Текст книги "Успенский пишет о Колмогорове"

Автор книги: Борис Кушнер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 2 страниц)

В 1974 году А.Г. Драгалина[xv][15]
  Замечательный математик, Альберт Григорьевич Драгалин (10 апреля 1941 г. – 18 декабря 1998г.) один из самых ярких участников школы А.А. Маркова. Его безвременная смерть была большим пострясением для всех нас. Воспоминания о Драгалине выдающегося голландского математика A. Troelstra можно найти на http://staff.science.uva.nl/~anne/dragalin.html, некролог: S. Artemov, B. Kushner, G. Mints, E. Nogina, and A. Troelstra, In Memoriam: Albert G. Dragalin, The Bulletin of Symbolic Logic, vol 5, No.3, 389-391,1999 (прим. 2004 г.).


[Закрыть] и меня попросили написать статью об интуиционизме для третьего издания Большой Советской Энциклопедии. Статья ([11]) была направлена на отзыв Колмогорову. Когда я увидел рукопись с колмогоровскими замечаниями, я ещё раз поразился свежести его восприятия математической и философской области, которую он оставил столько лет назад...

Небезынтересен вопрос, почему молодой студент вообще заинтересовался такими окраинными вопросами, по видимости далёкими от интересов окружавшей его математической среды. Конечно, нельзя исключать огромного влияния Д. Гильберта и острой дискуссии по основаниям математики, развернувшейся между ним и лидером интуиционистов Брауэром. Но и сделанное выше замечание о математической среде, окружавшей молодого Колмогорова тоже глубоко неверно! В силу совпадения ряда разнородных причин проблемы оснований математики и, в частности, интуиционистской математики часто и горячо дискутировались в Москве в 20-е годы (ср. цитировавшиеся выше воспоминания Юшкевича [8]). Публичные сообщения об интуиционизме делал А.Я. Хинчин, им была опубликована в 1926 году статья об интуиционизме, отголоски этого интереса можно различить и в некоторых его книгах.  Наконец, следует сказать, что основатель Лузитании, учитель Колмогорова, Александрова и многих других выдающихся математиков Н.Н. Лузин был не только выдающимся практическим математиком, но и глубоким математическим мыслителем. Достаточно упомянуть его участие в начале века в знаменитой переписке-дискуссии по основаниям теории множеств и, в особенности аксиомы выбора, между ведущими французскими математиками (см. [12]). Достойно восхищения и пророческое предсказание Лузиным позднейших результатов о независимости в теории множеств. Неудивительно, что ученики Лузина ощущали математику не как технические манипуляции с формулами и головоломками, а как живой организм, само функционирование которого представляло волнующую загадку. На этот фон парадоксальным образом наложился и марксистский энтузиазм, характерный для ранних послереволюционных лет. Мне трудно судить до какой степени этот энтузиазм уже в те годы был отравлен низким карьеризмом, демагогией и полной догматизацией философии, которые мне довелось наблюдать в моей молодости. Трудно, однако, избавиться от впечатления, что многие горячие головы в то время вполне искренне полагали, лучше сказать верили, что в философии Маркса найден своего рода «философский камень», окончательный научный ответ на все вопросы Бытия. Возможно, чтение работ В.И. Ленина проливает определённый свет на этот интересный психологический феномен. Неиссякаемая, просто религиозная убеждённость в обладании окончательной, единственно верной методологией, позволяющей понять и объяснить всё и вся, приводит к тому, что этот человек, наделённый, среди прочего, исключительно острым критическим умом, без тени сомнения и юмора вторгается в области знания, в которых он абсолютно некомпетентен, поучает Пуанкаре, Маха, Эйнштейна и т.д. Из этого же настроения рождаются и знаменитые ленинские афоризмы, вроде «электрон также неисчерпаем, как и атом», «учение Маркса всесильно потому, что оно верно» и т.д. и т.п., буквально вколоченные (среди прочих куда менее безобидных догм) большевистской пропагандой в сознание (и в подсознание!) подданных бывшей советской Империи[xvi][16]
  Соответственно я цитирую В.И. Ленина по памяти. Такое «цитирование» представляется в данном контексте вполне органичным.


[Закрыть].    Пожалуй, одной из вершин этой смехотворной агрессивной некомпетентности является знаменитое ленинское заявление: «...ДАЖЕ в математике нужна фантазия, ДАЖЕ для того чтобы открыть дифференциальное исчисление нужна была фантазия»[xvii][17]
  Великому математику двадцатого века Давиду Гильберту принадлжежит высказывание в известном смысле противоположное ленинскому. Про одного из своих учеников Гильберт заметил, что тот стал поэтом, поскольку для математики у него не хватало фантазии (прим. 2004 г.).


[Закрыть]. (Эти бессмертные «даже» выделены мною). Позднее, в случае, скажем, Сталина эта первоначальная убеждённость в обладании абсолютной истиной, конечно, померкла перед обладанием абсолютной властью и ощущением полной безнаказанности. И всё же кое-что от этой убеждённости оставалось, например, в знаменитых изысканиях вождя всех народов по языкознанию. Той же породы, видимо, было и настроение, в котором незабвенный А.И. Жданов учил (кажется, даже за роялем) Шостаковича, Прокофьева и Хачатуряна как сочинять хорошую мелодичную музыку...

Неудивительно, что в 20-е годы велик был соблазн применить волшебное Марксово лекарство к лечению математики. Дискуссии по основаниям математики поощрялись и, наряду с тоннами словесного мусора, несомненно, много интересных соображений было высказано в те далёкие, холодные и голодные годы. В своих воспоминаниях о Колмогорове Юшкевич упоминает одну из таких дискуссий и впечатление, произведённое на него безыскусным по форме выступлением Колмогорова, в особенности замечанием о том, что интуиционистская математика только по форме уже классической. Думаю, что это замечание лет на 50 опередило своё время. Во всяком случае, я слышал подобные высказывания только в начале восьмидесятых годов, и делались они на основании огромного технического опыта, накопленного несколькими поколениями исследователей.

Столь же оригинальна и вторая предвоенная логическая статья Колмогорова [10]. Опубликованная семью годами позже, чем [9], на немецком языке, работа посвящена истолкованию интуиционистской логики. Если с семантикой классической логики дело обстояло более или менее благополучно, то вокруг содержания интуиционисткой логики велось немало дискуссий. Говоря очень упрощённо, классическая теоретико-множественная концепция математики, восходящая к Кантору, предполагает некий платонистский, идеальный, завершённый мир, в котором математические объекты существуют независимо от нашего творческого сознания в таком же смысле, как существуют звёзды на небе. Завершённая, актуальная бесконечность является вполне гармоничной идеей для такого мира (в самом деле, например, натуральный ряд в этом завершённом мире тоже должен быть завершённым, актуально бесконечным, иначе придётся допустить существование наибольшего натурального числа, что по меньшей мере странно). Математические утверждения выражают состояния вещей в этом мире и потому они также независимо от нашего сознания, состояния знаний и т.д. либо истинны, либо ложны. Не только абсолютизация экзистенциального статуса математических объектов, но и абсолютизация самого познания доведена в этой концепции до конца. Математические теоремы не столько изобретаются, сколько открываются математиками примерно так же, как открывались мореплавателями новые острова. Ясно, что закон исключённого третьего вполне естественен в этом «чёрно-белом» мире и что классическая логика является, таким образом, логикой теоретических истин, то есть логикой идеализированного математического бытия.

В контрасте с этой концепцией, интуиционистский математический мир принципиально незавершён, он развивается в результате творческой активности субъекта. Образно говоря, акт Творения математического мира передан от Бога к человеку, точнее к идеализированному человеческому существу, живущему и творящему во времени. От активности и умений такого творческого субъекта и зависит характер соответствующего математического мира. Что же в таком случае выражает интуиционистская логика, эта своего рода конституция интуиционистской математики? Предложенная Колмогоровым концепция исходит из того, что объектами интуиционистской математики, а, следовательно, и логики являются не абсолютные истины (как в традиционном случае), а задачи (проблемы). Логические операторы формируют новые проблемы из уже поставленных, а сами формулы интуиционистской логики выражают умение решить те или иные составные задачи. Таким образом, интуиционистская логика оказывается логикой умений. Закон исключённого третьего теряет при таком подходе свой универсальный характер. Принятие его означало бы постулирование умения решить в каждый момент времени любую задачу, что вряд ли убедительно. Интересной стороной интерпретации Колмогорова является её нейтральность: интуиционистская логика может теперь быть объяснена исследователю, не понимающему сложной философии интуиционизма или просто не заинтересованному в ней. Интуиционистская логика в какой-то мере теряет свой «религиозный», эзотерический характер и становится заманчивым объектом исследования для «обыкновенного» математика. Мне кажется, что значительный прогресс в изучении интуиционистской логики, достигнутый в послевоенные годы (и открывший, помимо прочего, дорогу к практическим её применениям в информатике), в большой степени обязан этому новому подходу, восходящему к Колмогорову.

Исследования Колмогорова по интерпретации интуиционистской логики развивались параллельно с усилиями выдающего голландского логика, ученика и последователя Брауэра А. Гейтинга. Многие идеи этих учёных оказались очень близкими. Однако в логической литературе до недавнего времени имя Колмогорова в этой связи почти не упоминалось. Мне кажется очень важным, что, восстанавливая историческую справедливость, два выдающихся представителя голландской школы, ученики Гейтинга Д. ван Дален и А. Трулстра в своей недавней великолепной двухтомной монографии [13] ввели в употребление термин «интерпретация Брауэра-Гейтинга-Колмогорова».  С именем Трулстры связана и недавняя публикация писем Колмогорова Гейтингу ([14–15]). Письма эти были обнаружены Трулстрой в архивах А. Гейтинга. Профессор Трулстра, с которым я состоял в течение ряда лет в дружеской переписке, любезно прислал мне копии этих бесценных исторических документов, относящихся к началу 30-х годов. Естественно, было бы крайне интересно найти письма Гейтинга к Колмогорову в бумагах последнего. К сожалению, если я не ошибаюсь, это оказалось невозможным. Тем временем В.А. Успенский предложил опубликовать русские переводы писем Колмогорова (оригиналы написаны на немецком и французском языках) в Успехах Математических Наук, что и было сделано с любезного согласия профессора Трулстры. Корреспонденция между Колмогоровым и Гейтингом, даже доступная только частично, проливает новый свет на раннюю историю интуиционизма и на личности обоих выдающихся учёных.

Как это случилось и с работой 1925 года, новая работа Колмогорова по интуиционистской логике осталась малоизвестной. По-видимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16].  Семантика реализуемости, оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10].

Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух работ. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за пределами России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на Западе. Можно надеяться, что статья Успенского, опубликованная по-английски и в одном из самых читаемых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию[xviii][18]
  В связи с подобными проблемами часто приходится слышать о языковом барьере. Боюсь, однако, что дело обстоит сложнее. Во-первых, скажем, Колмогорову не легче читать по-английски, чем любому его англоязычному коллеге по-русски. Во-вторых, статья 32-го года написана по-немецки, а статья 25-го года уже довольно давно (1967 г.) опубликована в английском переводе профессором Хейенортом [17]. В третьих, трудно не вспомнить об аналогичной судьбе выдаюшейся работы П.С. Новикова [18], опубликованной в 1943 году по-английски. И это не помогло – работа эта по сей день остаётся практически неизвестной за пределами (бывшего) Советского Союза. Не мне, однако, искать разгадку описанного феномена.
  В связи с публикацией английского перевода статьи 25-го года приведём короткое, но выразительное письмо Колмогорова (копия приводимого письма получена, благодаря любезности Профессора И. Анелиса, из Jean van Heijenoort papers, 1946-1983, Archives of  American Mathematics, University Archives, University of Texas at Austin).
  Москва В 234                     Professor John van Heijenoort
  Университет                      100 Washington Square
  Зона Л. кв. 10                   New York 3 N.Y. USA
  А.Н.Колмогоров
  Глубокоуважаемый Коллега!
  Моя работа, опубликованная в 1925 году, может рассматриваться как общее достояние специалистов по математической логике, и я ничего не имею против ее перевода. Рассчитываю, впрочем, на Вашу любезность в смысле присылки мне экземпляра подготовляемой Вами книги по её выходе в свет.
                   С искренним уважением
  12 ноября 1963                         Ваш А. Колмогоров
  О невероятной жизни самого ван Хейенорта можно прочесть в яркой книге Аниты Феферман [19].


[Закрыть].

5. Дальнейшая часть обзора Успенского посвящена трудам Колмогорова по общей теории алгоритмов и алгоритмическим основаниям теории вероятностей. Следует сказать, что В.А. Успенский принял самое живое участие в этой деятельности А.Н. Колмогорова. Широко известная ныне общая концепция алгоритма, задуманная Колмогоровым и реализованная им совместно с Успенским, по-видимому даёт наиболее общее точное описание интуитивных алгоритмов. Алгоритмы, подпадающие под эту концепцию, обычно называют алгоритмами Колмогорова-Успенского. Я специально подчёркиваю это обстоятельство, не отмеченное В.А. по понятным причинам. Определение Колмогорова-Успенского оказалось очень плодотворным, как с точки зрения приложений (теория сложности), так и с точки зрения оснований математики. Если в других классических точных определениях (машина Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгорифмы Маркова и т.д.) ставилась задача воспроизвести работу любого интуитивного математического алгоритма посредством некоторого алгоритма из данного точного класса (возможность всегда достичь этой цели и провозглашалась Тезисом Чёрча, тезисом Тьюринга, принципом нормализации и т.д.), то определение Колмогорова-Успенского пытается непосредственно представить наиболее общие мыслимые математические алгоритмы. Анализ природы финитарных процессов, приводящий к упомянутому определению, представляет большой методологический интерес. Некоторые авторы полагают даже, что этот анализ доставляет легитимное доказательство Тезиса Чёрча (см. интересную работу Мендельсона [20]).

Несомненный исторический интерес представляют замечания Успенского о семинаре «Рекурсивная Арифметика», которым Колмогоров пригласил его соруководить в 1953/1954 учебном году. Историкам математики будет небесполезно проследить связь между трудами по дескриптивной теории множеств московской школы Лузина и изучением рекурсивно-перечислимых множеств в этом семинаре[xix][19]
  Связь этих двух теорий особенно ясно ощущается в иерархиях множеств в теории рекурсивных функций (иерархия Клини-Мостовского и т.д.).


[Закрыть]. (Если я не ошибаюсь, аналогичные события происходили примерно в то же время и на семинарах П.С. Новикова.) На этом же семинаре Колмогоровым были высказаны основные идеи будущей теории нумераций, впервые развитые в точной форме В.А. Успенским.

Ярко представлен Успенским и один из последних творческих подвигов А.Н. Колмогорова – создание им и  очередным поколением его учеников основ алгоритмической теории информации и теории вероятностей. Эти труды А.Н. Колмогорова ведут непосредственно в сегодняшний день. Соответствующие теории ещё не обрели завершенные формы, продолжается поиск основных концепций, оттачивается интуиция. Драматические начальные шаги этого процесса, протекавшие в 60-е годы, во всей их живой полноте представлены Успенским. Я могу только дополнить его описание несколькими наблюдениями и воспоминаниями, поскольку я тоже был непосредственным свидетелем происходящего.

Мне не довелось быть непосредственным учеником Колмогорова, и мои личные встречи с ним были немногочисленны. Но каждая навсегда врезалась в память. Первая такая встреча произошла в середине 60-х годов, когда я был аспирантом на кафедре математической логики. С.А. Яновская планировала организовать заседание Математического Общества по программным методам обучения с участием ведущих математиков, педагогов и психологов. Написав записку А.Н., она попросила меня отвезти это послание на дачу в Болшево-Комаровке, вблизи Москвы, которую Колмогоров в течение многих лет разделял с П.С. Александровым. Дача эта, конечно же, была знаменита в математических кругах. Дело было зимним холодным вечером, и я нашёл не особенно приметный дом не без труда.

Колмогоров вышел ко мне в лыжном костюме, как всегда, голова его была чуть-чуть наклонена вперёд. Обращение его с любым собеседником, независимо от возраста и ранга, всегда было предельно корректным. Вот и сейчас, увидев меня первый раз, он протянул руку, пригласил сесть и погреться. Прочитав записку, А.Н. сказал, что, к сожалению, не сможет сделать доклад, о чём его просила Яновская, так как не чувствует себя экспертом в данной области. Он рекомендовал обратиться к Б.В. Гнеденко, который, если мне не изменяет память, и сделал требуемый доклад. Из самого заседания математического общества мне запомнился лишь не лишённый комизма эпизод. Один из выступавших, энтузиаст-психолог увлечённо излагал своё необычайное и, несомненно, окончательное решение проблемы обучения детей математике.

– Как, например, учить сложению? – риторически спросил он, – мало кто знает, что такое сложение!  – И, посмотрев в зал, заполненный математиками, добавил

– Вы не знаете, что такое сложение!

И здесь не выдержал А.Г. Курош.

– МЫ знаем, что такое сложение! – возмущённо возразил он.

Вообще подготовка этого заседания оказалась крайне благотворной для меня. Я ближе познакомился с С.А. Яновской, с её учеником философом Б.В. Бирюковым, от которого я впервые услышал о замечательном учёном и замечательной личности академике, адмирале А.И. Берге (много лет спустя Аксель Иванович энергично вмешался, когда моя монография застряла в недрах Редакционно-Издательского Совета Издательства Наука). В те дни мне довелось провести несколько часов в доме матери Б.В. Бирюкова в одном из исчезнувших теперь Таганских переулков. Как жаль, что я тогда же не записал её рассказ, какой трагический, какой подлинный документ о жизни в коммунистическом государстве мог бы получиться! С её недавней кончиной ещё один непосредственный свидетель трагических событий, способный описать их, ушёл навсегда...

Мои дальнейшие персональные встречи с А.Н. Колмогоровым почти всегда были связаны с представлением моих работ в Доклады АН СССР. Запомнился следующий случай. Я получил представлявшиеся мне интересными результаты по некоторым довольно экзотическим системам вычислимых действительных чисел. Как обычно в таких случаях, Марков позвонил Колмогорову, и тот попросил принести ему работу для представления. А.Н. встретил меня у дверей своей квартиры в одном из крыльев главного здания МГУ, нашёл уголок на заваленном бумагами огромном письменном столе, просмотрел рукопись, написал своё представление и попросил оставить ему копию статьи. Я поблагодарил А.Н., протянул ему копию манускрипта и собрался уходить. Но А.Н. остановил меня и сделал несколько (к большой моей радости вполне положительных) замечаний о моей работе. Замечания эти не были простой любезностью, из них я с изумлением убедился, что А.Н. знал содержание моих предыдущих работ и вполне ясно представлял характер полученных мною результатов. Надо сказать, что большинство моих коллег, целиком посвятивших себя математической логике, не имели никакого представления о тематике, над которой я тогда работал.

Универсальный характер колмогоровского таланта, его способность видеть буквально всю математику (и не только её) сразу, целиком поразительны. Ещё в студенческие мои годы я слышал граничащие с легендами рассказы о лёгкости, с которой Колмогоров читает математические работы. Однажды один профессор-механик рассказал мне, как на защите его друга на доске появилась многоэтажная формула, представлявшая какую-то вероятность. Сложные вычисления по этой формуле диссертант не производил (компьютеров тогда не было), так что вероятность эта оставалась своего рода вещью в себе. Однако он услышал негромкую реплику Колмогорова, без особой настойчивости сказавшего, что обсуждаемая вероятность, скорее всего, равна 1/3 (или что-нибудь в этом роде). Замечание поразило диссертанта и он, вернувшись домой, приступил к вычислениям, занявшим значительное время и подтвердившим прогноз Колмогорова. Я помню так же, как была изумлена моя жена, вернувшись с семинара по турбулентности. Доклад академика Миллионщикова привлёк многих слушателей, пришёл и Колмогоров. Хорошо известно, что А.Н. выполнил выдаюшиеся исследования по турбулентности и даже создал свою школу в этом направлении. Однако в 70-е годы турбулентность вряд ли была в центре его интересов. Тем не менее, из нескольких сделанных им по ходу доклада замечаний было ясно, что он понимает происходящее быстрее, яснее и глубже присутствовавших, среди которых были первоклассные эксперты по данной проблеме.

Приведу и одну забавную фольклорную историю. Однажды в какой-то математической компании зашёл разговор о формализации «женской логики». Колмогоров немедленно предложил следующий принцип: «Если В следует из А,  и В приятно, то А – истинно».

Публичные лекции А.Н.Колмогорова всегда выливались в большие события. В 60-е годы А.Н. прочёл несколько лекций по теории автоматов. В большой аудитории первого этажа обычно не хватало мест и многие слушатели располагались в фойе, куда лекция транслировалась по внутреннему радио. В те годы ещё были не забыты дискуссии вокруг кибернетики, которую записные марксистские философы всё-таки успели окрестить «буржуазной лженаукой». Возможно, это было одним из последних рецидивов марксистского энтузиазма, о котором я уже говорил. Демагогия является обычной и широко распространённой болезнью общественного сознания, однако в тоталитарном обществе порок этот приобретает особо злокачественный характер. Думается, было бы крайне полезно перевести на многие языки стенографический отчёт о дискуссии по биологии в 1948 году в ВАСХНИЛ ( Всесоюзная Академия Сельскохозяйственных Наук имени Ленина – Ленин, конечно, же был также и великим новатором сельского хозяйства!). Война, развязанная с благословения вождя всех народов против буржуазной теории «вейсманизма-морганизма-менделизма» (то есть против научной генетики) шарлатаном Лысенко и его подручными, завершилась разгромом советской биологической науки. Как всякая война, эта война собрала свои жертвы, жертвы в буквальном смысле слова... Некоторых героев этой войны, вроде пресловутого академика Митина, можно было видеть и на других полях сражений, видимо дарования их были универсальны. С их помощью на химической дискуссии была разоблачена буржуазная квантовая теория молекулы, кажется, водорода, зловредно, в ущерб передовой отечественной концепции Бутлерова-Марковникова, развитая капиталистическим мракобесом Полингом (если я не ошибаюсь, почти в то же самое время или несколько позже тот же учёный при немного другом прочтении его фамилии – Паулинг – фигурировал в советской пропаганде, как прогрессивный деятель, друг СССР, борец за мир и т.д.)

На одной из своих лекций А.Н. рассказывал о кругосветном плавании, совершенном им на научно-исследовательском судне Академии Наук. Среди экипажа возник спор по поводу какой-то научно-популярной передачи, принятой по радио. Мнения разделились. Спор улёгся лишь, когда в следующей передаче выступил с разъяснениями академик Х.

– Но ведь и я говорил им то же самое – изумлялся Колмогоров, – Да куда там... Свой академик, здесь, на борту вроде бы и не академик. Вот чужой, по радио – это другое дело...

Нет пророков в своём отечестве...

Многообразные интересы Колмогорова включали и проблемы преподавания. Здесь можно упомянуть созданную в Москве при активном его участии школу-интернат для математически одарённых детей, реформу преподавания математики в средней школе и многое другое. В 1972 году Колмогоров впервые прочёл обязательный курс по математической логике для студентов-математиков МГУ. О необычной атмосфере и событиях, окружавших этот курс, я уже писал в [5]. Думаю, что математическая логика обязана А.Н. и сохранением своего научного центра в Московском Университете. Когда в 1979 году скончался А.А. Марков, возникла реальная угроза поглощения кафедры математической логики уже упоминавшейся выше школой «дискретной математики», к тому времени достигшей значительного административного влияния. По-видимому так бы и случилось, если бы не вмешательство Колмогорова. Несмотря на уже расстроенное здоровье, он возглавил кафедру, и с тех пор в течение ряда лет его можно было видеть во главе исследовательского семинара, связанного с именами П.С. Новикова, А.А. Маркова, С.А. Яновской. В последние годы было видно, как тяжело ему даётся само присутствие на семинаре, и всё же он почти неизменно занимал своё место в первом ряду[xx][20]
  Запомнился доклад Н.А. Шанина о кванторах предельной осуществимости. Доклады Николая Александровича всегда являлись событиями. Они покоряли как значительностью расматриваемых проблем, так и темпераментом и человеческим обаянием докладчика, его бескомпромиссным «правдоискательством» в математике. Я, как правило, не разделял философских установок Н.А. и часто вступал с ним в дискуссии, порой довольно горячие. Не отставали от меня и некоторые другие участники наших семинаров. Должен заметить, что Н.А. явно любил эти баталии, в тех редких случаях, когда всё сходило тихо, он выглядел заметно разочарованным. Упомянутый доклад вызывал у меня особый интерес, поскольку я интересовался системами вычислимых действительных чисел, основанными как раз на такого рода квантификациях. Эти мои интересы неоднократно и нелицеприятно осуждались Н.А. Соответственно я предвкушал своего рода возмездие. Дискуссии, однако, не получилось. Колмогоров, сидевший в первом ряду, выглядел настолько нездоровым, что ни о чём другом и думать было нельзя. Николай Александрович быстро прочёл свой доклад, его печаль и тревога были очевидны. И всё же Колмогоров нашёл силы приподняться и поблагодарить Н.А. в конце семинара. Думаю, что это был последний раз, когда я слышал Колмогорова.


[Закрыть]... Спасибо ему.

6. В начале 60-х годов Колмогоров приступил к разработке новой концепции теории информации и теории вероятностей на основе введённого им понятия алгоритмической сложности конструктивного объекта. Неожиданность и смелость этого начинания мало, с чем можно сравнить. Известно, что теория вероятностей ещё в начале нынешнего столетия сохраняла мистический налет, и попытки поставить её на прочный математический фундамент, не были вполне успешными. Теория эта ещё ждала своего Вейерштрасса. Именно Колмогорову в начале тридцатых годов удалось создать общепринятую сегодня строгую аксиоматику теории вероятностей, сводящую последнюю к теории меры. Таким образом, Колмогорова с полным основанием можно считать одним из отцов математической науки о вероятности. И вот на фоне огромных достижений, безопасности и комфорта, достигнутого в теории вероятностей, сам её творец возвращается снова к самому началу, к загадке случайного и предлагает совершенно новый подход ко всей этой проблеме. Отсылая читателя за математическими подробностями к великолепному изложению В.А. Успенского, я хочу добавить, что примерно в те же годы вопросами сложности алгоритмов заинтересовался и А.А. Марков.

Если к началу 60-х годов уже были достигнуты определённые успехи в изучении сложности алгоритмических вычислений[xxi][21]
  Одни из первых результатов в оценка сложности алгоритмических вычислений были получены ещё в 50-х годах учеником А.А. Маркова Г.С. Цейтиным. Великолепное введение в указанную проблематику можно найти в книге Б.А. Трахтенброта [21].


[Закрыть], то проблемы изучения сложности описаний тех или иных алгоритмов ещё предстояло решать. Пионерские работы А.А. Маркова 1962–1964 годов [22–23] заложили основы соответствующей теории. В частности, во многих случаях оказалось возможным найти новое количественное представление сложности неразрешимости алгоритмических проблем через так называемые оценки сложности разрешения. Поясню вкратце сказанное. Предположим, что мы хотим отыскать алгоритм, распознающий принадлежность произвольного натурального числа nданному множеству M. Как известно, во многих случаях искомый алгоритм невозможен. Вместе с тем данную проблему P можно аппроксимировать финитарными проблемамиP_k – каждая такая проблема состоит в отыскании алгоритма, распознающего принадлежность к Mнатуральных чисел, не превосходящих k. При каждом k можно попытаться оценить сложность описания алгоритма, решающего соответствующую финитарную проблему. Ясно, что если указанная сложность неограниченно возрастает с ростом k, то начальная проблема P алгоритмически неразрешима.

Результаты и идеи Маркова получили значительное развитие в работах его учеников. И так как изучение колмогоровской сложности конструктивных объектов и сложности алгоритмов по Маркову часто приводили к сходным проблемам, в 60-е годы развилось значительное сотрудничество между школами Маркова и Колмогорова. Так же, как это когда-то случилось с Успенским,  молодой математик Н.В. Петри был приглашен А.Н. Колмогоровым вести совместный семинар по сложности алгоритмов. И здесь я хочу упомянуть о проявленной А.Н. деликатности. Поскольку Петри был учеником Маркова, Колмогоров позвонил Андрею Андреевичу и спросил, не имеет ли тот возражений против этой идеи. Об этом телефонном звонке мне рассказывал Марков.

 – Конечно, я ответил, что никаких возражений нет. Совсем наоборот... – добавил Марков.

Я видел, что он был очень доволен.

С другой стороны на семинарах Маркова стали появляться ученики Колмогорова нового поколения. Особенно запомнился блестящий, темпераментный и эксцентричный Л. Левин (ныне профессор Бостонского Университета). Непредсказуемость Левина порою выводила Маркова из себя[xxii][22]
  Помню, как жаловался мне А.Г. Драгалин: «Понимаешь, попросил я Лёню сделать доклад о теории информации на моём семинаре. А он мало того, что порядочно опоздал, да и ещё и начал так: „Рассмотрим какой-нибудь бессмысленный набор слов, скажем, „Слава КПСС!““ Припоминаю и следующий комический эпизод на одном из наших семинаров. Обсуждался вопрос о количестве информации, содержащейся в одном конструктивном объекте о другом конструктивном объекте. Левин стоял у доски, а Марков задавал ему хитрый вопрос: „Ну какая информация содержится в телефонной книге об Евгении Онегине?“ – „Телефон Евгения Онегина“ подсказал с  места кто-то.


[Закрыть], но, вне всякого сомнения, А.А. высоко ценил большой математический талант Левина и позже принимал живое участие в его судьбе. В особенности,   когда в 1971 году «царство тьмы» расправилось с диссертацией Левина (защита происходила в Новосибирске). Конечно, к этому были все основания: диссертант имел возмутительную национальность, и вдобавок его руководителем был А.Н. Колмогоров!

7. Пасмурным октябрьским днём 1987 года московские математики прощались с А.Н. Колмогоровым. Деревья под охраной чугунных ворот, старых, красных кирпичных стен и милиционеров ещё желтели негромкими красками московской осени. Было тепло, тихо, только вороны кричали о чём-то своём, вечном... Далеко за рекой, на холме угадывался силуэт Университета. Когда я бросил по старому обычаю горсть земли в открытую могилу, я вдруг остро почувствовал душою то, что мой ум давно понимал: с Колмогоровым навсегда ушла целая эпоха. Я видел эту боль и на многих лицах вокруг. Потом все разбрелись по кладбищу. У каждого кто-то был здесь. Если не родственник, друг, то хотя бы Чехов и Шостакович. Я поклонился могиле П.С. Новикова и Л.В. Келдыш, постоял у доски, за которой скрыта урна с прахом С.А. Яновской, и пошёл к воротам. Уже темнело, кончался 87-й год. Впереди было расставание с Россией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Uspensky V.A. Kolmogorov and Mathematical Logic. The Journal of Symbolic Logic, v. 57, No 2, 385–412, 1992.

2. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы. Успехи Математических Наук, т. 22, No. 1, 137–161, 1967.

3. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы.  Там же, т. 22, No. 2, 199–239, 1967.

4. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы. Там же, т. 22, No. 4, 199–239, 1967.

5. Кушнер Б.А. Марков и Бишоп. Вопросы Истории Естествознания и Техники, 1, 70–81, 1992.

6. Вейль Г. О философии математики. Сборник работ (пер. с немецкого) ГТТИ, 1934.

7. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики, М.-Л., ОНТИ, 1936.

8. Юшкевич А.П. Встречи с А.Н. Колмогоровым. Препринт. 1990.

9. Колмогоров А.Н. О принципе «tertiumnondatur», Математический Сборник, т.32, 646–667, 1924/1925.

10. Колмогоров А.Н. Zur Deutung der intuitionistischen Logic. Mathematische Zeitschrift, v. 35, 58–65, 1932.

11. А.Г. Драгалин, Б.А. Кушнер. Математический Интуиционизм. Большая Советская Энциклопедия, т.15, 488, 1974.

12. Borel E. Lecons sur theorie des fonctions, 3rd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1928.

13. Dalen D. van, Troelstra A. S. Constructivity in Mathematics. An Introduction. Vol.1–2, North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford-Tokyo, 1988.

14. Troelstra A.S. On the Early History of Intuitionistic Logic.In P.Petkov, Ed. Mathematical Logic, 3–17, Plenum Press, New York-London, 1990.

15. Колмогоров А.Н. Письма к Гейтингу. Успехи Математических Наук, т.43, No.6, 75–77, 1988.

16. Kleene S.C. On the interpretation of intuitionistic number theory. Journal of Symbolic Logic, v.10, 109–124, 1945.

17. Heijenort J. van.(Ed.) from Frege to Goedel: a source-book in mathematical logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1967.

18. Новиков П.С. On the consistency of certain logical calculus. Математический сборник, т. 12 (54), 231–261, 1943.

19. Feferman A.B. Politics, Logic, and Love. The Life of Jean van Heijenoort. Jones and Bartlett Publ., Boston-London, 1993.

20. Mendelson E. Second Thoughts about Church's Thesis and Mathematical Proofs. The Journal of Philosophy, v.87 No.5, 225–233, 1990.

21. Трахтенброт Б.А. Сложность алгоритмов и вычислений. Новосибирск 1967.

22. Марков А.А. О нормальных алгорифмах, вычисляющих булевы функции. Доклады АН СССР, т. 157б No. 2, 262–264, 1964.

23. Марков А.А. О нормальных алгорифмах, связанных с вычислением булевых функций. Известия АН СССР, сер. мат., т.31, No. 1, 161–208, 1967.

1-я редакция: январь 1993 г.

2-я редакция: март 2004 г.