Текст книги "Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 9 страниц)

В любом случае, Ферма явно не догадывался о ее последующем применении. Для него теорема была инструментом для теста простоты некоторых чисел, таких как 2ⁿ – 1. Она была одним из его сокращенных путей, используемых с целью избежать решета Эратосфена. Например, благодаря своей малой теореме Ферма смог подступиться к числам вида аⁿ – 1 при а > 2, которые никогда не являются простыми, сведя кандидатов в их простые делители к меньшему множеству. Как легко увидеть, эти числа – обобщение чисел Мерсенна. Кроме того, малая теорема позволила Ферма таким же образом подойти к числам аⁿ + 1, которые, как он утверждал, являются простыми, если a четное, а n имеет вид 2^m. Именно в ходе этого исследования математик открыл так называемые простые числа Ферма, которые соответствуют этим двум условиям и еще одному – тому, что число m вида 2^2p +1 простое, если р простое.

Но в данном случае интуиция подвела Ферма. Эйлер нашел контрпример при p – 5. Итоговое число делится на 641. Ферма осознавал, что не может доказать этот результат, и говорил о своем разочаровании в течение многих лет; в 1659 году он изложил доказательство своему другу Каркави, но с учетом контрпримера Эйлера, оно, даже если и существовало, явно было ошибочным. В любом случае ясно, что малая теорема позволяла Ферма исключить из своих вычислений любое множество простых чисел – кандидатов в делители чисел некоего вида, что облегчало тесты простоты указанных чисел. Однако, к своему большому разочарованию, он никогда не добился того, к чему стремился, – вывести теорему, позволяющую избавиться от всех простых чисел, которые можно исключить для указанных типов чисел.

Сегодня не существует по-настоящему эффективного и надежного метода нахождения простых чисел произвольного размера; нет формулы вроде той, что нашел Евклид для четных совершенных чисел. В большинстве методов нахождения простых чисел требуется знать все простые числа до некоего предварительного числа либо знать, являются ли числа, соседние с кандидатом на простое число, разложимыми на множители. Следовательно, тесты простоты крайне важны: сначала ищут кандидата на простое число, а потом проверяют, является ли оно таковым.

Казалось, что к концу 1640 года Ферма потерял интерес к суммам собственных делителей. Его следующие исследования по теории чисел напрямую связаны с Великой теоремой.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И ОБОБЩЕННЫЙ ПОДХОД

Рациональные прямоугольные треугольники – это называемые пифагоровыми тройки рациональных чисел х,у и z, которые выполняют теорему Пифагора: х² + у² = z².

Такие тройки очень древние и встречаются уже в Вавилоне и Египте. Но Евклид доказал, что – при заданных двух рациональных числах p и q – r = р² + q², x = р² – q² и y = 2pq – это пифагорова тройка. Из чего непосредственно следует, что количество пифагоровых троек бесконечно, поскольку количество рациональных чисел бесконечно.

Диофант посвятил Книгу VI своей "Арифметики" решению задач, связанных с данным типом треугольников, как он это обычно и делал: рассматривая их в виде отдельных случаев. Его метод решения предполагал составление уравнения или системы уравнений. Проблема была в том, что иногда в результате получалось рациональное отрицательное число, и это не имело смысла, поскольку ни у одного треугольника нет сторон отрицательной длины. В других случаях метод ученого не работал, поскольку некоторые условия, необходимые для успеха, не выполнялись: например, в итоговых уравнениях коэффициент х² или константа должны были быть квадратом. Диофант выбирал свои задачи осторожно, чтобы они соответствовали таким условиям и решение всегда было положительным; «хитрость» заключалась в том, чтобы ставить только задачи, решаемые с помощью предложенного метода.

В 1621 году во Франции Клод Гаспар Баше де Мезириак издал работу Диофанта. Именно благодаря этому изданию Ферма познакомился с Диофантом, и на его полях он сделал свою знаменитую запись Великой теоремы.

Ферма заинтересовался прямоугольными треугольниками, внеся важные коррективы: во-первых, он ограничился изучением треугольников, стороны которых были выражены только натуральными числами. Во-вторых, вместо того чтобы решать частные случаи с особыми числами, Ферма взял метод решения Диофанта и сформулировал его в общем виде. В то время как Диофант был ограничен языком словесной алгебры, Ферма, следуя Виету, уже пользовался символической алгеброй, которая позволяла ему большую возможность абстрагирования. При таких обстоятельствах Френикль написал Ферма в 1641 году и предложил ему задачу: найти треугольник, в котором выполнялось бы следующее уравнение: (x – y)² = y + z². Задачи Диофанта неизменно приводят к уравнениям такого типа.

Ферма не без усилий решил задачу, но через два года у него уже был метод. Он предложил Пьеру Брюлару де Сен-Мартену три подобные задачи, чтобы пробудить его интерес к теории чисел. Брюлар и сам Френикль отреагировали с возмущением. По их мнению, его задачи не имели решения. Они подумали, что Ферма пытается высмеять их. Но тулузец уверил (через Мерсенна), что решение существует, не открывая его. Однако под давлением Мерсенна через некоторое время он предал гласности эти результаты.

Вы спрашиваете меня, является ли число 100 895 598 169 простым или [...] составным. На этот вопрос отвечаю Вам, что это число составное и получается из произведения 898 423 и 112 303, которые являются простыми.

Ферма Мерсенну в связи с малой теоремой

Предполагаемая невозможность основывалась на том, что метод Диофанта давал отрицательный результат; но Ферма разрубил этот гордиев узел. Действительно, когда получался отрицательный корень, он переписывал уравнение, используя данный корень и измененную переменную, и решал методом Диофанта итоговое уравнение. Если снова получался отрицательный корень, он вновь переписывал уравнение, повторяя это действие, пока, наконец, не получал положительный корень. Ферма исследовал неопределенность уравнения для изобретения искусного метода решения.

Пользуясь таким обобщенным подходом, основанным на теории уравнений, Ферма решительно порвал с диофантовым подходом, рассматривавшим частные решения, сделав прорыв, которого его современникам не удалось понять. Ферма перестал зависеть и от квадратных чисел, когда решил задачу; однако его отношения с Френиклем и Брюларом были серьезно испорчены.

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И РАЗБИЕНИЕ НЕЧЕТНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

В другом письме 1640 года Френиклю Ферма объявил, что нашел общие правила разложения числа на сумму двух квадратов. Это происходило из комментария Баше к одной задаче Диофанта, связанной с разложением числа N на сумму двух квадратов четырьмя разными вариантами.

Разложение числа на слагаемые – проблема, схожая с разложением на множители. Если в последнем случае ищут делители, то здесь – слагаемые. Очевидно, что слагаемые должны быть определенного типа, поскольку нахождение любых слагаемых тривиально. Именно эту проблему Ферма и решил.

Решением является формула, которую мы не будем здесь приводить. Достаточно отметить: значимость результата состоит в том, что Ферма снова удалось найти общий метод, и для этого он воспользовался любопытным свойством простых чисел, которое намного более важно, чем проблема сама по себе. Действительно, Ферма знал, что простые числа вида 4k – 1 не могут быть выражены в виде суммы двух квадратов. Также, хотя доказательство стоило ему большого усилия и было осуществлено с помощью его метода бесконечного спуска, он доказал, что простые числа вида 4k + 1 всегда можно разложить на сумму двух квадратов, и эта сумма единственная. Ферма удалось разбить нечетные простые числа на две различные группы в зависимости от того, выполняют они некое требование или нет. Он использовал эти два результата для доказательства того, что проблема Баше может быть сведена к определению, при заданном числе Ν, сколько его простых делителей имеют вид 4k – 1, а сколько – вид 4k + 1. Действительно, за исключением числа 2 все простые числа могут быть записаны в первом или втором виде, поскольку они оба включают все нечетные числа. Следовательно, только простые делители вида 4k + 1 могут образовывать два слагаемых, а количество вариантов, по которым можно разложить N, – это всего лишь проблема комбинаторики.

Мы снова видим плодотворность изучения простых делителей. Мы можем мало сказать о числе N в целом, зато можем делать утверждения о его простых делителях, которые полны интересных свойств! Таким образом мы в конце концов узнаем что-то о числе N. Этой плодотворной стратегией Ферма пользовался несколько раз. Он сам жаловался Мерсенну в 1636 году, что в арифметике не существует общих принципов решения задач. Через несколько лет сам Ферма установил некоторые из таких принципов.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА

После 1644 года Ферма внезапно перестал писать своим корреспондентам, и его молчание продлилось десять лет. Этому, без сомнения, поспособствовала в 1648 году смерть его главного корреспондента, Марена Мерсенна, а также тот факт, что его отношения с другими привычными корреспондентами, Френиклем и Брюларом, охладились чуть ли не до разрыва.

Затворничество математика завершилось, когда Блез Паскаль, сын Этьена, обратился к Ферма, чтобы поставить перед ним задачу, с которой началась теория вероятностей. Во время этой переписки ученый воспользовался случаем и начал ставить задачи по теории чисел, надеясь заинтересовать ими Паскаля. Ферма говорил, что важно создать братство математиков, которые, соревнуясь между собой и одновременно сотрудничая, решали бы задачи, поставленные этой теорией. Один из результатов, о которых сообщил Ферма, очень красив. Чтобы объяснить его, нужно вернуться к предмету другого большого арифметического интереса пифагорейцев: треугольным числам и их обобщению – прямоугольным числам.

РИС. 1

РИС. 2

РИС. 3

Треугольное число – это число, которое можно разложить так, чтобы слагаемые образовывали треугольник (рисунок 1). Например, число 10 обладает данным свойством (10 = 1 + 2 + 3 + 4), то есть является суммой первых четырех натуральных чисел. Число 10 лежало в сердце пифагорейской мистики. Они называли его тетраксис, и оно символизировало собой четыре стихии, гармонию сфер и упорядочивание пространства (0 измерений, 1 измерение, 2 и 3 измерения, представленные в каждой линии). Пифагорейцы молились / и клялись им, считая его создателем богов и людей и источником изменяющего творения. Также 1, 3, 6 и 15 – треугольные числа (рисунок 2). А 6 – это первое совершенное число. На самом деле любое совершенное число является треугольным.

Число будет квадратным, если оно образовано квадратом некоего целого числа. Квадратные числа – это 1, 4, 9, 16, 25... и так далее (рисунок 3).

У нас уже есть все исходные данные, чтобы получить результат Ферма: любое число либо треугольное, либо является суммой двух или трех треугольных чисел. Оно также является либо квадратным, либо суммой двух, трех или четырех квадратных чисел. Кроме того, оно либо пятиугольное, либо сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных. И так далее.

Помимо переписки с Паскалем, Ферма оставил этот результат записанным на другом поле "Арифметики" Диофанта. Неудивительно, что он сопровождается замечанием, практически идентичным замечанию к последней теореме ученого: "Доказательство этого чудесного результата не помещается на этом поле, но я собираюсь написать книгу на данную тему". Как и во многих других случаях, Ферма не сдержал своего обещания: трактат так и не был написан, и доказательства так и не было найдено. Лагранж и Гаусс доказали частные случаи, и, в конце концов, Коши привел общее доказательство в 1812 году. В любом случае, Ферма не удалось заинтересовать Паскаля. В 1654 году тот ответил вежливым и скромным письмом, в котором говорил, что не способен достичь той же математической высоты, что и Ферма, и призывал его продолжать свои исследования и публиковать результаты.

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ И РАЗНЫЕ РАЗОЧАРОВАНИЯ

Поскольку Ферма не мог обратиться напрямую к Френиклю, после отказа Паскаля он разработал новый план. Ученый познакомился с трудами англичанина Джона Уоллиса, прочитав книгу, которую ему предоставил Дигби. И он, и Уоллис разработали очень похожий подход к решению проблем, связанных с суммами степеней целых чисел. Полный надежд Ферма обратился к Уоллису, пытаясь заинтересовать его проблемами, которые отверг Паскаль.

Издание 1621 года «Арифметики» Диофанта, в котором Ферма сделал много известных сегодня заметок.

Джон Уоллис принял вызов, который Ферма бросил математикам своего времени.

С 1636 года Ферма, как общеизвестно, переписывался с Маре ном Мерсенном (на изображении), монахом ордена минимов. Последний поддерживал контакт с главными парижскими математиками того времени, среди которых выделяется Этьен Паскаль, отец Блеза.

Виконт Уильям Браункер (на изображении), как и Джон Уоллис, интенсивно переписывались с Ферма в 1657 и 1658 годах.

Однако для привлечения Уоллиса Ферма разработал иную стратегию. Если Паскалю он прямо предлагал сотрудничество, то Уоллису бросил вызов. Ферма написал 3 января 1657 года из Кастра письмо Клоду Мартену де Лорандьеру с просьбой распространить его в математическом сообществе. В нем он говорил о двух частных проблемах. Ферма высокомерно говорил, что Нарбонская Галлия (то есть Южная Франция) даст решение, если Англия, Фландрия и Кельтская Галлия (то есть Париж) будут неспособны сделать это. Здесь таился скрытый вызов Френиклю, который имел возможность прочитать письмо.

Эти проблемы (а также многие другие, которые Ферма также поднял в своей корреспонденции, хотя и не говорил о них открыто) требовали знания уравнения Пелля, общее решение которого Ферма, без сомнения, нашел: х² – py² = 1, если р – простое число.

К несчастью, Ферма не получил желаемого ответа. Корреспонденты считали его задачи неразрешимыми. Так что через некоторое время ученый опубликовал некоторые свои результаты и заявил о необходимости решения теоретических проблем более общего характера. В частности, Ферма изложил уравнение Пелля и попросил решений.

Данное письмо было практически исповедью. Ферма начинал жаловаться на отсутствие исследователей, которые занимались бы чисто арифметическими проблемами (задачами теории чисел). Он связывал это с тем, что геометрия и ее методы запятнали арифметику. Его проект, говорил Ферма, заключался в том, чтобы исключить ее влияние и относиться к арифметике как к отдельной науке, такой же тонкой, строгой и сложной, как и сама геометрия. По его мнению, арифметика должна отдать должное доктрине натуральных чисел как своему наследию.

Программа Ферма теперь была открыта. Сам того не зная, поскольку он считал, что возрождает древнее искусство, математик закладывал основы чего-то совершенно нового: арифметической науки, которую, без влияния геометрии, можно было бы изучать саму по себе с тем же успехом, что и греческую геометрию. К несчастью, никто до Эйлера не рассматривал ее таким образом. Ферма был одинок среди современников. Френикль решил первую проблему и послал четыре результата. Он был неспособен (и, возможно, Ферма знал это) дать ее решение в общем виде. Ответ Уоллиса не мог быть более обескураживающим. Он написал виконту Уильяму Браункеру, который довел до него вызов Ферма, что не существует общих уравнений для решения подобных задач, и на них у него, занятого другими делами, нет времени. Далее он презрительно предложил тривиальное решение обеих проблем: число 1. Его ответ не дошел до Ферма. Он остался в Париже, где Дигби показал письмо Френиклю, который, в свою очередь, поспорил с Уоллисом, может ли 1 считаться числом. Зато до Ферма дошло решение Браункера, с которым Уоллис был согласен. Ученый увидел, что ни Браункер, ни Уоллис его не поняли: он настаивал на получении целых решений, а Браункер выявил метод нахождения дробных результатов.

Ферма ответил Дигби письмом, в котором говорил, что любой глупец может найти решение Браункера и Уоллиса. Подумав о традиционной вражде между англичанами и французами, он, возможно и не желая этого, высказался, по мнению англичан, оскорбительно, заявив, что "урожай определяется по полю, на котором он вырос". Таким образом Ферма намекнул на отсутствие у них математического таланта, а затем, подлив еще масла в огонь, тулузец добавил к своему письму суровую критику книги Уоллиса, которую ему вручил Дигби.

Мы ждем этих решений, и если Англия, Бельгия или Кельтская Галлия не получат их, то их предоставит Нарбоннская Галлия. 

Отрывок из письма, которое Ферма написал 3 января 1657 года Клоду Мартену де Лорандберу, бросая вызов европейским математикам

Ответ Ферма дошел до всех заинтересованных лиц, но последующая полемика проходила без тулузца, превратившись в состязание между Френиклем и Дигби, с одной стороны, и Уоллисом и Браункером, с другой. Уоллис настаивал на том, что в этих задачах, которые можно было придумать в большом количестве, не было никакой пользы и сложности. Он не видел теоретических аспектов, замеченных Ферма. Задачи казались бессмысленным развлечением, не заслуживающим внимания «всей Англии, Франции и Голландии».

Уоллис считал, что таких предложений бесконечное множество, и все они скучны и нецелесообразны, поэтому он не понимал, почему Ферма придает такое значение тому, чтобы удивить Френикля своими "смелыми" утверждениями о частных уравнениях с ограниченным (или нулевым) числом решений. Как мы увидели, Уоллис серьезно ошибался. Проблемы, поставленные Ферма, привели к очень плодотворным исследованиям.

Однако Ферма не сдавался. В письме Дигби в июне 1658 года он говорил о своей надежде на то, что Уоллис и Браункер поймут все так, как он считает нужным. Гораздо более примирительным тоном ученый просто просил, чтобы англичане признали свою ошибку. Уоллис так и не ответил. Он ограничился тем, что добавил его письмо к заключению к своей книге об этой полемике. Попытка Ферма добиться того, чтобы теория чисел пересекла Ла-Манш, провалилась. По иронии, Джон Пелль, малозначимый английский математик, скопировал уравнение Ферма (которое, с другой стороны, уже было известно в Индии) из книги Уоллиса. Его работа дошла до рук Эйлера, который, не зная, кто истинный автор, назвал данное выражение уравнением Пелля. Вновь Ферма был обманут последующим поколением.

Все больше сдающийся и разочарованный Ферма предпринял последнюю попытку заинтересовать всех своей страстью и новым миром, о котором догадывался только он. Эта попытка была связана со знаменитым нидерландским математиком Христианом Гюйгенсом, который написал в 1656 году тулузцу, призывая его опубликовать свои результаты.

Ферма в конце концов создал небольшой трактат, который послал Каркави, чтобы тот переправил его Гюйгенсу. В данном трактате математик говорит, среди прочего, о методе бесконечного спуска (мы уже упоминали о нем в связи с Великой теоремой) и объясняет, как он воспользовался им для доказательства результата о разложении простых чисел 4k + 1 на сумму двух квадратных чисел, едва набросав доказательство. Вновь победила скрытность Ферма, демонстрируя результаты, изложенные без доказательства, едва намеченные доказательства и неполные описания исследования.

В завершение Ферма ссылался на отсутствие времени для написания законченного трактата и выражал надежду на то, что другие математики заполнят эти пробелы (он имел в виду конкретно Френикля и Каркави). Он писал: "Последующие поколения, возможно, поблагодарили бы меня за то, что я показал, что древние знали не все".

Гюйгенс повторно выразил свое восхищение им, но, как ранее и Паскаль, отказался участвовать в исследовании новой теории чисел. Так же как и другие математики того времени, он не видел пользы в том, чтобы заниматься этими проблемами. Гюйгенс был прикладным математиком, человеком, интересующимся проблемами физики и их решением с помощью математики. Ферма, наоборот, такие проблемы не интересовали. Разногласие между обоими подходами к математике оказалось неразрешимым. Если в начале переписки Гюйгенс был воодушевлен Ферма, то ее продолжение все больше разочаровывало его. Кроме того, что он не понимал открытий Ферма в области теории чисел, его запись, в которой тот был верным последователем Виета, была сложной для Гюйгенса в сравнении с более ясной записью Декарта. Проблемы, поставленные Ферма, были либо тривиальными, либо уже решенными, поскольку иногда математик посылал ему свои прошлые исследования, возможно не зная, что они уже устарели. Постепенно переписка прекратилась, а с ней пропала и последняя для Ферма возможность привлечь ученика к работе над его исследованиями.