Текст книги "Рассказы о математике с примерами на языках Python и C (СИ)"
Автор книги: Дмитрий Елисеев
Жанры:
Базы данных
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 2 (всего у книги 4 страниц)
4. Вычисление радиуса Земли
О том, что Земля круглая сегодня знает каждый школьник, и никого не удивить таким видом планеты из космоса.
Однако в историческом плане, увидеть планету свысока мы смогли совсем-совсем недавно. Как же мог греческий ученый Эратосфен измерить радиус Земли, в 240 году до нашей эры? Оказывается мог, используя 2 научных «инструмента» – транспортир и верблюда, ну и разумеется, математику.
Эратосфен жил в Александрии – крупнейшем городе того времени, центром науки и искусств древнего мира. В Александрии по преданию, находился маяк высотой 120 метров – даже сегодня такое сооружение не просто построить, а в то время маяк считался одним из 7 чудес света. Эратосфен же был не только ученым, но и хранителем Александрийской библиотеки, содержащей до 700000 книг.
Читая труды по географии, Эратосфен нашел интересный факт – в городе Сиене в день летнего солнцестояния Солнце стоит так высоко, что предметы в полдень не отбрасывают тени. Другой может и не обратил бы на это внимание, но Эратосфен не зря интересовался и математикой и астрономией. Он знал что в его городе Александрии тень в этот же день имеет другой угол. Эратосфен дождался солнцестояния, измерил угол солнечных лучей и получил величину 7,2 градуса.
Что это значит? Объяснение данному факту могло быть только одно – Земля круглая, и угол падения солнечных лучей в разных точках Земли в одно время различается.
Картинка с сайта physicsforme.com
Дальше, как говорится, дело техники. Зная примерное расстояние между Сиеном и Александрией (которое было известно из времени в пути каравана верблюдов) и угол, легко получить длину всей окружности. К чести Эратосфена, его результат отличается от сегодняшнего всего лишь на 1%. Так, задолго до эпохи авиации и воздухоплавания, человек впервые смог измерить радиус планеты, даже при этом не отрываясь от нее. Увидеть настоящую кривизну Земли сумели лишь пилоты стратостатов в начале 20 века, более чем через 2000 лет после описанного опыта.
Разумеется, повторить подобный эксперимент сегодня легко может любой школьник. Нужно лишь сделать простейший угломер из транспортира и отвеса, и с помощью знакомых в другом городе, сделать измерения высоты Солнца в двух точках в одно и то же время.
5. Простые числа
Каждый знает, что простые числа – такие числа, которые делятся только на единицу и самих себя. Но так ли они просты, как кажутся, и актуальны ли сегодня? Попробуем разобраться.
То, что существуют числа, которые не делятся ни на какое другое число, люди знали еще в древности. Последовательность простых чисел имеет следующий вид:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …
Доказательство того, что этих чисел бесконечно много, дал еще Евклид, живший в 300 г. до н. э. Примерно в те же годы уже известный нам греческий математик Эратосфен, придумал довольно-таки простой алгоритм получения простых чисел, суть которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Те оставшиеся числа, которые ни на что не делились, и были простыми. Алгоритм называется «решето Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем нет операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике до сих пор.
Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует – это можно проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы для упрощения процесса (например, очевидно, что число не должно быть четным), но простой алгоритм проверки не найден до сих пор, и скорее всего найден не будет: чтобы узнать, простое число или нет, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.
Это несложно записать в виде программы на языке Python:
import math
def is_prime(n):
if n % 2 == 0 and n > 2:
return False
for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
if n % i == 0:
return False
return True
# Вывод всех простых чисел от 1 до N
N = 100
for p in range(1, N, 2):
if is_prime(p): print(p)
# Вывод результата, является ли заданное число простым
print(is_prime(2147483647))
Желающие могут поэкспериментировать с программой самостоятельно.
Подчиняются ли простые числа каким-либо законам? Да, и они довольно любопытны. Так, например, французский математик Мерсенн еще в 16-м веке обнаружил, что много простых чисел имеет вид 2N – 1, эти числа названы числами Мерсенна. Еще незадолго до этого, в 1588 году, итальянский математик Катальди обнаружил простое число 219 – 1 = 524287 (по классификации Мерсенна оно называется M19). Сегодня это число кажется весьма коротким, однако даже сейчас с калькулятором проверка его простоты заняла бы не один день, а для 16 века это было действительно огромной работой. На 200 лет позже математик Эйлер нашел другое простое число 231 – 1 = 2147483647. Необходимый объем вычислений каждый может представить сам. Он же выдвинул гипотезу, названную позже «проблемой Эйлера», или «бинарной проблемой Гольдбаха»: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, можно взять 2 любых четных числа: 123456 и 888777888. С помощью компьютера можно найти их сумму в виде двух простых чисел: 123456 = 61813 + 61643 и 888777888 = 444388979 + 444388909. Интересно здесь то, что точное доказательство этой теоремы не найдено до сих пор, хотя с помощью компьютеров она была проверена до чисел с 18 нулями.
Существует и другая теорема, называемая теоремой Ферма-Эйлера, открытая в 1640 году, которая говорит о том, что если простое число имеет вид 4 * k + 1, то оно может быть представлено в виде суммы квадратов других чисел. Так, например, в нашем примере простое число 444388909 = 4 * 111097227 + 1. И действительно, с помощью компьютера можно найти, что 444388909 = 19197 * 19197 + 8710*8710. Теорема была доказана Эйлером лишь через 100 лет.
И наконец Бернхардом Риманом в 1859 году была выдвинута так называемая «Гипотеза Римана» о количестве распределения простых чисел, не превосходящих некоторое число. Эта гипотеза не доказана до сих пор, она входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя в Кембридже готов выплатить награду в один миллион долларов США.
Так что с простыми числами не все так просто. Есть и удивительные факты. Например, в 1883 г. русский математик И. М. Первушин из Пермского уезда доказал простоту числа 261 – 1 = 2305843009213693951. Даже сейчас компьютеру с запущенной вышеприведенной программой требуется несколько минут на проверку данного числа, а на то время это была поистине гигантская работа.
Кстати интересно, что существуют люди, обладающие уникальными способностями мозга – так например, известны аутисты, способные находить в уме (!) 8-значные простые числа. Как они это делают, непонятно. Такой пример описывается в книге известного врача-психолога Оливера Сакса «Человек, который принял жену за шляпу». По некоторым предположениям, такие люди обладают способностью «видеть» числовые ряды визуально, и пользуются методом «решета Эратосфена» для определения, является ли число простым или нет.
Еще одна интересная гипотеза была выдвинута Ферма, который предположил, что все числа вида
являются простыми. Эти числа называются «числами Ферма». Однако, это оказалось верным только для 5 первых чисел: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537. В 1732 году Эйлер опроверг гипотезу, найдя разложение на множители для F5: F5 = 641·6700417.
Существуют ли другие простые числа Ферма, пока неизвестно до сих пор. Такие числа растут очень быстро (для примера, F7 = 340282366920938463463374607431768211457), и их проверка является непростой задачей даже для современных компьютеров.
Актуальны ли простые числа сегодня? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, так что большинство людей пользуются ими каждый день, даже не задумываясь об этом. Любой процесс аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов. Суть идеи тут крайне проста и лежит в основе алгоритма RSA, предложенного еще в 1975 году. Отправитель и получатель совместно выбирают так называемый «закрытый ключ», который хранится в надежном месте. Этот ключ представляет собой, как, наверное, читатели уже догадались, простое число. Вторая часть – «открытый ключ», тоже простое число, формируется отправителем и передается в виде произведения вместе с сообщением открытым текстом, его можно опубликовать даже в газете. Суть алгоритма в том, что не зная «закрытой части», получить исходный текст невозможно.
К примеру, если взять два простых числа 444388979 и 444388909, то «закрытым ключом» будет 444388979, а открыто будут передано произведение 197481533549433911 (444388979 * 444388909). Лишь зная вторую половинку, можно вычислить недостающее число и расшифровать им текст.
В чем хитрость? А в том, что произведение двух простых чисел вычислить несложно, а вот обратной операции не существует – если не знать первой части, то такая процедура может быть выполнена лишь перебором. И если взять действительно большие простые числа (например, в 2000 символов длиной), то декодирование их произведения займет несколько лет даже на современном компьютере (к тому времени сообщение станет давно неактуальным). Гениальность данной схемы в том, что в самом алгоритме нет ничего секретного – он открыт и все данные лежат на поверхности (и алгоритм, и таблицы больших простых чисел известны). Сам шифр вместе с открытым ключом можно передавать как угодно, в любом открытом виде. Но не зная секретной части ключа, которую выбрал отправитель, зашифрованный текст мы не получим. Для примера можно сказать, что описание алгоритма RSA было напечатано в журнале в 1977 году, там же был приведен пример шифра. Лишь в 1993 году при помощи распределенных вычислений на компьютерах 600 добровольцев, был получен правильный ответ.
В завершение темы простых чисел, приведем вид так называемой «спирали Улама». Математик Станислав Улам открыл ее случайно в 1963 году, рисуя во время скучного доклада на бумаге числовую спираль и отмечая на ней простые числа:
Как оказалось, простые числа образуют вполне повторяющиеся узоры из диагональных линий. В более высоком разрешении изображение выглядит так (картинка с сайта http://ulamspiral.com):
В общем, можно предположить что далеко не все тайны простых чисел раскрыты и до сих пор.
6. Совершенные числа
Еще одно удивительное свойство мира чисел было доказано еще Евклидом: если число вида 2p – 1 является простым (уже известное нам число Мерсенна), то число 2P-1(2p – 1) является совершенным, т. е. равно сумме всех его делителей.
Рассмотрим пример для p = 13:
213 – 1 = 8191. Как показывает приведенная ранее программа, 8191 – действительно простое число.
212 * (213 – 1) = 33550336.
Чтобы найти все делители числа и их сумму, напишем небольшую программу:
def is_perfect(n):
sum = 0
for i in range(1, int(n / 2) + 1):
if n % i == 0:
sum += i
print(i)
print(«Сумма»,sum)
return sum == n
is_perfect(33550336)
Действительно, 33550336 делится на числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 65528, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168. И сумма этих чисел равна искомому 33550336.
Совершенные числа встречаются довольно-таки редко, их последовательность согласно Википедии, образует вид:
6,
28,
496,
8128,
33 550 336,
8 589 869 056,
137 438 691 328,
2 305 843 008 139 952 128,
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176,
Кстати, еще Эйлер доказал, что все совершенные числа имеют только вид 2p-1(2p – 1). А вот нечетных совершенных чисел пока не обнаружено, но и не доказано что их не существует. Интересно проверить этот факт практически. Совершенное число 137438691328 обнаружил еще немецкий математик Иоганн Мюллер в 16-м веке. Сегодня такое число несложно проверить на компьютере.
Во-первых, слегка оптимизируем приведенную выше программу. Как нетрудно видеть, если число N делится нацело на P, то мы «автоматом» сразу находим и второй делитель N/P. Например, если 10 делится нацело на 2, то оно делится и на 10 / 2 = 5. Это позволяет заметно сократить число вариантов перебора. Во-вторых, используем тип чисел Decimal, позволяющий использовать большие числа. Обновленная программа выглядит так:
from decimal import *
def is_perfect(n):
s = Decimal(1)
p = Decimal(2)
while p < n.sqrt()+1:
if n % p == 0:
s += p
if p != n/p: s += n/p
p += 1
return s == n
print(is_perfect(Decimal('137438691328')))
Запускаем, программа работает – число '137438691328' действительно является совершенным. Оно делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524287, 1048574, 2097148, 4194296, 8388592, 16777184, 33554368, 67108736, 134217472, 268434944, 536869888, 1073739776, 2147479552, 4294959104, 8589918208, 17179836416, 34359672832 и 68719345664, сумма этих чисел равна 137438691328. Однако, на моем компьютере проверка «совершенности» данного числа заняла… 54 секунды. Это конечно быстро по сравнению с 16-м веком, но совершенно недостаточно чтобы проверить все числа, хотя бы до миллиарда. Значит пора использовать более тяжелую артиллерию – перепишем программу на языке Си. Все-таки Python это интерпретатор, и работает заметно медленнее. Получаемый код не намного сложнее:
#include
#include
#include
#include
bool isPerfect(unsigned long long int n)
{
unsigned long long int sum = 1, i;
for(i=2; i<=sqrt(n)+1; i++)
{
if (n%i==0) {
sum += i;
if (i != n/i) {
sum += n/i;
}
}
}
return sum == n;
}
int main()
{
unsigned long long int n = 137438691328LL;
bool res = isPerfect(n);
printf(«%dn», res);
return 0;
}
Компилируем программу с помощью компилятора gcc, запускаем получившийся exe-файл: время выполнения меньше секунды, уже гораздо лучше. Теперь несложно поменять функцию main для перебора всех чисел от 1 до 200000000000. В код также добавлен вывод промежуточных результатов каждые 1000000 итераций, чтобы видеть ход выполнения программы.
int main()
{
unsigned long long int MAX = 200000000000LL;
unsigned long long int p;
for (p=1; p
if (isPerfect(p))
printf(" %llu ", p);
if (p % 1000000 == 0)
printf(«*%llu,%llu*», 100*p/MAX, p);
}
}
Увы, прогноз относительно скорости расчетов оказался слишком оптимистичным. Примерно за час работы программы, было перебрано лишь 100 млн. вариантов, а для перебора всех 200 млрд. понадобился бы не один день. Желающие могут продолжить процесс самостоятельно, однако с уверенностью можно сказать что в диапазоне от 1 до 100000000 действительно нет совершенных чисел кроме 6, 28, 496, 8128 и 33550336.
Проверка числа 2 305 843 008 139 952 128 является непростой задачей даже для современного домашнего компьютера – во-первых, в языке C/C++ нет встроенных типов данных для столь большого числа, а во-вторых, число вариантов перебора весьма велико.
Разумеется, выше было приведено самое простое решение «в лоб», можно оптимизировать и саму программу, например разбить вычисление на несколько процессорных ядер, однако данная задача выходит за рамки этого материала. Немного про параллельные вычисления будет рассказано в конце книги.
7. Магический квадрат
Еще одна старинная математическая головоломка – магический квадрат. Магическим называют квадрат, заполненный неповторяющимися числами так, что суммы чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям одинаковы. Такие квадраты известны давно, самым старым из известных является магический квадрат Ло Шу, изображенный в Китае в 2200 г. до нашей эры. Если подсчитать количество точек, то можно перевести квадрат в современный вид, изображенный справа.
Магический квадрат 4х4 был обнаружен в индийских надписях 11 века:
И наконец, известный квадрат 4х4, изображенный на гравюре немецкого художника Дюрера «Меланхолия». Этот квадрат изображен не просто так, 2 числа 1514 указывают на дату создания гравюры.
Как можно видеть, уже математики прошлого умели строить магические квадраты разной размерности. Интересно рассмотреть их свойства.
Сумма чисел магического квадрата размера NxN зависит только от N, и определяется формулой:
Это несложно доказать, т. к. сумма всех чисел квадрата равна сумме ряда 1..N2. Действительно, для квадрата Дюрера M(4) = 34, что можно посчитать на картине. Для квадратов разной размерности суммы равны соответственно: M(3) = 15, M(4) = 34, M(5) = 65, M(6) = 111, M(7) = 175, M(8) = 260, M(9) = 369, M(10) = 505.
Напишем программу для построения магических квадратов размерности N. Первый подход будет «в лоб», напрямую. Создадим массив, содержащий все числа от 1 до N2 и получим все возможные перестановки этого массива. Их число довольно-таки велико, и составляет 1 * 2 * .. * N = N! вариантов. Также для каждого массива необходимо проверить, является ли он «магическим», т. е. выполняется ли требование равенства сумм.
Для получения всех перестановок воспользуемся алгоритмом, описанным здесь – https://prog-cpp.ru/permutation/.
Код программы приведен ниже:
def swap(arr, i, j):
arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
def next_set(arr, n):
j = n – 2
while j != -1 and arr[j] >= arr[j + 1]: j -= 1
if j == -1:
return False
k = n – 1
while arr[j] >= arr[k]: k -= 1
swap(arr, j, k)
l = j + 1
r = n – 1
while l < r:
swap(arr, l, r)
l += 1
r -= 1
return True
def is_magic(arr, n):
for i in range(0, n):
sum1 = 0
sum2 = 0
sum3 = 0
sum4 = 0
for j in range(0, n):
sum1 += arr[i * n + j]
sum2 += arr[j * n + i]
sum3 += arr[j * n + j]
sum4 += arr[(n – j – 1) * n + j]
if sum1 != sum2 or sum1 != sum3 or sum1 != sum4 or sum2 != sum3 or sum2 != sum4 or sum3 != sum4:
return False
return True
def show_squares(n):
N = n * n
arr = [i + 1 for i in range(N)]
cnt = 0
while next_set(arr, N):
if is_magic(arr, n):
print(arr)
cnt += 1
return cnt
# Требуемая размерность
cnt = show_squares(3)
print(«Число вариантов:», cnt)
Программа выдала 8 вариантов для N = 3, время вычисления составило 2 секунды:
| [2, 7, 6, 9, 5, 1, 4, 3, 8] | [6, 1, 8, 7, 5, 3, 2, 9, 4] |
| [2, 9, 4, 7, 5, 3, 6, 1, 8] | [6, 7, 2, 1, 5, 9, 8, 3, 4] |
| [4, 3, 8, 9, 5, 1, 2, 7, 6] | [8, 1, 6, 3, 5, 7, 4, 9, 2] |
| [4, 9, 2, 3, 5, 7, 8, 1, 6] | [8, 3, 4, 1, 5, 9, 6, 7, 2] |
Действительно, как известно, существует только 1 магический квадрат 3x3:
Остальные являются лишь его поворотами или отражениями (очевидно что при повороте квадрата его свойства не изменятся).
Теперь попробуем вывести квадраты 4х4. Запускаем программу… и ничего не видим. Как было сказано выше, число вариантов перебора для 16 цифр равняется 16! или 20922789888000 вариантов. На моем компьютере полный перебор такого количества занял бы 1089 дней!
Однако посмотрим на магический квадрат еще раз:
Суммы всех элементов по горизонтали и вертикали равны. Из этого мы легко можем записать равенство его членов:
x11 + x12 + x13 + x14 = x21 + x22 + x23 + x24 x11 + x12 + x13 + x14 = x14 + x24 + x34 + x44 x11 + x12 + x13 + x14 = x13 + x23 + x33 + x43 x11 + x12 + x13 + x14 = x12 + x22 + x32 + x42 x11 + x12 + x13 + x14 = x11 + x21 + x33 + x44 x11 + x12 + x13 + x14 = x31 + x32 + x33 + x34
И наконец, общая сумма: т. к. квадрат заполнен числами 1..16, то если сложить все 4 строки квадрата, то получаем 4S = 1 + .. + 16 = 136, т. е. S = 34 (что соответствует приведенной в начале главы формуле).
Это значит, что мы легко можем выразить последние элементы через предыдущие:
x14 = S – x11 – x12 – x13
x24 = S – x21 – x22 – x23
x34 = S – x31 – x32 – x33
x41 = S – x11 – x21 – x31
x42 = S – x12 – x22 – x32
x43 = S – x13 – x23 – x33
x44 = S + x14 – x14 – x24 – x34
Что это дает? Очень многое. Вместо перебора 16 вариантов суммарным количеством 16! = 20922789888000 мы должны перебрать лишь 9 вариантов, что дает 9! = 362880 вариантов, т. е. в 57657600 раз меньше! Как нетрудно догадаться, мы фактически выразили крайние строки квадрата через соседние, т. е. уменьшили размерность поиска с 4х4 до 3х3. Это же правило будет действовать и для квадратов большей диагонали.
Обновленная программа выглядит более громоздко (в ней также добавлены проверки на ненулевые значения и проверки на уникальность элементов), зато расчет происходит в разы быстрее. Здесь также используется возможность работы со множествами в языке Python, что легко позволяет делать перебор нужных цифр в цикле:
set(range(1, 16 + 1)) – множество чисел [1..16]
set(range(1, 16 + 1)) – set([x11]) – множество чисел [1..16] за исключением x11.
Также добавлена простая проверка на минимальность суммы: очевидно, что сумма всех элементов не может быть меньше чем 16 + 1 + 2 + 3 = 22.
digits = set(range(1,16+1))
cnt = 0
for x11 in digits:
for x12 in digits – set([x11]):
for x13 in digits – set([x11, x12]):
for x14 in digits – set([x11, x12, x13]):
s = x11 + x12 + x13 + x14
if s < 22: continue
for x21 in digits – set([x11, x12, x13, x14]):
for x22 in digits – set([x11, x12, x13, x14, x21]):
for x23 in digits – set([x11, x12, x13, x14, x21, x22]):
x24 = s – x21 – x22 – x23
if x24 <= 0 or x24 in [x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23]: continue
for x31 in digits – set([x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24]):
for x32 in digits – set([x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31]):
for x33 in digits – set([x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32]):
x34 = s – x31 – x32 – x33
x41 = s – x11 – x21 – x31
x42 = s – x12 – x22 – x32
x43 = s – x13 – x23 – x33
x44 = s – x14 – x24 – x34
if x34 <= 0 or x41 <= 0 or x42 <= 0 or x43 <= 0 or x44 <= 0: continue
data = [x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34, x41, x42, x43, x44]
if len(data) != len(set(data)): continue
if is_magic(data, 4):
print data
cnt += 1
print cnt
В результате, программа проработала всего лишь около часа (вместо 3-х лет!), всего было выведено 7040 квадратов размерностью 4х4. Разумеется, большинство из них являются поворотами или отражениями друг друга, было доказано что уникальных квадратов всего 880.
Вспомним магический квадрат Дюрера, в нижнем его столбце есть цифры 1514, соответствующие году создания гравюры. С помощью программы можно решить еще одну задачу: посмотреть сколько всего возможно квадратов с такими цифрами. Здесь число вариантов перебора еще меньше, т. к. еще 2 цифры фиксированы. Оказывается, помимо «авторского», возможны всего 32 варианта, например:
| 1 15 14 4 | 2 15 14 3 |
| 5 11 8 10 | 5 10 7 12 |
| 12 6 9 7 | 11 8 9 6 |
| 16 2 3 13 | 16 1 4 13 |
Интересно, что верхний ряд помимо цифр 15 и 14 может содержать либо 1, 4 либо 2, 3, других вариантов нет. Разные варианты содержат лишь перестановки этих цифр.
Если же говорить о квадратах большей размерности, то число вариантов перебора для них получается слишком большим. Так для квадрата 5х5, даже если выразить крайние члены через соседние, получаем 4х4 остающихся клеток, что даст нам те же самые 16! вариантов перебора. Разумеется, в реальности такие квадраты не строили методом полного перебора, существует множество алгоритмов их построения, например метод Франклина, Россера, Рауз-Болла, желающие могут поискать их самостоятельно. В архиве с книгой приложен файл «07 – magic5.cpp» для расчета квадратов 5х5 на С++, но автору так и не хватило терпения дождаться результатов.
И наконец, можно вспомнить так называемые «пандиагональные» магические квадраты. Это квадраты, в которых учитываются суммы также «косых» диагоналей, которые получаются если вырезать квадрат из бумаги и склеить его в тор. Желающие могут добавить в программу вывод таких квадратов самостоятельно.
