Текст книги "Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 9 страниц)

Кюро постулировал физический принцип, известный со времен античности: "Природа всегда выбирает самый короткий путь". Данный принцип был сформулирован отдельно для случаев отражения Героном Александрийским (ок. 10-70). Кюро, согласный с Героном, ограничивал этот принцип отражением. Ферма, наоборот, обобщал его до преломления, добавив гипотезу того, что отношение между сопротивлением при переходе света от одной среды к другой определяет самую короткую траекторию. Как и обычно, он не доказал то, что утверждал.

Детальный анализ рассуждений Ферма показывает, что он не вычислял самый короткий путь. На самом деле он вычислял самое короткое время. Ферма изменил принцип Герона: он измерял не расстояния, а время. Тогда почему тулузский ученый попытался замаскировать свое рассуждение, основывая его на авторитете греческого математика? С одной стороны, он изменил своему эмпирическому убеждению. Принцип Ферма, как его называют сейчас, был в то время в большей степени аксиоматическим постулатом, чем эмпирическим результатом. Ферма для борьбы с Декартом принял его понятия: математизация природы и отказ от эмпиризма, рассуждения на основе постулатов, как будто физика – это ветвь математики.

Но, что самое важное, Ферма прибегнул к авторитетному принципу и замаскировал свой настоящий метод. Ясно почему: как Кюро, так и Декарт думали, что свет распространяется мгновенно, то есть, выражаясь иначе, что его скорость бесконечна. Но для того чтобы говорить о времени, которое затрачивает свет на пересечение заданной среды, нужно предположить, что скорость света конечна. Без сомнения, Ферма хотел избежать этой полемики, в которой у него не было прочных аргументов, и он пообещал прислать Кюро доказательство закона преломления, основанное на этом принципе. Четыре года спустя он все еще не выполнил своего обещания. Кюро умолял его взяться за работу, но Ферма отвечал, что у него нет времени осуществлять необходимые сложные вычисления. Однако в конце концов тулузский математик согласился и вывел закон преломления из принципа, носящего его имя, пользуясь методом максимумов и минимумов.

Удивительно, как у Ферма темы повторяются снова и снова. С другой стороны, это логично: принцип Ферма является примером того, что в физике известно как экстремальные принципы, которые требуют вычисления максимума или минимума, в данном случае минимального времени. Формулирование механики или оптики в терминах этих принципов имеет огромное значение. В механике, например, экстремальные принципы более существенны, чем законы Ньютона, и имеют более широкое применение: принцип наименьшего действия справедлив как для ньютоновской механики, так и для релятивизма или квантовой механики; меняется только детальное определение того, что нужно минимизировать. Следовательно, Ферма снова применил подход, имевший огромное будущее.

В любом случае, герою нашей книги удалось вывести закон преломления на основе своего принципа, который на этот раз действительно был постулатом в открытом виде. И к его огромному удивлению это оказался тот же самый закон, который получил Декарт! Конечно же, вывод Ферма был намного лучше. Во-первых, он основывался на очень элегантном и простом принципе, который, как мы сейчас знаем, имеет всеобщее применение в оптике, и при этом нет необходимости строить гипотезы о природе света (только о конечности его скорости). Во-вторых, не нужно строить гипотезы специально для этого случая. Он естественным образом выводится из самого принципа.

Ферма был счастлив. Он надеялся, что теперь картезианцы увидят подтверждение закона преломления, который, в свою очередь, был выведен гораздо более убедительно, чем у Декарта. Однако снова находчивость нашего героя обманула его ожидания. Строгие картезианцы, такие как Клерселье, не могли уступить и бросить своего учителя. Полемика продолжилась, на этот раз сосредоточившись на выводе Ферма.

Есть некая ирония в том, что последнее известное письмо Ферма на научную тему, увидевшее свет в 1662 году, было создано им для защиты своего вывода. И это при том, что он выказывал так мало интереса в течение всей карьеры к математической физике. Мы знаем, по его последнему письму Паскалю, что уже с 1660 года Ферма чувствовал себя больным и не был в силах совершить поездку в Клермон. В следующем году он сделал распоряжения о том, чтобы его сын Клеман-Самюэль унаследовал его должности. Ученый чувствовал, что приближается конец.

Начиная с 1662 года о жизни Ферма, его последних годах, известно немного, и то благодаря его профессиональной деятельности. В 1663 году губернатор Лангедока, Везен де Безон, написал Кольберу письмо, в котором характеризовал советников парламента Тулузы, называя Ферма большим эрудитом, политически безобидным и даже несколько неуклюжим в профессиональных вопросах. Ни Сегье до этого, ни Кольберу не стоило бояться наивного судьи, ученого, который отдыхал среди математических истин, убегая от политики.

Но судья продолжал работать. Его чувство долга было исключительным. Как уже было сказано, оно часто мешало герою этой книги следовать своему желанию и посвящать математике больше времени. Он продиктовал свой последний судебный акт 9 января 1665 года. Всего лишь через три дня Пьер де Ферма умер в Кастре – городе, с которым так тесно была связана его профессиональная карьера, – и был похоронен без почестей на местном кладбище. Хвалебная речь в честь него была опубликована, вероятно, Пьером де Каркави в "Журналь дэ саван" (Journal des Savants) 9 февраля 1665 года. В ней он выражал озабоченность тем, чтобы разрозненные труды Ферма были изданы в одном произведении и мир увидел бы его гениальность:

«С большой грустью мы узнали о смерти месье де Ферма, советника парламента Тулузы. Это был один из самых блестящих умов этого века, универсальный гений такого высокого уровня, что если бы ученые не были свидетелями его необычайного таланта, мы едва поверили бы всему, что он сделал, и могли бы преуменьшить его похвалу». 

Любовь сына Клемана-Самюэля, который терпеливо собирал труды отца, была первым шагом к сохранению его наследия. Также Жак де Билли и Джон Уоллис, каждый по отдельности, опубликовали фрагменты из работы Ферма. Однако этого было недостаточно; важные письма, находившиеся у Каркави (которые он по необъяснимым причинам не предоставил наследнику) и у многих других корреспондентов, были опубликованы очень поздно. Письма Ферма неизбежно терялись по мере того, как умирали адресаты. Только в XIX веке один библиофил объявил, что купил значительную часть рукописей Ферма в Меце. Из-за революционных событий 1848 года коллекция снова затерялась. Но между 1879 и 1891 годами Шарль Анри и Поль Таннери провели титаническую работу по восстановлению работ ученого на основе опубликованных сочинений и частных коллекций. Благодаря им его наследие дошло до нас.

Ферма был перезахоронен в знаменитой и прекрасной церкви августинцев в Тулузе через десять лет после смерти. Там один из самых блестящих умов всех времен покоился в течение более 100 лет – до тех пор, пока в период Французской революции его останки не были утеряны.

Список рекомендуемой литературы

Alsina Barnes, С., La secta de los numeros: el teorema de Pitdgoras, Barcelona, RBA, 2010.

Bell, E.T., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Du Sautoy, M., La musica de los numeros primes, Barcelona, El Acantilado, 2007.

Fermat, P.; Pascal, B., La geometria del azar (la correspondencia entre Pierre de Fermat у Blaise Pascal), Basulto Santos, Jesus; Camunez Ruiz, Jose Antonio (ed.), Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2007.

Gonzalez Urbaneja, P.M., Fermat у los origenes del cdlculo diferencial, Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2008.

Gracian, E.: Los mimeros primes: un largo camino al infinite, Barcelona, RBA, 2010.

Mahoney, M.S., The Mathematical Career of Pierre de Fermat 1601– 65, Princeton, Nueva Jersey, Princeton University Press, 1973.

Navarro, J., Al otro lado delespejo: la simetria en matemdticos, Barcelona, RBA, 2010.

Singh, S., El enigma de Fermat, Barcelona, Planeta, 2006.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.

Указатель

AKS (см. также тест простоты, AKS) 78, 79

Isagoge 11, 104, 108, 109, 110, 124

Methodus 11, 116, 119-121, 123-127

RSA (шифровальный алгоритм) 76-79

Абель, Нильс Хенрик 58, 59

аль-Хорезми, Мухаммед ибн Муса 96

анализ (алгебра) 72, 97, 98, 102, 140, 150

аналитическая геометрия 10, 93, 103-111, 115, 121, 123-125, 130, 134

аналитическое исследование 11, 116, 119, 121, 123, 127

Аполлоний Пергский 9, 27, 30, 40, 95, 103-105, 107, 108, 110, 120– 122, 125, 130

арифметика 25, 84, 88, 99

"Арифметика" (Диофант) 15, 31, 46, 63, 71, 81, 85, 87

Архимед Сиракузский 8, 9, 27, 65, 128-131

Баше де Мезириак, Клод Гаспар 81, 83

Белл, Эрик Темпл 28

Бернулли (семья) 110, 143

бесконечность простых чисел 69

Богран, Жан де 11, 30, 100, 115, 124-125, 137, 146

Бойер, Карл 108

Бордо 11, 29, 30-32, 34, 35, 99, 103, 115

Браункер, Уильям 11, 87-90

Брюлар де Сен-Мартен, Пьер 11, 82-84, 116

вероятность 10, 11, 84, 139, 140, 142, 143, 149

Виет, Франсуа (Францискус Виета) 25, 29, 30, 39, 45, 82, 91, 96-106, 111, 115-117, 119, 122, 124, 128

Вольфскель, Пауль 52

Галилей, Галилео 108, 129, 145, 146

Галуа, Эварист 16, 58, 59

Гаусс, Карл Фридрих 8, 48, 49, 65, 86

Генрих IV 32

геометрическое место точек 105, 106, 108-110

"Геометрия" (Декарт) 107, 122-125, 127, 128

"Геостатика" (Богран) 124

Гедель, Курт 8

гипербола 107, 110, 130, 131

Гиппас из Метапонта 24

Гольдбах, Христиан 40, 47, 48

Гюйгенс, Христиан 11, 38, 90, 91, 130, 143, 145, 149

"Данные" (Евклид) 110

Дедекинд, Рихард 51

Дезарг, Жерар 128

Декарт, Рене 8, 11, 25, 28, 32, 34, 35, 37, 70, 91, 97, 99-102, 104-108, 111, 115, 116, 123, 132, 134, 135, 137, 145, 146-148, 150-152

Дигби, Кенельм 34, 86, 89-90

"Диоптрика" 124-126, 145, 146, 148

Диофант Александрийский 7, 9, 15, 27, 31, 39, 40, 43, 46, 63, 71, 72, 81-83, 86, 95, 96, 117, 130, 153

Дирихле, Густав Лежён 49

Евклид Александрийский 8, 9, 22, 23, 27, 39, 40, 67, 68, 70, 71, 75, 81, 95, 99, 111, 116, 133

Жермен, Софи 46, 48, 49

интегрирование 53, 131

иррациональность у/2 25

Каркави, Пьер де 35, 80, 91, 152, 153

касательная 10, 11, 116, 119, 120– 123, 126-128, 131-133, 145

Катц, Ник 62 квадратура 10, 128-133

Коммандино, Федерико 116

"Конические сечения" (Аполлоний) 111

коническое сечение 106-109, 120, 129, 138

Коши, Огюстен Луи 50, 51, 60, 62, 86, 119

круг 22, 54, 103, 104, 108, 111, 120, 122

Куммер, Эрнст Эдуард 50, 51, 59-63

Лагранж, Жозеф Луи 48, 86, 119

Лалувер, Антуан де 132

Ламе, Габриель 50, 51, 62

Лейбниц, Готфрид Вильгельм 8, 79, 110, 119, 134

Лорандьер, Клод Мартен де 88, 89

Мере, Антуан Гомбо, шевалье де 137, 138, 139

метод касательных 126, 127

квадратуры 128

максимумов и минимумов 11, 103, 116, 118, 120, 126, 133, 151

Мияока, Иоичи 60, 62, 63

Мерсенн, Марен 11, 34-38, 68-72, 74, 75, 76, 80, 82, 84, 87, 104, 115, 124-126, 129, 137, 143, 145, 152

Медон, Бернар 11, 35, 38

модулярные функции 16, 54, 55, 56

Нантский эдикт 32, 33

"Начала" (Евклид) 9, 23, 67, 71, 138

Ньютон, Исаак 8, 9, 16, 110, 119, 133, 134, 146, 152

оптика 135, 145, 148, 150, 151

ординаты 108, 109

ось координат 108, 109, 123, 129

отражение 146, 147, 150

Папп Александрийский 30, 97, 104, 107, 116, 119

парабола 105, 107, 109, 110, 111, 120, 121, 126, 127, 130, 133, 134

кубическая, или обобщенная 129, 132

Паскаль, Блез 11, 35, 38, 86-88, 91, 137, 138, 139, 140, 142, 143, 144, 152

Паскаль, Этьен 34, 70, 87, 127, 137

Пелль, Джон 11, 86-88, 90

Пифагор Самосский 18, 19, 20, 22, 23, 24, 27, 81

подкасательная 121

преломление 147, 150, 151, 152

приравнивание 117, 118, 121, 122, 127, 128, 131-133

прямоугольный треугольник 22, 24

разложение на множители 50, 51, 71, 76-78, 83

единственное 50, 51

"Рассуждения о философии" 101

Рибет, Кен 57, 63

Риман, Бернхард 8, 78

Римана гипотеза 40, 44, 78

Роберваль, Жиль де 38, 39, 104, 123, 124, 125, 127, 130, 131, 140

Симура, Горо 16, 54-58, 60, 63, 134

синкризис 117, 118

синтез (доказательство) 11, 96, 97, 98, 103, 110, 134

сочетания 70, 141, 142

спрямление 10, 11, 131-133

Танияма, Ютака 55, 60, 134

Таниямы – Симуры гипотеза 16, 53, 56-58, 63

Тарталья (Никколо Фонтана) 26

Тейлор, Ричард 62

теория вероятностей 10, 11, 84, 139, 142, 143, 149

групп 51, 57-59

Ивасавы 16, 60, 63

идеалов 50, 63

тест простоты

Миллера – Рабина 77, 78

Соловея – Штрассена 78

Ферма 76

AKS 78

тройки

пифагоровы 19, 80

Ферма 19

Тулуза 8, 11, 29-36, 72, 104, 115, 125, 149, 152, 153

Тьюринг, Алан 8

Уайлс, Эндрю 16, 17, 43, 56-63, 134

угловой коэффициент 123, 134

уравнение Пелля И, 86-91

Ферма 49-53, 90, 97

Уоллис, Джон 11, 37, 86-90, 131, 153

Фалес Милетский 20

Фальтингс, Герд 52, 53, 60, 63

Ферма, Клеман-Самюэль 32, 39, 40, 130, 152, 153

Ферма, Пьер де биография личности 28

малая теорема 11, 71, 75-80, 98

математический подход 37

Великая (Последняя) теорема 7, 8, 17-19, 40, 43, 44, 46, 48-53, 56-58, 63, 75, 80, 81, 89, 97

принцип 150, 151

судья в Тулузе 30, 137, 150, 152

уравнение 49, 52, 90, 97

Фрай, Герхард 56, 57, 63

Френикль де Бесси, Бернар 11, 72, 74, 75, 76, 83, 86, 88, 89, 90

Харди, Годфри Харолд 24, 53, 76

Хейнсиус, Николас 35, 38

числа k-совершенные, или мультисовершенные 70, 71

дружественные 69, 70

комплексные 50, 51, 54

Мерсенна 68, 74, 75, 79

натуральные 18, 19, 24, 43, 46, 51, 52, 72, 76, 81, 84

простые 43, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 61, 67-72, 74-80, 82, 83, 86, 90

вида 4к + 183, 90

Мерсенна 68 Ферма 79

рациональные 24, 71, 72, 78, 80, 81, 128, 129

совершенные 67-70, 80 составные 72, 77, 78

целые 25, 51, 54, 130

Эйлер, Леонард 7, 8, 44, 46, 47, 49, 52, 63, 68, 75, 79, 80, 89., 90

эллипс 54, 107, 111, 126, 127

эллиптические кривые 16, 54, 55, 57

эффективность вычислений 73

Пьер де Ферма – исключительная личность в истории науки: будучи адвокатом по профессии, он посвящал математике только свободные часы. Его научное наследие по большей части сохранилось в виде писем, которыми он обменивался с другими светилами своего времени, такими как Марен Мерсенн, Блез Паскаль или Рене Декарт. Гениальность этого французского ученого, несмотря на его дилетантизм, проявилась в разнообразных областях: в теории вероятностей, математическом анализе и особенно в теории чисел, в рамках которой он выдвинул гипотезу, озадачившую самых значительных математиков на более чем три века. Историю решения задачи, известной как Великая теорема Ферма, можно назвать одной из самых красивых легенд научного мира.