Текст книги "Ноль: биография опасной идеи"
Автор книги: Чарльз Сейфе
Жанры:
Математика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 4 (всего у книги 14 страниц) [доступный отрывок для чтения: 6 страниц]
Свидания вслепую
Это глупая ребяческая дискуссия, только показывающая недостаток мозгов у тех, кто придерживается мнения, противоположного высказанному нами.
The Times, 26 декабря 1799 года
Эта «глупая ребяческая дискуссия» – о том, начинается ли новый век с года 00 или с года 01, – снова и снова возникает каждую сотню лет. Если бы только средневековые монахи знали о ноле, наш календарь не был бы так нелогичен.
Монахов нельзя винить за их невежество. Ведь в Средние века на Западе изучали математику только христианские монахи, они были единственными, кто чему-то учился. Математика была нужна монахам для двух вещей: молитв и денег. Чтобы считать деньги, они должны были знать… ну, как считать. Для этого они использовали абак или счётную доску – приспособление, похожее на абак, где камешки или иные предметы можно было передвигать. Такое занятие не требовало особых знаний, но по средневековым стандартам представлялось искусством. Чтобы молиться, монахам нужно было знать дату и время суток. В результате отсчёт времени был жизненно важен для церковных ритуалов. Монахи должны были день за днём произносить разные молитвы в разные часы суток. (Английское слово noon – «полдень» – происходит от латинского nones: службы в средневековых церквях в середине дня.) Как мог ночной сторож знать, когда поднимать своих собратьев с удобных соломенных подстилок, чтобы они начали дневное богослужение? И если у вас не было точного календаря, вы не могли знать, когда праздновать Пасху. Это была большая проблема.
Вычисление даты Пасхи было нелёгким делом благодаря противоречиям календарей. Средоточием власти Церкви был Рим, и христиане пользовались римским солнечным календарём, в котором год состоял из 365 с небольшим дней. Однако Иисус использовал иудейский лунный календарь с 354 днями в году. Главные события в жизни Иисуса соотносились с лунным календарём, в то время как повседневная жизнь Средневековья управлялась календарём солнечным. Два календаря смещались друг относительно друга, делая очень трудным предсказание даты, на которую придётся праздник. Пасха была именно таким плавающим праздником, и каждые несколько поколений монахам приходилось рассчитывать, на какие даты придётся Пасха в ближайшие сотни лет.
Дионисий Малый был одним из таких монахов. В VI веке папа Иоанн I попросил его расширить таблицу дат Пасхи. Переводя и рассчитывая таблицу заново, Дионисий провёл некоторые исследования; при этом он решил, что может вычислить, когда родился Иисус. Собрав кое-какие математические сведения, он нашёл, что текущий год – 525-й со времени рождения Спасителя. Дионисий счёл, что год рождения Иисуса впредь должен быть 1 anno Domini – первым годом Господа нашего. (Фактически Дионисий говорил, что рождение Иисуса приходится на 25 декабря предыдущего года, однако он начал свой календарь с первого января, чтобы он соответствовал римскому календарю.)
Следующий год стал вторым годом нашей эры, следующий – третьим и так далее. Так родился новый календарь в дополнение к двум самым распространённым системам датировки[10]10
Одна система датировки начинала отсчёт от основания Рима, другая – от воцарения императора Диоклетиана. Для христианского монаха рождение Спасителя было более важным событием, чем основание города, который несколько раз захватывали вандалы и готы, или начало правления императора, имевшего нехорошую привычку кормить экзотических животных своего зверинца христианами (прим. авт.).
[Закрыть]. Однако имелась проблема… даже две.
Во-первых, Дионисий неверно определил дату рождения Иисуса. Все источники согласны в том, что Мария и Иосиф бежали, спасаясь от гнева царя Ирода, поскольку Ирод получил пророчество о рождении Мессии. Однако Ирод умер в третьем году до нашей эры, за несколько лет до предполагаемого рождения Христа. Дионисий явно ошибался; сегодня большинство учёных считает, что рождение Иисуса приходится на четвёртый год до нашей эры. Дионисий ошибся на несколько лет.
Но эта ошибка не так уж существенна. При выборе первого года календаря не важно, какой именно год выбран при условии, что всё этому соответствует. Ошибка в четыре года не имеет значения, если все соглашаются делать ту же ошибку, как на самом деле и происходит. Однако с календарём Дионисия возникла более серьёзная проблема: проблема ноля.
Нулевого года не было. На первый взгляд, это не имело большого значения; большинство календарей того времени начинались с первого года, а не с нулевого. У Дионисия даже не было выбора – он не знал о ноле. Он родился после упадка Римской империи. Даже во времена её расцвета римляне не были знатоками математики. В 525 году, в начале Тёмных веков, на Западе держались за громоздкие римские цифры, а в той системе счисления ноля не было. Для Дионисия первый год Господа нашего, естественно, был годом I. Следующий год был годом II, и Дионисий пришёл к такому выводу в году DXXV.
При большинстве обстоятельств это не привело бы к беде, поскольку календарь Дионисия не был принят немедленно. В 525 году у интеллектуалов при римском дворе случились большие неприятности. Умер Иоанн I, и в результате последовавшей за этим борьбы за власть все философы и математики, вроде Дионисия, были изгнаны со службы. Им ещё везло, если удавалось сохранить жизнь. (Повезло не всем. Аниций Боэций был влиятельным государственным деятелем и одним из лучших средневековых математиков Запада, что делает его достойным упоминания. Примерно в то же время, когда Дионисий лишился должности, Боэций утратил влияние и попал в тюрьму. Боэция помнят не за его математические работы, а за «Утешение философией» – трактат, содержащий философские рассуждения в стиле Аристотеля. Вскоре после этого Боэций был казнён.) В любом случае введение нового календаря было надолго отложено.
Отсутствие нулевого года начало создавать проблемы двумя столетиями позднее. В 721 году, примерно тогда, когда пасхальная таблица Дионисия должна была закончиться, Бе́да Достопочтенный, монах из Северной Англии, которому предстояло стать знаменитым, её снова продолжил. Возможно, при этом он познакомился с работой Дионисия. Когда Бе́да взялся за написание «Церковной истории народа англов», он использовал новый календарь.
Книга имела огромный успех, однако обладала одним серьёзным недостатком. Бе́да начал свою историю с шестидесятого года до нашей эры – шестьюдесятью годами раньше даты, взятой за основу Дионисием. Бе́да не хотел отказываться от новой системы летоисчисления, поэтому он просто продолжил календарь назад. Для Бе́ды, тоже не знавшего о ноле, год до наступления первого года нашей эры был первым годом до нашей эры. Нулевого года не было. В конце концов, для Бе́ды ноль не существовал.
На первый взгляд, такой стиль нумерации не кажется особенно плохим, однако он гарантировал неприятности. Посмотрите на годы новой эры как на положительные числа, а на годы до новой эры – как на отрицательные. Датировка Бе́ды выглядела так: −3, −2, −1, 1, 2, 3… – ноль, законное место которого между −1 и 1, отсутствовал. Это всех запутало. В 1996 году в газете «Вашингтон пост» появилась статья о календаре, сообщавшая, «как следует думать» о противоречии, связанном с наступлением нового тысячелетия; в ней, между прочим, упоминалось о том, что раз Иисус родился в четвёртом году до нашей эры, 1996 год является 2000 годом с Его рождения. Это было вполне логично: 1996−(−4)=2000. Однако такой подсчёт неверен: на самом деле прошло всего 1999 лет.
Представьте, что ребёнок родился первого января четвёртого года до нашей эры. В третьем году до нашей эры ему исполнился 1 год; во втором – 2 года; в первом году до нашей эры – 3 года; в первом году нашей эры ему сравнялось 4 года; во втором году нашей эры – 5 лет. Вопрос: на 1 января второго года нашей эры сколько лет прошло с того момента, когда он родился? Очевидно, 5 лет. Однако это не то, что вы получите, если произведёте вычитание: 2−(−4)=6. Вы получаете неправильный ответ, потому что отсутствует нулевой год.
По справедливости ребёнку должно было бы сравняться 4 года 1 января нулевого года нашей эры, 5 – в первом году нашей эры, 6 – во втором году нашей эры. Тогда все числа расположились бы правильно, и вычисление возраста ребёнка достигалось бы просто – вычитанием. Однако на самом деле всё не так. Вы должны для получения правильного ответа вычесть дополнительный год. Таким образом, Иисусу в 1996 году было бы не 2000 лет, а только 1999. Всё это весьма запутано и становится всё хуже и хуже.
Представьте себе, что ребёнок родился в первую секунду первого дня первого года: 1 января первого года нашей эры. Во втором году нашей эры ему будет 1 год, в третьем – 2 и так далее. В 99 году ему будет 98 лет, а в 100 году – 99. Теперь представьте себе, что ребёнку дали имя Столетие; тогда Столетию в 100 году будет всего 99 лет, а свой сотый день рождения он сможет отпраздновать только 1 января 101 года. Таким образом, второе столетие начинается в 101 году. Аналогично третье столетие начинается в 201 году, а двадцатое – в 1901. Это значит, что двадцать первое столетие – третье тысячелетие – начинается в 2001 году. Не то чтобы вы могли это заметить…
Места в отелях и ресторанах по всему миру были заказаны задолго до 31 декабря 1999 года, а не 31 декабря 2000-го. Все праздновали наступление нового тысячелетия в неправильный день. Даже королевская Гринвичская обсерватория, официальная хранительница времени в мире и арбитр во всём, что касается хронологии, ожидала наплыва празднующих. Пока атомные часы тикали в обсерватории на холме, толпы у подножия ожидали начала великолепной церемонии – открытия грандиозного «Купола тысячелетия» и выставки Millenium Experience, которое организаторы – как вы догадались – назначили на 31 декабря 1999 года. Выставка должна была закрыться 31 декабря 2000 года, как раз когда астрономы на вершине холма открывали бы бутылки шампанского, празднуя наступление нового тысячелетия. Если, конечно, предположить, что астрономы вообще обращают внимание на даты…
Астрономы не могут играть со временем так же легко, как любой другой человек. В конце концов, они наблюдают за небесными часами, которые не отстают и не уходят вперёд, которые нельзя переводить каждый раз, когда людям вздумается изменить календарь. Поэтому астрономы решили вообще игнорировать человеческие календари. Они не измеряют время, отсчитывая годы от рождения Христа. Они отсчитывают дни, начиная с 1 января 4713 года до н. э. – произвольно установленной даты, выбранной учёным Жозефом Скалигером в 1583 году. Его «юлианская дата» (названная так в честь отца учёного, а не Юлия Цезаря) сделалась стандартной отправной точкой при описании астрономических явлений, поскольку так удавалось избежать всех неясностей, связанных с постоянно меняющимися календарями. (С тех пор система была несколько модифицирована. Модифицированная юлианская дата является просто юлианской датой, уменьшенной на 2400000 дней и 12 часов; она принимает за нулевой час полночь 17 ноября 1858 года, тоже более или менее произвольно.) Возможно, астрономы откажутся праздновать 51542-ю модифицированную юлианскую дату, евреи проигнорируют 23 тевет 5760 года (anno Mundi – года от создания мира), мусульмане забудут о 23 рамадан 1420 (anno Hejirae – года хиджры, переселения пророка Мухаммеда из Мекки в Медину)… А впрочем, может быть, и нет. Все они будут знать, что это 31 декабря 1999-го (anno Domini – года Господа нашего), а 2000 год – совсем особенный.
Трудно сказать, почему, но мы, люди, обожаем красивые круглые числа со множеством нолей. Многие из нас помнят, как в детстве ехали в автомобиле, когда на спидометре должна была появиться отметка в 20 тысяч миль. Все в автомобиле молча следят, как цифра 19999 медленно ползёт… и вот со щелчком появляются 20 тысяч! Все дети начинают радостно вопить.
Вечером 31 декабря 1999 года щёлкнул великий спидометр в небесах.
Нулевой номер
Вацлав Серпинский, великий польский математик, был обеспокоен тем, что потерял один предмет из своего багажа. «Нет, дорогой, – сказала ему жена, – все шесть предметов на месте». – «Не может быть, – возразил Серпинский, – я пересчитал их несколько раз: ноль, один, два, три, четыре, пять».
Предположение, что Дионисий Малый и Бе́да Достопочтенный сделали ошибку, забыв включить в свой календарь ноль, может показаться странным. В конце концов, дети считают «один, два, три», а не «ноль, один, два». За исключением майя, никто больше не имел нулевого года и не начинал месяца с нулевого дня. Это кажется неестественным. С другой стороны, когда вы считаете в обратном порядке… «Десять. Девять. Восемь. Семь. Шесть. Пять. Четыре. Три. Два. Один. Старт!».
Космический шаттл всегда дожидается ноля, прежде чем взмыть в воздух. Важные события происходят в нулевой час, а не в первый. Когда вы приближаетесь к месту, где взорвалась бомба, вы приближаетесь к нулевой отметке (groundzero).
Если вы внимательно присмотритесь, то увидите, что люди и в самом деле начинают считать с ноля. Секундомер начинает отсчёт с 0:00.00 и доходит до 0:01.00 только через секунду. Спидометр автомобиля, только что изготовленного на заводе, установлен на 00000, хотя к тому моменту, когда продавец пригонит его в магазин, он покажет на несколько миль больше. У военных день официально начинается в 00:00 часов. Однако считая вслух, вы всегда начнёте с «один», если только вы не математик и не программист[12]12
Когда программист разрабатывает программу, которая должна снова и снова что-то делать, он наверняка велит компьютеру считать, скажем, от ноля до девяти, чтобы сделать десять шагов. Забывчивый программист может заставить компьютер считать от одного до девяти, так что тот сделает всего девять шагов вместо десяти. Весьма вероятно, что именно такой баг привёл к неудаче лотереи в Аризоне в 1998 году. Среди выпадавших чисел ни разу не появилась «девятка». «Её не включили в программу», – виновато признал ведущий (прим. авт.).
[Закрыть]. Это имеет отношение к порядку.
Когда вы имеете дело с пересчитыванием чисел – 1, 2, 3 и т. д., их легко расположить по порядку: число 1 идёт первым, 2 – вторым, 3 – третьим. Нам не нужно беспокоиться о том, чтобы не перепутать количественный смысл числа – то есть кардинал, мощность соответствующего ему множества (например, множества пяти единиц) – с его порядковым номером, ординалом, поскольку по сути это одно и то же. Так обстояли дела многие годы, и все были довольны. Но когда появился ноль, аккуратные взаимоотношения между мощностью и порядковым номером оказались разрушены. Числа расположились так: 0, 1, 2, 3; 0 оказался на первом месте, 1 – на втором, 2 – на третьем. Кардинал и ординал перестали быть взаимозаменяемыми. В этом и кроется корень проблемы с календарём.
Первый час дня начинается в 0 секунд после полуночи; второй час – в 1 час ночи, третий час – в 2 часа ночи. Хотя мы считаем порядковыми числительными (первый, второй, третий), время мы отмечаем количественными числительными (0, 1, 2){1}. Все мы усвоили такой способ мышления, осознаём мы это или нет. Когда заканчивается двенадцатый месяц жизни младенца, мы все говорим, что ему исполнился год: он закончил первые 12 месяцев своей жизни. Если малышу исполняется год, когда он уже год прожил, не было бы логично говорить, что до этого ему 0 лет? Конечно, вместо этого мы говорим, что ребёнку шесть недель или девять месяцев от роду, – умный способ обойти тот факт, что малышу 0 лет.
Дионисий не знал о ноле, поэтому начал свой календарь с года 1, как до него начинали свои календари древние. В те времена люди думали в старом стиле – эквивалентности мощности и порядкового номера. Это было прекрасно… для них. Раз ноль никогда не приходил им в голову, то и проблемы не было.
Зияющая бездна
И всё-таки это не было полное «ничто»: было нечто бесформенное, лишённое всякого вида… Здравый разум убеждал меня совлечь начисто всякий остаток формы, если мысленно хочу представить бесформенное, но я не мог.
Трудно винить монахов в их невежестве. Мир Дионисия Малого, Боэция и Бе́ды был поистине тёмен. Рим пал, и западная цивилизация казалась всего лишь тенью былого римского величия. Будущее представлялось ужаснее, чем прошлое. Неудивительно, что в своих поисках мудрости учёные обращались за идеями не к современникам, а к древним мыслителям, таким как Аристотель и неоплатоники. Заимствуя философию и науку у древних, средневековые учёные наследовали и их предрассудки: страх перед бесконечностью и перед пустотой.
Средневековые мыслители клеймили пустоту как зло и зло как пустоту. Сатана в буквальном смысле был ничем. Боэций аргументировал это так: Бог всемогущ; нет ничего, чего Бог не мог бы совершить. Однако Бог как наивысшее благо не может творить зла. Следовательно, зло – это ничто. Для средневекового ума в этом содержался неоспоримый смысл.
Под покрывалом средневековой философии, впрочем, скрывался конфликт. Аристотелевская система была греческой, но иудео-христианская история сотворения мира была семитской, а семиты не так боялись пустоты. Сам акт творения был обращён на хаотическую бездну, и теологи, такие как святой Августин, живший в IV веке, пытались преодолеть это противоречие, называя состояние до творения «чем-то ничем», не имеющим формы, но тем не менее не достигающим «полного ничто». Страх перед бездной был так велик, что христианские учёные пытались трактовать Библию так, чтобы она соответствовала Аристотелю, а не наоборот.
К счастью, не все цивилизации так боялись ноля.
Глава 3. Ничто не позволено
Ноль отправляется на Восток
Если Запад боялся пустоты, Восток её приветствовал. В Европе ноль был вне закона, но в Индии и позднее в арабских странах он процветал.
Когда мы в последний раз видели ноль, он был просто символом-заполнителем – пустым местом в вавилонской системе нумерации. Ноль был полезен, но не являлся числом в полном смысле слова: он не имел величины. Значение ноль обретал только от цифр слева от него; обозначавший ноль знак буквально ничего не значил сам по себе. В Индии всё изменилось.
В IV веке до н. э. Александр Великий со своим персидским войском прошёл от Вавилона до Индии. Именно благодаря этому нашествию индийские математики впервые узнали о вавилонской системе счисления и о ноле. Когда в 323 году до н. э. Александр умер, его перессорившиеся полководцы разорвали его империю на части. Во II веке до н. э. к власти пришёл Рим, поглотивший Грецию, однако власть Рима не простиралась так далеко на восток, как власть Александра.
В результате далёкой Индии не коснулось распространение христианства, на ней не отразилось падение Рима в IV–V веках, там не укоренилась философия Аристотеля. Хотя Александр, ученик Аристотеля, несомненно, привёз в Индию идеи своего учителя, они там не привились. В отличие от Греции Индия никогда не испытывала страха перед бесконечностью и пустотой. Напротив, она их приветствовала.
Пустота занимала важное место в индуистской религии. Индуизм возник как многобожие и включал мифы о воинственных богах и битвах, во многом сходные с греческими мифами. Однако за столетия – столетия до прихода Александра – индуистские боги начали сливаться. Хотя индуизм сохранил свои ритуалы и почитание всего пантеона, по сути он сделался монотеистическим и интроспективным. Все боги сделались аспектами одного всеобъемлющего божества – Брахмы. Примерно в то же время, когда греческая культура расцветала на Западе, индуизм становился менее сходным с западными мифами; отдельные боги делались менее отличимыми, а религия становилась всё более и более мистической. Мистицизм был выраженно восточным.
Как многие восточные религии, индуизм пропитался символизмом двойственности. (Конечно, эта идея периодически возникала в западном мире, где сразу же клеймилась как еретическая. Одним таким примером может служить манихейская ересь, которая рассматривала мир как находящийся под влиянием равных и противоположных сил – добра и зла.) Как инь и ян на Дальнем Востоке и зороастрийский дуализм на Ближнем Востоке, индуизм видел творение и уничтожение переплетёнными между собой. Бог Шива был одновременно создателем и разрушителем мира и изображался с барабаном творения в одной руке и огнём разрушения в другой (рис. 13). Однако Шива одновременно олицетворял ничто. Один из аспектов этого божества, Нишкала Шива, буквально именовался «Шива без частей». Он был первозданной бездной, окончательным ничто – олицетворением безжизненности. Однако из бездны родилась Вселенная, как и бесконечность. В отличие от западной вселенной индуистский космос имел бесконечную протяжённость; за пределами нашей Вселенной существовали бесчисленные другие вселенные.
Рис. 13. Танцующий Шива
В то же время, впрочем, космос никогда не лишался своей изначальной пустоты. Ничто было тем, из чего возник мир, и снова достичь ничто было окончательной целью человечества. В одной из легенд Смерть говорит ученику о душе:
«В сердцах всех людей скрыт Атман, Дух, Самость. Он меньше мельчайшего атома и больше величайших пространств».
Этот Атман, присутствующий во всём, есть часть сущности Вселенной, и он бессмертен. Когда человек умирает, Атман освобождается из тела и скоро входит в другое существо; душа переселяется, и происходит реинкарнация. Целью индуиста является полное освобождение Атмана из цикла перерождений, прекращение блужданий от смерти к смерти. Путь к достижению окончательного освобождения – достижение безжизненности и пренебрежение иллюзией реальности.
«Тело, обитель духа, находится под властью удовольствий и страданий, – говорит бог. – Если человек подчиняется своему телу, этот человек никогда не освободится».
Однако стоит вам отделить себя от капризов плоти и погрузиться в безмолвие и пустоту своей души, и вы будете освобождены. Ваш Атман вылетит из сетей человеческих желаний и присоединится к коллективному сознанию – бесконечной душе, пронизывающей Вселенную, одновременно пребывающей всюду и нигде. Это – бесконечность и ничто.
Таким образом, Индия, общество, где активно исследовалась пустота и бесконечность, приняла ноль.
