркнуть их отличие от обычной, слабо выраженной случайности случайных блужданий, и большую часть своей карьеры посвятил их изучению.
Когда Мандельброт начинал свою научную карьеру, большинство статистиков предполагали, что мир наполнен нормально распределенными событиями. Несмотря на то что распределения Коши и другие «толстохвостые» распределения иногда появлялись, статистики полагали, что они составляют исключение. Мандельброт же продемонстрировал, как часто могут встречаться эти так называемые исключения.
Вернемся к береговой линии Британии. Представим, что вы хотите определить средний размер мыса или какого-либо выступа земли. Вы, наверное, начнете с того, что обмерите валуны и насыпи, объекты обозримого размера. Вы снимете средний размер всех этих объектов. Но это не все, потому что вы понимаете, что насыпи и выступы сами по себе являются частью маленьких полуостровов. Поэтому вы вынимаете свое геодезическое снаряжение, чувствуя, что вот-вот столкнетесь с проблемой, и начинаете измерять размеры этих полуостровов. Их немного, но они намного крупнее, чем насыпи и валуны, которые вы уже проверили, и теперь ваш новый средний показатель полностью отличается от того, каким он был после первого этапа измерений. Более того, вы не учли такие еще более крупные объекты, как Корнуолл. Или сам западный берег Британии в целом, поскольку с геологической точки зрения это просто выступ материка Евразии. И пока вы еще здесь, вам, вероятно, надо рассмотреть и более мелкие объекты. Если считать валуны шириной примерно в метр, то почему не считать камни шириной всего несколько сантиметров?
Каждый раз, когда вы забрасываете сети дальше, средние величины кардинально меняются. Похоже, вы уже не можете ограничиться однозначным числом. К ужасу нашего землемера, выполняющего сизифов труд, он не может получить ту цифру, которую предполагал получить в качестве среднего размера объекта на береговой линии. Это общее свойство фракталов, вытекающее из их самоподобия[88]88
Существует много связей между фракталами и «толстохвостыми» распределениями. То, что характерные особенности фракталов демонстрируют «толстые хвосты», является одним из примеров такой связи; другой пример – это то, что (некоторые) «толстохвостые» распределения демонстрируют самоподобие в форме масштабирования их хвостов, изменяющегося по степенному закону. Мандельброт был центральной фигурой в выявлении и изучении этих связей. См. работу Мандельброта 1997 г.
[Закрыть]. С одной точки зрения, они красиво упорядочены и правильны; с другой, они дико случайны. И если фракталы есть повсеместно, как полагал Мандельброт, то наш мир – это место, где преобладают крайности, где интуитивные идеи о средних величинах и нормальности могут только дезориентировать.
Хотя Мандельброт никогда не вдавался в подробности, он часто упоминал об особенно горьком опыте, пережитом им ближе к концу 1943 года, когда он скрывался вместе с членами французского Сопротивления. Когда они поняли, что Мандельброту опасно оставаться в Тюле, они помогли ему определиться на подготовительный факультет в Лионе.
Переезд Мандельброта был рискованным предприятием. Лион был одним из самых опасных городов в южной Франции как для евреев, так и для сторонников Сопротивления; Мандельброт же был и тем и другим. Николаус Барби руководил местным аванпостом гестапо из отеля недалеко от центра города. Он получил прозвище «лионский палач»[89]89
Подробнее о Барби см. у Боувера (1984 г.) и Маккейла (2012 г.).
[Закрыть] и позднее был осужден за военные преступления – депортацию почти тысячи евреев, проживавших в этом регионе. Мандельброт выглядел не слишком убедительно в роли деревенского парня, и бойцам Сопротивления, которые заботились о нем, нужно было подыскать место, где он привлекал бы к себе меньше внимания. Учебное заведение было естественным выбором: Мандельброт подходил по возрасту и очень даже походил на ученого. Он должен был числиться под вымышленным именем, жить в общежитии. Но все равно Мандельброт не мог выходить за пределы учебного заведения – это было слишком рискованно. В общем, он был одновременно и студентом, и пленником.
Чтобы замаскироваться, Мандельброт вынужден был посещать занятия. Но никто не ожидал, что он на них многому научится. Факультет готовил одаренных учеников к сдаче сложных экзаменов, необходимых для поступления в Эколь Нормаль. Его отличали серьезный конкурентный климат и сложная учебная программа. Поскольку Мандельброт не учился с весны 1942 до начала 1944 года, он сильно отставал от своих сверстников.
Поначалу дела шли как все и ожидали. Мандельброт тихо сидел на занятиях, притворяясь, что чему-то учится. Он ничего не понимал. Прошла неделя, еще одна. Мандельброт слушал, как преподаватель проводит тестирование учеников по задачам из универсальной алгебры, развивая у них соревновательный дух, стимулируя к поиску решения. Мандельброт догадывался, о чем были задачи, но никак не мог найти ключ к их решению. И вдруг произошло нечто необыкновенное. Однажды, когда преподаватель задал классу очередную задачу, у Мандельброта в голове возник образ. Не раздумывая он поднял руку. Преподаватель удивленно вызвал его. «Разве это не то же самое, что спросить, не пересекаются ли эти две поверхности?» – спросил Мандельброт. Преподаватель согласился с ним, но указал на то, что их главная цель – быстро решать задачи, а не интерпретировать их с геометрической точки зрения.
Мандельброт молча сел на свое место. Но когда преподаватель прочитал следующую задачу, он опять попытался представить ее пространственно. Он быстро представил себе, как выглядели фигуры, о которых шла речь. Вскоре он понял, что может решать такие задачи. Как оказалось, он обладал «причудливым» (по его словам) даром визуализировать задачи из универсальной алгебры. Но преподаватель напомнил, одна лишь геометрическая интерпретация задач не поможет ему на тестировании. Мандельброт задумался над тем, как использовать свой талант. Он пока не видел способа решения алгебраических задач с помощью своей геометрической интуиции, во всяком случае, он не знал способа решения, который бы устроил преподавателя. Но он мог очень быстро догадываться, каким должен быть ответ. И обычно бывал прав. Скоро, несмотря на слабую подготовку и необычный статус, школа приняла Мандельброта.
Летом 1944 года Франция была освобождена. К концу августа Мандельброты опять вернулись в Париж. Хотя Мандельброт пробыл в Лионе всего полгода, один академический семестр, опыт, полученный там, изменил его жизнь. Он многому научился и обнаружил у себя необычный дар в геометрии. Но что еще важнее, повысил свой образовательный уровень. Он решил продолжить подготовку к вступительным экзаменам и в 1944 году был принят на один из самых престижных подготовительных факультетов Парижа. После успешной сдачи экзаменов он получил право быть принятым в несколько элитных учебных заведений, включая Эколь Нормаль. Мандельборт походил в Эколь Нормаль два дня и решил, что жизнь в башне из слоновой кости – это не для него. За время, проведенное за пределами научного сообщества, он стал слишком остро чувствовать практические проблемы. Мандельброт быстро перевелся в учебное заведение более практической направленности – в Политехнический институт. Этот выбор предопределил весь последующий путь Мандельброта в науке: каждый раз, когда он оказывался перед выбором между чистой или прикладной наукой, Мандельброт выбирал прикладную. Поступая таким образом, он поставил свой «причудливый» геометрический дар на службу прикладным проблемам, которые математики обходили своим вниманием или которые казались слишком сложными. Так же, как некогда Башелье, Мандельброт задавал вопросы, которые раньше никому из математиков не приходили в голову, и находил на них ответы, которые меняли представление ученых о мире.
Значительно позднее Мандельброт отнесет свою замечательную карьеру на счет двух вещей. Первая – его необычное и часто прерывавшееся образование. Мандельброт в конечном итоге попал в элитное учебное заведение, а затем и получил степень доктора философии. Но путь к этим высотам был непрост и сделал Мандельброта таким изобретательным и самостоятельным, каким он никогда бы не стал, если бы шел проторенными путями. Вторая вещь – это ряд сказочных открытий, сделанных благодаря счастливой случайности, которые познакомили его с различными интеллектуальными головоломками. Формула Ципфа, о которой он узнал, когда дядя отдал ему обзор его книги, была одним из таких открытий. Другое открытие было сделано вскоре после того, как Мандельброт окончил аспирантуру.
В то время он работал в IBM – компании, получившей немалую выгоду от индустриализации физики. Несмотря на то что он часто с гордостью заявлял о том, что окончил аспирантуру без научного руководителя, это не помогло, когда он пришел наниматься на работу. Мандельброт получил работу исследователя с докторской степенью в Принстонском институте специальных исследований, затем провел некоторое время в Европе, работая над проблемами термодинамики во Французском государственном научно-исследовательском центре (CNRS). Мечта о получении работы на факультете на условиях полной занятости оставалась труднодостижимой, и у Мандельброта постепенно возникло разочарование по поводу «математического небосвода». Когда в 1958 году он наконец получил предложение от IBM – должность штатного научного сотрудника в научно-исследовательском отделе, – он воспользовался представившейся возможностью, даже несмотря на то, что, по его словам, «тогда получить предложение от IBM не было чем-то очень выдающимся»[90]90
Цитата из работы Мандельброта (1998 г.).
[Закрыть].
Одна из задач научно-исследовательского отдела IBM состояла в том, чтобы найти области применения их новейшим компьютерам. Мандельброту поручили работать над экономическими данными. Его руководители надеялись, что если Мандельброту удастся продемонстрировать, насколько компьютеры полезны для экономики, они смогут убедить банки и инвестиционные компании покупать системные блоки IBM. В частности, он изучал данные, отражавшие распределение доходов в обществе (этот вопрос не обязательно должен был интересовать банки; скорее идея заключалась в том, чтобы использовать исследование Мандельброта в качестве демонстрации того, насколько эффективны компьютеры для быстрой обработки числовых финансовых данных).
Распределение доходов исследовалось и раньше. Наиболее известное исследование было проведено в XIX веке итальянским инженером, промышленником и экономистом Вильфредо Парето[91]91
Об исследованиях и влиянии на науку Парето см. трехтомник Вуда и Макклюра (1999 г.); а также работу Сирилло (1979 г.).
[Закрыть]. Внутренние механизмы свободного рынка и накопление капитала завладели умом Парето, решительного сторонника либеральной экономики. Он хотел понять, как люди становятся богатыми, кто управляет богатством и что представляет собой рыночный механизм распределения ресурсов. Для этой цели он собрал огромное количество информации о богатстве и доходах, используя такие разноплановые источники, как данные о сделках с недвижимостью, личных доходах, исторические налоговые данные. Чтобы проанализировать эту информацию, Парето строил детальные графики с уровнем дохода и богатства по одной оси и количеством людей, имевших доступ к этим богатствам, – по другой.
При всей разноплановости источников данных Парето вновь и вновь приходил к одной и той же модели. По его описанию, 80 % богатства любой страны в любой промежуток времени находится под контролем 20 % населения. Теперь эта модель известна как принцип Парето, или как правило 80–20. В то время Парето истолковывал полученные им результаты почти так же, как их истолковал бы Ципф: как подтверждение «закона социального обеспечения», показывающего, что материальное благосостояние распределяется не случайно, а скорее какой-то непостижимой силой, которая формирует рынки и общества. Как только Парето начал свое исследование, у него создалось впечатление, что открытый им закон распространяется на все явления. Восемьдесят процентов продаж компании обычно приходится на 20 процентов покупателей. 80 процентов преступлений совершают 20 процентов преступников. И так далее. (В настоящее время наблюдается, что принцип Парето (приблизительно) применим во многих областях, например, в соотношении затрат на здравоохранение к числу пациентов в Соединенных Штатах.)
Самым интересным в работе Парето, по крайней мере, с точки зрения Мандельброта, было не то, что его данные раскрывали какой-то математический закон общества. Самым интересным было определенное соотношение между распределением дохода для всей страны и для ее маленькой части. Парето продемонстрировал действие правила 80–20 (по крайней мере, приблизительно) в отношении страны в целом. Но что если бы вы задали вопрос немного по-другому: как распределяется доход среди 20 процентов населения, под чьим контролем находится подавляющее большинство богатств? Поразительно, но и это соответствовало бы той же модели. Если посмотреть только на самых богатых людей в стране, 80 процентов их богатства находится под контролем 20 процентов представителей. Тенденция такова, что в руках супербогатых сосредоточена та же непропорциональная доля богатств, что и в руках обыкновенных богатых. Модель сохраняется. 80 процентов ресурсов, находящихся под контролем супербогатых, сосредоточены в руках сверхбогатых. И так далее.
Сейчас такого рода модель уже знакома. Распределение материального благосостояния среди населения представляет собой своего рода самоподобие, или фрактальную модель. На самом деле распределения, обнаруженные Парето, относятся к типу «толстохвостых» распределений, отражающих что-то вроде «диких» случайностей в распределении доходов, хотя и не таких «диких», как стрельба отряда пьяных стрелков. Когда Мандельброт изучал информацию для IBM, теории фракталов на тот момент еще не существовало. До его фундаментальной работы над парадоксом береговой линии оставалось еще почти десять лет. Но так же, как и полвека назад осенило Парето, Мандельброту пришло в голову что-то вроде модели. Как когда он писал о Ципфе, который открыл необычное самоподобие распределения частотности слов.
Несмотря на то что Мандельброт в значительной степени отошел от научного сообщества, работа о распределении материального благосостояния представляла определенный интерес для традиционных экономистов. Поэтому его периодически приглашали выступить с лекциями. В 1961 году непосредственно перед одной из таких лекций Мандельброт сделал второе открытие, которым он тоже обязан счастливому случаю.
Лекцию он должен был читать на отделении экономики Гарварда. Незадолго до нее Мандельброт встретился с преподавателем, экономистом по имени Хендрик Хаутеккер. Войдя в кабинет Хаутеккера, Мандельброт заметил на доске график. Он был почти идентичен графику, который Мандельброт планировал использовать в своей лекции о распределении доходов и принципе Парето. Мандельброт понимал, что Хаутеккер, должно быть, работает над той же проблемой, и что-то сказал по поводу их общих интересов. В ответ Хаутеккер посмотрел на него непонимающим взглядом.
Сделав еще пару неловких попыток завести разговор, Мандельброт понял, что что-то идет не так. Он показал на график на доске: «Разве это не схема распределения материального благосостояния?» Придя в замешательство, Хаутеккер ответил, что график остался на доске после встречи с аспирантом, на которой обсуждались исторические данные о ценах на хлопок, и что на самом деле это график суточных оборотов на рынках хлопка.
Хаутеккер объяснил, что он уже некоторое время работает над темой, связанной с рынком хлопка, но статистические данные никак не коррелируют с теорией. К этому времени работы Башелье уже получили второе рождение, экономисты начали соглашаться с тем, что рынки претерпевают случайные блуждания, как это утверждали Башелье и Осборн. Хаутеккеру было интересно перепроверить эту гипотезу, взяв за основу исторические данные. Если Башелье со своими случайными блужданиями был прав, то в течение дня, недели или месяца должно быть много небольших изменений цен. Крупных же изменений должно было быть немного. Но данные Хаутеккера демонстрировали иную картину: он действительно видел много очень небольших изменений, но и много очень крупных. Что еще хуже, он прилагал все усилия, чтобы получить показатель среднего изменения цены, который, как предсказывала теория Башелье, должен существовать, но всякий раз, рассматривая новый набор данных, средняя величина менялась, и часто кардинально. Другими словами, поведение цен на хлопок было больше похоже на поведение отряда пьяных стрелков, нежели пьяного курортника.
Мандельброт был заинтригован. Он попросил Хаутеккера представить ему возможность взглянуть на эти данные повнимательнее. Хаутеккер ответил, что тот может вообще забрать их себе, поскольку сам решил отказаться от этого проекта.
Вернувшись в IBM, Мандельброт вместе с небольшой группой программистов внимательно изучили данные Хаутеккера по хлопку, подвергнув их подробному анализу. Он подтвердил самые волнительные результаты исследований Хаутеккера: оказалось, что «средняя» величина нормы доходности отсутствует[92]92
Другими словами, казалось, что для распределений цен на хлопок не было определено ни среднего, ни дисперсии. Как описано ниже, Мандельброт впоследствии будет утверждать, что распределения норм доходности для финансовых рынков все-таки имеют конечные средние, но не дисперсию. Однако часто бывает сложно вычислить среднее для устойчивого распределения Леви в тех случаях, когда дисперсия не определяется, требуется много времени, чтобы свести воедино среднюю величину, исчисленную на основании какого-либо массива конечных данных, со средним. По этой причине Мандельброт и Хаутеккер первоначально полагали, что среднего не существует.
[Закрыть]. Цены выглядели случайными, их поведение невозможно было объяснить с помощью стандартного статистического аппарата или теорий Башелье и Осборна. Происходило что-то невероятное.
Мандельброт видел необычные распределения и раньше. Помимо работ Ципфа и Парето он был знаком и с третьим видом распределения, выведенным Полем Леви[93]93
Мандельброт приводит некоторые биографические данные Леви в своей работе 1982 г. и описывает свое взаимодействие с ним в работе Мандельброта и Хадсона (2004 г.).
[Закрыть]. Именно Леви, прочитав в свое время небольшой отрывок из работы Башелье, пришел к заключению, что в ней есть ошибки. Намного позднее Леви признал свою неправоту и попросил у Башелье прощения. Частично возобновившийся интерес к процессам случайных блужданий и к распределению вероятностей заставили Леви вернуться к труду Башелье. По иронии судьбы, к этой поздней работе Леви отнеслись с меньшим вниманием, чем к его более ранним трудам, оставив Леви в неизвестности на закате его карьеры.
Интерес к случайным процессам привел Леви к изучению распределения вероятностей (гауссово распределение), которое теперь называют «устойчивыми распределениями Леви»[94]94
Они еще называются альфа-устойчивые распределения. По всему тексту (и в популярных произведениях Мандельброта) «дикость» – это код «α < 2». Для устойчивых распределений Леви, где 1 < α < 2, среднее определяется, но дисперсия нет; если α ≤ 1, ни среднее, ни дисперсия не определяются. Примечательно, что теорема о центральном пределе не работает в случае устойчивых распределений Леви или, скорее, действует следующая теорема более общего характера: случайная переменная, которую можно представить как сумму достаточно большое количество независимых переменных, идентично Леви-устойчиво-распределенных, должна быть тоже Леви-устойчиво-распределена. Подробнее о математике устойчивых распределений Леви см. у Мантенья и Стенли (2000 г.) и Золотарева (1986 г.).
[Закрыть]. Нормальное распределение и распределение Коши являются примерами устойчивых распределений Леви, но Леви продемонстрировал, что существует еще целый спектр случайностей в промежутке от нормального распределения до распределения Коши (на самом деле есть даже еще более «дикие» разновидности случайности, чем распределение Коши). «Дикость» может выражаться в количестве, которое обычно называется «альфа» и характеризует хвосты устойчивых распределений Леви (см. график 4). У нормальных распределений альфа равна 2; у распределений Коши – 1. Чем меньше число, тем более «дико» случаен процесс (и тем толще хвосты). Распределения, в которых альфа равна 1 и менее, не вписываются в закон больших чисел – на самом деле среднюю величину для такого «дикого» количества невозможно даже определить. Тем временем распределения, где альфа находится в промежутке от 1 до 2, имеют средние величины, но у них нет точно определенной средней изменчивости, которую статистики называют волатильностью или вариабельностью. Это означает, что рассчитать среднюю величину на основании эмпирических данных трудно, даже когда эта средняя величина существует.
Хаутеккер, учившийся на экономиста, вероятно, немного знал о Леви и его работах. А Мандельброт был приверженцем Леви. И когда он подробнее ознакомился с данными Хаутеккера, что-то щелкнуло в его мозгу. Хаутеккер был прав: цены на хлопок не подчинялись нормальному распределению. Но они не подчинялись и распределению Коши. Они находились где-то посередине, их альфа составляла 1,7. Цены на хлопок были действительно случайными, но куда более «дико» случайными, чем это могли себе представить Башелье или Осборн.
Рынок хлопка оказался первым, где Мандельброт нашел подтверждение устойчивым распределениям Леви. Но если цены на хлопок «дико» колебались, то почему на других рынках должно происходить все по-другому? Мандельброт быстро начал собирать данные обо всех видах рынков: товарных (таких как золото или нефть), акций, облигаций. И в каждом случае он находил одно и то же:
Рис. 4. Устойчивые распределения Леви
Рисунок 4. Нормальные распределения и распределения Коши – это два диаметрально противоположных случая категории распределений, которая называется «устойчивым распределениям Леви». Устойчивое распределение Леви характеризуется параметром «альфа». Если альфа = 2, это распределение является нормальным распределением; если альфа = 1, это – распределение Коши. Мандельброт утверждал, что реальная доходность рынка подчиняется устойчивым распределениям Леви, где альфа находится в промежутке между 1 и 2. Это означает, что доходность более «дико» случайна, чем полагал Осборн, хотя и не настолько «дико», как отряд пьяных стрелков. На данном графике показаны три устойчивых распределения. На графике 3 сплошная линия соответствует распределению Коши, пунктирная линия – нормальному распределению. Третья кривая – это устойчивое распределение Леви, где альфа = 3/2. Эта кривая немного выше и немного у́же, чем кривая нормального распределения, а ее хвосты немного толще. Но она не такая экстремальная, как распределение Коши.
Показатели альфа, связанные с этими рынками, были меньше 2, часто намного меньше. Это означало, что теории Башелье и Осборна о случайных блужданиях и нормальных распределениях столкнулись с большими проблемами.
В 1960 году, через год после выхода в свет первого научного труда Осборна, Мандельброт установил связь между распределением Парето и устойчивым распределением Леви. Свое исследование о ценах на хлопок он опубликовал в 1963 году, и Пол Кутнер, редактировавший сборник, в который вошли работы Башелье и Осборна, включил в него также исследование Мандельброта, сопроводив описанием его альтернативной теории[95]95
См. работы Мандельброта (1964 г.) и Кутнера (1964 г.).
[Закрыть]. Сборник, представивший работы Башелье и Осборна широкому кругу экономистов и теоретиков в сфере финансов, фактически говорил им: простые модели случайных блужданий – это еще не все. Примерно в 1965 году у теоретиков финансов был выбор (хотя в то время он им и не казался выбором): стать последователями Осборна и других, кто демонстрировал, как статистические методы, разработанные, по большей части, в контексте физики, можно использовать для анализа и моделирования доходности фондовой биржи, либо пойти за Мандельбротом, который продемонстрировал, что есть основания полагать, что традиционные методы не лишены недостатков. Вступить в спор на стороне сторонников традиционного подхода означало, что старые методы понятнее и проще. За Мандельброта же говорили некоторые чрезвычайно многообещающие данные.
Участники научного спора встали на сторону Осборна. В 1962 году на заседании Экономического общества[96]96
Эконометрика – статистическое изучение экономических данных, включая в частности финансы. Прим. ред.
[Закрыть] Кутнер сделал следующее заявление: «Мандельброт, как премьер-министр Черчилль до него, обещает нам не утопию, а кровь, пот, тяжкий труд и слезы. Если он прав, почти все наши средства статистического анализа устарели… Вся – почти без исключения – выполненная эконометрическая работа бессмысленна. Безусловно, прежде чем превратить века труда в кучу золы, мы хотели бы получить какую-то гарантию того, что весь наш труд действительно бесполезен»[97]97
Цитата из работы Мандельброта и Хадсона (2004 г., с.).
[Закрыть].
Большинство представителей научного сообщества разделяли его взгляды. На тот момент гипотеза случайных блужданий была еще молода, но растущее количество исследователей, включая Кутнера, уже сделало на нее ставку. Легко усмотреть в замечаниях Кутнера попытку дать отпор настырному «новичку», который подметил ошибки (недавнего) прошлого. Безусловно, Мандельброт расценивал происходящее именно таким образом, и мы теперь, когда многие теоретики и практики признали важность «толстохвостых» распределений, тоже должны воспринимать все подобным же образом. Некоторые, тот же Нассим Талеб[98]98
См. работы Талеба (2004 г., 2007a). Мандельброт приводит связанные с этим доводы в работе Мандельброта и Хадсона (2004 г.). Более сдержанное утверждение Талеба, поддерживающее центральные утверждения данной книги, хотя, возможно, и не учитывающее современную точку зрения об истории направления, взято в 1962 г. – см. работу Талеба (2007b).
[Закрыть], управляющий хедж-фондом и профессор политехнического факультета Нью-Йоркского университета, автор бестселлера «Черный лебедь», заявили (и с ними согласился Мандельборт), что в 1965 году финансы пошли не по тому пути, продолжая исходить из допущения об умеренной случайности, в то время как на самом деле финансовые рынки – «дикие».
Но в заявлении Кутнера отсутствует один важный момент. В 1960-х годах традиционная статистика была сформировавшейся наукой с огромным арсеналом средств. Мандельброт же предлагал нечто большее, чем голословное предположение и несколько графиков. Без традиционных средств статистического анализа было фактически невозможно выполнить работу, которую выполняли Осборн, Самуэльсон, многие другие, работавшие в тот период в сфере финансов и эконометрики. Мандельброта просто недостаточно хорошо поняли. Это все равно что говорить плотнику, что шурупы намного крепче гвоздей, когда у него есть только молоток и никто еще не изобрел отвертку. Даже если дом и будет прочнее, если при его строительстве использовать шурупы, вы все равно будете значительно быстрее справляться с работой, используя молоток и гвозди, по крайней мере какое-то время.
Поэтому стремиться вперед, пользуясь имеющимися более простыми средствами, в то время как Мандельброт и первые «новообращенные» работали над дальнейшим осмыслением его труда по фракталам и самоподобию, было единственным разумным выбором. Что научное сообщество безоговорочно понимало, так это то, что начинать надо с самой простой теории, которая работает, продвинуться как можно дальше вперед и уже потом задаваться вопросом, что и где в построенной теории пошло не так. В этом случае, как только вы установили, что цены на акции случайны (по крайней мере, в определенном смысле), вашим следующим шагом должно стать допущение о том, что они случайны, которое надо сформулировать самым простым способом: цены на акции просто совершают случайные блуждания.
